201210-cv-p1-B-answers.pdf

BO

RR

AD

OR

Universidad de los Andes Departamento de Matematicas

Primer Parcial MATE1207 Calculo Vectorial (Tema B) 1

Instrucciones:Lea cuidadosamente y conteste cada pregunta en la hoja asignada. Escribacon bolıgrafo negro. No desprenda las hojas. Durante el examen no puede

hablar con companeros, no puede usar calculadora, celular, apuntes,cuadernos, textos ni aparatos electronicos. Escriba todo su analisis si desea

recibir el maximo puntaje. Buena suerte. Tiempo: 120 minutos.

Question Points Score

1 10

2 10

3 10

4 10

5 10

Total: 50

Chequee su seccion en la tabla−→

Seccion Profesor Mi seccion

01 Jose Ricardo Arteaga B.

06 Cesar Galindo M.

11 Mikhail Malakhaltsev

16 Carlos Segovia

21 Ramiro de la Vega

26 Ramiro de la Vega

Nombre:

Codigo:

Firma:

Bogota, Septiembre 15, 2012

1El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos quepueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas academicas, o en cualquier otro acto que perjudique laintegridad de mis companeros o de la misma Universidad”

BO

RR

AD

OR

Codigo: Tema B Pag. 2 de 15

1. No hay creditos parciales. Las cinco partes no estan relacionadas.

Llene la casilla en blanco con F (Falso) o V (Verdadero), segun sea el caso. Justificacioncorta.

(a) (2 points) Existe una funcion f(x, y) tal que

fx(x, y) = 2x+ 3y, fy(x, y) = 3x− 2y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b) (2 points) El dominio de f(x, y) =x

y+

y

xes R\{0}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(c) (2 points) Si f(x, y) = 4− x2 − y2, entonces el vector (−2,−2) es perpendicular a la

curva de nivel 2 de f(x, y) en el punto (1, 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(d) (2 points) Sea f(x, y) una funcion suave tal que fx(1, 1) = 2, fy(1, 1) = −3 y sea~r(t) = (t, t2) una parametrizacion de una parabola. Entonces la derivada de la funcion

compuesta g(t) = (f ◦ ~r)(t) = f(~r(t)) en t = 1 es igual a −4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(e) (2 points) Sea f(x, y) = 4− x2 − y2. Entonces la direccion en que la funcion f crece

lo mas rapido posible en el punto (1, 1) es (2, 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Solution:

(a) V fxy = fyx.

(b) F El dominio es todo el plano real R× R = R2.

(c) V (−2,−2) = ∇f(1, 1) y el punto (1, 1) pertenece a la curva de nivel x2+y2 = 2.

(d) V g′(1) = ∇f(1, 1) · ~r′(1) = −4.

(e) F ∇f(1, 1) = (−2,−2).

Pautas de correccion:

No hay creditos parciales. Para cada ıtem:

1. Respuesta correcta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Justificacion correcta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Problema 1 continua en la pagina siguiente. . .

BO

RR

AD

OR

Prob. 1 cont.. . . Codigo: Tema B Pag. 3 de 15

BO

RR

AD

OR


2. (10 points) Si su respuesta y justificacion son correctas obtendra el maximo puntaje. Si su res-

puesta es incorrecta podra obtener creditos parciales de acuerdo a su justificacion.

Encuentre la ecuaciones parametricas de la recta tangente a la curva de interseccion delparaboloide z = 4− x2 − y2 con el elipsoide 4x2 + y2 + z2 = 9 en el punto P (−1, 1, 2).

Resp.

