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CLCULO I I

D E P A R T A M E N T O D E C I E N C I A S B S I C A S

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Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas

INDICE

Contenido Pgina

UNIDAD N1 : Integral Indefinida

Conceptos y propiedades 1

- Reglas de integracin 6

Integracin inmediata:

- Frmulas comunes 7

- Para funciones trigonomtricas 7

- Para funciones trigonomtricas inversas 8

Mtodos de integracin:

Integracion por cambio de variables (sustitucin simple):

- Definicin 11

- Caso de funcin exponencial 12- Caso de logaritmo natural 13

- Caso de funciones trigonomtricas con argumento 14

- Caso de la regla de la cadena 15

Integracion por partes:

- Definicin 24

- Resumen de algunas Integrales Por Partes Comunes. 32

Integracin de Potencias de funciones trigonomtricas:

- Cuando se usa? 36

Tipo A: Integracin de Monomios Senos y Cosenos: 36

- Caso 1:S o ambos son enteros positivos impares 367 8

- Caso 2: Si y (ambos) son enteros pares y positivos 407 8 (o uno de ellos es ceros).

Tipo B: Integracin de Monomios Secante y Tangente: 45

- Caso1:Si es un entero positivo par (La potencia de la es par) 458 =/-+8>/

- Caso2: es un entero positivo impar (La potencia de la tangente es impar) 467

Tipo C: Integracin de Monomios Cosecante y Cotangente. 50

- Potencia de cotangente n: par y m: impar 51

Sustitucin Trigonomtrica:

- Cuando se usa? 55

- Para el integrado de la forma: 56+ ?# #

- Para el integrado de la forma: 63+ ?# #

-Para el integrado de la forma: 68? +# #Funciones Racionales:

Cuando se utiliza? 76

- Caso 1: Los factores de son todos lineales y ninguno se repite. 77U Ba b- Caso 2: Los factores de son todos lineales y algunos estn repetidos. 80U Ba b- Caso3: Los factores de son lineales y cuadrticos de la forma 83U Ba b . Ninguno de los factores cuadrticos se repite.+B ,B -#

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- Caso 4: Los factores de son lineales y cuadrticos, y algunos 86U Ba b de los factores cuadrticos se repiten.

Autoevaluacin 90

UNIDAD N2 : Integral definida

Interpretacin de la integral definida 96

Propiedades generales de la integral definida 100

Areas en Coordenadas Cartesianas 108

Areas positivas y negativas 118

Areas simples entre curvas 120

Volumen de Slidos en Revolucin: 137

- Mtodo de los disco. 138

- Mtodo de las arandelas (slido de revolucin con agujero) 142 Caso 1: Rotacin en torno al eje . 142B

Caso 2: Rotacin en torno a un eje paralelo al . 143eje B

- Mtodo de los anillos cilndricos 153

Longitud de Arco en Coordenadas Cartesianas. 163

Area de superficie en revolucin 173

Autoevaluacin 1 178

Autoevaluacin 2 184

Unidad N3 : Ecuaciones Parmetricas y Coordenadas Polares

Ecuaciones Paramtricas.

- Conceptos 190- Grficos y transformaciones 190

- Primera y segunda derivada 193

- Areas en coordenadas parmetricas 204

- Longitud de arco en coordenadas paramtricas 207

Coordenadas Polares:

- Sistema de Coordenadas Polares 211

- Relacin entre Coordenadas Polares y Rectangulares. 214

- Grfico en coordenadas polares 219

- Areas en coordenadas polares 232

- Longitud de arco en coordenadas polares 244

Autoevaluacin 249

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Unidad N 4 : Integrales impropias0

Integrales Impropias:

Definicin 255Caso 1: El lmite de integracin se hace infinito 255

- El limite superior es infinito. 255

- El lmite inferior es infinito. 256

- El lmite inferior y superior son infinitos. 257

Caso 2: El integrado se torna infinito o discontinuo ya sea en los 258

mismos limites de integracin o en algn punto del intervalo entre ellos.

Autoevaluacin 267

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UNIDAD N1

INTEGRAL

INDEFINIDA

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1

Conceptos y propiedades

En la misma forma en que hay funciones inversas tambin existen operacionesinversas. Por ejemplo en matemticas la sustraccin es la inversa de la adicin, y la

divisin es la inversa de la multiplicacin.. As el proceso inverso de la diferenciacin esla integracin

La la vamos a definir como el proceso inverso de la diferenciacin.integracinEn otras palabras, si tenemos la derivada de una funcin, el objetivo es: "Determinar quefuncin ha sido diferenciada para llegar a esa derivada". Por lo que el proceso deintegracin radica en la comprensin del proceso de la diferenciacin.

Supongamos que dado un funcin , deseamos obtener su derivada, por lo que0 Ba bprocedemos del siguiente modo:

dado

f(x)

Funcin OrigenFuncin Primitiva

Funcin Inicial

f '(x)

Obtiene

( )[ ]d

dxf x

Funcin Derivada

0 B B 0 B 0 B 0 B B $B. . .

.B .B .Ba b c d a b a ba b $ w $ #

0 B 0 B 0 B BB . . B

$ .B .B $a b a b a b $ $w #

0 B =/8#B 0 B 0 B =/8 #B #-9= #B. .

.B .Ba b a b a b c dw

1

0 B 68 0 B 0 B 68 " B . . " B #

" B .B .B " B Ba b a b a b w

#

Ahora si nuestro problema es el inverso, es decir, dado una funcin derivada0 Bwa b de una cierta funcin, encontrar dicha funcin. El objetivo es determinar lafuncin , la cual fue derivada (diferenciada).0 Ba b

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2

Nota: A esta funcin , la vamos a llamar la funcin origen, funcin primitiva0 Ba bo la funcin inicial.

La idea grfica es:

f(x)

Funcin DerivadaFuncin Primitiva

Funcin Inicial

f '(x)

Dado

( ) ( )f x dx f x'

=

Obtener

Funcin Derivada

Aplicando el

Operador Antiderivada

As por ejemplo: Dado:

Aplicando el operador antiderivada , donde0 B B 0 B B

$w #

$a b a b . B

.B $ B 0 B a b

$ # w

Aplicando el operador antiderivada , donde0 B $B 0 B Bw # $a b a b

.

.B B $B 0 B a b$ # w

Aplicando el operador antiderivada ,0 B #-9= #B 0 B =/8 #Bwa b a b donde

.

.B B $B 0 B a b$ # w

Intuitivamente podemos pensar que dado una funcin derivada , podemos0 Bwa baplicar un proceso inverso a la derivada o mejor dicho el operador antiderivada paraencontrar la funcin origen o primitiva que fue diferenciada.

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3

Por lo tanto, podemos decir que:

f(x)

Funcin DerivadaFuncin P rimitiva

Funcin Inicial

f' (x )

( ) ( )f x dx f x' =

Funcin Derivada

Aplic and o el O per adorAntiderivada

( INTEGRAL)

Aplic and o el O pera dor

DERIVADA

( )[ ]d

dxf x

Matemticamente hablando diremos. Sea:

.

.B0 B 0 Ba b a bw

Utilizando la interpretacin de infinitesimal podemos escribir lo anterior como:

. 0 B 0 B .B

c d a ba b w

Definiendo la operacin de ahora en adelante como , con elantiderivada Integral

smbolo "operador integral" y aplicndolo a nuestra expresin anterior tenemos:(( (c d a ba b. 0 B 0 B .Bw

Donde: 0 B . 0 B

a b c d( a b Luego la funcin primitiva u origen se puede determinar como: ; "la integral de la derivada es la funcin origen"0 B 0 B .Ba b a b( w A esta expresin se le conoce como la INTEGRAL INDEFINIDA.

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4

Debemos notar lo siguiente:

( )f xx

=3

3

Funcin DerivadaFuncin Primitiva

Funcin Inicial

( )f x x= 2

( ) ( )f x dx f x' =

FuncinDerivada

Aplicando el OperadorAntiderivadaINTEGRAL

OperadorDERIVADA

d

dx

xx

32

3

=

d

dx

xx

d

dx

xx

d

dx

xC x

32

32

32

31

32

3

+

=

+

=

+

=

M

Conclusin:

- Una funcin derivable tiene una nica funcin derivada el reciproco tieneinfinitas soluciones. - La derivada de una funcin tiene una familia de funciones primitivas. -Todas las funciones que difieren entre si por una constante tienen la mismaderivada.

Definicin:

Si es una funcin primitiva de . La expresin define a la0 B 0 B 0 B G a b a b a bw

integral indefinida y representa todas las funciones primitivas que fueron diferenciadas ydan como resultado a (nica derivada). La cual se escribe como:0 Bwa b( a b a b0 B .B 0 B G G w ; donde es la constante de integracin (puede ser positiva o

negativa)

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5

A esta expresin, que representa el proceso inverso de derivar, se le llama IntegralIndefinida de .0 Ba bObservacin:

(1) La constante de integracin surge del hecho de que cualquier funcin de laforma tiene derivada0 B G 0 B a b a bw (2) La constante de integracin se determinar por las condiciones especificas decada problema particular.

(3) A la cantidad se llama integral indefinida, el nombre sugiere que no0 B G a bse puede asignar valor particular para la integral hasta que no se determine y se asignaGun valor a .0 Ba b (4) La integral indefinida aun cuando se halla determinado , es una funcin deGalguna variable y entonces permanece indefinida.

En general decimos que toda funcin tiene un numero infinito de antiderivadas,ya que a cada Antiderivada se le puede agregar una constante de magnitud arbitraria paraobtener otra Antiderivada.

