201405071311220.ManualNumeros

Nivelación Restitutiva

Manual del

Docente

2006

Matemática

Números1º Medio

Material elaborado por Equipo Desarrollo PedagógicoPrograma Liceo Para Todos

Presentación de la Ministra de Educación Marigen Hornkohl

Marzo 2006Estimadas profesoras y profesores:

Al comenzar la década de los noventa, 20 de cada 100 jóvenes no asistía al liceo. Hoy tenemos una cobertura del 93% en educación media y tenemos el firme propósito de seguir avanzando hacia el compromiso —reafirmado a partir de mayo de 2003 por la Constitución— de lograr 12 años de educación para todos.

Lograr que todos los jóvenes chilenos, especialmente los de menores recursos, completen al menos su enseñanza media es una meta en la que estamos trabajando juntos: Ministerio de Educación, sostenedores, docentes, directivos, estudiantes, padres - madres y apoderados.

Este año ampliaremos la subvención pro retención que se pagó por primera vez el 2004 y que el 2005 benefició a los sostenedores de establecimientos que lograron mantener en el sistema escolar a 35 mil niños y jóvenes de las familias más necesitadas, que cursaron entre 7º básico y 4º medio. Además, en los 442 liceos de menores recursos y mayores dificultades educativas, 18 mil alumnos recibirán Beca Liceo para Todos, creada en el año 2000 para asegurar la permanencia en el aula de los estudiantes en riesgo de desertar.

No sólo se trata de que los jóvenes no abandonen el liceo, sino principalmente de que ahí reciban aprendizajes de calidad y aprendan conocimientos y habilidades que les permitan responder apropiadamente a las exigencias del siglo XXI.

En esa perspectiva, Liceo para Todos está apoyando a los liceos que participan del Programa, a desarrollar una experiencia escolar inclusiva y de calidad. La Nivelación Restitutiva —desarrollada desde el año 2000— es una herramienta específica para ese fin. El año pasado, 67 mil estudiantes de primero medio —nivel en el que se produce el mayor retiro y fracaso escolar, en estos establecimientos— recibieron apoyo pedagógico especial para afianzar sus conocimientos en lenguaje y matemática.

A partir del año 2005 ampliamos la cobertura de sectores de aprendizaje que se incorporan a esta innovación, esto es:

• Trabajo diferenciado en ciencias sociales y ciencias naturales (los tres subsectores), a esto se sumaron durante el 2005 14 mil estudiantes.

• Trabajo diferenciado en lenguaje y matemática 2º medio, a esto se sumaron 12 mil 600 estudiantes durante el 2005.

Este material de apoyo docente que ustedes tiene en sus manos es fruto de un esfuerzo compartido. Las versiones anteriores han sido mejoradas gracias al aporte de profesores que han trabajado en el aula con estos manuales en los liceos del Programa. También han entregado su contribución la Universidad de la Frontera, de Temuco, en la parte Lengua Castellana y Comunicación, y la Pontificia Universidad Católica de Chile, en la parte Matemática.

Las publicaciones por sí mismas no aseguran mejores resultados de aprendizaje. Es la acción pedagógica y perseverancia de ustedes —profesoras y profesores— las que permitirán que estos manuales generen real conocimiento en nuestros jóvenes y la oportunidad para que se formen mejor en la enseñanza media.

¡Felicitaciones por su esfuerzo!

MARIGEN HORNKOHL Ministra de Educación

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1 Introducción

Este Manual tiene como propósito entregar a los profesores y profesoras, orientaciones para la implementación del proceso de Nivelación Restitutiva en 1° medio. Si bien algunos de los docentes ha trabajado en esta innovación, cada año se ajusta la propuesta a partir de las evidencias aportadas por los liceos y se hacen nuevos desarrollos que permitan su mejor implementación, lo cual está contenido en este manual. En él encontraran orientaciones, explicaciones y herramientas que buscan aportar al trabajo cotidiano en el subsector.

El Programa de Matemática para Primer Año de Enseñanza Media plantea la Resolución de

Problemas como tema transversal para el aprendizaje. Es fundamental que en este sentido se abran espacios que permitan a los estudiantes responder a las preguntas generadas en la dinámica de la clase o bien planteadas durante el tratamiento que se hace de las diversas actividades, que expongan sus argumentos, describan, expliquen y validen sus procedimientos y estrategias de resolución. No debemos olvidar que la matemática forma parte del acervo cultural de nuestra sociedad. Es una disciplina cuya construcción ha surgido de la necesidad y/o deseo de responder y resolver situaciones provenientes de los más variados ámbitos, tanto de la matemática misma como del mundo de las ciencias naturales, sociales, del arte y de la tecnología.

Desde esta perspectiva, el enfoque que se da al tema Números en los grupos de nivel 1, 2 y 3 no está exento de este enfoque y relevante propósito. En ellos se plantea una secuencia de temáticas, contenidos y problemas cuya contextualización tiene el firme propósito de acercar la matemática a la realidad, donde diferentes situaciones de la vida cotidiana hacen posible la aplicación de un sinnúmero de conceptos propios de la disciplina y en particular del Tema Números. La estructura y organización con carácter de texto de cada uno de ellos, estamos seguros, responde a los intereses de los alumnos de esta edad, donde esperamos confiados que su propuesta y gestión del profesor (a) permitirá a éstos recuperar de forma significativa conocimientos trabajados en cursos anteriores y con ello establecer relaciones que faciliten y medien en la adquisición y aplicación de nuevos saberes.

1.1 Propuesta LPT para la implementación curricular en 1° medio

No es desconocido para usted como profesor el tipo de competencias comunicativas de sus estudiantes, las cuales se ven reflejadas, entre otras cosas, en la forma en que los estudiantes han redactado, los procedimientos y respuestas, durante estos cuatro años de aplicación de la Nivelación Restitutiva y desarrollo de proyectos de investigación, tampoco lo son la diversidad de competencias que estos tienen al ingresar a la Enseñanza Media. Estas tienen expresiones variadas: desde estudiantes que con esfuerzo desarrollan la operatoria matemática, hasta aquellos que son capaces de comprender y relacionar los diferentes contenidos curriculares; desde estudiantes que tienen dificultad para escribir un procedimiento coherente al problema presentado hasta estudiantes que son capaces de plantearlo desde el lenguaje matemático o icónico; desde quienes tienen dificultad para realizar una actividad simple sin ayuda, hasta los que pueden trabajar a partir de instrucciones durante una clase completa y logran el producto esperado.

Esto dificulta enormemente el abordaje habitual del subsector, es decir, si usted inicia eproceso con todos los estudiantes en la unidad 1 del programa usando actividades iguales

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para todos, sin establecer las diferenciaciones necesarias, la posibilidad de que una parte de ellos no logre los aprendizajes que se ha propuesto alcanzar es alta. Esto es un desafío para usted como profesor, que implica atender la diversidad existente en las aulas por medio de estrategias que permitan a todos los estudiantes acceder al nuevo conocimiento por medio de los que ya poseen.

Con el propósito de aportar una forma de abordar esta complejidad pedagógica, el Programa Liceo para Todos pone a disposición de los liceos la propuesta de Nivelación Restitutiva la cual ha sido reformulada a partir de los comentarios de los docentes y de las evaluaciones realizadas por el programa, en este sentido las modificaciones al material contemplan la incorporación de los tres temas curriculares que se intencionan desde el marco curricular (y las siete unidades establecidas para abordar estos temas), mediante un trabajo diferenciado que permite, al docente, construir y desarrollar el nuevo conocimiento por medio de las diferentes disposiciones de aprendizaje que presentan los estudiantes al comenzar este año escolar.

Este diseño pedagógico se basa en los siguientes propósitos respecto al aprendizaje de los estudiantes:

(a) Atender la diversidad de disposiciones de aprendizaje de los estudiantes, relevada a través del diagnóstico de disposiciones de aprendizaje provisto para la presente innovación.

(b) Proveer contextos de trabajo que permitan a los estudiantes la articulación de sus propios conocimientos con los aprendizajes esperados para primer año medio.

(c) Evaluar el avance de los desempeños de los estudiantes al término de cada uno de los temas curriculares (“Número y operatoria aritmética”, “Álgebra” y “Geometría”), de tal modo de tener certeza respecto a los aprendizajes logrados.

(d) Trabajar el año escolar en torno a actividades que permita lograr las competencias curriculares establecida para el primero medio.

Estos propósitos implican lo siguiente:

(a) Al igual que en el año anterior, el diagnóstico permite organizar a los estudiantes en grupos de nivel, mediante los cuales se abordaran la totalidad de unidades curriculares propuestas para primero medio.

(b) La provisión de contextos de trabajo que permitan articular sus aprendizajes con el nuevo conocimiento. Hemos modificado la estructura de la Nivelación la cual contempla el desarrollo de un nivel por estudiante para adquirir el conocimiento relacionado a cada tema y unidad curricular.

(c) Una vez finalizado el desarrollo de cada tema curricular (Número, Álgebra o Geometría), todos los estudiantes desarrollan la evaluación de término (proyecto de externalización), el cual nos indicará el nivel de avance en el desempeño de los estudiantes para cada una de las unidades curriculares ya trabajadas y nos permitirá organizar a los estudiantes, en conjunto con el diagnóstico de la temática siguiente, los grupos de trabajo para la enseñanza de las unidades relacionadas con él.

En este sentido, hemos establecido que las unidades curriculares de primero medio que

mejor se ‘ajustan’ a cada uno de los temas son las siguientes:

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• Para el tema Números (trabajo con el cual se inicia el año escolar) las unidades del programa relacionadas son: Unidad 1: Números, Unidad 4: Variaciones Proporcionales y Unidad 5: Variaciones Porcentuales.

• Para el tema Álgebra y Funciones (trabajo de mediados de año) las unidades son Unidad 2: Lenguaje algebraico y Unidad 6: Factorizaciones y productos.

• Para el tema Geometría (trabajo de finalización de año) Unidad 3: Transformaciones isométricas y Unidad 7: Congruencia de Figuras Planas

(d) Esta definición quiere articular el trabajo ya realizado por los liceos (hasta el año 2005) y las nuevas demandas impulsadas por el currículum, que está construido sobre la base de competencias que se desarrollan en nivel de complejidad creciente a lo largo de los 12 años de escolaridad. Por ejemplo, podemos mencionar que el aprendizaje del concepto del conjunto de los números naturales, que se desarrolla desde edades tempranas (con el aprendizaje de la operatoria elemental), se vincula en este nivel con nuevos conceptos y contenidos curriculares, por ejemplo, con la distinción entre números racionales e irracionales o más tarde con el uso de estos conjuntos en el desarrollo de funciones y la estadistica, pasando por los conceptos de incógnita y variable.

Tema Números: Para la construcción de esta temática se tomó como base lo estructurado en los niveles desarrollados por la nivelación en años anteriores, pero fueron complementados y desarrollados desde la perspectiva de las competencias matemáticas que articulan la enseñanza media (Estructuración y generalización de conceptos matemáticos, Resolución de problemas y Aplicación de procedimientos estandarizables).

Tema Álgebra y Funciones: El material propuesto para este año busca entregar a los estudiantes no solo el concepto de representaciones algebraicas sino que busca proporcionar a los estudiantes el conocimiento de generalización de la estructura. Para esto, se requiere que la vinculación del aprendizaje de la estructura algebraica esté fuertemente anclada en lo desarrollado en el tema anterior (Números), así por ejemplo, la propiedad asociativa desplegada en el tema Números toma fuerza en esta nueva temática, estableciendo la generalización de la estructura presentada. En definitiva lo que se busca lograr con el tratamiento de este tema, no es sólo el logro de ciertos contenidos curriculares sino que los estudiantes puedan ver la real necesidad del estudio de este conocimiento matemático y junto con ello avanzar en el concepto de generalización de estructuras.

Tema Geometría: Este tema no ha sido abordado en la propuesta desarrollada hasta el año 2005, solamente se incorporó una aproximación a este conocimiento, el cual no estaba anclado en los conocimientos formales que deben ser adquiridos en 1º medio, sino que abordaba temáticas tales como ubicación espacial y una familiarización con las figuras y cuerpos geométricos, los cuales son conocimientos necesarios para lograr lo que se propone para primero medio como transformaciones Isométricas y congruencias de figuras planas. En este contexto el abordaje de este tema busca vincular el aprendizaje ya adquirido

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por los alumnos en la enseñanza básica, para el logro de los conocimientos establecidos para 1º medio.

Ahora bien, como cualquier diseño, por si mismo no es suficiente, se actualiza en el uso que usted como profesor haga de él incorporando sus propios énfasis, aportando variaciones a partir de la experiencia que usted tiene como docente, adecuando los ritmos y tiempos de trabajo a partir de las metas que como liceo se han propuesto, variando actividades de tal modo que la propuesta sea lo más pertinente posible a los estudiantes con los que usted trabaja. Todas las adecuaciones son válidas en la medida que aporten al propósito explícito de este trabajo que es que todos los estudiantes tengan oportunidades de aprendizaje a partir del reconocimiento y validación de sus disposiciones de aprendizaje.

En los capítulos sucesivos usted encontrará claves pedagógicas para la implementación de esta propuesta, las cuales se complementan con las diversas instancias de apoyo que se realizarán durante el año: asesoría de la supervisión, redes de UTP, jornadas de trabajo que cada región diseñe para estos efectos, entre otras.

1.1.1. Secuencia de trabajo

La experiencia desarrollada por el programa Liceo para Todos en estos cuatro años de implementación, nos permite tener valiosa información respecto del estado en que parten los estudiantes el primer año medio en matemática. Según los datos obtenidos a partir del seguimiento a la Nivelación, sólo el 10% de los estudiantes (de los liceos del programa) está en condiciones de partir en primero medio con los aprendizajes propuestos para la enseñanza básica logrados.

Siendo este el panorama, es claro que se requiere una estrategia que permita que los estudiantes puedan afianzar las competencias definidas en el currículo para la enseñanza básica y con ello avanzar en sus aprendizajes del nivel y luego, en los aprendizajes destinados para los años siguientes, de otro modo, seguirán acrecentando “la mochila” de aprendizajes sin lograr durante su trayecto por la enseñanza media. Como muestran las últimas investigaciones, el reiterado fracaso escolar en los estudiantes es la antesala al abandono del sistema escolar.

El proceso implementado por los docentes en el sector de matemática, durante estos años, ha tenido diversas características. Importante es decir, que la Nivelación ha sido relevante para las distintas comunidades educativas en la medida en que hay una apropiación de la innovación. Entendemos por apropiación, el que cada liceo defina un diseño específico para implementar la innovación. Ésta genera impactos institucionales, por ejemplo, cuando hay cambio en los horarios, espacio para reuniones de los docentes, evaluación permanente de los logros obtenidos por los estudiantes, uso combinado de los materiales (Nivelación Restitutiva, texto de estudios del nivel, material elaborado por los docentes, entre otros); una implementación diseñada de esa forma, significa que, es

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la población escolar la que es relevada y por tanto se atiende en función de los aprendizajes que es preciso lograr.

En este sentido las características, sobre la apropiación de las innovaciones, remiten la formación de grupos de nivel posterior al diagnóstico, desarrollo de los distintos niveles que son parte del material, distribución del tiempo para implementarla. Cada liceo ha construido las mejores condiciones al proceso, sin embargo lo que la nivelación debe asegurar es la atención efectiva a los distintos grupos de estudiantes, que tienen una diversidad de disposiciones de aprendizajes.

Desde el año 2002 (primer año de implementación de la Nivelación Restitutiva), el tiempo ha sido un elemento crítico para los docentes del sector de matemática. El diseño de la innovación y las orientaciones puestas a disposición de los docentes se quieren hacer cargo de esta importante limitación. Sin embargo lo que atraviesa la organización del proceso que desarrollan los estudiantes, está centrado en los aprendizajes que deben lograr en esta etapa, lo que implica desarrollar estrategias de enseñanza que permitan a los alumnos desarrollar las distintas competencias que atraviesan el proceso de enseñanza-aprendizaje. Con la incorporación de este nuevo modelo en la Nivelación, queremos entregar a los docentes actividades que les permita percibir la enseñanza de la matemática como un proceso que debe estar anclado en los conocimientos que poseen los estudiantes, y desde ese punto, movilizarlos al logro de competencias que se complejizan al introducir conocimientos nuevos.

