2010-1 Una Aproximación Analítica a las Mallas Reciprocas Diseñadas por Leonardo

8/7/2019 2010-1 Una Aproximacin Analtica a las Mallas Reciprocas Diseadas por Leonardo

1/10

Inormes de la ConstruccinVol. 62, 518, 5-14,abril-junio 2010

ISSN: 0020-0883eISSN: 1988-3234doi: 10.3989/ic.09.032

Fecha de recepcin: 24-06-09Fecha de aceptacin: 24-09-09

Una aproximacin analtica a las mallasrecprocas diseadas por Leonardo

Reciprocal rames designed by Leonardo. An analytical

approach

J. Snchez (*), F. Escrig(**), M T. Rodrguez(***)

(*)Pro. titular de la Escuela de Arquitectura de Sevilla, Sevilla (Espaa)

Persona de contacto/Corresponding author: [email protected] (J. Snchez)

(**)Catedrtico de la Escuela de Arquitectura de Sevilla, Sevilla (Espaa)(***)Proesora contratada de la Escuela de Arquitectura de Sevilla, Sevilla (Espaa)

RESUMEN

Ya resulta tpico reerirse a Leonardo cada vez

que tocamos algn tema de arte, ciencia o tcni-

ca puesto que en sus escritos siempre podemos

encontrar aspectos que nadie estudi antes ni,

en muchos casos, nadie explot despus. Esto

se explica porque sus manuscritos no ueron pu-

blicados hasta cinco siglos despus. Sus obser-

vaciones respecto al diseo de estructuras son

menos conocidas y son tambin las menos estu-

diadas. Realmente sus principales aportaciones

se contienen en el Cdice I de Madrid, y menosen el Cdice II de Madrid, algunas otras, ms

generales, en el Cdice Atlntico. Sus otros cua-

dernos de notas no tratan de estas cuestiones.

En sus dibujos, Leonardo maniest una obse-

siva bsqueda de soluciones para cubrir gran-

des luces con piezas cortas. En sus Cuadernos

encontramos diagramas de muchas variantes

para construir cubiertas, orjados y puentes que

pudieran salvar grandes luces con piezas mane-

jables y disponibles. En este artculo se analizan

con los actuales programas de clculo cmo

uncionan sus propuestas y establecemos algu-

nas conclusiones.

SUMMARY

It is a topic to reer Leonardo when we introduce

any branch o the art, science o technique

because his manuscripts ever contain news that

beore him never where explored, nor proted

even later. This can be understood because

these manuscripts never where published till ve

centuries later. Observations reerred to design o

structures are the less known and otherwise the

less studied. Really the most important problems

about this subject are contained in the Codex I

o Madrid, some in the Codex Atlantic, and lessin the Codex II o Madrid. Other books do not

reer these questions. Leonardo, in his drawings,

maniested an obsessive search or solutions to

the problem o how to span great distances with

short pieces. In his notebooks, we nd reiterative

diagrams which seem to be searching or variants

o rames capable o constituting structures,

mainly roos, foors and bridges, which could

cover large distances by using manageable pieces

that could easily be supplied. In this paper we

analyze with actual computer programs how his

proposals could be achieved and we establish

some conclusions about it.

Palabras clave: estructuras histricas, estructu-

ras de rpido montaje, estructuras recprocas,

estructuras de madera, estructuras de acero.

Keywords: historic structures, rapidly erected

structures, reciprocal structures, wood structures,

steel structures.

403-21


2/10

6 Inormes de la Construccin, Vol. 62, 518, 5-14, abril-junio 2010. ISSN: 0020-0883. eISSN: 1988-3234. doi: 10.3989/ic.09.032