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6

Mtodos de Integracin

Regla de Integracin.

La obtencin de las reglas para integrar formas comunes consiste en determinar lafuncin cuya derivada es una de las formas normales.

Para facilitar el trabajo damos una lista de referencia de Integrales Inmediatasque deben ser memorizadas. Pero antes veremos algunas propiedades bsicas de laintegracin.

Propiedades:

1.La integral de una Sea la funcinConstante: 0 B +a b ( (a b0 B .B +.B +B G 2.La integral de una y una . Sea la funcinfuncin constante 1 B +0 Ba b a b ( ( (a b a b a b1 B .B +0 B .B + 0 B .B 3.Sea J B 0 B 1 Ba b a b a b ( ( ( ( a b c d a b a ba b a bJ B .B 0 B 1 B .B 0 B .B 1 B .B

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7

Integrales Inmediatas

Formas comunes: Sean las siguientes integrales donde es una constante deGintegracin.

1.( .B B G 2.( (+.B + .B +B G

3. ; con( B .B G 8 "8 B8 "8 "

4.

( (.B

B B .B 68 l Bl G "

5.( + .B G B +B68 +

6.(/ .B / GB B Para funciones trigonomtricas

7.(=/8B .B -9=B G 8.( -9=B .B =/8B G 9.( =/- B .B >1 B G#

10.(-9=/- B .B ->1 B G#

11.( =/- B >1 B .B =/- B G 12.( -9=/- B ->1 B .B -9=/- B G 13.( >1 B .B 68l-9= Bl G 68l=/- Bl G

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8

14.( ->1 B .B 68l=/8 Bl G

15.( =/- B .B 68l=/- B >1 Bl G 16.( -9=/- B .B 68l-9=/- B ->1 Bl G 17.( =/8 +B .B -9= +B G"

+

18.( -9= +B .B =/8 +B G"+

Para funciones trigonomtricas inversas

19.( .B B+ B E

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Ejemplos resueltos de integracin aplicando las reglas bsicas de integracin.

1.

( ( ( #B B .B # B .B B .B# $ # $

# G B B

$ %

$ %

2.( ( ( " " "# C #

.C .C C .C$

$

C G " C

# #

#

C G " "

# #C#

3.( ( .> >> > .> G # > G "#"#

"#

4.( ( a b%=/8 . % =/8 . % -9= G %-9= G 9 9 9 9 9 9

Ejemplos propuestos.

1.( $B #B .B#

2.( C C #=/8 C # .C# &

3.( %/ > #> =/- > . >> " #

#$

4.( -9= =/8 ->1-9=

.# #) ) )

) )

5.( */ * B .BB

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10

Solucin

1.( $B #B .B B B G# $ #

2.( C C #=/8 C # .C #-9= C #C G C C$ '

# &$ '

3.( %/ > #> =/- > .> %/ > #68l>l >1 > G$&

> " # >#$ &

$

4.( -9= =/8 ->1-9=

. =/8 -9= G # #) ) )

) ) ) )

5.( */ * B .B */ ' B G B B $

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11

Integracin Por Cambio De Variables (Integracin por sustitucin)

Definicin:

Este mtodo consiste en transformar una integral dada en una integral inmediata.Para ello se utiliza una variable auxiliar y su correspondiente derivada.

Cundo se utiliza?

Sea una funcin, la cual no puede ser integrada directamente debido a su0 Ba bcomplejidad, es decir, no puede ser descompuesta en varias funciones para ser integradasen forma directa.

Para resolver este problema se utiliza una y la funcin cambiavariable auxiliarde variable, para posteriormente ser integrada en forma directa.

( )dx

x

x + 22

Cambio de Variable:Sea

xdxduxu 222 =+=

Por lo tanto: , redefiniendo la integral en trminos de la nuevaB.B .?

#variable tenemos:?

( (a bB

B # ?.B

#

.?#

.?" "

# ?(

68l?l G"

#

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12

Ejemplos resueltos: Integracin por cambio de variables

Caso de la funcin exponencial:

1. Donde:( / .B ? .? .B #.?B .B

# #

B

#

( ( a b/ .B / #.? ?B# # / .?( ? Para la variable inicial #/ G ?

B

#?

#/ G B#

2.( / .C%C

Sea: Entonces? %C .? %.C .C.?

%

( (/ .C / .?%

%C ?

Para la variable inicial / G ? %C"

%?

/ G "

%%C

Nota: Cada vez que aparezca una funcin exponencial como en los casosanteriores, el candidato a variable auxiliar es el exponente

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13

3.( / -9= # .%=/8#9 9 9 Sea: ? %=/8# .? )-9= # . .? -9= # .

"

)

9 9 9 9 9

( (/ -9= # . / .?")

%=/8 # ?9 9 9

/ .?"

)( ?

Para la variable inicial / G ? %=/8#"

)? 9

/ G "

)%=/8#9

Caso del logaritmo natural:

1.( "B #

.B

Donde ? B # .? .B

( (" "B # ?.B .? Para la variable inicial 68 l?l G ? B #

68 lB #l G

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14

2.( #C #C #C "

.C#

Donde: ? C #C "#

.? #C # .Ca b ( (#C # "

C #C " ?.C .?

#

Para la variable inicial 68 l?l G ? C #C "#

68 lC #C "l G#

Nota: en el caso del logaritmo natural la variable auxiliar ser eldenominador siempre que se cumpla con la condicin ( .?

?

Caso de funciones trigonomtricas con argumento:

1.( a b=/8 $ .9 1 9 Sea: ? $ 9 1 .? $.9

"

$.? .9

( (a b=/8 $ . =/8 ?.?$

9 1 9

=/8 ? .?"

$(

Para la variable inicial -9= ? G ? $ "

$a b 9 1

-9= $ G "

$ a b9 1

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15

2.( -9= ' " .) ) )# Sea: ? ' ")#

.? "# .) )

.?

"# .) )

Entonces:

( ( -9= ' " . -9= ?.?"#

) ) )#

-9= ?.?"

"#(

Para la variable inicial =/8 ? G ? ' "

"

"# )#

=/8 ' " G "

"# )#

Nota: en las funciones trigonomtricas el candidato a variable auxiliar es elngulo siempre que su derivada sea consistente con los otros trminos.

Caso de la regla de la cadena:

1.( B $B # 'B "#B .B' % & $% Sea: ? B $B #' %

.? 'B "#B .Ba b& $ Entonces:

( (

a bB $B # 'B "#B .B ? .?' % & $

% %

Para la variable inicial G?

&

&

? B $B #' %

GB $B #

&

a b' &

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16

2.( a ba bC $

C 'C.C

# "

$

Donde: ? C 'C# / Factorizando por.? #C ' .C #a b .? # C $ .Ca b

.?

# C $ .Ca b

( ( (a ba bC $ "

C 'C.C ? .?

? ##

.?#

" "$ $

"$

Para la variable inicial G ? C 'C" ?# #$

#$

#

C 'C G $

% # #$

C 'C G $

%a b$ # #

Ejemplos propuestos: Integracin por cambio de variables.

1. 2.( ( =/8 -9= . " B B .B# $ #&) ) )

3. 4.( ( a b" 68 >" *C .C .>>#%

5. 6.( (#D $D $D #

.D B =/8 B .B#

% &

7. 8.( (C >

" C > ).C .>%

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Solucin

1.

( =/8 -9= . G

=/8

$

#$

) ) ) )

2.( a b" B B .B G " B")

$ #& $ '

3.( " "" *C .C E "

> &.> 68 > G

%&

5.( #D $D $D # .D 68lD $D #l G# #

6.( B =/8B .B -9= B G "&

% & &

7.( C "" C #

.C E1 C G%

#

8.

( >

> )

.> > ) )68l> )l G

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18

Miscelaneos: Resuelva las siguientes integrales:

1. 2.

( ( #B B .B .C

" "

# C

# $$

3. 4.( (.>> %=/8 .9 9 5. 6.( ( &> > .> " > > .>% & $

7. 8.( (a b " ? ? .? .B$B$ # 9. 10.( ( > > " .> $ #B B .B# $ #

11. 12.( (a b=/8 . # C .C! ! #

13. 14.( ( a ba b&B 'B "! .B ( D " D .DB$

#$

15. 16.

( (B &B % .=

B =

.B$ #

#

17. 18.( (=/- >1 . &/ .>! ! ! >

19. 20.( ( +>1 . D &=/8 B #+ .B) ) #

21. 22.( (-9= . +=/8 .9 9 " "

23. 24.( ( B 'B "! (+B .B .C"C #& &

25. 26.( (a b D $

D 'D.D " > >.>

#

#"$

$

27. 28.( (B #B .B B/ .B# % B#

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19

29. 30.( (a bB 68 >B " >

.B .>%

31. 32.

( ( a b=/8 . #C $ .C

&

$! !

(

33. 34.( ( a bB #BB $B " .B #> $ .>#

$ #$

($

35. 36.( ( B " B .B =/- .CC

# $ #$

37. 38.( (=/8 $>-9= .B .>> $9

9& #$

39. 40.( ( a b$ " #B B.B .D" DD##

41. 42.( (a ba b > #> "

> ".> .B

B $

#

#

43. 44.( ( a b&/ #B/ $ .B =/8 ' ."&

&B B# 9 9

45. 46.( (/# / .> / =/- >1 .>

>=/- ) ) ) )

47. 48.( ( "/ "

.D =/- " =/- >1 .D

#" " " "

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20

Soluciones

" #B B .B B B G # "$ %(

# $ $ %

# .B C G " " " "# C # #C

( $ # $ # > G .>

>(

% %=/8 . %-9= G ( 9 9 9

& &> > .B &> > B G ( % & % &

' " > >.> > > G " "# &

( $ # &

( " ? ? .? G #? & $?"&

(a b a b$#

) B G .B $$B $( $ $# "$

* > > " .> > > G " "' $

( # $ ' $

"! $ #B B .B $B B B G "$

( # # $

"" =/8 . -9= G ( ! ! !

