Departamento de Economía Universidad de Chile

Derivadas matriciales útiles para STA300 Por Pedro Roje L.

1) Definición

Sea una función n variables, que se puede identificar con un vector

perteneciente a . Dado lo anterior, podemos definir1:

Donde:

2) Propiedades que serán útiles en Econometría 1

Sean y vectores de , y A una matriz simétrica cualquiera nxn, entonces:

a) La derivada de una función que no contenga el vector con respecto a es 0.

b) Si

Haré solo la “demostración” de esta propiedad, para que así entiendan como

funciona todo esto. Sea:

Entonces:

1 En términos más concretos, asumiremos que:

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Luego, la gradiente de la función es:

c) Si

d) Si

3) Ejercicio matemático

Sea X una matriz de n x 3, Y un vector de n x 1 y un vector de 3 x 1, se define la

siguiente ecuación de matrices:

Se pide encontrar

Respuesta:

Para hacer todo esto más sencillo derivaremos cada elemento de la ecuación por

separado y emplearemos las propiedades descritas arriba.

(esto se desprende de la propiedad a))

Antes de todo hay que notar que como es una matriz de 3xn e Y es un vector de

nx1, por propiedad de la multiplicación de matrices, será un vector de 3x1. A este

vector lo escribiremos como z.

Dado lo anterior, H quedaría:

La clave del asunto trata que es un escalar, pues es de 1x3 y z es de 3x1. Al

ser un escalar, podemos utilizar la propiedad de matrices traspuestas de que un

escalar traspuesto es simplemente el mismo escalar:

Por tanto, ahora podemos expresar H usando la formula anterior:

Usando la propiedad de que y que , tenemos:

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Ahora, empleando la propiedad b) de las derivadas de matrices, tenemos que:

Aquí podemos usar la propiedad d) de las derivadas de matrices. Lo único que

debemos corroborar es si la matriz es simétrica. Para ver esto, debemos acordarnos

que una matriz es simétrica si la traspuesta de esa matriz es igual a la matriz inicial.

Usando y , es fácil mostrar que es simétrica.

Aplicando d), llegamos a:

Con todo lo anterior, es fácil saber que la respuesta del enunciado es:

Nota: si van al semestre otoño 2010 (sección Sagner) y ven pautas de algunos controles,

podrán ejercitar con las derivadas matriciales.