Instituto de Física Universidad de Antioquia

Colisiones rebotes sucesivos

Objetivo

Determinar el coeficiente de restitución inelástica de una pelota al rebotar contra el suelo.

Equipo

• Pelota• Regla de 1 m• Cronómetro

• Computador• Interfaz gráfica

Montaje

Marco Teórico

Introducción

Alguna vez se ha preguntado ¿cuánto tiempo tarda una pelota en dejar de rebotar al ser soltada desde una cierta altura? La solución a esta interrogante involucra los temas de caída libre y colisiones elásticas, lo que incluye los conceptos de rapidez, aceleración de la gravedad y coeficiente de restitución. Así, la rapidez con la que rebotará la pelota dependerá del valor de la rapidez con la que llegue al suelo y del coeficiente de restitución entre la superficie y la pelota. En una colisión perfectamente inelástica el coeficiente de restitución será igual a cero y la pelota

Por: Lucelly Reyes

se quedará adherida al suelo después del primer rebote. En una colisión perfectamente elástica, el coeficiente de restitución será igual a uno, por lo que la pelota rebotará con la misma rapidez que con la que llegue al suelo, siguiendo este movimiento indefinidamente. Si el coeficiente de restitución se encuentra entre cero y uno, que es la mayor parte de las colisiones, la rapidez de la pelota irá disminuyendo en cada rebote hasta que se detenga. De esta forma, el tiempo que tarde la pelota en dejar de rebotar será igual a la suma de los tiempos que tarda la pelota en cada rebote. Esta suma corresponde a una suma infinita, la cual está identificada con una expresión particular.

Se deduce tal expresión y se muestra una simulación del movimiento de la pelota al ser soltada desde una altura determinada. Para comparar los resultados, la simulación muestra el tiempo calculado a través de la expresión deducida y el tiempo utilizado en la simulación. El movimiento del objeto se considera en dos direcciones y sin rotación, al igual que se desprecia la fricción provocada por el aire.

Colisiones

Se emplea el término de colisión para representar la situación en la que dos o más partículas interaccionan durante un tiempo muy corto. Se supone que las fuerzas impulsivas debidas a la colisión son mucho más grandes que cualquier otra fuerza externa presente.

El momento lineal total se conserva en las colisiones. Sin embargo, la energía cinética no se conserva debido a que parte de la energía cinética se transforma en energía térmica y en energía potencial elástica interna cuando los cuerpos se deforman durante la colisión.

Se define colisión inelástica como la colisión en la cual no se conserva la energía cinética. Cuando dos objetos que chocan se quedan juntos después del choque se dice que la colisión es perfectamente inelástica. Por ejemplo, un meteorito que choca con la Tierra.

En una colisión elástica la energía cinética se conserva. Por ejemplo, las colisiones entre bolas de billar son aproximadamente elásticas. A nivel atómico las colisiones pueden ser perfectamente elásticas.

La magnitud Q es la diferencia entre las energías cinéticas después y antes de la colisión. Q toma el valor de cero en las colisiones perfectamente elásticas, pero puede ser menor que cero si en el choque se pierde energía cinética como resultado de la deformación, o puede ser mayor que cero, si la energía cinética de las partículas después de la colisión es mayor que la inicial, por ejemplo, en la

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explosión de una granada o en la desintegración radiactiva, parte de la energía química o energía nuclear se convierte en energía cinética de los productos.

Coeficiente de restitución

Se ha encontrado experimentalmente que en una colisión frontal de dos esferas sólidas como las que experimentan las bolas de billar, las velocidades después del choque están relacionadas con las velocidades antes del choque, por la expresión

donde e es el coeficiente de restitución y tiene un valor entre 0 y 1. Esta relación fue propuesta por Newton y tiene validez solamente aproximada. El valor de uno es para un choque perfectamente elástico y el valor de cero para un choque perfectamente inelástico.

El coeficiente de restitución es la razón entre la velocidad relativa de alejamiento, y la velocidad relativa de acercamiento de las partículas.

Rebote en el suelo

Cuando una pelota rebota sobre un tablero rígido, la componente de la velocidad perpendicular al tablero disminuye su valor, quedando la componente paralela inalterada

vx = ux

vy = -e·uy

Alturas de los sucesivos rebotes

Supongamos que una pelota se deja caer desde una altura inicial h. Vamos a calcular las alturas de los sucesivos rebotes.