"# # C .C %C #C C G "$

(a b# # $

"$ &B 'B "! .B B B B "!B G B & " $$ # * #

( # $ # $ %

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21

"% ( D " D .D (D $D D G "$

(a ba b # $

"& .B B &B G B &B % " %B # B(

$ #

#

#

"' 68 = G .==

(

"( =/- >1 . =/- G ( ! ! ! !

") &/ .> &/ G ( > >

"* + >1 . +68 =/- G ( ) ) ) #! D &=/8B #+ .B D B &-9=B #+B G ( # #

#" -9= . =/8 G ( 9 9 9

## + =/8 . + -9= G ( " " " #$ B 'B "! (+B .B B 'B "!B +B G " # (

' ( #( & ' (# #&

#% .C 68 C # G "C #

(

#& .D D 'D G D $ $D 'D

%

(a b

# "$# #$

#' " > >.> " > G $)

( $ # # %$

#( B #B .B " #B G "'

( # % # $#

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22

#) B/ .B / G "#

( B B# #

#* .B B 68 B " G BB "(

$! .> G 68 > 68>> &

(a b a b% &

$" =/8 . -9= G & $ &$ & $

( ! ! !

$# #C $ .C G #C $"'

(a b a b( )

$$ .B B $B " G B #B "B $B " #

( #

$ #

$ # #$

$

$% #> $ .> G $ #> $#!

(a b a b($ "!$

$& B " B .B B B B B G " $ " ""! ) # %

( # $ "! ) ' %$

$' =/- .B # >1 G C & C #( #

$( . =/- G =/8 "-9= %

( 99

9 9&

%

$) .> > $ G $> $> $ #

( $ # # #$

$* " #B B .B " #B G $"'( $ # # %$

%! .D D D # D G " D # %D & $

(a b #

$#

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23

%" .> > G > #> "> " > "

(a b#

#

%# .B # B $ G

"

B $( %$ &/ #B/ $ .B / / $B G ( &B B &B B# #

%% =/8' . -9=' G " "& $!

( 9 9 9

%& .> 68 # / G /# /

( > > >

%' / =/- >1 . / G ( =/- =/-) )) ) ) %( .D 68 / " G "

" /( D D

%) =/- " =/- >1 . =/- =/- G "$

( # $" " " " " "

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24

Integracin Por Partes.

Cundo se usa?

Cuando una funcin que no puede ser integrada por cambio de variables, la0 Ba bpodemos resolver por partes a travs de otra integra. Antes veremos una frmulafundamental para este tipo de integracin.La regla para determinar la derivada del producto de dos funciones y es:? B @ Ba b a b

. ?@ ?.@ @.?a bReordenando los trminos:

?.@ . ?@ @.?a bAplicando el operador integral:

( ( (a b?.@ . ?@ @.?

Tenemos:

( (?.@ ?@ @.? Esta es la frmula fundamental para la integracin por parte. Esta frmula

sugiere el hecho de que cuando deseamos calcular la integral del tipo , podr( ?.@realizarse en funcin de una integral diferente del tipo: .( @.?

Definicin:

Sea una funcin que no puede ser integrada por cambio de variable. Para? Ba bintegrar esta funcin se puede utilizar la siguiente formula:

( (?.@ ?@ @.?

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25

Ejemplo aclaratorio:

La formula es

Primero se debe elegir u y dv.

La idea es dejar en la integral la ms directo o

menos complicado que la integral original

dxduxu ==

= vduuvudv

vdu

[ ]integralesdeformulariover=== xdxvxvxdxdv sencossen

xxdx sen

Aplicando la frmula de integracin por partes:

Por frmula tenemos:

= vduuvudv

( ) = dxxxxxxdx )cos(cossen

cxxx

xdxxcox

++=

+=

sencos

cos

Cxxdx += sencos

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26

Algunos de los casos ms usuales son

a) En la integral aparece un factor que no tiene integral inmediata, slo se conocede l su derivada. Para resolverla se asigna a este factor y a lo restante? .@

Ejemplos

" 68 B . B( ? 68 B .@ .B

.? .B @ B"

B

( (68 B .B B 68 B B .B

"

B

B 68 B B G

# E

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27

$ > 68> . >( # ? 68 > .@ > .>#

.? .> @ " >> $

$

( (> 68 > .> 68 > .>> > "$ $ >

#$ $

> .>> 68> "

$ $

$#(

> G > 68 > "

$ *

$$

b) En la integral aparecen dos factores ambos integrables en forma inmediata opor sustitucin simple y uno de ellos es una potencia de . Para esta situacin es laB ?potencia y lo restante..@

Ejemplos

" B/ .B( $B

? B .@ / .B$B

.? .B @ /"

$$B

( (B/ .B B/ / .B" "$ $

$B $B $B

B/ / G " "

$ *$B $B

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28

# > =/8 %> . >( # ? > .@ =/8 %> .>#

.? #> .> @ -9= %>"%

( (> =/8 %> . > > -9= %> > - 9= %> . >" "% #

# #

? > .@ -9= %> .>

.? .> @ =/8 %>"

%

( ( > =/8 %> .> > -9= %> > =/8 %> =/8 %> .>

" " " "

% # % %

# #

> -9= %> > =/8 %> =/8 %> .>" " "

% ) )# (

> -9= %> > =/8 %> -9= %> G " " "

% ) $##

$ -9= $ " .( a b9 9 9$

? .@ -9= $ " .9 9 9$

a b .? $ . @ =/8 $ "

"

$9 9 9# a b

( (a b a b a b9 9 9 9 9 9 9 9$ $ #-9= $ " . =/8 $ " =/8 $ " $ ." "$ $

( (a b a b a b9 9 9 9 9 9 9 9$ $ #-9= $ " . =/8 $ " =/8 $ " ."$

? .@ =/8 $ " .9 9 9#

a b .? # . @ -9= $ "

"

$9 9 9a b

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29

( a b9 9 9$ -9= $ " .

=/8 $ " -9= $ " -9= $ " # ." " "

$ $ $

9 9 9 9 9 9 9$ #

a b a b a b ( =/8 $ " -9= $ " -9= $ " .

" " #

$ $ $9 9 9 9 9 9 9$ #a b a b a b(

? .@ -9= $ " .9 9 9a b .? . @ =/8 $ "

"

$9 9a b

( a b9 9 9$ -9= $ " .

=/8 $ " -9= $ " =/8 $ " =/8 $ " ." " # " "

$ $ $ $ $9 9 9 9 9 9 9 9$ #a b a b a b a b (

=/8 $ " -9= $ " =/8 $ " =/8 $ " ." " # #

$ $ * *9 9 9 9 9 9 9 9$ #a b a b a b a b(

=/8 $ " -9= $ " =/8 $ " -9= $ " G " " # #

$ $ * #(9 9 9 9 9 9 9$ #a b a b a b a b

c) En la integral aparecen dos factores ambos integrables en forma inmediata opor sustitucin simple, pero ninguno de ellos es una potencia de . Para este caso laBeleccin de es arbitraria, pero debe conservarse la caracterstica de la funcin elegida?para en todas las integrales que deban desarrollarse por parte en el ejercicio.?

Ejemplos

" / =/8 $B .B( %B

Se resolver primero considerando ? /%B

? / .@ =/8 $B .B%B

.? %/ .B @ -9= $B"

$%B

( (/ =/8 $B .B / -9= $B / -9= $B .B" %$ $

%B %B %B

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30

? / .@ -9= $B .B%B

.? %/ .B @ =/8 $B"

$%B

( ( / =/8 $B .B / -9= $B / =/8 $B / =/8 $B .B" % " %

$ $ $ $%B %B %B %B

( (/ =/8 $B .B / -9= $B / =/8 %B / =/8 $B .B" % "'$ * *

%B %B %B %B

#& " % *

* $ * #&/ =/8 $B .B / -9= $B / =/8 %B ( %B %B %B

( / =/8 $B .B / -9= $B / =/8 %B G $ %#& #&

%B %B %B

( / =/8 $B . B / $-9= $B %/ =/8 %B G "#&%B %B %B Se resolver ahora considerando ? =/8 $B

? =/8 $B .@ / .B%B

.? $ -9= $B.B @ /"

%%B

( (/ =/8 $B .B / =/8 $B / -9= $B .B

" $

% %

%B %B %B

? -9= $B .@ / .B%B

.? $ = /8 $B.B @ /"

%%B

( ( / =/8 $B .B / =/8 $B / -9= $B / =/8 $B .B" $ " $% % % %

%B %B %B %B

( (/ =/8 $B .B / =/8 $B / -9= $B / =/8 $B .B" $ *% "' "'

%B %B %B %B

#& " $ "'

"' % "' #&/ =/8 $B .B / =/8 $B / -9= $B ( %B %B %B

( / =/8 $B .B / =/8 $B / -9= $B G % $#& #&

%B %B %B

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31

( / =/8 $B . B / $-9= $B %/ =/8 %B G "#&

%B %B %B

Este ejemplo muestra que la eleccin de es absolutamente arbitraria.?