Solution: La recta tangente buscada es la interseccion de los planos tangentes a lassuperficies. El vector direccion de la curva tangente vive en los dos planos tangentesy por tanto es normal a los vectores normales de las superficies. Sean f(x, y, z) =x2 + y2 + z− 4 y g(x, y, z) = 4x2 + y2 + z2, entonces los gradientes representan vectoresnormales a la superficies definidas por las ecuaciones f(x, y, z) = 0 y g(x, y, z) = 9,respectivamente. Dado que ∇f(−1, 1, 2) = (−2, 2, 1) y ∇g(−1, 1, 2) = (−8, 2, 4), elvector ~v = (6, 0, 12) = ∇f(−1, 1, 2) × ∇g(−1, 1, 2) es un vector que tiene la mismadireccion que la recta tangente a la curva interseccion de las dos superficies. Ahoraque tenemos el vector direccion ~v = (6, 0, 12) y el punto P (−1, 1, 2) las ecuacionesparametricas de la recta pedida son x = −1 + 6t, y = 1, z = 2 + 12t.

Respuesta: x = −1 + 6t, y = 1, z = 2 + 12t.


1. Por cada vector normal en el punto P correcto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Producto cruz correcto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3. Conoce la ecuacion de una recta y la usa para encontrar la respuesta correcta. 4


BO

RR

AD

OR


BO

RR

AD

OR


3. Si su respuesta y justificacion son correctas obtendra el maximo puntaje. Si su respuesta es inco-

rrecta podra obtener creditos parciales de acuerdo a su justificacion.

Sea C la elipse que se obtiene al intersectarse la superficie elipsoidal x2

32+ y2

18+ z2

8= 1 con

el plano z = 2.

(a) (4 points) Escriba una parametrizacion para C.

(b) (3 points) Calcule la curvatura maxima de C y encuentre los puntos en la elipse dondese obtiene dicha curvatura2.

(c) (3 points) Calcule la curvatura mınima de C y encuentre los puntos en la elipse dondese obtiene dicha curvatura.

Resp. (a)

Resp. (b)

Resp. (c)

Solution:

(a) Una posible parametrizacion es ~r (t) = (4 cos t, 3 sin t, 2) con 0 ≤ t < 2π.

Respuesta: ~r (t) = (4 cos t, 3 sin t, 2).

(b) Usando esta parametrizacion, tenemos que ~r ′(t) = (−4 sin t, 3 cos t, 0) y ~r ′′(t) =(−4 cos t,−3 sin t, 0). Entonces la curvatura viene dada por:

κ(t) =|~r ′(t)× ~r ′′(t)|

|~r ′(t)|3 = 12(

16 cos2 t+ 9 sin2 t)

−3/2(1)

Para encontar los puntos crıticos calculamos su derivada,

κ ′(t) = −3

2(12)

(


−5/2(−14 sin t cos t)

=3

2(12)

(


−5/2(7 sin 2t)

(2)

Los puntos crıticos de esta funcion ocurren cuando sin 2t = 0. Por lo tanto los

puntos estan en t = 0, π/2, π, 3π/2. La curvatura maxima es12

9√9=

4

9y se alcanza

en los puntos (±4, 0, 2). Ocurre en dos puntos de la curva.

Respuesta: κmax =4

9en (±4, 0, 2).

2κ(t) = |~r ′(t)×~r

′′(t)||~r ′(t)|3


BO

RR

AD

OR


(c) La curvatura mınima es12

16√16

=3

16y se alcanza en los puntos (0,±3, 2). Ocurre

en dos puntos de la curva.

Respuesta: κmin =3

16en (0,±3, 2).


1. Encuentra una parametrizacion cualquiera de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. • Encuentra el valor de la curvatura maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

• Encuentra un punto donde la curvatura es maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

• Encuentra el otro punto donde la curvatura es maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

3. • Encuentra el valor de la curvatura mınima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

• Encuentra un punto donde la curvatura es mınima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

• Encuentra el otro punto donde la curvatura es mınima . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

4. No obtiene los resultados correctos. Si no encuentra los valores de la curvaturani maximo ni mınimo pero tiene la curvatura correcta expresada en terminos det, es decir tiene bien el resultado de (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

5. No obtiene alguna parametrizacion correcta, pero el analisis y resultados estansin errores puede obtener maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

6. Analisis geometrico. Si los puntos (son 4 puntos, dos donde hay curvatura maximay dos donde hay curvatura mınima) son encontrados de forma geometrica usandoel grafico y la intuicion, por cada punto bien encontrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1


BO

RR

AD

OR


BO

RR

AD

OR


4. Si su respuesta y justificacion son correctas obtendra el maximo puntaje. Si su respuesta es inco-

rrecta podra obtener creditos parciales de acuerdo a su justificacion.