J. Snchez, F. Escrig, M T. Rodrguez

1. DISEAR ESTRUCTURAS PARA SALVAR

GRANDES LUCES CON PIEZAS CORTAS

Leonardo, en sus dibujos, demostr unabsqueda obsesiva de soluciones para salvargrandes luces con piezas cortas. En sus cua-dernos encontramos esquemas que reiterany buscan variantes para mallas susceptiblesde ser estructuras que puedan cubrir gran-des superfcies utilizando piezas manejablesy de cil provisin, principalmente techum-bres, orjados y puentes. Probablemente lno pas de dibujar sus invenciones y no las

tante experimentalmente, pero resolvitodos los detalles como si realmente ueraa construirlas. Vamos a desarrollar algunasde estas aplicaciones a la luz de los conoci-mientos que tenemos ahora mismo. Es biensabido que Leonardo conoca muchos in-ventos anteriores al respecto contenidos ennumerosos tratados antiguos y contempor-neos (3). Trabaj en Siena, Miln y Florenciadurante el periodo de sus grandes construc-ciones. Estuvo en contacto con la escuelasienesa de ingeniera cuyo mximo expo-nente, Giorgio Martini, escribi y public untratado, Trattato di Archittetura, Ingeniera yArte Militar (9), que diundi el estado delarte a travs de magnfcas lminas. Tambintrabaj en el Duomo de Miln, y se conservaun ingenioso dibujo para levantar el cimbo-rrio de su catedral (Figura 1) (7 y 10). Tambin

conoca los inventos de Brunelleschi para laconstruccin de la Cpula de Santa Mara delas Flores que, aunque nunca ueron publi-cados, circulaban como material de trabajoen todos los gabinetes de proyecto. Ademslos Diez Libros de Arquitectura de Albertieran una reerencia obligada, poco detalladaa nivel de soluciones concretas, pero muysugerente a nivel general. Tal vez no cono-ciera en particular otras reerencias medie-vales como las de Villar de Honnecourd ensu Livre de portraiture (15). Pero es sabidoque sus soluciones ya ormaban parte del re-pertorio de los arquitectos e ingenieros del

momento (Figuras 2 y 3).

No es extrao por tanto que Leonardo hicieravariaciones sobre los temas que poda consul-tar y conocer y que no uera absolutamenteoriginal a la hora de concebir sus soluciones.Su idea, en muchos casos era la de redibujary mejorar. Se expresaba mucho mejor en losdibujos que en la ejecucin, al menos en suspropuestas de ingeniera y arquitectura.

Tal vez no hayan llegado a nosotros los en-cargos directos que l trat de resolver ensus dibujos y que por tanto sus propuestasno ueran diletantes sino de aplicacin prc-tica ya que sorprende la precisin y el deta-lle de las soluciones concretas. En cualquiercaso, vamos a estudiar varios ejemplos enque aplic esta capacidad inventiva.

2. PUENTE PARA MONTARSE

RPIDAMENTE CON TRONCOS

SIN PREPARAR

En el Cdice Atlntico (Folio 22 recto) (7) po-demos encontrar un puente construido controncos con el que se supone que Leonardo

pretenda dar una solucin sencilla, econ-mica y rpida para salvar obstculos de pe-queos ros y cauces (Figura 4). Es una ideamuy inteligente y efcaz basada en construc-ciones contemporneas como las mostradas

1. Estudios para la construccin delcimborrio de la Catedral de Miln.Folio 310r-b del Cdigo Atlntico.

2. Pgina 39 del Cuaderno de Villardde Honnecourt.

2

1


3/10

7Inormes de la Construccin, Vol. 62, 518, 5-14, abril-junio 2010. ISSN: 0020-0883. eISSN: 1988-3234. doi: 10.3989/ic.09.032

Una aproximacin analtica a las mallas recprocas diseadas por Leonardo

Reciprocal frames designed by Leonardo. An analytical approach

3. Pgina 45 del Cuaderno de Villardde Honnecourt.

4. Dibujo en el Folio 22 recto delCdice Atlntico.

5. Puente de la dinasta Song del

Quingming Festival en el ro Pien.

6. Proyecto Nova dirigido por Bas-har Altagga para la televisin ameri-cana, que intenta recrear el Puentedel Arco Iris. Utiliza elementosmetlicos que no aparecieron ni enel original chino ni en la propuestade Leonardo.