En este sentido, hasta el año pasado la nivelación de matemática desarrollaba un tipo de práctica pedagógica, que era “acumular” un cierto conocimiento (por ejemplo operatoria en un determinado conjunto numérico) para ser vinculado y desarrollado en otro conjunto numérico. Ahora, y en base a los comentarios realizados por los docentes que han desarrollado la innovación, proponemos tres niveles dentro de cada uno de los temas curriculares pero cada estudiante realiza sólo un nivel por tema, los cuales por medio de actividades similares, buscan entregar diferentes tipos de ayuda a los estudiantes para lograr el conocimiento que deben adquirir. Para ello, proponemos el desarrollo del mismo contenido curricular para los tres niveles propuestos pero diferenciando la ayuda de acuerdo a las disposición de aprendizaje que evidencian los estudiantes, así por ejemplo, en el desarrollo del tema Números, todos los estudiantes comienzan su proceso desplegando la noción de potencias, relevando la notación exponencial y multiplicativa, además de su despliegue multiplicativo, pero lo que se diferencia es la forma en que este conocimiento se desarrolla con cada uno de los niveles en los cuales están organizados los estudiantes.

Las competencias del estudiante definen el nivel de partida y dan la pauta

para el proceso de enseñanza y aprendizaje. La idea es que la enseñanza parta de lo que el estudiante puede hacer con ayuda. A partir de allí el profesor define el tipo de ayuda que va a requerir para el logro de los aprendizajes. Luego, divide la tarea en momentos o períodos en los que puedan manejarse adecuadamente en los problemas que ésta plantea.

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De este modo, el profesor toma la dirección que considera necesaria para lograr las competencias establecidas en el currículum.

Volviendo al ejemplo anterior, de operar con números enteros, el profesor como conductor del proceso de enseñanza aprendizaje, establece los caminos a seguir por parte del estudiante, en este sentido si el alumno utiliza el conteo para desarrollar el problema de la cantidad de casilleros que presenta el tablero de ajedrez, es necesario que primero pueda visualizar la suma como operatoria pertinente y luego avanzar hacia la estructura de multiplicación y potencia y no pasar directamente desde la adición a la estructura potencial.

1.1.2 Secuencia propuesta para el desarrollo del 1° medio en matemática:

La presente secuencia será detallada en profundidad a lo largo de los manuales, sin embargo es necesario presentar algunas consideraciones con respecto a lo que aborda la Nivelación Restitutiva (durante el año escolar) y la forma de hacerlo.

Diagnóstico Números

TE

MA

NÚ

ME

RO

S:N

úmer

o, V

aria

cion

es

Pro

porc

iona

les,

Var

iaci

ones

P

orce

ntua

les

Contenidos de básica

Contenidos del tema números

Nivelación Grupo I

Proyecto Tema Números (Común)

Nivelación Grupo II Nivelación Grupo III

Apropiación de contenidos 1º Medio Grupo I

Apropiación de contenidos 1º MedioGrupo II

Apropiación de contenidos 1º MedioGrupo III

Permite la conformación de los grupos nivel

Permite medir niveles de avance en aprendizajes y actuar

como insumo a esta etapa

Diagnóstico Álgebra

TE

MA

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RA:

Leng

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Contenidos de básica y del tema números necesarios

para el tema álgebra

geometría

Contenidos del tema álgebra

Nivelación Grupo I

Proyecto Tema Álgebra (Común)








Diagnóstico Geometría

TE

MA

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ricas

Contenidos de básica, contenidos del tema números y del tema álgebra

necesarios para el tema geometría

Contenidos del tema geometría

Nivelación Grupo I

Proyecto Tema Geometría (Común)








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Este esquema muestra la distribución de las unidades curriculares en torno a los tres temas descritos con anterioridad (Números, Álgebra y Funciones y Geometría). En este sentido la distribución temporal de las unidades curriculares, pensamos como programa, que para el primer semestre se deberá desarrollar las unidades correspondientes a Números (unidad 1: Números, Unidades 4 y 5: Variaciones proporcionales y porcentuales) además del proyecto asociado y el diagnóstico de álgebra. Durante el segundo semestre, se deberá desarrollar las unidades relacionadas a los temas de Álgebra y Funciones y Geometría y los proyectos asociados a cada uno de éstos.

Analicemos con detención la secuencia de trabajo para el tema de Números.

Diagnóstico Números

TE

MA

NÚ

ME

RO

S:N

úmer

o, V

aria

cion

es

Pro

porc

iona

les,

Var

iaci

ones

P

orce

ntua

les

Contenidos de básica

Contenidos del tema números

Nivelación Grupo I

Proyecto Tema Números (Común)








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El cuadro anterior es posible explicarlo mediante el esquema que se presenta a continuación, el cual hace referencia al proceso que se desarrolla en este tema específi co:

Para cada uno de los temas, el proceso contempla las siguientes etapas:

- Diagnóstico: El diagnóstico debe entregar información de dos ámbitos distintos:

• Contenidos de la enseñanza básica: entrega información respecto al nivel de desarrollo de las competencias que han sido trabajadas en la enseñanza básica y que son base para el estudio de las unidades correspondientes a cada eje en primero medio.

• Contenidos a tratar en el tema: Un segundo elemento a considerar en el diagnóstico son los contenidos a tratar en el tema correspondiente, de manera que esto le provee información al

DIAGNÓSTICO

Grupo Nivel 1

DIMENSIÓN

VERTICAL

Grupo Nivel 2 Grupo Nivel 3

Número

PROYECTO DE EXTERNALIZACIÓNPROYECTO DE EXTERNALIZACIÓN

Número Número

Variaciones Proporcionales



Variaciones Porcentuales



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docente sobre las disposiciones de aprendizaje de los estudiantes respecto a este ámbito. En este sentido no se trata de evaluar algo que no conocen, sino relevar si los estudiantes tienen algún tipo de acercamiento a estos contenidos.

- Trabajo en grupos de nivel: Los grupos de nivel están referidos a un tema en particular y no a todo el primero medio. El proceso se realiza en tres momentos. Los dos primeros momentos (nivelación y apropiación del conocimiento) van siendo desplegados paralelamente a medida que son requeridos para avanzar en el logro de las competencias y contenidos curriculares establecidas para el nivel.

• Los estudiantes avanzan en el logro de los aprendizajes de las unidades de Números, Variación Proporcional y Porcentual que componen a este tema.

Es importante señalar que cada estudiante desarrollará solo un grupo nivel, ya que en cada uno de ellos se desarrollan los mismos contenidos curriculares, diferenciados por el tipo de ayuda que se les debe proveer a los estudiantes.

- Proyecto común: Terminado el proceso de internalización de saberes, todos los estudiantes han de haber desarrollado las competencias de base, asociadas a las unidad del tema y profundizado, en niveles diferenciados, los aprendizajes y conocimientos propuestos por el currículum de 1º medio.

Para dar cuenta de este aprendizaje todos los estudiantes realizan un proyecto asociado a la construcción de un artefacto conceptual. Aunque los estudiantes han trabajado de manera diferenciada hasta este punto, en este proyecto de externalización del saber, todos los estudiantes deben desarrollar el mismo proyecto, con indicaciones y niveles de estructuración en la ayuda que son diferenciados. Entonces lo que se debe diferenciar es la ayuda que se le provee a cada estudiante y no la tarea a realizar por parte de ellos.

La evaluación del desarrollo de este artefacto conceptual debe permitir al docente establecer el avance en los aprendizajes asociados a este eje y compararlos con los datos o resultados entregados por el diagnóstico, de manera de poder visualizar la trayectoria de avance del estudiante respecto de estos aprendizajes en particular.

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Veamos un ejemplo para el desarrollo de este eje temático:

Como se expresa en el esquema, los estudiantes comienzan el proceso con el diagnóstico de disposiciones de aprendizaje, en este caso del tema Números, en él evidenciarán un cierto estado de desarrollo de sus competencias relacionadas a este tema en particular. Así por ejemplo, un aprendizaje señala que: ”Los estudiantes deben establecer y reconocer la equivalencia entre fracciones, decimales y porcentajes”, los cuales serán evaluados mediante los descriptores “Asociar y reconocer en un gráfico de círculo el valor porcentual equivalente a una parte del entero”, “Traducir a su equivalente expresión porcentual una fracción propia o impropia” y “Relacionar y traducir a su equivalente expresión porcentual un número decimal mayor o menor al entero”. Estos y el resto de indicadores asociados a los problemas (o ítem) que se presentan en el diagnóstico, nos entregarán un panorama de lo que los estudiantes son capaces de hacer con el conocimiento que portan. Y desde esa evaluación los podremos distribuir en un determinado grupo nivel (1, 2 ó 3). Esta agrupación por disposiciones de aprendizaje nos podrán indicar, que para este aprendizaje puntual, los estudiantes del grupo nivel GN1 establecen y reconocen de modo incorrecto la relación de equivalencia presente entre fracciones decimales y porcentaje, también nos muestra que los estudiantes del GN2 son capaces de establecer la equivalencia por medio del lenguaje natural y los estudiantes del GN3 son capaces de establecer la equivalencia desde la dimensión matemática y desde el lenguaje natural. Entonces a partir de estas disposiciones de aprendizaje que presentan los estudiantes, todos los GN desarrollan la unidad de Variación Porcentual (además de las unidades de Variación Proporcional y Número), pero en el grupo nivel 1 se intenciona el desarrollo del concepto de porcentaje, partiendo por el (1) cálculo de la fracción de un número como tal y

en su forma decimal, además de la (2) comprensión que el 50% y 25% corresponden respectivamente a las 1

2 y 1

4 parte del

todo, (3) Convertir un porcentaje a fracción decimal, fracción común y número decimal respectivo y (4) Plantear y resolver la proporción que permite resolver un problema de variación porcentual. En este mismo sentido el GN2 desarrolla el concepto de variación proporcional partien-do desde la necesidad de (3) Convertir un porcentaje a fracción decimal, fracción común y número decimal respectivo y (4) Plantear y resolver la proporción que permite resolver un problema de variación porcentual. Y el GN3 desde el planteamiento y resolución de proporciones que permite resolver un problema de variación porcentual, entonces como se puede apreciar todos los GN desarrollan la unidad de Variación Porcentual, desde caminos diversos y con la permanente ayuda del profesor, pero todos logran la meta común establecida por el currículo.

Una vez que todos los estudiantes han desarrollado la totalidad de actividades que se incluyen en el grupo nivel correspondiente a sus necesidades educativas, estarán en condiciones de desarrollar un

DIAGNÓSTICO

DIMENSIÓN

VERTICAL

PROYECTO DE EXTERNALIZACIÓN

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proyecto de externalización del aprendizaje, el que es común para todos, ya que entendemos que, con la provisión del nuevo conocimiento, y la ayuda que será entregada por los docentes a cada uno de los grupos, los estudiantes han logrado las competencias previstas para el tema de Número. Este proyecto de externalización contempla el uso de los conocimientos alcanzados en el desarrollo del grupo nivel para comprender y percibir la matemática como una disciplina en evolución y desarrollo permanente.

1.2. Enfoque disciplinario asociado al marco curricular para el subsector y nivel de ense-ñanza

La enseñanza de la matemática, en la enseñanza media, se centra en desarrollar cinco temas articuladores (“Números y Operaciones Aritméticas”, “Probabilidades”, “Álgebra y Funciones”, “Geometría” y “Razonamiento Matemático”) y en torno a ellos se espera que los estudiantes puedan vincular lo aprendido en la enseñanza básica, con los aprendizajes esperados que serán desarrollados en los distintos niveles de la enseñanza media. Por ejemplo, podemos mencionar que el aprendizaje del concepto del conjunto de los números naturales, que se desarrolla desde edades tempranas (con el aprendizaje de la operatoria elemental), se vincula en este nivel con nuevos conceptos y contenidos curriculares, por ejemplo con la distinción entre números racionales e irracionales o más tarde con el uso de estos conjuntos en el desarrollo de funciones y la estadística, pasando por los conceptos de incógnita y variable.

Como señala el marco curricular “(...) los objetivos fundamentales y contenidos mínimos obligatorios de la enseñanza media se refieren no sólo al conocimiento como concepto y procedimientos, sino también a las habilidades y a las actitudes que necesitan adquirir los estudiantes(...)”1. En este sentido, y como ha sido discutido en diferentes encuentros de los docentes del programa Liceo para Todos, la enseñanza, de los diferentes contenidos curriculares están a la base del desarrollo de las competencias que propone el DS 220. Es así como los temas mencionados buscan desarrollar distintos aprendizajes y saberes matemáticos cruzados por tres competencias matemáticas las cuales corresponden a:

Procedimientos estandarizables, que incluye el uso de distintos procedimientos y métodos matemáticos para realizar cálculos y estimaciones; aplicación de fórmulas y algoritmos, y uso de estrategias para resolver situaciones contextualizadas. Lo que implica el desarrollo de competencias para conocer y usar distintas formas para llegar a un resultado y no de forma mecánica.

Resolución de problemas, incluye el desarrollo de habilidades tales como: identificación de incógnitas y estimación de su orden de magnitud, búsqueda y comparación de caminos de solución, análisis de los datos y soluciones, anticipación y estimación de resultados, sistematización del ensayo y error, aplicación y ajustes de modelos y formación de conjeturas.

Estructuración y generalización de conceptos matemáticos, incluye, traducción e interpretación de situaciones matemáticas; búsqueda y desarrollo de expresiones, patrones y regularidades; generalización y particularización. Esto último, implica descifrar e

1 Texto extraído del DS 220, p. 6.

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interpretar lenguaje simbólico, comprendiendo su relación con el lenguaje natural; trabajar con expresiones que contienen símbolos y fórmulas, usar y establecer relaciones entre variables.

Siendo este el panorama general de la enseñanza media, podemos decir que principalmente las unidades del programa de 1º medio se centran en desarrollar tres de los cinco temas curriculares: “Números y Operaciones Aritméticas”, “Geometría” y “Álgebra y Funciones”. Estos tres temas se entrelazan para desarrollar las competencias matemáticas y permitir a los estudiantes tener una visión matemática que les permita complementar sus aprendizajes en los diferentes aspectos trabajados por el currículum. Por otro lado, en este primer año de enseñanza media se comienza a sistematizar el aprendizaje de los estudiantes con respecto al álgebra dando sentido a las letras que se utilizan en este lenguaje, generalización de la operatoria aritmética a través del uso de símbolos, solo por nombrar algunos ejemplos.

1.2.1. Enfoque disciplinario para el tema de Números de acuerdo a los Planes y Programas de estudio.

La secuencia anual para el trabajo en el aula se puede organizar de diversas formas, considerando diferentes secuencias temáticas, estimando el tiempo que se considere adecuado para los aprendizajes en relación con las características del curso y del establecimiento educacional. Los planes y programas señalan lo siguiente:

El tema Números se convierte en el nexo más evidente con el último año de la Educación Básica y por tanto es considerado como una plataforma necesaria y fundamental para el trabajo docente en primer año medio.

Durante sus años de Educación Básica las alumnas y alumnos han aprendido acerca de los números: enteros, fraccionarios y decimales, positivos y negativos. El tema retoma esos conceptos y plantea fundamentalmente una profundización. Se permite así que los estudiantes continúen el desarrollo de sus capacidades para interpretar adecuadamente los resultados de los cálculos, para analizar los procedimientos y las respuestas a la luz de las características de los problemas; para aproximar y evaluar con claros criterios las respuestas; para describir fenómenos cuantitativos en forma cada vez más adecuada y precisa. La resolución de problemas aparece nuevamente orientada hacia:

1. El conocimiento de características y propiedades de los Números Racionales e Irracionales; de la presencia de regularidades o patrones

en el mundo de los números; de cómo las potencias facilitan la descripción de algunas situaciones numéricas relativas a incremento o crecimiento.