La superficie de una laguna se puede representar por una region D del plano xy (x e ymedidos en decametros) tal que la profundidad de la laguna (medida en pies) en el punto(x, y) esta dada por la expresion 300− 3x2y2. Yolanda esta en el punto P (2, 1).

(a) (2 points) ¿En que puntos la laguna tiene profundidad maxima y cual es esta profun-didad?

(b) (2 points) ¿En que direccion deberıa nadar Yolanda de tal manera que la profundidaddecrezca lo mas rapido posible?

(c) (2 points) ¿En que direccion deberıa nadar Yolanda de tal manera que la profundidadpermanezca constante?

(d) (4 points) Si Xavier se encuentra parado en la orilla en el punto (2, 5) ¿a que tasacambia la profundidad si Yolanda nada en la direccion donde esta Xavier?

Resp. (a)

Resp. (b)

Resp. (c)

Resp. (d)

Solution: Sea f(x, y) = 300− 3x2y2.

(a) La profundidad maxima es 300 pies y se encuentra en todos los puntos de los ejescoordenados (x = 0, y = 0).

Respuesta: fmax = 300 en (x, 0) y (0, y) (ejes coordenados).

(b) La direccion es −∇f(2, 1) = −(−6xy2,−6x2y)|(2,1) = −(−12,−24) la cual es lamisma direccion (1, 2).

Respuesta: (1, 2).

(c) Una direccion es (−2, 1).

Respuesta: (−2, 1).

(d) Sean P (2, 1) y Q(2, 5), entonces−→PQ = (0, 4) y ~u =

−→PQ

‖−→OP‖= (0, 1). Por lo tanto,

D~uf(2, 1) = ∇f(2, 1) · ~u = (−12,−24) · (0, 1) = −24


BO

RR

AD

OR


Respuesta: −24.


(a) • Si respondio los dos ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

• Si respondio que el origen es el unico punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

(b) • Gradiente en el punto correcto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

• Direccion correcta (menos el gradiente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

• Direccion contraria (gradiente). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

(c) Cualquier direccion correcta (multiplo de (1, 2)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

(d) • Vector−→PQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

• Vector unitario ~u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

• Conoce la formula y la sabe aplicar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2


BO

RR

AD

OR


BO

RR

AD

OR


5. (10 points) Si su respuesta y justificacion son correctas obtendra el maximo puntaje. Si su res-

puesta es incorrecta podra obtener creditos parciales de acuerdo a su justificacion.

La figura 1 muestra los graficos de cinco funciones f(x, y) y las curvas de nivel de las mismasfunciones pero no necesariamente tienen algun orden. Complete la tabla 1 con las letrasmayusculas correspondientes.

f(x, y) Grafico Curvas de nivel

f(x, y) = e−(x2+(1/4)y2)

f(x, y) = y − sin xf(x, y) = x− (1/9)x3 − (1/2)y2

f(x, y) = 3− x2 − y2

f(x, y) = 2− x− y

Tabla 1: Tabla para problema 5


BO

RR

AD

OR


A B C

D E

I II

III IV V

Figura 1: Problema 5

Solution:


BO

RR

AD

OR


f(x, y) Grafico Curvas de nivel

f(x, y) = e−(x2+(1/4)y2) C If(x, y) = y − sin x B II

f(x, y) = x− (1/9)x3 − (1/2)y2 A IIIf(x, y) = 3− x2 − y2 D Vf(x, y) = 2− x− y E IV

Tabla 2: Tabla para problema 1


(a) Por cada renglon bien lleno, es decir las dos letras colocadas al frente de la formulacorrespondiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

(b) Por cada apareamiento correcto (letra del grafico con letra de las curvas de nivel)pero colocado en el renglon incorrecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1


BO

RR

AD

OR


201210-cv-p1-B-answers.pdf

Documents

Transcript of 201210-cv-p1-B-answers.pdf