3

5

en la Figura 6, pero mucho ms avanzaday denida grcamente. Contamos con unprecedente chino del siglo XII, el Puente delArco Iris, construido realmente con esa mis-ma idea (Figura 5) (16) y con muchas rpli-cas a travs del tiempo hasta nuestros das.Conoca Leonardo este precedente? Resultadicil pensar que no, dada la enorme simi-litud de la solucin aunque l hizo ms hin-capi en las soluciones constructivas que enla idea en s, que parece admitir como ajena.Realmente lo complicado es saber cmo po-ner en pie ese conjunto de piezas de una or-ma ordenada y que uncione y eso es lo queprecisa en varias secuencias de su dibujo dela Figura 4. En eecto, en la parte izquierdadel dibujo y de arriba abajo, puede verse pri-mero la alineacin de troncos longitudinalesy sus travesaos dispuestos en las emboca-duras de las terminaciones antes de clavarlosen ellas. Todo este sistema plano est atadocon cuerdas para poder empujarlo hacia elcauce y ser auxiliado con trpodes provisio-nales dentro de l. Luego viene el izado portramos, y en cada izado se va empujandohacia el interior el tronco transversal de esetramo. Tramo a tramo el puente cobra alturapor s mismo y, si se empieza desde el cen-

tro, se pueden ir retirando los trpodes provi-sionales de dentro a uera. Slo alguien quepiensa en construirlo puede planterselo deese modo. En esta breve pgina hay conteni-da toda una leccin de tcnica y ningn es-bozo es ocioso. La habilidad como dibujantequeda patente en la acilidad con que dejaclara constancia de las piezas que se cruzany de las que pasan por delante o quedan de-

4

6

trs, sin que haya conusin, es ms, parecequedar claro que no necesita ataduras unavez terminado el levantamiento y que, conun correcto estribado, ninguna pieza puedeya salir de su posicin (Figura 7).

Los intentos recientes por reproducir elPuente de Leonardo o su precedente orien-tal (Figuras 4 y 5) no conaron en la solu-cin sin ataduras de Leonardo y han preeri-

do asegurarse con tornillos en los cruces debarras (1).

Podemos pensar que Leonardo invent elsistema sin reerencias pero parece muy im-7

7. Distintos pasos para levantar elPuente de Leonardo.


4/10



probable ya que los relatos de viajeros quevenan sobre todo de Oriente estimularon laimaginacin de los arquitectos como estbien documentado. Lo que sucede es queel mismo puente del Arco Iris, de la dinastaSong, tampoco tuvo secuelas conocidas nien su pas y en el siglo XV ya no exista sal-vo en el rollo de seda dibujado por ZhangZeduan, artista del siglo XII, en una de laspanormicas ms impresionantes del artechino, que se conserva en el museo de Bei-jing con el nombre de Quingming Festivalsobre el ro Pien (Figura 5) (16).

Aunque la Figura 4 contiene el proyecto msdesarrollado, Leonardo hizo numerosos es-bozos en otros cuadernos hasta llegar a lasolucin. (Figuras 8 a 10) (7 y 8).

Las dicultades para resolver estas solucio-nes le hicieron preerir desarrollar con msdetalle la propuesta de la Figura 4. Nuncahizo anlisis del uncionamiento estructu-ral, en parte porque no conoca mucho declculo vectorial y en parte porque se noera el tema que ms le preocupaba. En otrasocasiones s se preocup de estos aspectosanalticos (4, 12 y 13).

8

9

10

8. Puente dibujado en el Folio 45recto del Cdice de Madrid I.

9. Puente dibujado en el Folio 46recto del Cdice de Madrid I.

10. Puente dibujado en el Folio 183recto del Cdice de Atlntico.

El anlisis que hemos planteado nosotros haencontrado ciertas dicultades en la mode-lizacin de esas conexiones simplementeapoyadas y barras pasantes que slo hemospodido solventar mediante un anlisis de se-gundo orden para alcanzar soluciones cohe-rentes ((5). Mediante el programa SAP 2000hemos partido de la Figura 11 en donde lostroncos transversales se han sustituido porbarras de conexin articulada. En la Figura12 podemos ver el esquema analtico conbarras de 5 m de longitud y 40 cm de dime-tro, lo que resulta geomtricamente en unaluz salvada de 14,50 m.

En la Figura 13 se muestra el esquema demomentos fectores debidos a peso propiocon cargas aplicadas en nudos, mientras queen la Figura 14 se muestran los momentos

fectores para una combinacin de peso pro-pio y cargas asimtricas de 2 t por nudo.