2. El estudio sistemático de las Variaciones proporcionales iniciada en la Educación Básica que ahora interesa profundizarlas, incorporando las relaciones entre la representación gráfica, las tablas de valores y las interpretación de gráficos, se propone el análisis, para el primer cuadrante del modelo lineal.

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3. El estudio de porcentajes, presente en una gran diversidad de situaciones: del quehacer de una persona; compras, créditos, rebajas o aumentos, impuestos, leyes sociales, medicina; éxitos o fracasos se apoyan en valores porcentuales; informaciones relativas a situaciones sociales, políticas, económicas se expresan, habitualmente, en variaciones porcentuales. Los estudiantes de Primer Año Medio tienen conocimientos sobre este tema, tanto desde el ámbito informal como desde su trabajo en los últimos años de Educación Básica. El propósito de su estudio es profundizar sobre el tema y aprender a expresar y calcular el tanto por ciento como operador multiplicativo, que es la forma en que se opera generalmente, en el ámbito del comercio y de las finanzas.

Es así, como en virtud de las orientaciones didácticas y disciplinarias que se establecen en el programa de estudio de primer año medio, de la innovación planteada en el programa de nivelación restitutiva y de la propuesta didáctica elaborada para ello, hemos considerado la siguiente organización de temáticas y contenidos que se presentan a continuación para el tema Números del nivel:

1.3 Importancia de los contenidos restituidos en función del desarrollo de los contenidos de primero medio para: tema Números.

El organizador gráfico que se presenta a continuación muestra el recorrido de contenidos contemplados en la Unidad: Números. Potencias, Racionales e Irracionales. El estudio y trabajo que deben realizar los alumnos en este cuadernillo considera el tratamiento de contenidos y conceptos abordados en cursos anteriores y que son importantes para los aprendizajes del programa en NM1. Por las características de nuestros alumnos y del programa de nivelación restitutiva en aplicación, estos contenidos deben ser recuperados y nuevamente puestos en funcionamiento, por tanto se hace necesario introducirlos de forma tal, que permita progresivamente alcanzar los aprendizajes esperados del nivel, es así como para el desarrollo de esta primera unidad se ha considerado trabajar:

Las potencias, inicialmente como multiplicación de factores iguales, con el objeto de que el alumno retome su concepción preliminar. El desarrollo de ellas y su notación exponencial, multiplicativa y resultado. Indistintamente se promueve el uso de la calculadora con el objeto de reforzar este concepto e incorporar la tecnología para el cálculo numérico. Su uso no exime a los alumnos de la necesidad de comprender y dar significado a las funciones y “pequeños programas” que en ella se pueden aplicar.

En un principio las potencias son de base y exponente natural, ello por que lo que interesa

inicialmente es recuperar el concepto y evitar inconvenientes innecesarios trabajando con números de mayor complejidad (base negativa o exponente negativo). Paulatinamente se irán incorporando otros conjuntos numéricos. La representación geométrica de las potencias cuadradas y cúbicas también ha sido considerada, la comprensión del concepto en este aspecto, no sólo ha sido pensada para un trabajo exclusivamente numérico sino que también en registros gráficos diversos: diagramas de árbol, tablas y configuraciones. Se introduce a los alumnos en el descubrimiento práctico de las propiedades de las potencias, mediante problemas de contexto geométrico, en primer término el propósito no es concluir en la formalización sino comprender por qué se generalizan este tipo de propiedades,

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posteriormente esta deberá ser formalizada y consolidada en clase junto con el profesor (a).

El estudio de regularidades y patrones numéricos también está presente, el objetivo es que los alumnos puedan establecer las reglas que operan en este tipo de situaciones, presentadas ellas en contextos distintos (numéricos y geométricos). Para terminar, el tratamiento de contenidos también considera los conocimientos de base que el alumno debe tener para comprender y caracterizar al conjunto de los números racionales e irracionales, para los primeros se intenciona el reforzar conceptos tales como fracción, número decimal fi nito e infi nito periódico y semiperiódico que han sido trabajados en años anteriores.

Respecto de su articulación con los contenidos de primero medio

Consideramos que bajo estos criterios de organización y secuencia, los alumnos en sus distintos niveles irán progresivamente alcanzando los aprendizajes esperados para el nivel y los explicitados para los alumnos y alumnas de primer año medio, en este caso nos referimos en particular, al conocimiento que los estudiantes deben lograr de las características y propiedades de los Números Racionales e Irracionales; de la presencia de regularidades o patrones en el mundo de los números y de cómo las potencias facilitan la descripción de algunas situaciones numéricas relativas a incremento o crecimiento.

NÚMEROS

RESOLUCIÓN

DE

PROBLEMAS

NúmerosRacionales

NúmerosIrracionales

Potencias ab,a 0 y b Z

Fracciones. Decimales fi nitos e infi nitos (periódicos y semiperiódicos).

Uso de la calculadora para abreviar cálculos e interpretar sus resultados.

Realizar aproximaciones. Redondear y truncar, análisis del error cometido al aproximar.

Ordenar, comparar, operar con números racionales.

Analizar pertinencia de las soluciones.

Transformación de fracciones a decimales y de decimales a fracciones.

Ubicar puntos en la recta (construcción de decimales no periódicos).

Usar la calculadora para determinar el producto de una potencia (Programación).

Resolver problemas que involucran potencias de base y exponente natural.

Resolver problemas que involucran potencias de base racional positiva y exponente entero.

Ordenar, comparar, operar con números racionales.

Analizar pertinencia de las soluciones.

Convertir a fracción o de fracción a número decimal.

Unidades Temáticas abordadas en el material

Contenidos abordados en el material

Lo que nivelaremos y desarrollaremos en el material

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Importancia de los contenidos restituidos en función del desarrollo de los contenidos de primero medio para: Variaciones Proporcionales.

El organizador gráfico que se presenta a continuación, muestra el recorrido de contenidos contemplados en la Unidad: Variaciones Proporcionales. Al respecto podemos mencionar que el criterio considerado para la restitución de los contenidos es la siguiente:

Tratamiento de la información: uno de los aspectos que se enfatiza en los cursos anteriores es el conocimiento y aplicación de las diversas herramientas que permiten al hombre organizar y comunicar la abundante información de la cual hace acopio diariamente. Por ello, un primer trabajo con los alumnos consiste en introducirlos y familiarizarlos nuevamente en la lectura, interpretación y aplicación de los diferentes modelos de tablas y gráficos que deben ser de su dominio. En ellos los estudiantes pueden establecer, junto con la información, las variables que están involucradas, un conjunto de relaciones e inferencias que serán importantes posteriormente en el tratamiento que se hará de las variaciones proporcionales, las cuales por cierto, también deberán ser representadas e interpretadas gráficamente.

Razones y proporciones: ambos conceptos han sido trabajados en cursos anteriores, por lo tanto, es relevante volverlos a tratar pero no en un sentido de cálculo o algoritmo, sino que por el contrario el que los alumnos puedan percibir el significado de estas relaciones, ¿qué interpretan de una razón y de una proporción?. Existe el propósito de generar un razonamiento que permita comprender efectivamente las relaciones de proporcionalidad y poder caracterizarlas. El análisis e interpretación de situaciones de proporcionalidad presentadas en tablas y gráficos también es un tema que viene siendo tratado desde NB5, existiendo una diferencia cualitativa importante en términos de sus propósitos iniciales. Interesa aquí que los alumnos puedan interpretar en un registro de plano cartesiano el comportamiento de dos variables, y no tan sólo que reparen en los resultados numéricos sin relación alguna entre el registro y su significado. Recordamos que en NB6 los estudiantes realizan un trabajo más riguroso en el estudio y tratamiento de las variaciones proporcionales y sus características fundamentales, lo que posteriormente se profundiza en NM1.

Respecto de su articulación con los contenidos de primero medio:

Es por ello que lo diseñado y organizado como actividades de aprendizaje, permitirá mediar junto con la gestión de la clase del profesor, en el progresivo dominio que los alumnos deben lograr del tema Variaciones proporcionales iniciada en educación básica y que ahora interesa profundizarlas, estableciendo relaciones entre la representación gráfica, tablas de valores y las constantes de proporcionalidad, por medio de un trabajo sistemático de lectura y análisis propuestos para este propósito.

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Importancia de los contenidos restituidos en función del desarrollo de los contenidos de primero medio para: Variación Porcentual.

Los contenidos a restituir en el desarrollo del presente tema se defi nen a partir de los conocimientos previos requeridos para el trabajo de este concepto, los cuales son parte del currículum del segundo ciclo de educación general básica.

Los alumnos y alumnas traen ciertas nociones sobre porcentaje, más desde el punto de vista informal que formal, pero ello es sufi ciente para intencionar un trabajo preliminar de recuperación del concepto de porcentaje. Se pone énfasis inicialmente en el cálculo de este por medio de la fracción de un número y multiplicación decimal, junto con esto se debe hacer énfasis en la relación multiplicativa que tiene el determinar porcentajes. Importante

Construcción de tablas y gráfi cos (comunicación

de datos)

Lectura, interpretación y

análisis de tablas y gráfi cos de

proporcionalidad directa e inversa.

PROPORCIONALIDAD

Lectura e interpretación.

Construir gráfi cos de barra.

Construir gráfi cos de línea y ubicar puntos en el plano cartesiano.

Construir gráfi cos circulares.

Distinguir entre magnitudes proporcionales y no proporcionales.

Comprender el concepto de razón y proporción. Plantear y operar proporciones.

Identifi car e interpretar la constante de proporcionalidad en diferentes contextos.

RESOLUCIÓN

DE

PROBLEMAS

Proporcionalidad directa e inversa

Distinguir entre variable y constante.

Identifi car las variables involucradas en un gráfi co cartesiano.

Comprender y señalar el signifi cado y relación entre las variables.

Concepto de variable




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es a su vez, reforzar la equivalencia entre porcentaje, fracción y número decimal. Un trabajo posterior, considerará el planteo y resolución de proporciones.

“Más allá de calcular porcentajes referidos a ciertas cantidades, se proponen situaciones en que los estudiantes aborden variaciones proporcionales. No obstante, el primer aspecto no ha sido descuidado y está abordado, en particular, en contextos de análisis de situaciones de tipo estadístico. Se introduce el cálculo de frecuencias relativas y su representación en gráfi cos circulares” (Programa de estudio)

Respecto de su articulación con los contenidos de primero medio:

Es así como consideramos necesaria esta mediación, de forma tal que la correspondiente relación entre porcentaje, números decimales y fracciones tenga en su tratamiento la secuencia debida. Es importante señalar que según programa NM1 el énfasis está en: el planteo de situaciones que involucren la lectura e interpretación de porcentaje, el planteo y resolución de problemas que perfi len el aspecto multiplicativo del porcentaje y el análisis y pertinencia de las soluciones.

PORCENTAJE

RESOLUCIÓN

DE

PROBLEMAS

Porcentaje

Interpretación y expresión de

porcentajes como proporciones.

Calcular la fracción de un número como tal y en su forma decimal.

Comprender que el 50%, 25% corresponden respectivamente a un 1/2 y 1/4 parte del todo. Cálculo mental.

Convertir un porcentaje a fracción decimal, fracción común y número decimal respectivo.

Plantear y resolver la proporción que permite resolver un problema de variación porcentual. Análisis y

pertinacia de las soluciones. Aplicación de propiedades.Distinguir entre

magnitudes proporcionales y no proporcionales.

Elaborar e interpretar gráfi cos circulares.

Comprender el aspecto multiplicativo de un cálculo de porcentaje.




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¿Cómo se desarrollan las unidades curriculares establecidas para el tema Números?

Los cuadros siguientes muestran la cobertura que tienen cada uno de los grupos de nivel. Para ello, y como veremos en cada uno de los esquemas, hemos analizado el currículum

nacional chileno y analizado los desafíos que se describen para el desarrollo de cada unidad, con la necesidad de establecer cuáles son, a nuestro juicio, las unidades curriculaes que están asociadas al tema de Números.

A continuación se despliegan las unidades curriculares que están asociadas al tema de Números, los Objetivos Fundamentales asociados a cada una de las temáticas a tratar y los contenidos curriculares que deben ser desarrollados en cada uno de los temas propuestos. En este punto conviven aquellos contenidos que son de la enseñanza básica y los contenidos propios del nivel de enseñanza en el cual se encuentran los estudiantes. Así por ejemplo, podremos ver que la presencia de los contenidos de la enseñanza básica, son aquellos que nosotros como programa Liceo para Todos, entendemos que deben ser nivelados para desarrollar las competencias que deben ser asociadas al primero medio. Para dar una mayor claridad al docente, la última columna de cada esquema muestra el carácter que tiene el conocimiento respecto al aprendizaje a desarrollar en primero medio, es decir, si dicho conocimiento corresponde a nivelación o a internalización del nuevo conocimiento,

Unidad curricular abordada en los grupos de nivel

Temas desarrollados en los grupos de nivel

Objetivos fundamentales de 1o medio asociados al tema


Corresponde

Unidad 1: Números

1Números: Potencias, Racionales e Irracionales.

Utilizar diferentes tipos de números en diversas formas de expresión (entera, decimal, fraccionaria, porcentual) para cuantificar situaciones y resolver problemas.

Potencias de base natural y exponente entero.

Nivelación.

Representación gráfica (geométrica) de a2 y de a3.

Nivelación.

Propiedades de operaciones con potencias.

Nivelación.

Sumas ponderadas de potencias de 10 en situaciones problema.

Nivelación.

Resolver problemas seleccionando secuencias adecuadas de operaciones y métodos de cálculo, incluyendo una sistematización del método ensayo-error; analizar la pertinencia de los datos y soluciones.

Expresar como fracciones números decimales finitos e infinitos periódicos y semiperiódicos y viceversa.

Nivelación.

Potencias de base racional positiva y exponente un entero.

Internalización del nuevo conocimiento.

Distinción entre números racionales e irracionales.


Uso y conocimiento de la calculadora.


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Objetivos fundamentales de 1o

medio asociados al tema


Corresponde

Unidad: 4Variacionesproporcionales

2Variación proporcional

Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de la proporcionalidad,del lenguaje algebraico inicial y de la congruencia de figuras planas.


Representar información cuantitativa a través de gráficos y esquemas; analizar invariantes relativas a desplazamientos y cambios de ubicación utilizando el dibujo geométrico.

Tabla y gráficos de distinto tipo; interpretación y lectura; variable contínua y discreta.

Nivelación

Elaboración de tablas y gráficos, correspondientes a situaciones de variaciones proporcionales.

Nivelación

Análisis de razones y parejas de razones (Proporciones).

Nivelación

Interpretación y uso de razones expresadas en diferentes maneras.

Nivelación

Noción de variables y análisis y descripción de situaciones que ilustran la idea de variabilidad.


Resolución de problemas que involucren proporciones directas o inversas.


Constante de proporcionalidad


Construcción y análisis de tablas y gráficos asociados a proporcionalidad directa e inversa.


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Objetivos fundamentales de 1o medio asociados al tema

Contenidos abordados en el material Corresponde

Unidad: 5Variaciones porcentuales

3Variación porcentual


Representar información cuantitativa a través de gráficos y esquemas; analizar invariantes relativas a desplazamientos y cambios de ubicación utilizando el dibujo geométrico.

Fracción de un número

Nivelación

Cálculos del 50% y 25% como 50/100, 25/100 ó 0,5 y 0,25

Nivelación

Interpretación y expresión de porcentaje como proporciones y cálculo de porcentaje en situaciones cotidianas.

Nivelación

Relación entre porcentaje, números decimales y fracciones.

Nivelación

Resolución de problemas en los que el referente asociado a 100 no está explícito.


Planteo y resolución de problemas que perfilen el aspecto multiplicativo del porcentaje.


Análisis de la pertinencia de las soluciones.