# =/8 -9=$ .( ) ) ) ? -9=$ .@ =/8 .) ) ) .? $=/8$ . @ -9=) ) )

( (=/8 -9=$ . -9=$ -9= -9= $=/8$ .) ) ) ) ) ) ) )

( (=/8 -9=$ . -9=$ -9= $ -9= =/8$ .) ) ) ) ) ) ) )

? =/8$ .@ -9= .) ) ) .? $-9=$ . @ =/8) ) )

( ( =/8 -9=$ . -9=$ -9= $ =/8$ =/8 =/8 $-9=$ .) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ( (=/8 -9=$ . -9=$ -9= $=/8$ =/8 * =/8 -9=$ .) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) =/8 -9=$ . -9=$ -9= $=/8$ =/8 "

)( ) ) ) ) ) ) ) ( =/8 -9=$ . G -9=$ -9= $=/8$ =/8

) )) ) )

) ) ) )

$ =/- . =/- =/- .( ($ #! ! ! ! ! ? =/- . .@ =/- .! ! ! !#

.? =/- >1 . @ >1 .! ! ! ! !

( (=/- . =/- >1 =/- >1 .$ #! ! ! ! ! ! ! ( ( =/- . =/- >1 =/- =/- " .$ #! ! ! ! ! ! !

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32

( ( (=/- .B =/- >1 =/- . =/- .$ $! ! ! ! ! ! ! # =/- . =/- >1 68 =/- >1( $! ! ! ! ! ! ( =/- . =/- >1 68 =/- >1 G "#$! ! ! ! ! !

Resumen De Algunas Integrales Por Partes Comunes.

Si las integrales a resolver son del tipo:

Si la integral , es:(((((((

?.@ ? .@

B / .B B / .B

B =/8 +B .B B =/8 +B .B

B -9= +B .B B -9= +B .B

B 68 B .B 68 B B .B

B E

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33

Ejemplos propuestos con respuesta.

1. 2.

( (a bB -9= $B .B .C

C/

C "

$C

#

3. 4.( (> =/8 %> .> B 68B .B# $ %

5. 6.( (C/ .C > / .>#C $ >

7. 8.( ( a bD 68 D.D -9= 68 .$ 9 9 9. 10.( (a b B/#B " .B C " / .C

#B

## C

11. 12.( ( > > " .> .DD# $D#

13. 14.( () ) ) ! ! !-9= . =/- .#

15. 16.

( (E

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34

Solucin

1.

( B -9= $ B .B B =/8$ B -9= $ B B=/8 $B -9= $B G

" B # #

$ $ * #(

$ $#

2.(a bC/ /

C ".C G

C "

C C

#

3.( > =/8 %> .> > -9= %> >=/8 %> -9= %> G" " "% ) $#

# #

4.( B 68B .B B 68B " G "%

$ % % %

5.( a bC/ .C #C " G /%#C#C

6.( > / .> / > $> '> ' G$ > > $ #

7.( a bD 68 D .D %68 D " G D"'

$%

8.

( a b a b a b-9= 68 . G -9= 68 =/8 68

# #9 9

9 9 9 9

9.(a b a bB/ /

#B ".B G

% #B "

#B #B

#

10.( a bC " / .C C " / G # C C#

11.( a ba b> > " .> $> # G # > ""&

$#

12.( D ## $D .D #(D #%D $# # $D G %! #

13.( ) ) ) ) ) )-9= . =/8 -9= G

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35

14.( ! ! ! ! ! !=/- . >1 68l-9= l G #

15.

( E

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36

Integracin de Potencias de funciones trigonomtricas.

Cundo se usa?

Cuando las integrales son del tipo trigonomtricas de la siguiente forma:

( (=/8 B -9= B .B >1 B =/- B .B7 8 7 8

( ->1 B -9=/- B .B7 8

La integracin de potencias de funciones trigonomtricas requiere de tcnicas

especiales. Para lo cual se consideran los siguientes casos:

Tipo A: Integracin de Monomios Senos y Cosenos.

( =/8 B - 9= B . B7 8

En este caso se separa el factor de la potencia impar, teniendo presente laequivalencia trigonomtrica de ambas funciones: . Se tiene dos=/8 B -9= B "# #

casos: Caso 1: S o ambos son enteros positivos impares.7 8

Si es impar, factorizamos y expresamos la potencia par restante del7 =/8 B .B=/89 -9=/89, en potencias del usando la identidad:

=/8 B " -9= B# #

Si es impar, factorizamos y expresamos la restante potencia par de8 -9= B .B-9=/89 =/89en potencias de , utilizando la identidad:

-9= B " =/8 B# #

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37

Ejemplo para impar:7

Para y7 $ 8 #

Resolver: ( =/8 -9= .$ #! ! !

( (=/8 -9= . =/8 =/8 -9= .$ # # #! ! ! ! ! ! ! Expresando la potencia del en trminos del , usando la identidad=/89 -9=/89trigonomtrica Entonces:=/8 -9= " =/8 " -9= # # # #! ! ! !

( (=/8 -9= . =/8 =/8 -9= .$ # # #! ! ! ! ! ! ! " -9= =/8 -9= .( # #! ! ! ! -9= -9= =/8 .( # %! ! ! ! -9= =/8 . -9= =/8 .( (# %! ! ! ! ! ! Resolviendo ambas integrales por el mtodo de variables auxiliar.

Sea: ? -9= !

.? =/8 . .? =/8 .! ! ! !

Por lo tanto:

( ( ( ( a b a b-9= =/8 . -9= =/8 . ? .? ? .?# % # %! ! ! ! ! ! ? .? ? .?

( (# %

Para la variable ? ? G ? -9=" "

$ &$ & !

-9= -9= G " "

$ &$ &! !

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38

Ejemplo para impar:8

Resolver ( =/8 -9= .# &" " " En este caso la potencia impar es el , por lo tanto se debe factorizar el-9=/89-9=/89 =/89y expresarlo en trminos del usando la identidad trigonomtrica.

=/8 -9= " -9= " =/8# # # #" " " "

Tenemos:

( (=/8 -9= . =/8 -9= -9= .# & # %" " " " " " "

=/8 -9= -9= .( # # #" " " "

=/8 " =/8 -9= .( # # #" " " " =/8 " #=/8 =/8 -9= .( # # %" " " " " =/8 #=/8 =/8 -9= .( # % '" " " " " Resolviendo por variable auxiliar, sea: . Por lo? =/8 .? -9= ." " "tanto:

? #? ? .?( # % '

? .? # ? .? ? .?( ( (# % '

. En trminos de la variable ? ? ? G ? =/8" # "

$ & (

$ & ( "

=/8 =/8 =/8 G " # "

$ & ($ & (" " "

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39

Ejemplo para y impares:7 8

Resolver ( =/8 -9= .$ (9 9 9 En este caso se elige la menor potencia impar par transformar, es decir, se expresala potencia del en trminos del y se usa la identidad trigonomtrica=/89 -9=/89=/8 -9= " =/8 " -9= # # # #9 9 9 9 Entonces:

( (=/8 -9= . =/8 =/8 -9= .$ ( # (9 9 9 9 9 9 9

" -9= =/8 -9= .( # (9 9 9 9

-9= -9= =/8 .( ( *9 9 9 9

Resolviendo ambas integrales por el mtodo de variables auxiliar.

Sea: ? -9= 9

.? =/8 . .? =/8 .9 9 9 9

Por lo tanto:

( ( ( ( a b a b-9= =/8 . -9= =/8 . ? .? ? .?( * ( *9 9 9 9 9 9

? .? ? .?( (( *

Para la variable ? ? G ? -9=" "

) "!) "! 9

-9= -9= G " "

) "!) "!9 9

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40

Caso 2: Si y (ambos) son enteros pares y positivos (o uno de ellos es7 8ceros).

En este caso debe reducirse a potencia de primer grado, haciendo uso de las

frmulas del ngulo medio:

=/8 -9= =/8 -9= =/8 #" -9= # " -9= # "

# # ## #! ! ! ! !

! !

Ejemplo para par:7

Resolver ( =/8 .#! ! ( (=/8 . ." -9=##

# ! ! !!

. -9=# ." "

# #( (! ! !

=/8# G " " "

# # #! !

=/8# G " "

# %! !

Ejemplo para par:8

Resolver ( -9= .%9 9 ( ( -9= . -9= .% # #9 9 9 9

." -9=#

#( 9 9#

-9=# -9= # ." # "

% % %( 9 9 9#

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41

Usando la identidad trigonomtrica: . Entonces:-9= " -9= #"

##9 9a b

-9= # " -9= %"

## 9 9a b

. -9=# . ." " " " -9=%

% # % #( ( (9 9 9 99

=/8# . -9=% ." " " " "

% # # ) )9 9 9 9 9 ( (

=/8# =/8% G " " " " "

% % ) ) %9 9 9 9

=/8# =/8% G $ " ") % $#9 9 9

Ejemplo para y par:7 8

Resolver ( =/8 -9= .# #) ) )

( (a b=/8 -9= . =/8 -9= .B# # #) ) ) ) )

Usando la identidad trigonomtrica: =/8 -9= =/8 #"

#) ) )

( (a b=/8 -9= . =/8 -9= .# # #) ) ) ) ) )

=/8 # ."

#( ) )#

=/8 # ."%(

# ) )

=/8 # ."

%( # ) )

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42

Usando la identidad trigonomtrica: . Entonces:=/8 " -9= #"

##) )a b

=/8 # " -9= %"

## ) )a b

Por lo tanto:

" " "

% % #=/8 # .B " -9= % .( ( a b# ) ) )

" -9= % ."

)(a b) )

. -9= % ."