En la Figura 15 se muestra la deormada de-bida a esta ltima combinacin.Los extremos estn articulados en ambos ca-sos y el estudio que hemos hecho es plano.El puente est realizado con troncos de 5 mde longitud y 40 cm de grueso.

3. CUBIERTAS Y FORJADOS

Otro problema en el que Leonardo invirti

mucho esuerzo es en el anlisis de cubiertasy orjados resueltos con piezas cortas, mscortas que el vano a cubrir. Como en el casoanterior, ya Villard de Honnecourt (Figura 3)haba representado en su cuaderno de notassoluciones para este problema. Esta solucinen el uturo se llamara orjado serliano, apesar de ser simplemente un autor de divul-gacin. Es realmente Leonardo quien planteaprimero el problema con absoluta generali-dad. Sus primeros esquemas son muy ele-mentales y se basan en las soluciones cono-cidas (Figura 16).

Los investigadores y diseadores actualeshan acuado el trmino estructuras recpro-cas a stas que se sostienen unas a otras enorma circular simple o generalizada (11).

En la Figura 17 podemos ver un modelo rea-lizado en madera y en la Figura 18 el anlisisde los momentos fectores en t x m debidosal peso propio con barras de 6 m de longitudy secciones que se indican en el dibujo.

Desde un punto de vista estructural estospatrones dibujados por Leonardo parecenimposibles para su uncionamiento. Parecendemasiados cabalgamientos en also paraque la transmisin uncione. Pero los mode-los sicos y analticos conrman no slo queuncionan, sino que lo hacen con gran e-


5/10




12

13

14

15

16

17

18

19

ciencia. En las siguientes pginas, las Figuras20 y 21 muestran ejemplos construidos delos mismos.

En la Figura 20 vemos el modelo que desa-rrolla el dibujo A1 de la Figura 19. Se trata dedividir en tres partes la barra tipo y apoyarlas piezas entre s como se indica. Si hace-mos en el extremo de las barras una muescacomo la que se ve en la Figura 17 el desa-rrollo nal ser plano. Sin embargo, si laspiezas apoyan considerando todo su grueso,la orma nal se curvar en dos direccionescomo se ver en un anlisis que haremosms adelante.

En la Figura 21 se muestra otro patrn queLeonardo dibuja mucho menos ntidamenteen el mismo olio a la izquierda del patrnsealado como B1 en la Figura 19. Es unateselacin a base exclusivamente de cuadra-dos de dos tamaos dierentes.

El planteamiento analtico de las estructurasbasadas en estos patrones se ha hecho conlas simplicaciones necesarias para la de-nicin geomtrica. A saber:

11. Maqueta en donde se apre-cia el montaje de la propuesta deLeonardo.

12. Esquema estructural del puentede Leonardo.

13. Diagrama de lectores debidoa cargas simtricas aplicadas ennudos.

14. Diagrama de lectores debidoa cargas asimtricas aplicadas ennudos.

15. Diagrama de desplazamientosdebidos a cargas asimtricas.

16. Dibujos en el Folio 49 verso delCdice de Madrid I.

17. El modelo realizado en maderadel modelo de Leonardo.

18. Anlisis del uncionamiento del

modelo de la Figura 17.19. Cdice Atlntico Fol 328 versodonde podemos ver distintos patro-nes de mallas recprocas.

11


6/10



20 y 21. Modelos de los patronesdibujados por Leonardo en la Fi-gura 19.

22 y 23. Modelo de la Figura 13 A1y resultados de momentos lectoresobtenidos por el Mtodo de Elemen-

tos Finitos.

24 y 25. Modelos para comparar lospatrones rectangulares de Leonardocon un emparrillado convencional.

26 y 27. Diagrama a escala de losmomentos lectores representadosen la Tabla I.

28. Modelo sico construido con elpatrn de la Figura 19 B1.

29. Resultados obtenidos en mo-mentos lectores para el modelo pla-no con las mismas simpliicacionesque hicimos en los modelos de lasFiguras 20 y 21.

20 21

22 23

Las barras tienen 3 m de longitud y los

24 25

26 27

puntos de apoyo se sealan a 1 m. Consideramos las acciones de peso propio

aplicadas en los nudos. Los apoyos de unas barras en otras son ar-

ticulados. El modelo es, por tanto, plano.