2 El diagnostico de las disposiciones de aprendizaje

2.1. Su rol en el aprendizaje

Los Planes y Programas señalan que “la evaluación se considera como parte del proceso de construcción del aprendizaje. Debe proveer al joven y al docente de la retroalimentación necesaria para diagnosticar, corregir y orientar las actividades futuras. Es recomendable que se evalúen diversos aspectos del proceso de aprendizaje, y no sólo los resultados de los diversos ejercicios. Cobra relevancia observar y evaluar el tipo de razonamiento utilizado, el método empleado, la originalidad de la o las ideas planteadas. Uno de los criterios para la definición de las formas que tome la evaluación es que ésta debe ser consecuente con el propósito de mejorar el aprendizaje. Si se evalúa, por ejemplo, sólo la repetición

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memorística de datos, se está reforzando la idea de que ése es el tipo de educación que se quiere promover; si se evalúan desempeños, capacidad de resolver problemas, de manejar información, se está propiciando una educación flexible, abierta, con más sentido para quienes aprenden, con propósitos inmediatos (sirve para hoy) y de largo plazo (preparan para la vida adulta)”2.

En las Reformas Educativas actuales la evaluación diagnóstica adquiere una nueva e importante dimensión desde la perspectiva del aprendizaje significativo. El aprendizaje del alumno ha de partir de los esquemas previos que el alumno posee. Es la evaluación diagnóstica la que permite conocer estos esquemas previos a partir de la siguiente pregunta: ¿Qué tienen que saber nuestros alumnos, al principio de un curso escolar, para poder comenzar un área, nivel o asignatura determinada? ¿Cuáles son los esquemas o conocimientos previos que poseen?

Pero también el aprendizaje significativo, desde un modelo de enseñanza centrado en procesos, afirma que el aprendizaje está en función de las capacidades previas que un alumno posee. Y estas capacidades deben ser diagnosticadas como facilitadoras de un potencial de aprendizaje. La evaluación diagnóstica por ello, debe precisar cuáles son y en qué nivel se utilizan las técnicas instrumentales: cálculo mecánico y comprensivo. Pero también la evaluación diagnóstica debe acotar los procesos de razonamiento del alumno, en concreto, los siguientes: razonamiento lógico, orientación espacio-temporal y expresión oral y escrita.

Para el aprendizaje constructivo y significativo es necesario partir de los conceptos y experiencias que el alumno posee y sus capacidades-destrezas básicas, para desde ahí elaborar adecuadamente los nuevos aprendizajes tanto conceptuales (arquitectura del conocimiento) como instrumentales (nuevas destrezas a desarrollar). La evaluación diagnóstica en este contexto es el punto cero del aprendizaje, que facilita la reelaboración de conceptos y el conflicto cognitivo desde una base firme y sólida (Román y Diez, 1994, 1999, 2000)3

2 Programa de estudio. MINEDUC.3 E. Diéz L. y M. Román P. Conceptos básicos de las reformas educativas iberoamericanas. Edit. Andrés Bello.

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2.2. Aprendizajes evaluados, actividades y tiempo de aplicación

Cada instrumento esta organizado en función de las competencias y niveles de desempeños considerados oportunos de evaluar en los alumnos. Por lo tanto se hace necesario que el profesor (a) previo a la aplicación de ellos, en particular del tema Números, revise la Tabla de especificaciones con el objeto de estudiar los diferentes aspectos que cubre el diagnóstico, donde se especifica: el ámbito de las habilidades evaluadas, las competencias, aprendizajes e indicadores considerados para cada ítem en particular. El estudio previo de estas especificaciones e instrumento mismo, sin duda, son importantes de manejar para la claridad del proceso de implementación y posterior revisión de la evaluación a la cual se someterá a los estudiantes.

Habilidad Competencia Aprendizaje Descriptores Item Nº

Conocimiento

Emplear e interpretar contextualizadamente las formas de expresión de diferentes tipos de números pertenecientes a diversos conjuntos numéricos (naturales, decimales, enteros racionales.

1. Reconocer la decomposición y composición aditiva y multiplicativa de un número natural en unidades y múltiplos de potencias de 10.

1.1 Identificar el número que se forma a partir de la suma de productos de un dígito por múltiplos de una potencia de 10.

1

2. Reconocer como suma ponderada de potencias de base 10 y exponente entero cualquier número natural.

2.1 Identificar el número que corresponde al producto de un número o suma de productos de un número cualquiera por una potencia de base 10 y exponente natural.

2-3

3. Interpretar y escribir números decimales asociados a diferentes magnitudes.

3.1 Determinar el valor que, de acuerdo a la medida, representa la cifra de un número en la posición de los: décimos, centésimos o milésimos.

4

3.2 Escribir a su equivalente unidad de medida, en número decimal o entero, diferentes magnitudes de: longitud o masa.

5-6-7

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Habilidad Competencia Aprendizaje Descriptores Item Nº

Resolución de problemas

Reconocer que un problema se puede expresar, plantear y resolver utilizando algoritmos simples.

1. Resolver problemas utilizando situaciones aditivas y multiplicativas o combinación de ellas, de números enteros, fracciones y decimales positivos.

1.1 Resuelven problemas simples donde para su solución apliquen una: adición, sustracción, multiplicación o bien una división.

11-1213-14

1.2 Resuelven problemas donde para su solución apliquen la combinación de dos o más operaciones de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y o transformación de unidades de medida.

15-1617-18-19

1.3 Asociar e inferir información relevante a partir de un procedimiento algorítmico específico.

20-2122-23

2. Resolver problemas de crecimiento y decrecimiento aditivo o exponencial para interpretar y expresar el resultado utilizando simbología matemática.

2.1 Determinar y expresar mediante simbología matemática el valor que completa una secuencia de crecimiento aditivo o multiplicativo.

24

3. Resolver problemas estableciendo relaciones de proporcionalidad directa e inversa, incluido el cálculo de porcentaje.

3.1 Calcular el porcentaje de un número.

25

3.2 Evaluar diferentes procedimientos algorítmicos para la solución de un problema.

26

3.3 Resolver diferentes problemas estableciendo relaciones de proporcionalidad directa e inversa.

27-28

3.4 Evaluar la veracidad de una afirmación establecida a partir de una relación de variación proporcional.

29

Estructuración y generalización de conceptos matemåticos

Utilizar conocimientos matemáticos y un razonamiento ordenado para establecer diferenciaciones progresivas en problemas de diferente contexto.

1. Probar el grado de verdad o falsedad de una afirmación matemática.

1.1 Evaluar el grado de verdad o falsedad de una afirmación matemática.

30

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2.2.1. Evaluacion diagnostica tema Números 2006

Protocolo de instrucciones para el profesor (a)

La Nivelación Restitutiva, considera la aplicación de un instrumento de evaluación de matemática en cada tema: Número, Álgebra y Funciones y Geometría. En su parte fundamental cada uno está destinado a diagnosticar el grado de conocimiento y manejo de aquellos aprendizajes esperados que han debido trabajar los alumnos y alumnas en el segundo ciclo de Educación Básica y que son considerados relevantes para dar inicio al proceso de enseñanza aprendizaje que deberán emprender los estudiantes en primer año medio.

Instrucciones generales para su aplicación

1. La prueba se aplica a todo el 1º año medio. Excepto aquellos casos que informados con anterioridad deban prorrogar la aplicación de la evaluación para una fecha posterior.

2. El tiempo asignado para la aplicación de la prueba es de 4 hora pedagógicas, sin embargo se debe privilegiar el que esta se termine, por lo tanto la decisión final quedará a criterio del profesor.

3. Si un alumno llega tarde a rendir su prueba el profesor tomará la decisión de asignar un tiempo proporcional a su retraso para que este pueda culminarla en el tiempo fijado, de lo contrario, puede administrarla en otro día para todos aquellos casos que fueron debidamente justificados.

4. Cualquier cálculo o dibujo lo pueden realizar en el espacio asignado para cada pregunta o bien, en caso contrario, entregar una hoja en blanco si alguno de ellos la requiere.

5. El profesor, si lo estima pertinente, puede leer en voz alta aquellas preguntas que por su vocabulario o redacción puedan complicar la comprensión del alumno. La reiterará a un alumno en particular cuando lo estime estrictamente necesario.

6. Si un alumno termina su evaluación antes del tiempo programado podrá salir de la sala o realizar otra actividad previamente acordada con la profesor (a).

2.2.2. Orientaciones para su revisión

La construcción del instrumento fue hecha en función de ítems de respuestas para el desarrollo, este es un punto importante, pues a partir del o los registros de procedimientos hechos por los alumnos estaremos en condiciones de hacernos un panorama general del nivel de trabajo y dominio de contenidos y conceptos que tiene cada alumno. Por ejemplo: es probable que la respuesta final de un alumno en una pregunta no sea la correcta, pero sí su desarrollo da cuenta clara que su procedimiento estaba bien encaminado, que su secuencia de operaciones lo conducían definitivamente a la respuesta acertada, pero tuvo problemas en el

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cálculo u algoritmo de las operaciones involucradas. Mirado esto como proceso, ciertamente es determinante, ya que estamos en presencia de una situación que desde el punto de vista de la evaluación del aprendizaje, resulta significativa al momento de definir que se prioriza en el proceso.

Muchos de nuestros alumnos, dan muestra de tener conocimientos en acto que efectivamente tienen relación directa con lo que se les pregunta y que probablemente lo que no manejan es la solución experta o “deseada”, pero su desarrollo y registros dan muestra evidente de que efectivamente tenía muy en claro lo que se le preguntaba y debía resolver. Anteriormente señalamos la importancia para el proceso, del estudio y revisión previa de tablas e instrumento por aplicar, insistimos que en ellos se específica claramente lo que se desea evaluar, este aspecto es también determinante, por ello se insiste tener muy presente los objetivos de medición relacionados con cada ítem, por que efectivamente de estos depende en gran medida la claridad que se debe tener respecto de que es lo que se quiere que el alumno responda y no caer así, en subjetividades que nos disperse efectivamente del objetivo en cuestión. Ello permitirá además, afianzar el grado de objetividad y confiabilidad de la evaluación al momento de la distribución en grupos de nivel, pues la organización de competencias, desempeños e ítems son de complejidad creciente.

2.3. Tablas de desempeño, análisis de los resultados y criterios de conformación de los grupos de nivel.

A continuación se presentarán las tablas que permitirán evaluar cada uno de los item que conforman la evaluación diagnóstica del tema Números.

Habilidad Aprendizaje Item Nivel I Nivel II Nivel III

Conocimiento

Reconocer la descomposición y composición aditiva y multiplicativa de un número natural en unidades y múltiplos de potencias de 10.

1

Reconoce incorrectamente el número que se forma a partir de la descomposición aditiva multiplicativa de un número natural expresada en unidades y múltiplos de potencias de 10.

Reconoce de forma parcial el número que se forma a partir de la descomposición aditiva multiplicativa de un número natural expresada en unidades y múltiplos de potencias de 10.

Reconoce correctamente el número que se forma a partir de la descomposición aditiva multiplicativa de un número natural expresada en unidades y múltiplos de potencias de 10.

Reconocer como suma ponderada de potencias de base 10 y exponente entero cualquier número natural. 2 y 3

Reconoce incorrectamente el número que corresponde al producto de un número o a una suma de productos de un número cualquiera por una potencia de base 10 y exponente natural.

Reconoce de forma parcial el número que corresponde al producto de un número o a una suma de productos de un número cualquiera por una potencia de base 10 y exponente natural.

Reconoce correctamente el número que corresponde al producto de un número o a una suma de productos de un número cualquiera por una potencia de base 10 y exponente natural.

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Habilidad Aprendizaje Item Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3

Conocimiento

Interpretar y escribir números decimales asociados a diferentes magnitudes.

4

Interpreta y escribe incorrectamente el número que corresponde al valor de posición decimal de una cifra en un número dado, según el referente de magnitud utilizado.

Interpreta y escribe de forma parcialmente correcta el número que corresponde al valor de posición decimal de una cifra en un número dado, según el referente de magnitud utilizado.

Interpreta y escribe correctamente el número que corresponde al valor de posición decimal de una cifra en un número dado, según el referente de magnitud utilizado.

5

Interpreta y escribe incorrectamente a su equivalente unidad de medida el número que corresponde al valor de posición decimal de las cifras en un número dado, según el referente de magnitud utilizado.

Interpreta y escribe de forma parcialmente correcta a su equivalente unidad de medida el número que corresponde al valor de posición decimal de las cifras en un número dado, según el referente de magnitud utilizado.

Interpreta y escribe correctamente a su equivalente unidad de medida el número que corresponde al valor de posición decimal de las cifras en un número dado, según el referente de magnitud utilizado.

6

Interpreta y escribe incorrectamente a su equivalente unidad de medida el número que corresponde a la descomposición hecha, en lenguaje natural y numérico, de medidas de longitud diferentes.

Interpreta y escribe de forma parcialmente correcta a su equivalente unidad de medida el número que corresponde a la descomposición hecha, en lenguaje natural y numérico, de medidas de longitud diferentes.

Interpreta y escribe correctamente a su equivalente unidad de medida el número que corresponde a la descomposición hecha, en lenguaje natural y numérico, de medidas de longitud diferentes.

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Conocimiento

Interpretar y escribir números decimales asociados a diferentes magnitudes.

7

Interpreta y escribe incorrectamente a sus equivalentes unidades de medida las cifras enteras y decimales correspondientes a una unidad de longitud dada.

Interpreta y escribe de forma parcialmente correcta, a sus equivalentes unidades de medida, las cifras enteras y decimales correspondientes a una unidad de longitud dada.

Interpreta y escribe correctamente a sus equivalentes unidades de medida las cifras enteras y decimales correspondientes a una unidad de longitud dada.

Establecer y reconocer equivalencias entre fracciones, decimales y porcentajes.

8, 9 y 10

Establece incorrectamente la equivalencia entre: fracción y número decimal, fracción y porcentaje o número decimal y porcentaje, en el contexto de la situación planteada.

Establece correctamente en lenguaje natural la equivalencia o sólo parcialmente la equivalencia entre: fracción y número decimal, fracción y porcentaje o número decimal y porcentaje, en el contexto de la situación planteada.

Establece correctamente la equivalencia entre: fracción y número decimal, fracción y porcentaje o número decimal y porcentaje, en el contexto de la situación planteada.

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Resolver problemas utilizando situaciones aditivas y multiplicativas o combinación de ellas, de números enteros, fracciones y decimales positivos.

11, 12, 13 y 14

Resuelve incorrectamente problemas simples y directos en el ámbito de los números enteros, fraccionarios y decimales positivos, relacionando y resolviendo erróneamente con la operación de: adición, sustracción, multiplicación o división para hallar la solución.

Resuelve y relaciona de forma parcialmente correcta problemas simples y directos en el ámbito de los números enteros, fraccionarios y decimales positivos, planteando y resolviendo la operación de: adición, sustracción, multiplicación o división para hallar la solución.

Resuelve correctamente problemas simples y directos en el ámbito de los números enteros, fraccionarios y decimales positivos, relacionando, planteando y resolviendo sólo la operación de: adición, sustracción, multiplicación o división para hallar la solución.

15, 16, 17, 18 y 19

Resuelve incorrectamente diversos problemas en el ámbito de los números enteros, fraccionarios y decimales positivos, relacionando y resolviendo erróneamente con la operatoria combinada entre: adición, sustracción, multiplicación y división para hallar la solución.

Resuelve y relaciona diversos problemas de forma parcialmente correcta en el ámbito de los números enteros, fraccionarios y decimales positivos, planteando y resolviendo la operatoria combinada entre: adición, sustracción, multiplicación y división para encontrar la solución.

Resuelve correctamente diferentes problemas en el ámbito de los números enteros, fraccionarios y decimales positivos, relacionando, planteando y resolviendo la operatoria combinada entre: adición, sustracción, multiplicación y división para encontrar la solución.