) ( () ) ) =/8 % G

" "

) % ) )

=/8 % G " "

) $#) )

Tambin este ejercicio se puede resolver usando las identidades trigonomtricas:

;=/8 -9= " -9= # " -9= #

# ## #) )

) )

( ( =/8 -9= . ." -9= # " -9= ## #

# #) ) ) )) )

-9= # ." "

% %( # ) )

. -9= # ." "

% %( () ) )#

." " " -9=%

% % #) )

)( . -9=% .

" " "

% ) )) ) ) )( (

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43

=/8% G " " " "

% ) ) %) ) )

=/8% G " "

) $#

) )

Resumen:

Sea una variable auxiliar, entonces:?

Si: ? =/8 .? -9= .! ! ! Si: ? -9= .? =/8 .! ! !

Transformacin Trigonomtrica: =/8 -9= "# #! !

( =/8 -9= . 7 8! ! !

m o n Impares

Potencia del Potencia de

Seno Coseno

m:Impar n:Impar

Factorizar por: Factorizar por:

Cambiando las Cambiand

potencias de:

=/8 -9=

=/8 -9=

! !

! !

o las

potencias de:

Usando: Usando

-9= =/8

=/8 " -9= -9= " =/8

! !

! ! ! !# # # #

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44

m y n Pares

Potencia del Seno

Coseno son pares

m y n

bien m o n cero

Si m n :Par Para

U

Reducir a potenciahaciendo uso de

=/8 -9= =/8 #"

#

=/8 .7

! ! !

! !(sar TT:

Si m n:ParPara

Usar TT:

=/8 " -9= #

#

=/8 " -9= #

#

-9= " -9= ##

-9= .8

-9= " -9= ##

#

#

# #

! !

! !

! !

! !

! !

Idem usar: (

TT: Transformacin trigonomtrica

Para integrales del tipo: ( a b a b=/8 7 -9= 8 .B9 9 Usar la transformacin: =/8 7 -9= 8 =/8 7 8 =/8 7 8

" "

# #a b a b a b a b9 9 9 9

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45

Tipo B: Integracin de Monomios Secante y Tangente.

( >1 =/- .7 8! ! ! Se tienen dos casos:

Caso1: Si es un entero positivo par (La potencia de la es par)8 =/-+8>/

Se debe factorizar por y cambiamos las a , utilizando=/- =/-+8>/= >+81/8>/=#!la identidad trigonomtrica.

=/- " >1 # #! !

Ejemplo resuelto: es par:8

1.( >1 =/- .% '" " " Factorizando por :=/-#"

( (>1 =/- . >1 =/- =/- .% ' % % #" " " " " " " >1 =/- =/- .

( % # ##" " " "

Transformando las potencias restantes de la secante a tangente, usando latransformacin trigonomtrica: =/- " >1# #" "

>1 " >1 =/- .( % # ##" " " " >1 " #>1 >1 =/- .( % # % #" " " " " >1 #>1 >1 =/- .(

% ' ) #" " " " "

Sea la variable auxiliar: . Entonces? >1 .? =/- ." " "#

=( ? #? ? .?% ' )

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46

. En trminos de la variable ? ? ? G ? >1" # "

& ( *& ( * "

>1 >1 >1 G " # "

& ( *& ( *" " "

Caso2: es un entero positivo impar (La potencia de la tangente es impar)7

En este caso se debe factorizar por y cambiamos las restantes potencia=/- >1! !par de la a , utilizando la identidad trigonomtrica.>+81/8>/ =/-+8>/

>1 =/- "# #! !

Ejemplo resuelto: La potencia de la tangente es impar ( es impar).7

1.( =/- >1 .( $9 9 9 Factorizando por =/- >19 9

( (=/- >1 . =/- >1 =/- >1 .( $ ' #9 9 9 9 9 9 9 9 Cambiando las restantes potencia de la tangente a secante, usando latransformacin trigonomtrica.

=/- >1 " >1 =/- "# # # #9 9 9 9

Por lo tanto:

( (=/- >1 . =/- >1 =/- >1 .( $ ' #9 9 9 9 9 9 9 9 =/- =/- " =/- >1 .B( ' #9 9 9 9

=/- =/- =/- >1 .( ) '9 9 9 9 9

Usando variable auxiliar: , en consecuencia:? =/- .? =/- >19 9 9

? ? .?( ) '

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47

; en trminos de la variable ? ? G ? =/-" "

* (* ( 9

=/- =/- G " "

* () (9 9

Qu sucede si la potencia de la secante es par ( es par) y la potencia de la8

tangente es impar ( es impar)?7

Ejemplo resuelto: cuando es par y es impar8 7

Sea la siguiente integral: ( >1 =/- .$ %) ) ) 1. Resolviendo por el lado de la potencia par de la secante, se debe factorizar por=/-#) , transformando las restantes potencias de la secante a tangente usando latransformacin trigonometra:

=/- >1 " =/- " >1# # # #) ) ) )

( (>1 =/- . >1 =/- =/- .$ % $ # #) ) ) ) ) ) ) >1 " >1 =/- .

( $ # #) ) ) )

>1 >1 =/- .( $ & #) ) ) ) Sea la variable auxiliar: ? >1 .? =/- .) ) )#

? ? .?( $ &

; en trminos de la variable ? ? G ? >1" "

% '

% ' )

>1 >1 G " "

% '% ') )

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48

2. Resolviendo por el lado de la potencia impar de la tangente, se debe factorizarpor , transformando las restantes potencias de la tangente a secante, usando la=/- >1) )transformacin trigonomtrica: =/- >1 " >1 =/- "# # # #) ) ) )

( (>1 =/- .B >1 =/- =/- >1 .$ % # $) ) ) ) ) ) )

=/- " =/- =/- >1 .( # $) ) ) ) ) =/- =/- =/- >1 .( & $) ) ) ) ) Sea la variable auxiliar: ? =/- .? =/- >1 .) ) ) )

? ? .?( & $

; en trminos de la variable ? ? G ? =/-" "

' %' % )

=/- =/- G " "

' %' %) )

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54/276


49

Resumen: Sea la variable auxiliar, entonces:?

Si: ? >1 .? =/- .! ! !#

Si: ? =/- .? =/- >1 .! ! ! !

Transformacin trigonomtrica: =/- >1 "# #! !

( >1 =/- . 7 8! ! !

Potencia de Potencia de

Tangente Secante

m:impar n:par

Factorizar por:

Cambiando las

potencias de:

Usando:

Fact=/- >1

>1 =/-

>1 =/- "

! !

! !

! !# #

orizar por:

Cambiando las

potencias de:

Usando:

=/-

=/- >1

=/- " >1

#

# #

!

! !

! !

Potencia de Tangente

m:par y potencia de Secante

n: impar

Cambiar la Cambiar la

potencia par: potencia impar

Usando: Usando:

Resolver Resolver

>1 =/- =/- >1

>1 =/- " =/- " >1

! ! ! !

! ! ! !# # # #

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55/276


50

( (

a b

>1 . =/- .7 8

>1 >1 >17

>1 =/-

! ! ! !

! ! !

! !

m n

entero positivo entero positivo

Usar TT:7 # #

7# # "

=/- =/- =/-8

>1 " =/-

Si n:parUsar TT:

Si n:impar

! ! !

! !

8 # #

a b# # 8##Se usa la integracin por partes

Tipo C: Integracin de Monomios Cosecante y Cotangente.

( ->1 -9=/- . 7 8! ! !

Se trabaja en forma anloga al caso anterior. Tenemos:

Sea la variable auxiliar, entonces:?

Si ? ->1 .? -9=/- .! ! !#

Si ? -9=/- .? -9=/- ->1 .! ! ! !

Transformacin trigonomtrica: -9=/- ->1 "# #! !

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51

( ->1 -9=/- . 7 8! ! !

Potencia de Potencia de

Cotangente Cosecantem: Impar n:Par

Factorizar por:

Cambiando laspotencias de

Usando:

-9=/- ->1

->1 -9=/-

->1

! !

! !

# #

#

# #! !

!

! !

! ! -9=/- "

-9=/-

-9=/- ->1

-9=/- " ->1

Factorizando por:

Cambiando laspotencias de

Usando:

Ejemplo resuelto.

1.( -9=/- ->1 .% %" " " Factorizando por: -9=/-#"

( (-9=/- ->1 . -9=/- ->1 -9=/- .% % # % #" " " " " " " Cambiando las restantes potencias de , usando la transformacin-9=/- ->1" "trigonomtrica -9=/- ->1 " -9=/- " ->1# # # #" " " "

" ->1 ->1 -9=/- .( # % #" " " " ->1 ->1 -9=/- .( % ' #" " " "

Usando variable auxiliar: ? ->1 .? -9=/- ." " "#

.? -9=/- .#" "

? ? .?( a b% '

? ? .?( % '

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57/276


52

; en trminos de ? ? G ? ->1" "

& ( & ( "

->1 ->1 G " "

& (

& (" "

2.( -9=/- ->1 .$ &9 9 9 Factorizando por: -9=/- ->19 9

( (-9=/- ->1 . -9=/- ->1 -9=/- ->1 .$ & # %9 9 9 9 9 9 9 9 Cambiando las restantes potencias de , usando la transformacin->1 -9=/-9 9trigonomtrica: -9=/- ->1 " ->1 -9=/- "# # # #9 9 9 9

-9=/- -9=/- " -9=/- ->1 .( # # #9 9 9 9 9 -9=/- -9=/- #-9=/- " -9=/- ->1 .( # % #9 9 9 9 9 9 -9=/- #-9=/- -9=/- -9=/- ->1 .

