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Universidad de los Andes Departamento de Matematicas

Segundo Parcial MATE1207 Calculo Vectorial (Tema A)1

Instrucciones:Lea cuidadosamente y conteste cada pregunta en la hoja asignada. Escribacon bolgrafo negro. No desprenda las ho jas. Durante el examen no puede

hablar con companeros, no puede usar calculadora, celular, apuntes,cuadernos, textos ni aparatos electronicos. Escriba todo su analisis si desea

recibir el maximo puntaje. Buena suerte. Tiempo: 120 minutos.

Question Points Score

1 10

2 10

3 10

4 10

5 10

Total: 50

Chequee su seccion en la tabla

Seccion Profesor Mi seccion

01 Mikhail Malakhaltsev

02 Jairo Andres Angel Cardenas

03 Mauricio Velasco Grigori

04 Paul Bressler

05 Mainak Podder

06 John Richard Goodrick

Nombre:

Codigo:

Firma:

Bogota, Abril 20, 2013

1El juramento del uniandino dice: Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que

pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas academicas, o en cualquier otro acto que perjudique la

integridad de mis companeros o de la misma Universidad

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Codigo: Tema A Pag. 2 de 15

1. (10 points) Si su respuesta y justificacion son correctas obtendra e l maximo puntaje. Si su res-puesta es incorrecta podra obtener creditos parciales de acuerdo a su justificacion.

Encontrar el volumen del solido entre el paraboloide z= x2 +y2 1 y el plano z= 3.

Resp.

Solution: La interseccion del plano z = 3 y el paraboloide z = x2 +y2 1 es lacircunferencia z= 3, x2 +y2 = 4.

El solido es acotada por las graficos de las funciones z= 2 y z=x2 +y2 1 sobre laregion D = {(x, y) | x2 +y2 4}.Entonces, el volumen es

V =

D

3 x2 +y2 1 dxdy=

D

4 x2 y2 dxdy.

Pasamos a las coordenadas cilndricas. La region D = {(r, ) | 0 r 2, 0 2}.

V =

D

(4 r2) r drd= 20

20

(4 r2) r dr

d= 2

20

(4 r2) r dr= 8.

8

Pautas de correccion:

Reglas generales:

Cada error en calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -2

Cada error aritmetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1

El camino sin solucion correcta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0

Creditos parciales:Evaluacion de la integral con coordenadas

a) cilndricos:

Planteamiento de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

que incluye: los lmites correctos para r (2), los lmites correctos para z(2), los lmitescorrectos para (1), el integrando correcto (1), el orden de dz,dr yd correcto (1).

Cada paso de integracion (bajo la condicion que el planteamiento es correcto) . . . . . . 1

Problema 1 continua en la pagina siguiente. . .

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Prob. 1 cont.. . . Codigo: Tema A Pag. 3 de 15

b) cartesianas:

Planteamiento de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

que incluye: los lmites correctos para x (1), los lmites correctos para y (1), los lmites

correctos para z (2), el integrando correcto (1).Evaluacion de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

donde evaluacion de la integral de cos4 vale 3.


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2. Si su respuesta y justificacion son correctas obtendra el maximo puntaje. Si su respuesta es inco-rrecta podra obtener creditos parciales de acuerdo a su justificacion.

Suponga que la temperatura en un punto de una plaquita esta dada por la funcionf(x, y) =x2 4x+y2 + 9.(a) (5 points) Encuentre el punto mas caliente y el mas fro en la circunferencia x2+y2 = 9

y los valores de temperatura en estos puntos.

(b) (5 points) Encontrar los puntos mas calientas y mas fros de la region

R= {(x, y) | x2 +y2 9}y los valores de temperatura en estos puntos.

Resp. (a)

Resp. (b)

Solution:

Opcion 1. La funcion f(x, y) = (x 2)2 +y2 + 5 es el cuadrado de la distancia entreel punto (x, y) y el punto (2, 0) mas 5, entonces es obvio que el punto mas caliente es(3, 0) con la temperatura 30 y el punto mas fro es (3, 0) con la temperatura 6.En la region el punto mas fro es (2, 0) con la temperatura 0.

Opcion 2. La parametrizacion de la circunferencia es x = 3 cos t,y = 3 sin t, t

[0, 2].

Entonces se puede tomar la funcion g(t) =f(3cos t, 3sin t) = 18 12cos t.Por la propiedades del coseno, la funciong(t) toma el maximo ent = yg(/2) = 30.Entonces f(x, y) toma el maximo en el punto (3, 0) y el valor maximal es 30. Elmnimo de g (t) est= 0, entonces el punto mas fro es (3, 0) y la temperatura es 6.

En la region el punto crtico de la funcion encontraremos del sistema

f

x= 2x 4 = 0, f

y = 2y= 0,

entonces f(x, y) tiene solamente un punto crtico que es (2, 0) yf(2, 0) = 5.

Opcion 3. El metodo de multiplicadores de Lagrange. Hacemos la funcion

F(x, y, ) =

x2 4x+y2 + 9+ x2 +y2 9Sus puntos crticos se puede encontrar del sistema

Fx = 2x 4 + 2x= 0Fx = 2y+ 2y= 0F

=x2 +y2 9 = 0

x(1 +) 4 = 0y(1 +) = 0x2 +y2 9 = 0


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De la segunda ecuaciony = 0 o 1 + = 0. Si 1 + = 0 entonces de la primera ecuacionobtenemos contradiccion. Entonces, y = 0 y tenemos dos soluciones x = 3, = 1/3 yx=3, =7/3. Evaluamos la funcion en los puntos A(3, 0) y B(3, 0): f(A) = 6,f(B) = 30.