En las Figuras 22 y 23 se muestra el esquemade los momentos fectores resultantes consi-

derando exclusivamente el peso propio paralos patrones de las Figuras 20 y 21.Si comparamos los resultados de un orjadocomo el de la Figura 24 con uno conven-

cional representado en la Figura 25, con lasmismas dimensiones globales y pesos totalesobtenemos los resultados refejados en la Ta-bla I. En momentos fectores la dierencia esdel 30% mientras que en fechas es del 25%

28 29


7/10




TABLA I: Figuras 24 y 25 9x9 m2 Peso propio PP+Sobrecarga

Long. total Peso total Espesor Flecha 200 kg/m2Momento

flector

m Ton mm m m Ton x mFigura 24

#200X100 e.6 mm 88 2,3871 6 0,01 0,07 2,8Figura 25

#200X100 e.4.66 mm 112 2,3816 4,66 0,007 0,05 1,54

Tabla I

Comparacin entre el comportamiento de las estructuras de las Figuras 24 y 25

Tabla II

Comparacin entre el comportamiento de las estructuras de las Figuras 30 y 31

TABLA II: Figuras 30 y 31 Barras 3 m Peso propio PP+Sobrecarga

Long. total Peso total Espesor Flecha 200 kg/m2Momento

flector

m Ton mm m m Ton x mFigura 30

#200X100 e.6 mm 90 2,8652 6 0,0068 0,061 4,6Figura 31

#200X100 e.3.105 mm 174 2,865 3,105 0,0058 0,047 2,5

para unos emparrillados que, en conjunto,pesan lo mismo.

En cuanto al patrn obtenido con mallastriangulares (Figura 19 B1) las conclusionesobtenidas son parecidas. En la Figura 28 ve-

mos un modelo construido y en la Figura 29una distribucin a escala de los momentosfectores debidos a carga en nudos para unmodelo plano.

Si comparamos los resultados de un orjadocomo el de la Figura 30 con un emparrilladotriangular convencional representado en laFigura 31, con las mismas dimensiones glo-bales y pesos totales obtenemos los resulta-dos refejados en la Tabla II. En momentosfectores la dierencia es del 46% mientrasque en fechas es del 30% para unos empa-rrillados que, en conjunto pesan lo mismo.En este caso los resultados de la disposicinen hexgonos es menos ecaz que la dispo-sicin en rectngulos, para el mismo pesototal y para una estructura plana.

Las Figuras 32 y 33 muestran la compara-cin de momentos fectores de los dos casosde la Tabla II representados a escala.

4. CONSIDERACIONES SOBRE LAS

BARRAS CON ESPESOR

Si consideramos que las piezas no estnconectadas a eje sino que se apoyan a carasuperior y que, por tanto, toman la ormacorrespondiente a una supercie curva, talcomo se aprecia en el modelo de la Figura 21

el modelo analtico cambia y los resultadostambin lo hacen de una manera radical, so-bre todo si articulamos los nudos de borde yno les permitimos el desplazamiento.

Si comparamos los resultados de un mode-

lo espacial (Figura 34, pg. siguiente) comoste con uno plano (Figura 35, pg. siguien-te) encontramos grandes dierencias, ahoraa avor del modelo de Leonardo, ya que seintroducen axiles en barras para la transmi-sin de uerzas.

En las Figuras 36 y 37, pg. siguiente, pode-mos ver, comparativamente la dierencia enlos valores de los momentos fectores. Mien-tras que en la primera el momento fectormximo es de 0,29 t x m, en la segunda

30 31

32 33

30 y 31. Modelos para comparar lospatrones triangulares de Leonardocon un emparrillado convencional.

32 y 33. Diagrama a escala de losmomentos lectores representadosen la Tabla II.


8/10



llegamos a 3,17 t x m para peso propio. Es-tamos considerando barras del mismo pesoen ambos casos. Las acciones consideradasson 150 kg/ml por barra aplicada como car-ga continua.

En la Figura 38 vemos el resultado de losesuerzos axiles para el modelo espacial yno se compara con el modelo plano porqueste no los genera.