( ' % #9 9 9 9 9 9

Usando variable auxiliar: ? -9=/- .? -9=/- ->1 .9 9 9 9

.? -9=/- ->1 .9 9 9

? #? ? .?( a b' % #

? #? ? .?( ' % #

; en trminos de ? ? ? G ? -9=/-" # "

( & $ ( & $ 9

-9=/- -9=/- -9=/- G " # "

( & $( & $9 9 9

5/26/2018 2002 Calculo 2

58/276


53

Ejemplos propuestos:

1. 2.

( (=/8 -9= . =/8 -9= .$ % # &! ! ! " " "

3. 4.( (=/8-9= . =/8 .$

%9

99 ) )

5. 6.( (>1=/- . =/- $ >1 $ .$

% $!

!! " " "

7. 8.( (>1 . -9= =/8 .% & *! ! " " "

9. 10.( (=/8 -9= . =/8 -9= .& # ) $9 9 9 ) ) )

11. 12.( (-9= $ . -9= .# '! ! " "

13.( =/8 -9= .B# %9 9

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59/276


54

Solucin

1.( =/8 -9= . G -9= -9=& (

$ %& (

! ! ! ! !

2.( =/8 -9= . G =/8 #=/8 =/8$ & (# &$ & (

" " " " " "

3.( a b a b=/8 -9= -9=-9= . G $

" #

9 9 9

99

" #

4.( =/8 . G $ =/8 # =/8 %) % $#

%) ) ) ) )

5.( a b a b>1 #=/- . =/- # =/- G $$

!

!! ! !

$ "

# #

6.( =/- $ >1 $ . G >1 $ >1 $"# ")

% $% '

" " " " "

7.( >1 . >1 G >1$

%$

! ! ! !!

8.( -9= =/8 . G =/8 =/8 =/8"! ' "%

& *"! "# "%

" " " " " "

9.( =/8 -9= . G =/8 =/8* ""

& #* ""

9 9 9 9 9

10.( =/8 -9= . -9= B G -9= B #-9= B "$ $ (

) $ ($ &

) ) )

11.( a b-9= $ . ' =/8 ' G ""#

# ! ! ! !

12.( -9= . =/8# =/8% =/8 # G & " $ ""' % '% %)' $" " " " " "

13.( =/8 -9= .B =/8% =/8 # G " " ""' '% %)

# % $9 9 9 9 9

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60/276


55

Sustitucin Trigonomtrica.

Cundo se usa?

Este tipo de sustitucin se usa cuando en el integrado aparecen expresiones de laforma:

+ ? + ? ? +# # # # # #

Donde: y? ? B + !a b

Generalmente se podr simplificar la integral por sustitucin trigonomtrica. Enla mayora de los casos la sustitucin apropiada sugerida elimina el radical y deja encondiciones de integrar.

El mtodo de sustitucin trigonomtrica para resolver la integrales se simplifica sise acompaa la sustitucin con un .tringulo rectngulo

Analizando cada uno de los casos tenemos los siguientes cambios de variable:

5/26/2018 2002 Calculo 2

61/276


56

Resumen Por Sustitucin Trigonomtrica.

Sea: y :? 0 B + !a b Caso 1: Para el integrado de la forma: + ?

# #

Si en el integrado aparece la expresin radical de la forma: + ?# #

au

22 ua

+ ? + ?+

+# # #

#

##

+ " ?

+#

#

#

+ "

?

+#

#

Por identidad trigonomtrica =/8 -9= " -9= " =/8# # # #) ) ) )

Luego =/8 ? +=/8 .? +-9= .?

+) ) ) )

Al reemplazar en el radical se obtiene:

a b+ " + " =/8?

+# # #

#

)

+ -9= # #) + -9=)

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62/276


57

Ejemplos:

" % *B .B( #

% *B % " *B

%#

# % "

$B

# #

=/8 B =/8$B #

# $) )

.B -9= .#

$ ) )

Obs.: Si existiera ms trminos en funcin de la sustitucin tambin tendrBque hacerse.

El tringulo que acompaa a esta expresin es el siguiente:

2 3x

294 x

Por lo tanto, la integral dada se resuelve de la siguiente forma:

( ( % *B .B % " .B

$B

##

#

# " =/8 -9= .#

$( #) ) )

# -9= -9= .#

$( ) ) )

Como , entonces -9= . -9= " -9= #% "

$ #( a b# #) ) ) )

5/26/2018 2002 Calculo 2

63/276


58

" -9= # .% "

$ #( a b) )

. -9= # .#

$ ( () ) )

G # # =/8#

$ $ #)

)

Luego, de la figura podemos ver: =/8 E

5/26/2018 2002 Calculo 2

64/276


59

# .B%* B

B( #

%* B %* " B

%*

##

%* "

B

( #

=/8 B (=/8B

() )

.B (-9= .) )



( (

%* B

B B.B .B

%* " B

(#

#

(-9= .( " =/8

(=/8( a b#)

) ) )

( .-9=

=/8( #)

) )

( ." =/8

=/8( #)

) )

( . ( ." =/8

=/8 =/8( (

) )) )

)#

5/26/2018 2002 Calculo 2

65/276


60

( -9=/- . ( =/8 .( () ) ) ) (68 -9=/- ->1 (-9= G ) ) ) Luego, de la figura podemos ver: =/8 -9=/-

B (

( B) )

-9= %* B

()

#

->1 %* B

B)

#

En consecuencia, del anlisis anterior, podemos concluir que:

( %* B ( %* B %* BB B B (.B (68 ( G # # #

(68 %* B G ( %* B

B # #

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61

$ .BB

% *B(

#

#

% *B % " *B%

# #

% "

$B

# #

=/8 B =/8$B #

# $) )

.B -9= .#

$

) )


2 3x

294 x


( ( B B

% *B.B .B

% " $B

#

# #

# #

-9= .

%

*=/8

% " =/8

#

$( a b

#

#

)

)) )

5/26/2018 2002 Calculo 2

67/276


62

.

% #

* $ =/8 -9=

#-9=(

#) )

) )

; como =/8 . =/8 " -9= #% "#( #( a b# #) ) ) )

" -9= # .% "

#( #( a b) )

" -9= # .#

#((a b) )

. -9= # .#

#( ( () ) )

=/8 # G # "

#( # ) )

=/8 # G # "

#( #() )

Del tringulo asociado a la expresin podemos ver que:

=/8 E

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68/276


63

Caso 2: Si tenemos radicalde la forma + ?# #

22 ua +u

a

+ ? + ?+

+# # #

#

##

+ " ?+

##

# + "

?

+#

# Por identidad trigonomtrica " >1 =/-# #) )

Luego >1 ? +>1 .? +=/- .?

+) ) ) )#


a b+ " + " >1?+# # ##

)

+ =/- # #) + =/-)

5/26/2018 2002 Calculo 2

69/276


64

Ejemplos:

" $ %B .B( #

$ %B $ " %B

$#

#

$ " #B

$

#

>1 B >1 .B =/- .#B $ $

$ # #

) ) ) )

#

El tringulo asociado es:

Por lo tanto:

( (

$ %B .B $ " .B#B$#

#

$ " >1 =/- .$

#(a b # #) ) )

;pero $ " >1 =/- . " >1 =/-$

#( # # # #) ) ) ) )

5/26/2018 2002 Calculo 2

70/276


65

=/- .$

#( $) )

Integral que se resuelve por partes, cuya solucin es:

( =/- . =/- >1 68l=/- >1 l G " "# #$) ) ) ) ) ) Por lo tanto:

$ $ $

# % %=/- . =/- >1 68l=/- >1 l G ( $) ) ) ) ) )

Del tringulo asociado, tenemos que:

-9= =/- $ $ %B

$ %B $) )

#

#

>1 #B

$)

Por lo tanto:

($ %B .B =/- >1 68l=/- >1 l G$ $% %

# ) ) ) )

68 G $ $ %B #B $ $ %B #B

% %$ $ $ $

# #

B $ %B 68 G " $ $ %B #B

# % $ #

#

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71/276


66

# .B"

"' #&B( #

"' #&B "' " #&B

"'

##

"' "

&B

% #

>1 B >1 .B =/- .&B % %

% & &) ) ) )#

El tringulo asociado es:

Por lo tanto:

( ( " "

"' #&B.B .B

% " &B

%

# #

pero =/- . " >1 =/-" %

"' " >1 &( a b

# # # #) ) ) ) )

=/- .% "

& %=/-(

) ) )#

=/- ."

&( ) )

5/26/2018 2002 Calculo 2

72/276


67

La integral inmediata de: . Entonces:( =/- . 68l=/- >1 l G) ) ) )

( ( " "

"' #&B

.B =/- .

) )

68l=/- >1 l G"

& ) )

Del tringulo determinamos que:

=/- "' #&B

%)

#

>1 &B

%)

Finalmente:

( " " "' #&B &B

"' #&B.B 68 G

& % %#

#

68 G " "' #&B &B

& % #

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68

Caso 3: Si tenemos radicalde la forma ? +# #

22

au u

a

? + ? ++

+# #

#

## #

+ "?

+

##

#

+ "

?

+#

#

Por iedentidad trigonomtrica =/- >1 " >1 =/- "# # # #) ) ) )

Luego =/- ? +=/- .? +=/- >1 .?