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Resoluciónde problemas

Resolver problemas utilizando situaciones aditivas y multiplicativas o combinación de ellas, de números enteros, fracciones y decimales positivos.

20, 21, 22 y 23

Interpreta y concluye incorrectamente la información que se desprende a partir de la formulación de un procedimiento algorítmico, en el ámbito de los números enteros, fraccionarios y decimales positivos, que sintetiza la operación o combinación operatoria conducente a la solución del problema.

Interpreta y concluye de forma parcialmente correcta la información que se desprende a partir de la formulación de un procedimiento algorítmico, en el ámbito de los números enteros, fraccionarios y decimales positivos, que sintetiza la operación o combinación operatoria conducente a la solución del problema.

Interpreta y concluye correctamente la información que se desprende a partir de la formulación de un procedimiento algorítmico, en el ámbito de los números enteros, fraccionarios y decimales positivos, que sintetiza la operación o combinación operatoria conducente a la solución del problema.

Resolver problemas de crecimiento y decrecimiento aditivo o exponencial para interpretar y expresar el resultado utilizando simbología matemática.

24

Resuelve incorrectamente una situación problema, determinando y expresando erróneamente mediante simbología matemática o lenguaje natural el valor que completa una serie de crecimiento aditivo o multiplicativo.

Resuelve de forma parcialmente correcta una situación problema, determinando y expresando mediante simbología matemática o mediante lenguaje natural el valor que completa una serie de crecimiento aditivo o multiplicativo.

Resuelve correctamente una situación problema, determinando y expresando mediante simbología matemática el valor que completa una serie de crecimiento aditivo o multiplicativo.

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Resolver problemas estableciendo relaciones de proporcionalidad directa e inversa, incluido el cálculo de porcentaje.

25

Resuelve incorrectamente y no relaciona información en diferentes problemas que para su solución requieran del cálculo de porcentaje de un número.

Resuelve y relaciona información de forma parcialmente correcta en diferentes problemas que para su solución requieran del cálculo de porcentaje de un número.

Resuelve correctamente diferentes problemas que para su solución requieran del cálculo de porcentaje de un número.

26

Relaciona y evalúa incorrectamente el grado de verdad o falsedad de procedimientos algorítmicos cuyo planteamiento operatorio es conducente a la solución del problema.

Evalúa y prueba sólo de forma parcial el grado de verdad o falsedad de procedimientos algorítmicos cuyo planteamiento operatorio es conducente a la solución del problema.

Evalúa y prueba correctamente el grado de verdad o falsedad de procedimientos algorítmicos cuyo planteamiento operatorio es conducente a la solución del problema.

27 y 28

Resuelve estableciendo de forma incorrecta e incoherente las relaciones de proporcionalidad directa o inversa que permiten encontrar mediante algoritmos simples y combinados la operación u operaciones que conducen a la solución.

Resuelve estableciendo de forma parcialmente correcta las relaciones de proporcionalidad directa o inversa que permiten encontrar mediante algoritmos simples y combinados la operación u operaciones que conducen a la solución.

Resuelve estableciendo correctamente las relaciones de proporcionalidad directa o inversa que permiten encontrar mediante algoritmos simples y combinados la operación u operaciones que conducen a la solución.

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Resolver problemas estableciendo relaciones de proporcionalidad directa e inversa, incluido el cálculo de porcentaje.

29

Relaciona y evalúa incorrectamente el grado de verdad o falsedad de una afirmación hecha en lenguaje natural, cuya veracidad se puede comprobar mediante el razonamiento de procedimientos algorítmicos simples de proporcionalidad directa o inversa.

Evalúa y prueba de forma parcialmente correcta el grado de verdad o falsedad de una afirmación hecha en lenguaje natural, cuya veracidad se puede comprobar mediante el razonamiento de procedimientos algorítmicos simples de proporcionalidad directa o inversa.

Evalúa y prueba correctamente el grado de verdad o falsedad de una afirmación hecha en lenguaje natural, cuya veracidad se puede comprobar mediante el razonamiento de procedimientos algorítmicos simples de proporcionalidad directa o inversa.

Estructuración y generalización de conceptos matemáticos

Probar el grado de verdad o falsedad de una afirmación matemática.

30

Relaciona y evalúa incorrectamente el grado de verdad o falsedad de una afirmación hecha en lenguaje algebraico, cuya veracidad se puede comprobar mediante el razonamiento de procedimientos algorítmicos simples de valoración operatoria.

Evalúa y prueba de forma parcialmente correcta el grado de verdad o falsedad de una afirmación hecha en lenguaje algebraico, cuya veracidad se puede comprobar mediante el razonamiento de procedimientos algorítmicos simples de valoración operatoria.

Evalúa y prueba correctamente el grado de verdad o falsedad de una afirmación hecha en lenguaje algebraico, cuya veracidad se puede comprobar mediante el razonamiento de procedimientos algorítmicos simples de valoración operatoria.

Según las tablas de desempeño presentadas anteriormente hemos organizado en el cuadro los siguientes aspectos: habilidad contemplada en el diagnóstico, los desempeños evaluados, la asignación de nivel o categoría al o los desempeños y la cantidad de ítems que corresponden a cada nivel.

Diagnónstico del tema Números

El diagnóstico elaborado para el tema de Números, contiene 31 problemas o ítem a resolver por los estudiantes, los cuales hacen referenica a las habilidades matemáticas que deben ser desarrolladas en la enseñanza media (Procedimientos estadarizables, Resolución de problemas y Estructuración y generalización de conceptos matemáticos) y por otro lado quiere levantar evidencias con respecto a las disposiciones de aprendizaje de los estudiantes con respecto a los contenidos que fundan el conocimiento que debe ser desarrollado en el primero año medio.

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Siendo este el panorama general, a continuación se presentan algunas claves que permiten al docente distribuir a los estudiantes, de acuerdo a sus disposiciones de aprendizaje, en los diferentes grupos de nivel elaborados para este tema en particular.

A continuación el siguiente cuadro (Cuadro Nº 1) debe ser considerado para la distribución y ubicación de los alumnos en grupos de nivel, de acuerdo a los resultados obtenidos en la evaluación diagnóstica. Para ello será necesario la organización y recuento de:

• Resumen de ítems correctos por niveles de desempeño 1, 2 y 3 Cuadro Nº 1 Tema Números Distribución de resultados para determinar el grupo nivel que desarrollará un alum-

no, en función de los resultados en el diagnóstico

NivelesPrimero Medio

Distribución de desempeños Nivel 1



Grupo Nivel 1Si 14 o más respuestas se encuentran en este nivel de desempeño.

Si a lo más 8 respuestas se encuentran en este nivel de desempeño.


Grupo Nivel 2


Si 8 o más respuestas se encuentran en este nivel de desempeño.


Grupo Nivel 3



Si 6 o más respuestas se encuentran en este nivel de desempeño.

Como podemos observar en este cuadro, los estudiantes que deben desarrollar el grupo nivel 1, demostrarán en su diagnóstico, mayoritariamente desempeños del nivel 1 lo que implica que el desarrollo de las habilidades matemáticas se encuentran poco desarrolladas, es decir, por ejemplo, en el ámbito de resolución de problemas, tiene grandes dificultades para identificar la incógnita (o variable) que esta “en juego” para resolver el problema planteado, o presentan disposiciones de aprendizaje que permiten establecer que el estudiante tiene dificultades para analizar los datos o soluciones que se presentan en los diferentes probleas.

Los estudiantes que deben desarrollar el grupo nivel 2, presentan una distribución de sus desempeños que si bien pueden presentar, un mayor porcentaje de desempeños en el nivel 1, demuestran disposiciones de aprendizaje aceptables en el ámbito de las habilidades matemáticas, por ejemplo, el estudiante es capaz de discriminar las variables que son necesarias para resolver el problema o son capaces de realizar un tipo e análisis de la solución o datos que se presentan en el problema.

Los estudiantes que desarrollarán el grupo nivel 3, evidencian un tipo de dispociiones de aprendizaje que hacen alusión al desarrollo de las habilidades y conocimientos necesarios para enfrentar los saberes que deben ser desarrollados en la enseñanza media.

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Consideraciones importantes:

• En caso de distribuciones similares en dos niveles se favorece el nivel superior, siempre y cuando la distribución de incorrectas y/o omitidas (o no abordadas) sea menor que la distribución de correctas en cualquiera de los niveles.

• En caso de distribuciones iguales en los tres niveles, se ubica en el nivel medio, siempre y cuando la distribución de incorrectas y/o omitidas sea menor que la de correctas en cualquiera de los niveles.

• Si la distribución de incorrectas y/o omitidas corresponde a un tercio o más de la prueba el alumno debe realizar el grupo nivel 1.

Los casos siguientes se presentan como ejemplos para la aplicación del cuadro descrito anteriormente:

Caso I

Caso

Distribución de desempeñosNivel 1



Omitidos y/oIncorrectos

Caso I Distribución de desempeños son similar en los distintos niveles (dispersión de resultados tiende a ser equivalente en los tres niveles)

Una distribución menor a lo presentado en los niveles anteriores.

El alumno debe realizar el Grupo Nivel 2.

Caso II

Caso




Omitidos y/oIncorrectos

Caso II La dispersión de resultados mayoritariamente se encuentran en estos niveles, en forma equivalente.

La dispersión de resultados es equivalente en estos casos, pero comparativamente menor que en los niveles anteriores

El alumno debe realizar el Grupo Nivel 2.

Caso III

Caso




Omitidosy/oIncorrectos

Caso III

La dispersión de resultados se encuentra mayoritariamente en este nivel.

La dispersión de resultados en menor que la dispersión que en el nivel 1 pero mayor a la nivel 3

La dispersión de resultados es equivalente en estos casos, pero comparativamente menor que en los niveles anteriores

El alumno debe realizar el Grupo Nivel 1

Dist.ítemes

Dist.ítemes

Dist.ítemes

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Caso IV

Caso





Caso IV

Distribución similar al de los niveles 2 y omitidas o incorrectas

La dispersión de resultados se encuentra mayoritariamente en este nivel.

La dispersión de resultados mayoritariamente se encuentran en estos niveles, en forma equivalente


Caso V

Caso





CASO VLa dispersión de resultados mayoritariamente se encuentran en estos niveles, en forma equivalente

No presenta distribución en este nivel

Distribución similar al de los niveles 1 y 2


3 Trabajo en grupos de nivel

Las siguientes orientaciones no pretenden ser absolutas y tampoco coartar la creatividad del profesor (a), pero sí nos mueve el interés de que previo a la implementación de la propuesta que trae cada tema, éstas sean revisadas y analizadas, puesto que son complemento importante de la gestión que hará el profesor (a) en el aula. En síntesis, ellas dan cuenta del propósito y énfasis didáctico pensado y desarrollado en la elaboración de estos productos de enseñanza.

3.1. Consideraciones generales

Previo al inicio de la clase será de suma importancia que el profesor establezca un contrato didáctico con los alumnos, su objetivo fundamental es la definición de reglas y condiciones de trabajo que ambas partes acordarán y además se comprometen a cumplir durante el desarrollo de la clase. Recordemos que la organización del curso en grupos de nivel hace aún más necesario, para la eficacia de la propuesta y la atención diferenciada de los estudiantes, definir claramente con los alumnos la modalidad de trabajo: individual o en pareja, luego un momento de socialización del trabajo personal, donde cada uno tenga la posibilidad de comunicar sus hallazgos y compartir sus dificultades. Un tercer momento involucra al profesor, él puede realizar una puesta en común donde sea debatida y argumentada la producción de los alumnos. Es un momento importante, esta define y orienta la intervención posterior del profesor con un claro objetivo de conducción, es decir, en él recae la responsabilidad de realizar la consolidación final de los temas y conceptos trabajados en clase.

Dist.ítemes

Dist.ítemes

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La asignación del tiempo para el desarrollo de las actividades es importante. Se sugiere asignar tiempos prudentes, de acuerdo al estudio preliminar que hará el profesor (a) de las actividades seleccionadas del cuadernillo, no es imperioso que todos los alumnos deban concluir el trabajo para iniciar la puesta en común, aquí es cuando las reglas establecidas en el contrato deben ser consistentes. No olvidemos que la puesta en común es un momento que debe permitir a todos los alumnos confrontar: sus hallazgos, trabajo realizado y grado de responsabilidad en la ejecución de sus tareas.

3.2. Consideraciones generales respecto de la consolidación del conocimiento

Un momento relevante en la gestión de la clase será aquel destinado a consolidar y sistematizar clase a clase o bien de una clase a otra, los conocimientos tratados por los alumnos. Los estudiantes asumirán, bajo las condiciones acordadas y estipuladas en el contrato didáctico, la modalidad de trabajo donde la distribución del tiempo y tareas asignadas, en los distintos momentos de la clase, darán cuenta del trabajo realizado. Insistimos en que esta consolidación es de responsabilidad del profesor, es el momento en que él conocimiento matemático se sistematiza. Es por esto que a continuación presentamos una síntesis de los contenidos y definiciones a trabajar durante la gestión de la clase para cada una de las unidades del cuadernillo. Posterior a esta presentación se entregan orientaciones didácticas importantes para cada unidad considerando el trabajo diferenciado que se debe hacer según la organización por grupos de nivel.

3.3. Sintesis de contenidos y definiciones por unidades de trabajo

3.3.1. Números: potencias, racionales e irracionales

En el desarrollo de este tema se abordaran varios contenidos y conceptos descritos en la síntesis anterior.

Potencias

En los cursos anteriores los alumnos deberían haber trabajado el concepto de potencia de un número, definido en:

a Z, n N, an = a a a a ……. a n veces Especial observación, se hace entonces respecto de la diferencia que existe

entre este desarrollo y una adición iterada. La cual puede expresarse como un producto, por ejemplo:

5 + 5 + 5 + 5 = 5 4 = 20

Que es distinto a:

5 5 5 5 = 54 = 625

Es importante reparar en este punto, pues sabemos que la adición iterada (repetida) de un cierto número no es lo mismo, que multiplicar este número

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varias veces por sí mismo. En otras palabras, según nuestro conjunto referencia, tenemos que:

a Z, n N, n a an

Se exceptúan de esta generalización los siguientes casos:

2 2 = 22 y 1 a = a

Potencias de base racional positiva y exponente entero

El conjunto referencia para el tratamiento del concepto de potencia cambia según los objetivos y contenidos planteados para NM1. El trabajo se desarrollará en el ámbito de los números racionales, por lo tanto, se denomina potencia de base racional y exponente entero, a toda expresión de la forma:

a n

b , con a

b Q, n Z y b 0

Cuyo desarrollo se puede escribir de la forma: a n

b = a

b a b

a b , ...

a b = a

a a

......

a b

b b

......

b = an bn

n factores

Se sabe que todo número racional distinto de cero, posee un inverso multiplicativo, lo que se puede escribir como:

Para a Q con a 0, a’ / a a’ = 1

Por lo tanto: a’ = 1 a , ya que: a 1

a = a a = 1 entonces,

el inverso multiplicativo de a es a-1, análogamente el inverso multiplicativo de a es a-n

Un aspecto importante durante el trabajo con los alumnos es hacer observación en aquellas situaciones donde se pueden establecer generalizaciones, es el caso de las potencias de base racional y exponente par. Todo número racional elevado a un exponente par, da como resultado un número racional positivo.

En general, para una potencia de exponente par, tenemos que:

a 2n

b Q,

a b Q, n Z y b 0

Para el caso de una potencia de base racional elevada a un exponente impar se conserva el signo de la base.