5. OTROS MODELOS DE LEONARDO

En el mismo dibujo de la Figura 19 y en losesbozos sealados como C1 y C2 Leonardopropone ejecutar una plataorma de gran ri-gidez basada en los mismos principios quesus puentes pero con barras curvadas. Esta

plataorma est construida en el modelo dela Figura 39 y, aunque parece de una geome-tra elemental tiene una cierta complejidadque se ilustra en la Figura 40.

La pregunta, al igual que en los otros casosvistos anteriormente es si esta construccintiene ecacia estructural en comparacincon los diseos convencionales que se leaproximan en orma. Para ello planteamos lacomparacin adecuada.

Sea la estructura de la Figura 41 la que pue-de asimilarse a un modelo plano equivalentey vemos en la Figura 42 dos modelos anal-ticos, el A reerido a una cercha trianguladaconvencional y el B a la propuesta de Leo-nardo. En ambos modelos el aspa signicanudo rgido y el crculo articulacin. Las ba-

34

34. Modelo curvo, barras apoyadasa cara superior.

35. Modelo plano, barras conec-tadas a eje.

36. Momentos lectores para el

modelo espacial de Leonardo.

37. Momentos lectores para elmodelo plano.

35

36

rras que se cruzan sin smbolo son pasantes.Ntese que en algunos nudos hay barras quepasan continuas y otras que se articulan enese nudo.

El clculo que hemos realizado para estable-cer la comparacin se ilustra en la Tabla III ylas Figuras 43 y 44, pgina 14. Las seccionesde barra consideradas son #100x100 e.6 ylas cargas son las de la hiptesis de peso pro-pio y la de 200 kg verticales en cada nudo.Un extremo de la viga tiene los apoyos des-lizantes. La longitud total de las cerchas esde 7,5 m.

Como se aprecia en la Tabla III los despla-zamientos de la cercha de Leonardo son un58% superiores a los de una viga conven-cional con respecto a los desplazamientos

pero desarrolla unos esuerzos axiles pareci-dos (Figura 43). Los momentos tambin sonparecidos en la zona central, que es la querealmente sirve de comparacin (Figura 44).

Las plataormas de las Figuras 39 y 40, re-sueltas con barras curvas cortas se compor-tan, como hemos visto con una gran ecaciay son un modelo til para aplicaciones es-tructurales.

6. CONCLUSIONES

Todos los patrones estudiados en el artcu-lo estn extrados de dibujos de Leonardo yllama la atencin que, pese a los numerososestudios que recientemente han desarrolla-do los conceptos de reciprocidad o cabal-gamiento, son muy pocas las aplicacionesprcticas.

En algunas de nuestras aplicaciones arqui-tectnicas hemos hecho usos de estos cono-cimientos de Leonardo para denir estructu-ras modulares, es decir, conjuntos realizadoscon piezas pequeas para constituir grandesconjuntos. Vayan como ejemplo los conteni-

dos en (6). (Figuras 45 y 46, pgina 14). He-mos intentado justicar que las aplicacionesestructurales son posibles y que la versatili-dad es inmensa. Para ampliar esta inorma-cin desde el punto de vista conceptual (2).

Tal vez Leonardo ue un investigador rus-trado que apenas construy ninguno desus inventos aunque esta armacin resultadudosa a la vista de la pereccin con quetrabajaba los detalles en los dibujos. Pero locierto es que sus trabajos han estado perdi-dos hasta principio de los aos 50 del siglopasado y es ahora cuando podemos aprove-char muchos de sus conocimientos.

ste es el objetivo principal del artculo(3,14).

37


9/10




38. Esuerzos axiles para el modeloespacial de Leonardo.

39. Plataorma rgida ormada porbarras cortas dobladas segn se ve enel dibujo C1 de la Figura 19.

40. Modelado de la plataorma deLeonardo.

41. Unidad de la plataorma deLeonardo que vamos a tratar comoestructura plana.

42. Modelizacin de una cerchatriangulada (A) y la cercha de laplataorma de Leonardo (B).

38

Tabla III

Desplazamientos comparativos en las vigas de la Figura 42

COMPARACION ENTRE UNA CERCHA CONVENCIONAL Y LA DE LEONARDO

DESP. VERTICAL DESP. VERTICALDESP.