+) ) ) ) )


a b+ " + =/- "?+# # ##

)

+ >1 # #)

+ >1)

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74/276


69

Ejemplos:

" "'B *.B( #

"'B * * ""'B

*#

# * "

%B

$ #

=/- B =/- .B =/- >1 .%B $ $

$ % %) ) ) ) )


22 au

au

4x3

916 2 x

Por lo tanto:

( ( "'B * .B * " .B

%B

$#

#

* =/- " =/- >1 .$

%(a b #) ) ) )

; como =/- >1 =/- " . >1 =/- "*

%( ) ) ) ) ) )# # #

; usando =/- >1 . >1 =/- "*

%( ) ) ) ) )# # #

=/- =/- " .*

%( ) ) )#

5/26/2018 2002 Calculo 2

75/276


70

=/- =/- .*

%( $) ) )

=/- >1 68l=/- >1 l 68l=/- >1 l G * " "

% # # ) ) ) ) ) )

=/- >1 68l=/- >1 l G * *

) )) ) ) )

Del tringulo:

=/- >1 %B "'B *

$ $) )

#

Por lo tanto:

("'B *.B =/- >1 68l=/- >1 l G* *) )# ) ) ) )

68 G * %B "'B * * %B "'B *

) $ $ ) $ $ # #

B "'B * 68 G " * %B "'B *

# ) $ # #

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76/276


71

2 .B

$'B %*( #

$'B %* %* "$'B

%*

##

%* "

'B

( #

=/- B =/- .B =/- >1 .'B ( (

( ' ') ) ) ) )

El tringulo que acompaa a esta expresin:

Por lo tanto:

( ( .B .B

$'B %*

%* "'B

(

# #

(

'=/- >1 .

%* =/- "( a b

) ) )

)#

como: >1 =/- "('

=/- >1 .

( =/- "(

) ) )

)) )

#

# #

" =/- >1 .

' >1( ) ) )

)

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77/276


72

=/- ."

'( ) )

68l=/- >1 l G"

'

) )

Del tringulo asociado, se tiene: y=/- >1 'B $'B %*

( () )

#

En consecuencia: ( .B " 'B $'B %*

$'B %* 68 G

' ( (#

#

68 G " 'B $'B %*

' ( #

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78/276


73


1. 2.( ( * BB .B B & .B#

##

3. 4.( ( .B .BB B * B #&$ # #

5. 6.( (a b .B .B

' B B % B# # #$#

7. 8.

( ( B * %B

B %

.B .B

B

#

#

#

9. 10.( ( a b.B "' *BB * %B B .B##

'

$#

11. 12.( ( a bB .B

#B B.B

%B #%B #(

#

# # $

#

13. 14.

( (a b

.B #& B% B

B .B

#

#

$#

15. 16.( ( a b.B .B

B %B "$ %B B# # $

#

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74

Solucin

1.

( * B * B B

B B $.B E

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75

13.(a b .B B

% B G

% % B# #$#

14.(

#& B & #& B

B B.B &68 #& B G

# ##

15.( .BB %B "$ 68 B # B %B "$ G# #

16.(a b .B B #

%B B G

% %B B# #$#

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76

Funciones Racionales

Cundo se utiliza?

Para integrar cualquier funcin racional del tipo , cuando y sonT B

U B T B U Ba ba b a b a b

polinomios de grado y respectivamente.8 7

Sea la siguiente integral formada por la funcin racional (El cuociente deT B

U B

a ba bdos polinomios en la variable )B

( (a b

a b

T B + B + B + B +

U B , B , B , B ,.B .B8 8" " !

7 7" " !

8 8"

7 7"

Donde:

es el grado de8 T Ba b es el grado de7 U Ba b Si el grado de , es decir , entonces debe realizarse la divisinT B U B 8 7a b a bde polinomios (divisin sinttica) cuyo cuociente es de yG Ba b integracin inmediatacuyo resto R se descompone mediante .a bB Fracciones Parciales

( ( (a b a ba b a ba bT B V B

U B U B.B G B .B .B

Por lo tanto va a interesar la integracin de funciones de la forma: .( a ba bV BU B .BPara lo cual debemos descomponer la funcin de la forma en fracciones parciales.

Despus de que ha sido factorizado en productos de factores lineales yU Ba bcuadrticos, el mtodo para determinar fracciones parciales depende de la naturaleza dedichos factores.

Considerando varios casos por separado, tenemos:

5/26/2018 2002 Calculo 2

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77

Caso 1:

Los factores de son todos lineales y ninguno se repite.U Ba b T B T BU B + B , + B , + B ,a b a ba b a ba b a b" " # # 8 8 En este caso la fraccin parcial a escribir es:

T B E E E E

U B + B , + B , + B , + B ,

a ba b a b a b a b a b" # $ 8" " # # $ $ 8 8

Donde: son constantes que se van a determinar.E E E E" # $ 8

Ejemplos de integracin por fracciones parciales.

( #B $B B '

.B#

Factorizando el denominador:

B B ' B $ B ## a b a b

#B $ #B $

B B ' B $ B ## a b a b Planteando la fraccin parcial correspondiente:

#B $ E F

B $ B # B $ B # a b a b

Donde los valores de y han de calcularse de forma tal que la igualdad seaE Fvalida para todo sacando factor comun,B

#B $ E F E B # F B $

B $ B # B $ B # B $ B # a ba b a ba ba b a b llegamos a la ecuacin bsica siguiente:

#B $ E B # F B $a b a b #B $ E F B #E $Fa b a b

5/26/2018 2002 Calculo 2

83/276


78

Podemos determinar las constantes de dos maneras:

1.Mtodo general: Consiste en igual los coeficientes de potencias identicas de y resolverB

Sea: #B $ E F B #E $Fa b a b E F #

#E $F $

Resolviendo: E F $ (

& &

2.Mtodo Abreviado:

Dado que la identidad es valida para todo , tenemos:B

#B $ E B # F B $a b a b Evaluando para:

B # # # $ E # # F # $a b a b a b ( &F

F (

&

B $ # $ $ E $ # F $ $a b a b a b $ &E E

$

&

Por lo tanto: yE F $ (

& &

Por cualquiera de los mtodos tenemos:

#B $ $ (

B $ B # & B $ & B #

a ba b a b a b

5/26/2018 2002 Calculo 2

84/276


79

Entonces:

( ( (a ba b a b a b#B $ $ (B $ B # & B $ & B #.B .B .B .B .B

$ " ( "

& B $ & B #( (a b a b 68lB $l 68lB #l G

$ (

& &

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85/276


80

:Caso 2

Los factores de son todos lineales y algunos estn repetidos.U Ba b Supongamos que el factor es un factor que se repite veces.a b+ , 5

3 3

T B T B

U B

+B ,a b a ba b a b5 a este factor le corresponde la suma de fracciones parciales dada por:

T B E E E E

U B

+ B , + B , + B , + B ,

a ba b a b a b a b a b" # $ 5" # $ 5" # $ 5

Donde: son constantes que se van a determinar.E E E" # 5

Ejemplos resueltos

( a bB &B "

B %.B

#

$

B &B " E F G

B % B % B %

B %

#

$ # $a b a b a b E B % F B % G

B %a b a ba b#

$

B &B " E B % F B % G "# #a b a b a b

Desarrollando:

B &B " E B )B "' F B % G# #a b a b B &B " E B )E F B "'E %F G ## #a b a b a b a b

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86/276


81

1.Mtodo abreviado:

Sea: B &B " E B % F B % G# #a b a b Para B % % & % " E % % F % % Ga b a b a b a b

# #

"' #! " ! ! G

G $(

Para B ! ! & ! " E ! % F ! % $(a b a b a b a b# # " "'E %F $(

"'E %F $'

Para B " " & " " E " % F " % $(a b a b a b a b# # " & " *E $F $(

*E $F $!

"'E %F $' *E $F $!

Resolviendo: E " F "$ G $(

2.Mtodo General:

Sea: B &B " E B )E F B "'E %F G# #a b a b a b Igualando los coeficientes de potencias identicas, tenemos:

E " )E F &

"'E %F G "

Resolviendo: E " F "$ G $(

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87/276


82

Por lo tanto:

B &B " " "$ $(

B % B % B %

B %

#

$ # $a b a b a b Entonces:

( ( ( ( a b a b a bB &B " " "$ $(

B % B % B %.B .B .B .B

B %

#

$ # $

68 B % G "$ $(

B % # B % a b#

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83

Caso 3:

Los factores de son lineales y cuadrticos de la forma .U B +B ,B -a b #Ninguno de los factores cuadrticos se repite.

Por cada factor cuadrtico no factorizable y que no se repite, le corresponde lafraccin parcial dada por:

EB F

+B ,B -#

Ejemplo resuelto:

(a ba b$B #B % B B " .B#

$B # E FB G

B % B B " B % B B " a ba b# #

E B B " FB G B %

B % B B "

a b a ba ba ba b#

#

La ecuacin bsica es:

$B # E B B " FB G B % "a b a ba b a b#

$B # E F B E %F G B E %G #a b a b a b a b#

1.Mtodo general:

Sea: $B # E F B E %F G B E %Ga b a b a b# E F !

E %F G $

E %G #

Resolviendo:

E F G "! "! *

"$ "$ "$ 2.Mtodo abreviado:

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84

Sea: $B # E B B " FB G B %a b a ba b# Para:

B % $ % # E % % " F % G % %a b a b a b a ba b a b#

"! "$E E "!

"$

Para: B ! $ ! # E ! ! " F ! G ! %a b a b a b a ba b a b# # E %G

# %G G "! *

"$ "$

Para: B " $ " # E " " " F " G " %a b a b a b a ba b a b# & $E &F &G

& $ &F & F "! * "!