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Propiedades de las potencias

Unos de los tópicos considerados en el programa de NM1 es que el alumno trate inicialmente de forma experimental las propiedades de las potencias, para luego, establecer de forma más rigurosa su formulación y definición. En particular se enfatiza mayormente el uso y aplicación de las propiedades referidas a la multiplicación y división de potencias, sin descartar por cierto, el tratamiento con el resto de las propiedades. A continuación se presentan algunas de ellas considerando una base perteneciente al conjunto de los números racionales y exponente perteneciente a los enteros:

1. La potenciación es distributiva respecto de la multiplicación.

( a b)n = an bn

2. La potenciación es distributiva con respecto a la división.

a n

b =

an bn b 0

Reglas operatorias para el cálculo con potencias

1. Multiplicación de potencias de igual base

En general:

am an = am + n , a Q m, n Z

2. División de potencias de igual base

En general:

am an = am – n , a Q m, n Z

3. Potencia elevada a un exponente

En general:

amn , am • n a Q m, n Z

4. Potencias de exponente cero

En general:

a0 = 1 a Q con a 0

5. Potencia de exponente negativo

En general:

a-n = 1 n

a , a Q con a 0

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El Conjunto de los Números Racionales

Uno de los énfasis que se hace en NM1 es trabajar con los alumnos en el sentido de que ellos perciban como diferentes situaciones problemas que ha debido enfrentar el hombre en el ámbito de los números, requieren una ampliación del ámbito trabajado, creando otros conjuntos numéricos. Por ejemplo: ¿existe solución en el conjunto de los números natu-rales para 4 – 10? ¿Existe algún número entero que multiplicado por 3 sea igual a 1? La respuesta para las preguntas es negativa, de esta forma se obliga a los matemáticos a una ampliación del conjunto de los números naturales y del conjunto Z, respectivamente. Es así, como en este caso el conjunto de los números racionales aparece como solución a esta problemática. Este conjunto se representa con la letra Q (que proviene del inglés “quotient” que significa cociente) y se define:

Q = { r / r = a b , a Z, b Z, b 0 }

Al representar en la recta numérica algunos elementos de este conjunto, la situación queda representada de la siguiente manera:

… 3

2 - 1 1 2 0 1

2 1 3 2 …

Cada fracción es un número racional y a cada número racional le corresponden infinitas fracciones de igual valor. Por ello, el conjunto Q es reconocido como un conjunto denso, esto quiere decir que entre dos números racionales, por muy pequeña que sea su diferencia, entre ellos hay infinitos números racionales. No obstante, a pesar de considerar a Q como un conjunto denso, estos números no cubren completamente la recta numérica, quedando “espacios” en ella. Existe una correspondencia unívoca entre los números racionales y los puntos de la recta, pero esta relación no es recíproca.

N Z Q De acuerdo a lo dicho inicialmente, en el conjunto Q aparentemente se podrán realizar

todas las operaciones aritméticas y cumplirá con las propiedades correspondientes. Esto, no es del todo cierto, puesto que hay inconvenientes para realizar otro tipo de operaciones que el alumno deberá enfrentar más adelante, aquí nuevamente surgirá la necesidad de ampliación de este conjunto, que involucra construir otros conjuntos numéricos, tal cual se había comentado brevemente en un comienzo.

N Z Q

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Números racionales expresados en forma decimal

Recordemos que el alumno se verá enfrentado a esta conversión nuevamente. Para

expresar un número racional de la forma a b , b 0 a su forma decimal, es necesario

dividir el numerador por el denominador. De esta manera, el cociente podrá ser:

• Un número decimal finito.• Un número decimal infinito periódico.• Un número decimal infinito semiperiódico.

Definiciones:

1. Números decimales finitos: corresponden a los cocientes de divisiones exactas del numerador por el denominador de la expresión fraccionaria. Se caracterizan por tener una cantidad finita de cifras decimales a la derecha de la coma.

2. Números decimales infinitos periódicos: corresponden a los cocientes de divisiones inexactas del numerador por el denominador. Se caracterizan por tener uno o más cifras que se repiten infinitamente e inmediatamente después de la coma hacia la derecha. La cifra repetida infinitamente es llamada período.

3. Números decimales infinitos semiperiódicos: corresponden a los cocientes de divisiones inexactas del numerador por el denominador. Estos números se caracterizan por tener una o más cifras antes del período, que forman lo que se conoce con el nombre de anteperíodo.

Estas características serán un importante indicador para establecer experimentalmente con los alumnos, la diferencia entre lo que es conocido como número racional y un nuevo conjunto numérico llamado, el conjunto de los números irracionales.

El Conjunto de los Números Irracionales

El conjunto Q de los Números Racionales es el conjunto de los números que pueden

ser escritos de la forma a b , b 0 y que admiten expresiones decimales: finitas e

infinitas periódicas y semiperiódicas. Sin embargo, como fue señalado anteriormente exis-ten números cuya expresión decimal es infinita, pero no periódica, estos números se llaman Números Irracionales porque no es posible expresarlos como fracciones.

2 = 1,41421356… e = 2,71828182

= 3,14159265… 3 = 1,73205080…

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Definición de un número irracional

Llamamos número irracional a todo número que no puede escribirse en

forma de fracción a b donde a y b son números enteros, pero con b distinto

de cero. Es así, que el conjunto de los números irracionales se representa por la letra (I),

el conjunto de los Números Racionales (Q) y conjunto de los números irracionales (I) son disjuntos, es decir:

Q I =

La unión de ambos conjuntos dará origen a un nuevo conjunto, el que los alumnos deberán conocer más adelante, el de los Números Reales, que se representa por la letra:

Q I =

Al analizar la sentencia anterior, podemos establecer que la unión de ambos conjuntos, nos permite completar la recta real.

La introducción de un número irracional

Diversas son las formas de introducir los números irracionales. Una de ellas, es de tradición histórica: la geométrica, puesto que fueron los matemáticos griegos de la escuela Pitagórica los primeros en descubrirlo.

Este procedimiento emplea el Teorema de Pitágoras: “en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es equivalente a la suma de los cuadrados de los catetos”.

Sea un triángulo isósceles rectángulo cuyos catetos miden “1” (una unidad medida cualquiera). Encontrar la medida de su hipotenusa.

c2 = 12 + 12 c2 = 1 + 1 c2 = 2

Donde el valor de la hipotenusa se escribe:

C = 2

Esta expresión nos lleva a preguntarnos: ¿qué número elevado al cuadrado nos da 2? Sabemos que su valor está comprendido entre 1 y 2:

1 < 2 < 2 1,4 < 2 < 1,42

Obviamente que, realizando una serie de aproximaciones algorítmicas del cálculo de la raíz cuadrada de un número, permitirá acercarnos cada vez más a 2 .

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3.5.1.1. Orientaciones didácticas Número: potencias, racionales e irracionales, según niveles de grupo

Grupo Nivel 1

El alumno (a) inicia su trabajo con un problema muy simple que lo introduce al concepto de potencia. Se intenciona la organización gráfica de la situación con el propósito de lograr un mayor grado de comprensión, el diagrama de árbol permite visualizar de manera diferente el sentido y significado del problema. El procedimiento de solución planteado mediante registro gráfico posteriormente es convertido a registro numérico, este es un punto importante de manejar por el alumno, ambos procedimientos satisfacen la solución del problema pero evidentemente están formulados en registros (lenguaje) distintos.

En esta primera parte diremos que estamos en la recuperación del concepto de potencia que deben manejar los alumnos de este nivel. Se presentan diferentes actividades que permiten hacer funcionar esta noción, especial atención se debe poner en las distintas formas de notación que esta tiene. El uso de la calculadora juega un papel importante, las actividades están elaboradas para que el alumno “opere con pequeños programas” en una calculadora básica y científica, que le permitan reforzar el concepto y al mismo tiempo encontrar el significado de la operación introducida al digitar indistintamente uno u otro “programa”, lo importante es que siempre su cálculo sea relacional y de sentido a lo que está ejecutando. Relevancia cobran en este aspecto la discusión de las preguntas hechas una vez aplicado el “programa”.

Especial atención debe tener el docente al momento en que los alumnos digiten

25 Xy 0

y respondan la pregunta formulada posteriormente. Será el momento donde a partir de una demostración experimental se pruebe que 250 = 1 Lo que posteriormente se constituirá en una propiedad de las potencias. La consolidación que hará el profesor (a) del procedimiento y conocimiento involucrado en esta actividad, nuevamente es relevante.

La resolución de los problemas es un eje transversal fundamental en matemática, y este claramente es un pilar fundamental en muchas de las actividades planteadas en el cuadernillo. Se sugiere al profesor dedique especial atención a la producción que los alumnos hacen al resolverlos, como también de los procedimientos y argumentos que estos dan en su resolución, con el objeto de que los alumnos evalúen los distintos procedimientos empleados entre sus compañeros.

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En este nivel se trabaja experimentalmente el refuerzo de las propiedades de potencias. Ellas no son definidas como tal, sino que son introducidas a modo de dar respuesta a problemas de carácter intramatemático en el ámbito de la geometría. Importante es que el profesor anime los hallazgos y respuestas dadas por los alumnos, reforzando su argumentación para posteriormente tomarse de ésta al momento de consolidar y generalizar las propiedades trabajadas.

Se introduce y refuerza en este nivel las potencias de base 10 y el concepto de notación científica. Su propósito es que los alumnos se familiaricen con nuestro sistema de numeración decimal percibiendo de forma práctica, como éste también permite dar respuesta mediante el uso de la notación exponencial a diferentes problemas que requieren ser formulados con grandes o pequeñísimos números. Sirve de introducción a los ejercicios con potencias de exponente positivo y negativo, en situaciones en que es posible simplificar la notación, ayudando a la comprensión y descripción de situaciones. La contextualización no debe ser impedimento para trabajar estos conceptos con el rigor matemático que corresponde al nivel, sino que por el contrario, se busca dar sentido y significado a cómo la matemática ayuda a resolver y comprender los problemas de la vida cotidiana.

Las actividades relacionadas con la variación exponencial también se presentan en diagramas de árbol. Su propósito es que los alumnos visualicen de manera gráfica ritmos de crecimiento que se pueden describir por medio de la multiplicación o la adición iterada de un mismo número. Estos diagramas también se articulan con tablas de valores lo que permite a los alumnos formarse una idea de los crecimientos y decrecimientos. Es conveniente apoyar la elaboración de estas últimas para facilitar la comparación y visualización del proceso de crecimiento de un número, en conclusión diagramas y tablas son formas de registro diferentes, los cuales el (la) profesor (a) los puede traducir a registro numérico presentando la notación exponencial correspondiente.

Para este nivel también se intenciona y trabaja la representación geométrica de las potencias cuadradas y cúbicas. Hemos señalado reiteradamente que uno de los propósitos es que los alumnos y alumnas logren visualizar y comprender de mejor forma la potenciación. Se sugiere la posibilidad que para efectos de esta actividad, los alumnos puedan construir en material concreto los modelos que sirven para la generación de esquemas mentales de representación de estos conceptos y junto con ello, proponer una variación de actividades que contribuyan a una mejor apropiación de los mismos.

Los números racionales son incorporados a partir de la resolución de problemas, que no tan sólo requieren del cálculo con fracciones y decimales, sino que también, generen la necesidad de hacer estimaciones y aproximar resultados. El trabajo a realizar por los alumnos, requerirá de la relación que ellos deben hacer entre los datos y los resultados obtenidos,

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nuevamente el sentido y significado de los resultados se convierte en un punto relevante a tratar por el profesor. Un trabajo importante a realizar por los alumnos es lo que dice relación con las expresiones decimales finitas e infinitas: periódicas y semiperiódicas, en ellas se les plantea establecer regularidades numéricas, que permitan conjeturar y caracterizar estas expresiones.

Para este nivel se amplía el tratamiento que se da a los números irracionales, se propone establecer una comparación entre número racional e irracional, de forma tal, que los alumnos puedan discriminar y caracterizar a ambos conjuntos. Para el caso de los números irracionales se pide la ubicación geométrica de algunos de ellos en la recta numérica, importante será que el profesor (a) plantee a sus alumnos preguntas que los lleven a pensar que esos números irracionales, en cierto modo, ayudan a completar los “espacios” no cubiertos por otros números, acercándonos de esta forma a una idea intuitiva de lo que será más tarde la recta real.

La sección ¡A investigar! en esta oportunidad plantea un desafío de tipo heurístico, donde los alumnos se verán en la necesidad de: observar, constatar y conjeturar sobre la presencia de patrones o regularidades numéricas. De este modo, los alumnos deberán argumentar sus hallazgos, lo que indudablemente, permitirá validar estrategias y procedimientos que dieron solución al problema. Un aspecto importante a considerar más tarde, es que estas secciones podrán ser utilizadas nuevamente en el cuadernillo de álgebra, donde este tipo de situaciones a resolver es interesante poder generalizarlas mediante expresiones algebraicas.

Grupo Nivel 2

Los alumnos trabajarán de forma más directa el concepto de potencia para el nivel. Se proponen actividades que varían en función de las capacidades y conocimientos que distingue a este grupo de alumnos del nivel anterior. La propuesta nuevamente está centrada en hacer funcionar la noción de potencia, especial atención se debe poner en las distintas formas de notación que esta tiene. Sabemos que el uso de la calculadora juega un papel importante, por lo tanto, aunque las actividades presentadas para tal efecto son menores que en cuadernillo de nivel 1, se propone asignar en clase o dar como tarea complementaria actividades que refuercen la noción de potencia mediante el uso de esta herramienta, teniendo presente las orientaciones didácticas hechas anteriormente. Lo importante es que siempre su cálculo sea relacional y de sentido a lo que está ejecutando. Relevancia cobran en este aspecto la discusión de las preguntas hechas una vez aplicado los “programas” y utilidad de las funciones de que se disponen las calculadoras.

Nuevamente hacemos hincapié en que la resolución de problemas es un eje transversal fundamental en matemática y pilar de las muchas actividades planteadas en los diferentes cuadernillos. El profesor debe poner especial atención en: la producción que los alumnos hacen al

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resolverlos, procedimientos, estrategias y argumentos. En este sentido se proponen problemas ligados a trabajar de forma experimental en el refuerzo del concepto de potencias cuadradas y cúbicas, como también de las propiedades de potencias. Estas últimas no son definidas como tal, sino que son introducidas a modo de dar respuesta a problemas planteados en contextos geométricos. Se sugiere revisar los hallazgos de los alumnos, orientando y reforzando su argumentación, estos conocimientos en acto serán relevantes al momento en que el profesor consolide y generalice las propiedades trabajadas. Por último se insiste en la posibilidad que para efectos de este tipo de actividades, los alumnos puedan construir en material concreto los modelos que servirán para la generación de esquemas mentales de representación de estos conceptos y junto con ello, trabajar variadas actividades que contribuyan a una mejor apropiación de los mismos.

En este nivel también se llevan a cabo actividades relacionadas con la variación exponencial. Los problemas preliminarmente son desarrollados empleando diagramas de árbol y tablas de valores, ambos registros permite que los alumnos visualicen de manera gráfica ritmos de crecimiento y decrecimiento. Es conveniente apoyar la elaboración de estas últimas para facilitar la comparación y visualización del proceso de crecimiento de un número. Diagramas y tablas son formas de registro diferentes, los cuales es conveniente que el profesor (a) los traduzca a registro numérico con el fin de establecer la relación de congruencia entre ellos y fortalecer la apropiación de los conceptos involucrados.

Los números racionales e irracionales son incorporados a partir de la resolución de problemas, las respuestas obtenidas permitirá a los alumnos comparar y caracterizar a cada uno de ellos. Nuevamente el trabajo está centrado en la relación y análisis que ellos deben hacer de los datos, sentido y significado de los resultados obtenidos, un aspecto relevante a tratar por el profesor. Un trabajo importante a realizar por los alumnos es lo que dice relación con las expresiones decimales finitos e infinitos, en ellas se les plantea establecer regularidades numéricas, que permitan conjeturar y caracterizar ambos tipos de números. A los alumnos se les pide trabajar en la ubicación geométrica de algunos números irracionales en la recta numérica, importante será que el profesor (a) plantee a sus alumnos que los irracionales se ubican en “espacios” no cubiertos por otros números, acercándonos de esta forma a una idea intuitiva de lo que será más tarde la recta real.