HORIZONT REACCIONES REACCIONESTABLA III

PP COMB COMB VERTICAL-IZQ. VERTICAL-DER.

mm mm mm Ton Ton

CONVENCIONAL -2,8 -14,1 +1,6 -1,6 0,47 0,36

LEONARDO -4,4 -22,4 +2,6 -2,6 0,47 0,36

Sob.= 200 kg (por nudo)= 4x200COMBINACION

11.35PP+1.5

sob.

39

40

41

42


10/10



43. Esuerzos axiles en amboscasos.

44. Momentos lectores en amboscasos.

45. Sistema modular con el que seconstruy el tornavoz del escenariodel Auditorio de la Rbida en Huelvapor Escrig y lvarez en 1988. Es unadegeneracin de la propuesta de laFigura 31.

46. Sistema modular con el que seconstruy el Pabelln de entrena-mientos en el complejo deportivo deHuelva por Escrig y lvarez en 1998y antes en el Pabelln de Extremadu-ra de la Expo 92 de Sevilla de Escrigy Curbelo. Es una degeneracin dela propuesta de la Figura 25.

43

44 45

46

* * *

REFERENCIAS

(1) Bashar Altabba P. E.: Re-creating the Rainbow Bridge ASCE Civil Engineering n. 5. May 2000. http://www.pbs.

org/wgbh/nova/lostempires/china/builds.html.

(2) Baverel, O., Nooshin, H.: Nexorades Based on Regular Polyedra. Nexus Network Journal 2007. Kim Williams

Books, Turin. 2007. pp. 281-298 ISSN 1522-4600.

(3) Duhem, P.: Etudes sur Lonard de Vinci. Ceux quil a lus et ceux qui lont lu Librairie Scientifque A. Hermann.

Pars 1906.

(4) Escrig, F., Snchez, J.: La geometra de las estructuras I. STAR 12. Sevilla. 2005.

(5) Escrig, F., Snchez, J.: Adaptable Leonardo. International Conerence on Adaptable Building Structures. Eindho-

ven. July 2006. ISBN 90-72152-03-4. pp. 5.28 a 5.32.

(6) Escrig, F., P. Valcrcel, J.: Modular Space Frame Structures. Space Estruc tures. Ed. Parker. Thomas Telord, Lon-

don 1993. ISBN: 07277-1968-8.

(7) Leonardo Da Vinci. Cdice Atlantico. Biblioteca Ambrosiana. Miln.

(8) Leonardo Da Vinci. Cdice Madrid I y II. Biblioteca Nacional. Madrid.

(9) Martini, F. di Giorgio: Trattati di Architet tura Ingegneria e Arte Militare Milano Il Poliflo, 1967.

(10) Pedretti, C.: Leonardo architetto. Electa. Milan 1988. ISBN 8843525190.

(11) Popovich, O.: Reciprocal Frame Architecture Architectural Press. Amsterdam 2008. ISBN 978-0-7506-8263-3.

(12) P. Valcarcel, J. Escrig, F. Pioneering in expandable structures: The Madrid I Notebook by Leonardo da Vinci.

Bulletin o the IASS. Vol. 35. April 1994, n1 114. pp. 33-45. Madrid. ISSN 0304-3622.

(13) P. Valcrcel, J; Escrig, F.: Un primer planteamiento de estruc turas desplegables. el Cdigo I de Madrid de Leonar-

do da Vinci. Boletn Acadmico de la ETSA, n1 10. La Corua, 1989. pp. 13-20. ISSN 0213-3474.(14) Truesdell, C.: Ensayos de Historia de la Mecnica. Ed. Tecnos 1975. ISBN 84-309-05979. pp. 17 a 88. Madrid.

(15) Villard de Honnecourt.: Cuaderno Ed. Akal 1991. ISBN 84-7600-670-5. Madrid

(16) WWW.: Rollo del museo de Beijing http://www.huangshantour.com/english/river.htm.

2010-1 Una Aproximación Analítica a las Mallas Reciprocas Diseñadas por Leonardo

Documents

Transcript of 2010-1 Una Aproximación Analítica a las Mallas Reciprocas Diseñadas por Leonardo