"$ "$ "$

Por lo tanto: E F G "! "! *"$ "$ "$

Tenemos:

$B #

B % B B " B % B B "

B "! "! *

"$ "$ "$a ba b# # $B # "! "!B *

B % B B " "$ B % "$ B B " a ba b a b a b# #

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85

Luego:

(a ba b$B #

B % B B "#

.B .B"! " " "!B *

"$ B % "$ B B "( ( #

68 lB %l .B"! " "!B *

"$ "$ B B "( #

68 B % E1 68 B B " G "! ) #B " &

"$ "$"$ $ $ #

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86

Caso 4:

Los factores de son lineales y cuadrticos, y algunos de los factoresU Ba bcuadrticos se repiten. Si es un factor cuadrtico no factorizable de que se repite veces, entoncesU B 5a ble corresponde la siguiente descomposicin en fracciones parciales:

E BF E BF

+B ,B- +B ,B- +B ,B-

E BF E BF E BF

+B ,B- +B ,B-" " # # 5" 5" 5 5

# # #" # $$ $

# #5" 5a b a b a b a b a b

Ejemplo:

(a b a b

$ #B

B " B &

.B# #

$ #B E FB G HB I

B " B & B "

B & B "a b a b a b# ## ##

E B " FB G B & B " HB I B &

B " B &

a b a ba ba b a ba ba b a b

# ##

# #

La ecuaciones bsicas:

$ #B E B " FB G B & B " HB I B & "a b a ba ba b a ba b a b# ##

Desarrollando:

$ #B E F B &F G B #E F &G H B &H I G &F B E &G &I #a b a b a b a b a b a b% $ #

1.Mtodo General:

Sea:

$ #B E F B &F G B #E F &G H B &H I G &F B E &G &Ia b a b a b a b a b% $ #

E F ! F G ! #E F &G H ! &H I G &F # E &G &I $

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87

E F G H I " " & " "

# #

$ #B

B " B & B "

" " &

B & B "

B B " "

# #a b a b a b# ## ##

$ #B " B & B "

B " B & # B "

B & B "a b a b a ba b a b# ## ## (a b a b

$ #B

B " B &.B

# #

.B .B .B" B & B "

B & B " # B "( ( (a b a b a b# # #

.B .B .B" " " B & " B "

B & B " # B "( ( (a b# # #

68lB &l 68lB "l &E1 B E1 B " " " " " " B

# # # B " # B " a b # # #

68lB &l 68lB "l E1B E1B G " " & " " B

"!% % B " % % B "#

# #a b a b 68lB &l 68lB "l E1B G " " * " B

"!% #' % B "#

#a b

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88


Factorizar las siguientes funciones (fracciones parciales) y evaluar la integralindefinida.

1. 2.( (a b a ba bB " .B C " .C

B B #B C C #$ #

$

# $

3. 4.( (a b a ba ba b a b> #> $ .> @ # .@

> " > #> # @ @ %@ &

#

# # #

5. 6.( ( a b.B C " .CB % C C 'C# $ #

7. 8.( (a b a b$> & .> #@ $

> > > " @ " .@$ #

#

# #

9. 10.( (.B D.DB * D $D %# #

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89

Solucin

1.

( a bB " .B " " #B B #B # ' $

68lBl 68lB #l 68lB "l G$ #

2.(a ba b a b C " .C ""C "(C % $ C

C C # )C C # 68 G

"' C #

$ #

# $ #

3.( a ba ba b> #> $ .>> " > #> # #

#

* # )

"! & "!68l> #> #l E1 > " 68l> "l G# a b

4.( a ba b@ # .@

@ @ %@ &

# #

" @ %@ & $ @ %

#& @ &! "! @ %@ &68 E1 @ # G a b a b

#

# #

5.( .B " "B % % % 68lB #l 68lB #l G# 6.( a bC " .C " $ #

C C 'C ' "! "& 68lCl 68lC #l 68lC $l G

$ #

7.( a b$> & .> " " %> > > " # # > "

68l> "l 68l> "l G $ #

8.

(a b a b#@ $ & @

@ ".@ E1 @ G

# # @ "

#

# # #

9.( .B " B $B * ' B $

68 G #

10.( D.D " %D $D % & &

68lD "l 68lD %l G#

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90

Autoevaluacin

Resuelva las siguientes Integrales

." .>/E1>

" >( #

# .C68 C

C " 68 C( a b#

$ B / .BB( $ $

.% -9= & .( % ! !

& -9>1 $ -9=/- $ .( a b a b# %9 9 9

.' .DD

% D(

$

#

( .BB *B B $( a b#

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91

Solucin

" .>/

" >( E1>

#

? E1 >

.? .>"

" >#

( (/" >

.> / .?E1>

#?

/ G?

/ G E1>

# .C

68C

C " 68 C( a b#

? " 68 C#

.? #68C .C .C" .? 68 C

C # C

( (a b68C " .?C " 68 C ? #.C #

.?" "

# ?( 68 ? G

"

#

68 " 68 C G"

# #

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97/276


92

$ B / .B( $ $B ? B .@ / .B$ $B

.? $B .B @ /"

$# $B

( (B / .B B / B / .B"$

$ $B $ $B # $B

? B .@ / .B# $B

.? #B.B @ /"

$$B

( ( B / .B B / B / B/ .B

" " #

$ $ $

$ $B $ $B # $B $B

( (B / .B B / B / B/ .B" " #$ $ $

$ $B $ $B # $B $B

? B .@ / .B$B

.? .B @ /"

$$B

( ( B / .B B / B / B/ / .B" " # " "

$ $ $ $ $$ $B $ $B # $B $B $B

( (B / .B B / B / B/ / .B" " # #$ $ * *

$ $B $ $B # $B $B $B

( B / .B B / B / B/ G " " # # /$ $ * * $

$ $B $ $B # $B $B$B

( B / .B B / B / B/ / G " " # #$ $ * #(

$ $B $ $B # $B $B $B

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93

% -9= & . ." -9="!

#( ( % #! ! !!

" #-9="! -9= "! ."

%( ! ! )#

. -9="! . ." " " " -9=#!

% # % #( ( ( ! ! ! !!

. -9=#! ." " =/8"! " "

% # "! ) )! ! ! !

! ( ( =/8"! G

" " " " =/8#!

% #! ) ) #!! ! !

!

=/8"! =/8#! G $ " ") #! "'!

! ! !

& -9>1 $ -9=/- $ . -9>1 $ -9=/- $ -9=/- $ .( (a b a b a b a b a b# % # # #9 9 9 9 9 9 9 -9>1 $ " -9>1 $ -9=/- $ .( a b a b a b # # #9 9 9 9 -9>1 $ -9=/- $ . -9>1 $ -9=/- $ .( (a b a b a b a b

# # % #9 9 9 9 9 9

? -9>1 $a b9

.? $-9=/- $ . -9=/- $ ..?

$# #a b a b9 9 9 9

( ( (a b a b -9>1 $ -9=/- $ .A ? ? .? .?$ $

# % # %9 9

? .? ?" "$ $( (# %

G " ? " ?

$ $ $ &

$ &

-9>1 $ -9>1 $ G " "

* "&$ &a b a b9 9

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94

'(D% D .D$

#

% D % " =/8

D D

% #

##

!

% " D #=/8D

# # !

.D #-9= .! !

( ( D D

% D.D .D

% " D

#

$ $

# #

#-9= .#=/8

# " =/8( a b a b! ! ! !

$

#

)=/8 #-9= .

#-9=( $! ! !

!

) =/8 .( $! !

) " -9= =/8 .( #! ! ! ) =/8 . ) -9= =/8 .( (! ! ! ! !#

)-9= -9= G )$

! !$

) G % D ) % D

# $ #

# # $

% % D % D % D G "

$ # ##

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100/276


95

( .BB *

B B $( a b#

B * E F G

B B $ B $

B B $a b a b# #

E B $ FB B $ GB

B B $

a b a ba b

#

#

B E F B 'E $F G *E

B B $

#

#

a b a ba b

E F ! 'E $F G " *E * E " F " G #

( ( ( ( a b a bB * " " #

B B $ B $.B .B .B .B

B B $# #

68 B 68 B $ # B $ .B (a b#

68 B 68 B $ # G B $

" a b"

68 B 68 B $ G #

B $

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UNIDAD N2

INTEGRAL

DEFINIDA

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Integral Definida

Interpretacin de la integral definida:

Sea una funcin continua en el intervalo [ ], cuya grfica es:C 0 B + ,a b

x

y

a b

y = f(x)

A

Sea una regin del plano comprendida entre la funcin , el eje , lasE C 0 B Ba b

rectas yB + B ,

Nuestro inters esta en el siguiente problema:

Como calcular el rea de la regin achurada en los lmites planteados:E

x

y

a b0

y = f(x)

A

A

y

x

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97

Para evaluar el rea bajo la curva se realiza el siguiente proceso:

1.Dividir el intervalo [ ] en un cierto nmero de subintervalos, no+ , 8necesariamente iguales. Sea los punto de subdivisin

a=x0 x1 x2..... xi-1 xi....... xn-1 xn=b

x

y

a b0

y = f(x)

A

y

x

y = f(x)

......... .........

donde: + B B B B B B B ,

! " # 3" 3 8" 8

- Los intervalos la misma longitudno tienen necesariamente - El primer intervalo esta dado por: tal que: B B + B aB B B B

! " ! ! "

- Longitud de cada subintervalo es:

para el 1 subintervalo B B" " !

er

para el 2 subintervalo B B# # " do para el 3 subintervalo B B$ $ #

er

para el 4 subintervalo B B% % $

to

para el -simo subintervalo B B 33 3 3" para e

2002 Calculo 2

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