[2004-1] final 1 [A]
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SEMESTRE 2004 - 1
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS PRIMER EXAMEN FINAL COLEGIADO
ÁLGEBRA LINEAL
9 DE DICIEMBRE DE 2003
TIPO “A”
INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente el enunciado de cada uno de los 7 reactivos que componen el examen antes de comenzar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2.5 horas.
1. Determinar si el conjunto ,a b
S ab a
= −
b∈
∀ ∈
es un espacio vectorial sobre , con las leyes de
composición de adición y de multiplicación por un escalar definidas por ,
;
A B AB A B Sa b a b a b
Sb a b a b a
α αα α
α α
+ = ∀ ∈
= ∀ ∈ − − −
En caso afirmativo dar el vector cero (elemento idéntico). En caso negativo indicar todos los axiomas que no se cumplen. Considere que se cumplen los siguientes axiomas:
( ) ( ) , , ;( ) ( )
A B SA B C A B C A B C S
A A
+ ∈+ + = + + ∀ ∈ ∀ ∈
=α
α β αβ
16 puntos
2. Sea el conjunto G x . Determinar el conjunto de valores de m para que G sea un conjunto generador de un espacio vectorial V tal que dim V = 2. Además, obtener el elemento genérico de V.
{ 2 2 22, 1, 2 1x x mx x= + + − + + } ∈
13 puntos
3. Enunciar todas las condiciones que debe cumplir una función para ser producto interno e investigar si la función definida por
2 2:f × →
2
1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2( , ) 2 4 ( , ), ( , )f x y x y x y x y x y x x x y y y= − − + ∀ = = ∈
satisface la condición relativa a una pareja de vectores iguales, es decir, ( , )f x x . 14 puntos
2-A
4. Sean M2 el espacio vectorial real de las matrices de orden dos y ,0a b
a b
= ∈ + W a un
subespacio de M
b
2 y sea el producto interno en M2 definido por
a b m nam bn cp dq
c d p q
= + + +
Obtener el complemento ortogonal W de W. ⊥
14 puntos 5. Sea la transformación T definida por 3: →
( , , ) 2 1T x y z x= +
a) Obtener el núcleo y el recorrido de T. b) ¿Es el núcleo de T un subespacio de ? Explicar su respuesta. 3
13 puntos
6. Sea V el espacio vectorial de las funciones reales de variable real derivables en el intervalo [ y sea
la transformación T V definida por ]0, 2
2: →
( )( )( ) ´ 1 , (0)T f f f=
donde es la derivada de f valuada en uno y es la función valuada en cero. Determinar si la transformación T es lineal.
( )´ 1f (0)f f
14 puntos
7. Sea el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a dos y sea el operador lineal
definido por 2P
2 → 2P:T P2 2( ) ( )T ax bx c a b x bx b c+ + = + − + +
Determinar: a) Una matriz M asociada al operador T. b) Los espacios característicos del operador T. c) Una base tal que la matriz referida a ella sea diagonal.
16 puntos
Solución del Primer Examen Final Colegiado Álgebra Lineal Semestre: 2004-1
1. S no es un espacio vectorial pues no se cumple el axioma referente a la existencia de
elementos inversos ni los axiomas:
( ) y ( )A B A B A A A+ = + + = +α α α α β α β
2. 27 , ( ) 2 32
m p x ax bx a= = + + b−
3. Las condiciones que debe cumplir una función para ser un producto interno
son:
2 2:f × →
i) ( , ) ( , )f u v f v u= ii) ( , ) ( , ) ( , )f u v w f u v f u w+ = + iii) ( ) (f u f u=α α ) iv) ( , ) 0 0f u u si u> ≠
4. ,d d
W cc d
⊥ − − = ∈
d
5. 3
1( ) , , ,2
( )
N T y z y z
T
= − ∈
=
6. T es lineal.
7. a) M T 1 1 0
( ) 0 1 00 1 1
AB
= −
b) 1 1 0
( ) 0 1 0 (1 )( 1 )(1 )0 1 1
P−
= − − = − − − −−
λλ λ λ λ
λ0=λ
+
a) Una base de { }2 22 ,1, 2 1P x x x= −