3 Por Lucelly Reyes

Primer rebote

La velocidad de la pelota antes del rebote se calcula aplicando el principio de conservación de la energía

ghttghumumgh 22

21

1_012 ====

La velocidad de la pelota después del rebote es (en módulo) uev =1

La pelota asciende con una velocidad inicial v1, y alcanza una altura máxima h1

que se calcula aplicando el principio de conservación de la energía

teghetheh

eghumghmv 222

221 2

2_12

121

1211

=====

Segundo rebote

La velocidad de la pelota antes del rebote se calcula aplicando el principio de conservación de la energía. La velocidad de la pelota después del rebote es (en módulo) 1

212 ueevv == .

La pelota asciende con una velocidad inicial v2, y alcanza una altura máxima h2

que se calcula aplicando el principio de conservación de la energía

4 Por Lucelly Reyes

24

3_24

222

1222 222

221 te

ghetheh

eghvmghmv =====

Rebote n

Después del rebote n, la altura máxima que alcanza la pelota es

heh nn

2=

El tiempo total es. ...3_22_11_0 +++= tttttotal

El tiempo total tras infinitos rebotes es la suma de t y los términos de una progresión geométrica cuyo primer término es 2te y cuya razón es e.

[ ] [ ]...221...2212...22222 2242

+++=+++=+++= eeteegh

ghe

ghe

ghttotal

La serie 1332 ...1 −++++++ neeeee es una serie geométrica que como 0<e<1

converge a e−1

1 finalmente el tiempo total de los rebotes queda.

[ ]

−+=

−+=

−+=+++=

eet

eett

eteteetttotal 1

11

21

12...221 2

Si a la pelota se le proporciona una velocidad inicial horizontal vx. Después de infinitos rebotes se desplaza una distancia horizontal x=vx·ttotal

Pérdida de energía que experimenta la pelota

En el primer robote, la pelota pierde una energía

En el segundo rebote, la pelota pierde una energía

5 Por Lucelly Reyes

En el rebote n la pelota pierde una energía

La suma de ΔE1+ ΔE2+ ΔE3+…. ΔEn es la energía perdida por la pelota después de n rebotes. Después de infinitos rebotes la pelota habrá perdido toda su energía inicial mgh.

Medida del coeficiente de restitución e y la aceleración de la gravedad g.

El tiempo tn que pasa la pelota en el aire entre dos sucesivos choques con el suelo es

nn tet 2=

Tomando logaritmos

ln tn=n·lne+ln(2t)

Si representamos gráficamente ln tn en función de n obtenemos una línea recta, cuya pendiente es el coeficiente de restitución e, y cuya ordenada en el origen es ln(2t)

Midiendo la ordenada en el origen obtenemos 2t

ght 82 =

conocida la altura h a la que se ha dejado caer inicialmente a la pelota despejamos la aceleración de la gravedad g.

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Experimento

1. Abra la interfaz del laboratorio

2. Sosteniendo la pelota con el brazo estirado, lo más alto posible, suéltela al mismo tiempo que dispara el cronómetro. Registre la altura y el tiempo que la pelota tarda en caer al suelo (t). Repita la operación unas cinco veces.

3. Tome el valor promedio de sus medidas y calcule su error estadístico.

4. Repetimos el experimento registrando ahora el tiempo desde que se suelta la pelota hasta que ésta da el segundo bote (t1). Nuevamente realizamos unas diez medidas, se toma el promedio con su correspondiente error estadístico.

5. Hacemos lo mismo para medir los tiempos al tercer (t2), cuarto (t3), quinto (t4), etc., rebotes. Dependiendo de la pelota y las condiciones del suelo, se pueden registrar hasta diez rebotes.

6. utilice la simulación para hacer cálculos de error

Cálculos

1. Con los tiempos promedio, calcule los intervalos de tiempo entre rebotes sucesivos.

2. Determine el valor de e calculándolo de cada par de intervalos sucesivos. Saque el promedio de los valores obtenidos con su

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correspondiente error estadístico. Repita sus cálculos tanto para el tiempo como para la altura.

3. Haga una gráfica de ln(∆tn) en función de n. y determine el valor de e. Ajuste la grafica a una línea recta, determine la incertidumbre del coeficiente de restitución e.

4. Haga una gráfica de ln(hn) en función de n. y determine el valor de e. Ajuste la grafica a una línea recta, determine la incertidumbre del coeficiente de restitución e.

5. Calcule la aceleración de la gravedad g.6. Compare sus datos simulados y los medidos del 3 choque con el suelo.

Por ejemplo la altura máxima que alcanza la pelota, el tiempo que tarda en alcanzar dicha altura y la energía de la pelota.

7. Calcule el tiempo total y compare con el valor esperado 8. Comparar la energía que se pierde en los sucesivos choques con los

valores esperados.

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