En la region el punto crtico de la funcion encontraremos del sistema

f

x= 2x 4 = 0, f

y = 2y= 0,

entonces f(x, y) tiene solamente un punto crtico que es (2, 0) yf(2, 0) = 5.

Resp. (a) max (3, 0), fmax= 30; mn (3, 0),fmin= 6

Resp. (b) max (3, 0),fmax = 30; mn (2, 0),fmin = 5


Reglas generales:




Creditos parciales:

a) El sistema de ecuaciones del metodo de multiplicadores de Lagrange es correcto . 2

La solucion del sistema es correcta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

La respuesta final es correcta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

b) El sistema de ecuaciones para encontrar los puntos crticos es correcto . . . . . . . . . . . 2

La solucion del sistema es correcta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

La respuesta final es correcta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Falta la verificacion que el punto critico pertenece a la region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1


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3. Si su respuesta y justificacion son correctas obtendra el maximo puntaje. Si su respuesta es inco-rrecta podra obtener creditos parciales de acuerdo a su justificacion.

SeaRun paralelogramo en el plano xy acotado por las rectas y = 2x,x = 2y,y = 2x 3,x= 2y 3.(a) (4 points) Dibujar el paralelogramo Ry su imagen Sbajo la transformacion

u= x 2y, v= 2x+y.(b) (6 points) Usar la transformacion para evaluar la integral

R

(y 12

x)ey2x dA.

Resp. a) plano xy plano uv

1 2 3123 0

1

2

3

1

2

3

x

y

1 2 3123 0

1

2

3

1

2

3

u

v

b)

Solution:

a) plano xy plano uv

1 2 3123 0

1

2

3

1

2

3

x

y

R

1 2 3123 0

1

2

3

1

2

3

u

v

S

b) La matriz de Jacobi de la transformacion u = x 2y,v = 2x+y esD(u, v)

D(x, y)=

1 22 1


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entonces el jacobiano es J= det D(x,y)D(u,v) =

det D(u,v)D(x,y)

1= 1/3.

Por lo tanto,

R

(y 12

x)ey2x dA=

S

(12

u)ev(13

)dudv= 16

0

3

0

3uevdv

du= 3

4[1 e3].


Reglas generales:




Creditos parciales:

a) Cada dibujo correcto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

b) Todo es correcto pero falta el jacobiano en el integrando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

Todo es correcto pero faltan el calculo del jacobiano y el jacobiano en el integrando 4


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4. (10 points) Si su respuesta y justificacion son correctas obtendra e l maximo puntaje. Si su res-puesta es incorrecta podra obtener creditos parciales de acuerdo a su justificacion.

Hallar la masa del solido dado por las disigualidades x2 +y2 +z2 1, x2 +y2 z2 0,z 0 que tiene la funcion de densidad (x,y,z) = 1 z.

Resp.

Solution: El solido es una parte de cono acotado por la esfera:

La seccion del solido por el plano y = 0 nos da

Entonces en las coordenadas esfericas el solido se describe como 0 1, 3/4 , 0 2.Luego la masa de solido Ees (usamos las coordenadas esfericas):

M=

E

(x,y,z)dV =

E

(1 z)dV =

=

20

3/4

10

(1 cos )2 sin ddd= 19 8

2

24 .


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Respuesta:

1982

24


Reglas generales:




Creditos parciales:

Planteamiento de la integral: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 punto para solo escribirlo como la integral triple sobre Ede 1 z o 1 +z.5 puntos mas para convertirlo en integral triple:

En coordenadas esfericas, 1 punto para cada par de lmites correctos (=3 puntos, unopara cada variable), 1 punto mas para el factor de 2 sen() o de r, y (en coordenadasesfericas) el ultimo punto para convertir zen cos().

En coordenadas cilndricas, 4 puntos para armar correctamente los lmites de integracion(1 punto para los lmites dez, 1 punto para los lmites de, y 2 para los lmites para r).Luego 1 punto mas para el factor adicional de r . (En cilndricas, no hay que convertirla variable z!)

Evaluacion de la integral: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 punto para integrar d, 1 punto para integrar do dr, y 2 puntos para d odz.


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5. No hay creditos parciales. Las cinco partes no estan relacionadas.

Llene la casilla en blanco con F (Falso) o V (Verdadero), segun sea el caso.

(a) (2 points) (a) 1

0 x2

0 f(x, y) dydx=

1

0 1yf(x, y) dxdy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b) (2 points) (b)10

0

20

2 sin ddd= 4/3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(c) (2 points) (c) En el punto (0, 0) la funcion f(x, y) = x2 2xy 4y2 crece en cadadireccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(d) (2 points) (d)R

zdV= 0 donde R = {(x,y,z) | (x 1)2 + (y 3)2 +z2 = 1}.

(e) (2 points) (e) El punto (1, 0) es un punto crtico de la funcion f(x, y) = x+y. .

Solution:

(a)10

x20 f(x, y) dydx=

10

1yf(x, y) dxdy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V

(b)10

0

20

2 sin ddd= 4/3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

(c) En el punto (0, 0) la funcionf(x, y) =x22xy4y2 crece en cada direccion. F

(d)R

zdV= 0 donde R = {(x, y, z ) | (x 1)2 + (y 3)2 +z2 = 1}. . . . . . . . . . . V

(e) El punto (1, 0) es un punto crtico de la funcion f(x, y) = x+y. . . . . . . . . . . . F


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