Por ultimo en la sección ¡A investigar!, ya dijimos, plantea un desafío de tipo heurístico, los alumnos se verán en la necesidad de: observar, constatar y conjeturar sobre la presencia de patrones o regularidades numéricas. Ellos deberán argumentar sus hallazgos, lo que sin duda, permitirá validar estrategias y procedimientos que dieron solución al problema. Un aspecto importante a considerar más tarde, es que estas secciones podrán ser utilizadas en el cuadernillo de álgebra, donde será interesante que los alumnos trabajen en la generalización de sus respuestas mediante expresiones algebraicas.

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Grupo Nivel 3

Por la estructura y propuesta de los cuadernillos en este nivel es conveniente tener presente las orientaciones señaladas anteriormente, estas no son bajo ningún punto de vista excluyentes, por el contrario, vienen en fortalecer la secuencia, tratamiento y rigurosidad de los contenidos y conceptos a trabajar por estos alumnos.

El tratamiento y profundidad de los conceptos puede ser de mayor exigencia. Por tanto, se sugiere al profesor (a) complementar su trabajo proponiendo a los alumnos actividades y problemas anexos que contribuyan a fortalecer y profundizar las nociones abordadas. Si lo estima necesario, podrá hacer variaciones en cantidad y rigurosidad, de acuerdo al nivel, de los temas que no aparecen en este cuadernillo pero que si lo están en los anteriores, intencionando nuevamente la profundización y extensión de contenidos.

Hacemos hincapié una vez más en la resolución de problemas, eje transversal fundamental en la propuesta para el desarrollo de contenidos y conceptos matemáticos. Los problemas planteados en los diferentes temas del cuadernillo, deben ser de especial atención por parte del docente. La producción que los alumnos hacen al resolverlos, sus procedimientos, estrategias y argumentos son valiosos respecto de los conocimientos en acto que entran en juego y de las variadas estrategias con las que nos podemos encontrar. En virtud de esto, no menor es la importancia que toma la consolidación y sistematización que el profesor (a) debe hacer de los conocimientos involucrados.

3.5.2. Variación proporcional

Este segundo tema, aborda en términos generales el tratamiento de la proporcionalidad directa e inversa, características y sus implicancias.

Tablas

El procesamiento de la información es muy importante hoy en día, diariamente nos llega de una u otra forma mucha información. Una manera efectiva de emplearla y organizarla provechosamente es llevando estos datos a un esquema que sintetice adecuadamente las frecuencias de la(s) variable(s) registradas en esos datos, a estas les llamamos: tabla de frecuencias.

METROTRANSPORTE DE PASAJEROS EN EL METRO DE SANTIAGO JULIO-SEPTIEMBRE 2004

MES Línea 1 (miles) Línea 2 (miles) Línea 5 (miles)

Adultos Estud.* Ad. Mayor Adultos Estud.* Ad. Mayor Adultos Estud.* Ad. Mayor

Julio 9.948 2.289 154 2.405 759 57 3.205 836 61

Ago. 10.142 2.275 157 2.425 949 58 3.251 1.079 63

Sept. 10.018 2.722 154 2.721 957 60 3.231 1.006 62

* Incluye escolares gratuitos y pagadosFuente: METRO S.A.

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En esta tabla se presenta un recuento de los pasajeros que se movilizaron en metro en el período julio – septiembre del 2004; por ejemplo, nos informamos que en el mes de julio en la línea 1 se movilizaron 2.289 escolares. La naturaleza de la variable estudiada en este caso es de carácter cuantitativo. La tabulación que se hace de la información se complementa provechosamente con la repre-sentación gráfica, lo que hace más evidentes algunas características globales de los datos, los cuales sería más difícil de captar si sólo consultásemos la base de datos original. Se debe hacer notar que la presentación de los datos en forma de tabla de frecuencias se parece, pero no es lo mismo que la tabla de valores de una función.

Gráficos

Otra forma de procesar la información recibida diariamente es por medio del empleo de gráficos, estos se relacionan de manera directa con las tablas de frecuencia. Por lo tanto, una manera efectiva de usar la información reunida a través de los datos, es traduciendo estos en un modelo que, en forma gráfica, resuma adecuadamente las relaciones entre ellos. Su representación puede ser más o menos abstracta y hay criterios orientadores que permiten tomar decisiones adecuadas a la hora de representar gráficamente un conjunto de datos. Los principales son:

• Identificar el tipo de variable(s) involucrada(s)

• Definir claramente el propósito del gráfico.

• El público a quien eesta dirigido.

El primero de ellos hace alusión a la distinción que debemos hacer entre variables, puesto que en un gráfico estas se relacionan y permiten medir algunas características. Las variables pueden ser de naturaleza cualitativa o cuantitativa, las últimas se clasifican en: discretas y variables continuas; la diferencia radica en que para una variable discreta el conjunto de posibles valores es numerable y toma valores en un conjunto finito, a diferencia de una variable continua, que no es numerable, por lo tanto, puede tomar valores en un conjunto infinito de valores. En el segundo caso “objetivo del gráfico” podemos diferenciar entre “mostrar la distribución de frecuencias de una variable” y “ mostrar la asociación entre dos variables”, así combinando estos dos criterios presentaremos en esta oportunidad dos escenarios posibles:

Mostrar la distribución de frecuencias de una variable discreta:

A B C X

f

A

B

C

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Mostrar la distribución de frecuencias de una variable continua:

“Un gráfico o diagrama requiere explicarse por sí mismo y transmitir información, sin hacer referencia a un texto o a alguien que lo explique. La selección cuidadosa de títulos, descripción de escala, subtítulos y otras leyendas contribuyen a lograr este objetivo” (Ferris J Ritchey. Estadística para las ciencias sociales. El potencial de la imaginación estadística. Mc Graw Hill)

El contenido desarrollado anteriormente se integra y articula con el tema principal a tratar en el cuadernillo: La variación proporcional, puesto que las situaciones asociadas a este concepto permiten ser organizadas y comunicadas a través de tablas y gráficos. Revisemos algunos de los contenidos y conceptos claves de este tema.

Razones y proporciones

Se llama razón entre dos cantidades a y b a la comparación de ellas por cociente o división. Su notación queda definida por:

La razón entre a y b se escribe a b o bien a : b, con b 0, para ambos casos su

lectura es: “a es a b”

Los elementos o partes que constituyen una razón se llaman: antecedente y consecuente. Respectivamente, el primero corresponde al numerador y el segundo al denominador de una fracción.

a b antecedente

consecuente Toda razón tiene un cociente llamado valor de la razón. Así:

a b = k; k R

(k: valor de la razón). A continuación se nombran algunas razones bastante importantes:

Número de habitantes de un país, Distancia y Fuerza ejercida

Superficie en Km2 Tiempo Unidad de superficie

Información tomada de Unidad 4_template.Sitio Web

X1 X2 X3 X4 X

f

X1 X2 X3 X4 X

f

— 52 —

Dos razones iguales forman una proporción. Sean:

a b y

c d con a y d 0, dos razones iguales, entonces:

a b = c

d , a, b, c, d , b 0; d 0

Se escribe también de la siguiente forma: a : b = c : d En ambos casos se lee: “a es a b como c es a d” En una proporción distinguimos términos medios, términos extremos, antecedentes y consecuentes.

Teorema fundamental de las proporciones

Dos razones forman una proporción si y sólo si el producto de sus términos extremos es igual al producto de sus términos medios.

a b = c

d a d = b

c, b 0 d 0 Dada una proporción, se puede obtener otras proporciones con los mismos

términos, aplicando las siguientes transformaciones:

a) Permutar razones a b =

c d

c d =

a b

b) Invertir razones a b =

c d

b a =

d c

c) Alternar medios a b =

c d

a c =

b d

d) Alternar extremos a b =

c d

d b =

c b

e) Componer una proporción con respecto al antecedente y consecuente.

a b =

c d

a + b a =

c + d c

a + b b =

c + d d

f) Descomponer una proporción respecto del antecedente y consecuente.

a b =

c d

a - b a =

c - d c

a - b b =

c - d d

g) Componer y descomponer una proporción

a b =

c d

a + b a - b =

c + d c - d

Proporcionalidad directa

Dadas dos magnitudes x e y, se dice que son directamente proporcionales si x es directamente proporcional a y o bien x varía proporcionalmente a y, si y solo si la razón entre un valor cualquiera de x y el correspondiente valor de y es constante.

— 53 —

Entonces: x y = k x = y k

Si al comparar dos pares ordenados (x , y) y (x1 , y1) se cumple que:

x1 = x k y y1 = y k, k R, entonces dichos pares pertenecen a un conjunto

que es directamente proporcional. Luego los pares (x , y) y (x1 , y1) forman una proporción:

x x1

= y y1

x = y k

En conclusión, si las variables x e y toman valores reales en forma continua, el gráfico de y = kx es una línea recta que pasa por el origen.

Proporcionalidad inversa

Dadas dos magnitudes x e y, se dice que son inversamente proporcionales si x es inversamente proporcional a y o bien x varía inversamente a y, si y solo si el producto entre un valor cualquiera de x y el correspondiente valor de y es constante.

Entonces: x y = k x = k y

Si al comparar dos pares ordenados (x , y) y (x1 , y1) se cumple que: x y = k y x1 y1 = k, k R, entonces dichos pares pertenecen a un conjunto que inversamente proporcional. Luego los pares (x , y) y (x1 , y1) forman una proporción:

= y1 y x

y1 = x 1

y1

x x1

El gráfico de x y = k corresponde a una curva llamada hipérbola.

y = kxy

x

y = kx

y

x

— 54 —

3.1.1.1. Orientaciones didácticas Variaciones proporcionales, según niveles de grupo

Las orientaciones también tienen como propósito que el profesor (a) se familiarice y pueda hacer suya la propuesta desarrollada en los cuadernillos. Recordamos que cuadernillo y manual son materiales complementarios en el tratamiento de los contenidos y conceptos a trabajar en el presente tema.

Grupo Nivel 1

Se introduce a los alumnos de este nivel en la lectura e interpretación de tablas y gráficos. Las actividades están elaboradas en función de una secuencia de aprendizaje que permita reforzar técnicas de lectura e interpretación, en este tipo de representaciones. Por ello, en un comienzo se les pregunta por aspectos básicos, por ejemplo: identificar filas y columnas, relacionar la información entre estas e incluso poder inferir información a partir de los patrones descubiertos. Junto con la lectura y el análisis se da tiempo para la aplicación mediante la construcción de estas representaciones, que permitirán organizar y trabajar con la información. Aquí es importante que el profesor (a) oriente el proceso de observación en cuanto a: la comparación de los gráficos, identificación de las variables puestas en juego, congruencia entre gráfico y tabla de frecuencia y la pertinencia de qué gráfico usar, es indispensable que estos aspectos sean trabajados sistemáticamente. Especial atención se pide tener con los gráficos de línea y circulares, puesto que más adelante serán utilizados con mayor frecuencia, el primero en lo que concierne a representaciones de proporcionalidad directa y el segundo en el tema variaciones porcentuales. Por último no debemos olvidar que el alumno debe lograr tomar la decisión acertada respecto de qué gráfico emplear para la representación de una u otra situación en estudio.

Insistimos nuevamente en la contextualización que se hace de la mayoría de los problemas, su objetivo es acercar los problemas de la realidad al conocimiento matemático, pues en definitiva este permite resolver un sinnúmero de situaciones de la vida diaria. Es así, como en el tema de razones, proporciones y constante de proporcionalidad, se enfatiza este punto. Los alumnos de este nivel deberán desarrollar varias actividades que promueven la reflexión y análisis de diferentes situaciones asociadas a los contenidos descritos anteriormente. Particularmente se pide al profesor (a) que durante la gestión de su clase intencione la comprensión, sentido y significado del concepto de razón y de proporcionalidad y no proporcionalidad. La adecuada y correcta comprensión de su significado será relevante en este grupo de alumnos, pues no debemos olvidar que a partir de ellas podrán articular y transferir lo aprendido a los conceptos de proporción directa e inversa a tratar más adelante.

De preferencia se emplearán gráficos cartesianos, por lo tanto, al constituirse estos como registro gráfico e incluso geométrico de una situación determinada dificulta en cierto modo su comprensión, puesto que el alumno está más habituado al trabajo en registros numéricos. Ambos, representan el mismo concepto por lo que el profesor (a) debe tener especial cuidado en mediar durante su gestión para que los alumnos logren comprender y articular la información contenida

— 55 —

en ellos, de ahí la importancia de estar en una constante sistematización de la información contenida y representada en: tablas, gráficos y registros numéricos. Importante será que los alumnos logren, a partir de la información contenida en un gráfico de proporcionalidad directa, abstraer: las variables que están en juego, las razones, la constante de proporcionalidad y por que no, la tabla de valores que permite construir dicho gráfico.

Para el trabajo de proporcionalidad directa e inversa, es de suma importancia establecer momentos de la clase, el análisis de este tipo de proporcionalidad, es fundamental en la apropiación de los conceptos involucrados. Los alumnos deberán responder a varias situaciones problemas donde el estudio y análisis se intenciona sistemáticamente: lectura e interpretación de tablas, lectura e interpretación de gráficas que representan variaciones directa e inversamente proporcionales, identificación de la constante de proporcionalidad, de forma tal, que en virtud de la constante pueda obtener los valores de la otra variable. Los alumnos trabajarán además el planteo, resolución y validación de las ecuaciones que satisfacen la solución de un problema. Se sugiere que la gestión del profesor en cada clase, culmine o bien siempre considere, la consolidación y sistematización de los conocimientos y definiciones matemáticas trabajadas.

Grupo Nivel 2

El trabajo a emprender por los alumnos de este nivel considera una menor restitución, principalmente de aquellos contenidos considerados básicos. Esto no exime al profesor (a) de la posibilidad de complementar las actividades del nivel con aquellas que le parezcan más adecuadas para profundizar y/o hacer variaciones. El énfasis debe estar puesto en los propósitos de fondo señalados para el nivel 1, es decir: orientar el proceso de observación en cuanto a la comparación de los gráficos, identificación de las variables puestas en juego, congruencia entre gráfico y tabla de frecuencia y la pertinencia de qué gráfico usar, es indispensable que estos aspectos sean trabajados sistemáticamente. Especial atención se pide tener con los gráficos de línea y circulares, puesto que más adelante serán utilizados con mayor frecuencia, el primero en lo que concierne a representaciones de proporcionalidad directa y el segundo en el tema variaciones porcentuales. Otro aspecto a considerar son las preguntas que los alumnos deberán responder, ellas han sido elaboradas de forma tal, que buscan problematizar a los alumnos. La indagación y búsqueda de procedimientos para dar respuesta a cada problema es conveniente que sea debatido en la puesta en común.

Un aspecto que es recomendable es el estudio y análisis de las situaciones que constituyen una relación de proporcionalidad y no proporcionalidad. “Estas actividades apuntan a que se haga una primera distinción entre situaciones donde existe una variación proporcional y aquellas en la que no la hay. Se trata de que los alumnos primero determinen si existe una relación y, segundo, caractericen dicha relación. Un criterio es el de la posibilidad de encontrar valores desconocidos a partir de los datos de la tabla a través del establecimiento de pares de razones iguales (que permiten calcular un valor desconocido). De este modo, por ejemplo,

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aunque exista una relación entre la edad de una persona y la estatura, ella no es proporcional, es decir, la estatura no varía proporcionalmente con la edad y depende, también, de otros factores, existiendo una gran variedad de casos” (Programa NM1).

El empleo de gráficos cartesianos en el primer cuadrante será frecuente en el estudio de las situaciones de proporcionalidad. Este tipo de registro puede ser tratado con mayor profundidad en este grupo, intencionando de forma más directa su análisis. La congruencia que ellos pueden establecer entre los diferentes registros puede ser lograda en menor tiempo. Se hace hincapié en la comprensión que deben hacer de las operaciones puestas en juego, el significado de los datos en función del contexto, de ahí la importancia de estar en una constante sistematización de la información contenida y representada en: tablas, gráficos y registros numéricos. Se reitera lo relevante que será el que los alumnos logren, a partir de la información contenida en un gráfico de proporcionalidad directa o inversa, abstraer: las variables que están en juego, las razones, la constante de proporcionalidad y la tabla de valores correspondiente a dicho gráfico.

En los momentos en que el profesor lo encuentre pertinente podrá realizar una puesta en común que abarque la ejecución y tratamiento de un mismo concepto, el trabajo diferenciado pero colaborativo es importante de realizar, en el cada alumno planteará sus procedimientos los cuales deberá validar ante el resto de los compañeros. Ya se mencionó anteriormente que el trabajo de proporcionalidad directa e inversa, es el que mayor tiempo demandará a los alumnos y alumnas, el análisis de este tipo de proporcionalidad, es fundamental en la apropiación de los conceptos involucrados. Los alumnos deberán responder a varias situaciones problemas donde el análisis se intenciona sistemáticamente: lectura e interpretación de tablas, lectura e interpretación de gráficas que representan variaciones directa e inversamente proporcionales, identificación de la constante de proporcionalidad, de forma tal, que en virtud de la constante pueda obtener los valores de la otra variable. Los alumnos trabajaran además el planteo, resolución y validación de las ecuaciones que satisfacen la solución de un problema. En este punto, a lo mejor se hará necesario considerar un bloque de clase dedicado exclusivamente al refuerzo del tema ecuaciones, recordemos que ellas deben ser la instancia de solución en varios problemas, por lo tanto, la congruencia entre el enunciado y su planteo no es fácil y requiere de un mayor tiempo de trabajo.

Grupo Nivel 3

En las orientaciones planteadas con anterioridad a este tema, señalamos que teniendo en claro que este grupo probablemente presente menos dificultades de apropiación y dominio de conocimientos, no lo exime de trabajar de modo diferenciado las orientaciones de fondo que en este se plantean. Es probable, que el nivel de trabajo permita consolidar en menor tiempo los aprendizajes esperados para este grupo, pero el profesor (a) puede en forma planificada introducir variaciones a muchos de los problemas planteados, seleccionar y generas otros nuevos, sin perder de vista la organización y objetivo didáctico intencionado en la propuesta.

— 57 —

Se sugiere, tratar con mayor profundidad los conceptos involucrados, inclusive gestionando la posibilidad de que los alumnos expongan y validen sus estrategias y resultados, situación que contribuye enormemente al desarrollo de sus habilidades y autoestima. “Como en los años anteriores, se insiste, también, en otorgar a los estudiantes la oportunidad de desarrollar sus propias estrategias para enfrentar una situación, incorporando paulatinamente, y en la medida que eso sea necesario, algunos procedimientos convencionales. En este sentido, se propone un trabajo muy relacionado con el enfrentar problemas abiertos, que provoquen la necesidad de encontrar soluciones, de aventurarse en la búsqueda de patrones, de soluciones más generales. El énfasis del trabajo debe estar puesto en la determinación de variaciones proporcionales directas o inversas, cuando corresponde, más que en el cálculo de valores de una proporción. Se enfatiza, en consecuencia, una mirada dinámica de las proporciones. En definitiva, se trata de ir desarrollando el razonamiento proporcional más que el aprendizaje de un conjunto de procedimientos preestablecidos (tales como la aplicación mecánica de la regla de tres, por ejemplo). Ello se realiza a partir de un conjunto de actividades que ponen en juego las intuiciones y conocimientos de los estudiantes, que les permiten ir sistematizando procedimientos, observando el comportamiento de las variables y obtener conclusiones” (Programa de estudio. MINEDUC).

3.5.3. Variación porcentual

Este tercer y último tema es de porcentaje. La correspondiente relación entre porcentaje, números decimales y fracciones. Según programa NM1 se pone énfasis en: el planteo de situaciones que involucren la lectura e interpretación de porcentaje.

Porcentaje o tanto por ciento

Son varias las formas en que este concepto se puede definir:

a) Un porcentaje o tanto por ciento corresponde a una fracción con denominador constante e igual a cien. La expresión porcentaje se abrevia mediante el símbolo %, que es una deformación de la abreviatura de ciento (cto.)

b) Porcentaje, o tanto por ciento, es la fracción de un número entero expresada en centésimas. El término se deriva del latín per centum, que significa “por ciento”, pues representa fracciones cuyo denominador es 100. Así, 20

por ciento significa 20 100 . Normalmente se representa con el símbolo %.

c) El “a % de una cantidad X” es una notación que se refiere al valor

“ a 100 . X ” y se lee “el a por ciento de la cantidad X”. La cantidad X se

denomina referente. El valor que puede tomar a es cualquiera, es decir, a es cualquier número real.

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Son varios los procedimientos que se pueden trabajar en el cálculo de un porcentaje. A continuación presentaremos algunas de ellas:

Trabajar el porcentaje como fracción de un número:

El 50 % de X se puede expresar o calcular mediante su fracción correspondiente, a

100 . X = 1 4 . X . Luego el 50% se puede expresar por medio de la fraccón

1 2

.

Trabajar el porcentaje como número decimal

“El 75 % de X se puede expresar o calcular mediante su fracción correspondiente, 75 100

. X = 0,75 . X ”. Luego 75 % es equivalente a 0,75 como número

decimal.

Casos particulares de cálculo de porcentaje

a) Calcular el tanto por ciento de una cantidad: de acuerdo con las definiciones anteriores, para determinar el tanto por ciento de una cantidad calculamos la fracción decimal (fracción de un número) correspondiente a dicha cantidad.

El a% de b es = a 100 . b = a • b

100 b) Calcular qué tanto por ciento es una cantidad de otra: se debe tener

presente que toda cantidad es de sí misma el 100%. En función de esto podemos preguntarnos ¿Qué porcentaje es a de b? así tenemos que: “b es el 100% y a es de b el porcentaje que deseamos determinar, es decir, a representa el x%. De esta forma podemos plantearnos la proporción:

b100% = a

x%

de donde, obtenemos: x = 100 • ab

c) Dado un porcentaje de una cantidad, calcular la cantidad: ¿de qué cantidad a es el b%? Ahora, en este caso se pregunta por la cantidad a la cual le corresponde el 100%

x100% = a

b% x 100 ab

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En el cálculo de porcentajes es conveniente aprender algunas equivalencias que pueden facilitar enormemente cálculos posteriores.

Porcentaje Fracción Porcentaje Fracción

1 %1

100 20%15

2%1

50 25%14

4%125 33 1

3 % 1

3

5%120 50%

12

10%110 100% 1

3.5.3.1 Orientaciones Didácticas Variación Porcentual según Niveles de Grupo

Los alumnos y alumnas de este nivel “tienen conocimientos sobre porcentaje, tanto desde el ámbito informal como desde su trabajo en los últimos años de Educación Básica. El propósito de su estudio es profundizar en él y aprender a expresar y calcular el tanto por ciento como operador multiplicativo, que es la forma en que se opera generalmente, en el ámbito del comercio y de las finanzas” (Programa NM1).

Grupo Nivel 1

En este nivel los alumnos y alumnas traen ciertas nociones sobre porcentaje, más desde el punto de vista informal que formal, pero ello es suficiente para intencionar un trabajo preliminar de recuperación del concepto de porcentaje. Se pone énfasis inicialmente en el cálculo de porcentaje por medio de la fracción de un número, contenido y concepto tratado en cursos anteriores. “El tratamiento sistemático y generalizado de los porcentajes es materia de los niveles posteriores. En consecuencia, en este nivel se enfatiza la interpretación y el cálculo de algunos porcentajes habituales y su escritura como decimal o fracción” (Programa de estudio). Se sugiere que el profesor (a) refuerce particularmente la equivalencia entre porcentaje, fracción y número decimal, todos registros numéricos que representan a la misma noción en estudio, pero que es importante que los alumnos lo comprendan. Señalamos anteriormente la dificultad con la que se encuentran los alumnos al momento de no establecer la debida congruencia entre los cambios de registro (5% de cierta cantidad es posible calcularlo utilizando su fracción correspondiente 1

20 ó 0,05 en el conjunto de los decimales).

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Se sugiere implementar sesiones de trabajo relacionadas con la publicación por diferentes medios de porcentajes aplicados en situaciones de la cotidianeidad. Revisar y analizar, la fuente, el ámbito y público al cual está dirigida la información. Los alumnos deben ir comprendiendo lo relevante que es el manejo de este concepto y sus diversas aplicaciones en el concierto: de la economía, comercio, producción, ciencia y en general, toda información que es oportuno y necesario comunicar mediante herramientas diversas (gráficos, tablas u otros) que comunican haciendo uso de este tipo de cálculo y registro.

Afianzar el conocimiento de los diferentes procedimientos aplicados en clase y consolidados por parte del profesor. El cálculo de porcentaje en términos de fracción de un número, multiplicación decimal o bien por medio del planteo de proporciones, junto con esto se debe hacer énfasis en la relación multiplicativa que tiene el determinar porcentajes. Por ello en cada cuadernillo se proponen tablas que permiten hacer la conversión entre: número expresado como porcentaje, fracción decimal y común y número decimal, de forma tal de facilitar un cálculo escrito o mental más práctico y eficiente.

La integración y articulación de los diferentes contenidos y conceptos trabajados que el alumno debe hacer en el desarrollo de las actividades, tiene relación directa con las temáticas desarrolladas anteriormente, es el caso de las fracciones, decimales y en particular, para este caso, el planteo y resolución de proporciones. De una forma u otra, en términos de la propuesta llevada a cabo y del trabajo implementado en clase los alumnos y alumnas deberían estar en mejores condiciones de aprendizaje para abordar este tema, puesto que además ya han trabajado dos anteriores, que tienen significativa relación con este último.

Grupo Nivel 2 y 3

Las orientaciones dadas para el grupo de nivel 1 son aplicables al nivel 2 y 3, en ello queremos ser categóricos. La distinción que se hace, lo hemos señalado anteriormente, está en términos de la: secuencia y organización de las actividades de aprendizaje, muchas diferentes, que median entre los diferentes grupos. Sumado esto a la significativa participación que el profesor (a) debe hacer para ir consolidando el conocimiento en juego, debería permitir la apropiación de los aprendizajes esperados para cada nivel y en particular, de los propuestos para primer año de enseñanza media.

4Un tema que está presente en esta unidad, que ya se comenzó a trabajar en niveles anteriores, es el de porcentajes. Más allá de calcular porcentajes referidos a ciertas cantidades, se proponen situaciones en que las y los estudiantes aborden variaciones proporcionales. No obstante, el primer aspecto no ha sido descuidado y está abordado, en particular, en contextos de análisis de situaciones de tipo estadístico. Se introduce el cálculo de frecuencias relativas y su representación en gráficos circulares.

5Cuando los alumnos trabajen diferentes tipos de información es muy importante determinar primero sobre qué base se calcularán los porcentajes para luego poder entender un porcentaje mayor. Usar expresiones que pueden ayudar a imaginar el porcentaje; por ejemplo, el 200% del peso inicial puede expresarse como el

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doble; así como el 900% correspondería a un alza de nueve veces. Se recomienda especial cuidado en el lenguaje, ya que aumentar en 50% (o 50% más) es equivalente con aumentar a un 150%, es decir, es equivalente a preguntarse por el 150% del valor inicial. El uso de la calculadora es importante para reforzar este concepto, por ello es conveniente dar significado a las operaciones y funciones que se aplican, por ejemplo: al usar la tecla porcentaje en una calculadora es claro que el valor que se ingresa primero es lo que se considera como el 100% y, en ese sentido su uso refuerza la importancia del referente (así, si el valor de un objeto, o cualquier otra unidad, aumenta a 150% basta con multiplicar el valor inicial por 1,5) Tanto la visualización del significado de los porcentajes como de las variaciones se pueden apoyar, también, con representaciones gráficas un aspecto abordado en el tratamiento hecho en cada cuadernillo.

— 62 —

Proyecto de Externalización: Números

El tabaco y la saludRazones y Porcentajes

Este proyecto se presenta de la siguiente manera:

1.- Orientaciones al profesor: De que se trata el proyecto y cuales aprendizajes se logran a través de su ejecución

2.- Desarrollo del proyecto mismo con indicación de los pasos a seguir.3.- Presentación de los resultados.

1.- Orientaciones al Profesor

Para realizar este proyecto, los grupos se conformarán con 4 o 5 compañeros y compañeras que se encuentren en el mismo nivel, según lo señale tu profesor o profesora.

¿En que consiste el proyecto?

Este proyecto quiere invitarlos a realizar un trabajo de investigación sobre cual es el porcentaje de personas que están cerca tuyo que fuman hoy. Este trabajo lo realizarán a partir de la recolección de datos y el análisis numérico de estos . En este caso los datos que se requieren para esta investigación son:

• Número de personas encuestadas • Cantidad de encuestados que fuman • Cantidad de encuestados que no fuman

¿ Qué importancia tiene este tema en otras áreas?

Desde el área de la biología

El hábito de fumar atenta seriamente en contra de la salud:

• La nicotina es un veneno que está en el humo del cigarrillo, que afecta el sistema nervioso, acelera el ritmo del corazón y aumenta la presión sanguínea.

• El humo del cigarro contiene monóxido de carbono, este gas impide que la sangre se oxigene completamente..

• En el alquitrán del humo del cigarrillo se encuentran muchas sustancias y algunas de ellas pueden provocar cáncer.

Desde la Educación Física

La persona habituada a fumar disminuye en su capacidad respiratoria , lo cual incide directamente en su capacidad física.

Es indispensable que planteen este tema a los profesores y profesoras de esas asignaturas. Ellos podrán aportarles importante información sobre el tabaco y sus efectos .

4

— 63 —

¿Qué conceptos matemáticos se aplicarán en este proyecto?

1. Razón: Comparar cantidades de una misma especie por medio de un cuociente

2. Porcentajes

¿ Cuáles son los aprendizajes que persigue este proyecto?

• Recolectar datos. • Tabular datos • Comparar por medio de una razón • Cálculos porcentuales

........y también....

En un trabajo de grupo existe la posibilidad de muchos aprendizajes como:

• Aprender a organizarse como grupo • Discutir interpretar los datos obtenidos • Llegar a consenso • Redactar un informe con los resultados obtenidos

Evaluación de los aprendizajes de los estudiantes

Para evaluar este proyecto se pone a disposición tablas de desempeño, con ellas ustedes podrán evaluar el niveles de desempeño que presenta cada uno de los estudiantes con respecto a los Objetivos Fundamentales descritos para primero medio que hacen referencia a esta unidad:Para esta unidad hemos revisado los distintos Objetivos Fundamentales de primero medio, y vemos que los Objetivos Fundamentales 2, 3, 4 y 5. son aquellos que hacen referencia a la unidad de variaciones porcentuales de primero medio, A continuación se despliegan las tablas de competencias descritas para cada uno de los Objetivos Fundamentales:

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NivelesCompetencia (OF2)

Desempeño incipiente

Desempeño básico

Desempeño aceptable

Desempeño adecuado

Analiza aspectos cuantitativos presentes en la vida cotidiana, describe y analiza situaciones con precisión.

El estudiante tiene dificultades para diferenciar los elementos cuantitativos y/o cualitativos de su entorno cotidiano.

El estudiante es capaz de diferenciar elementos cualitativos y cuantitativos de su entorno cotidiano, pero no establece relaciones que permitan establecer relaciones entre dichos elementos.

El estudiante establece relaciones entre elementos cuantitativos de su entorno, establece relaciones entre partes y totales de dichos elementos, pero tiene dificultades para interpretar y operar con porcentajes.

El estudiante comprende el concepto de porcentaje y opera con él, y aplica dicho conocimiento para establecer relaciones y tomar decisiones respecto de elementos cuantitativos de su entorno cotidiano.

NivelesCompetencia (OF 3)


Desempeño básico


Desempeño adecuado

Utilizar diferentes tipos de números en diversas formas de expresión (entera, decimal, fraccionaria, porcentual) para cuantificar situaciones y resolver problemas.

Reconoce los diferentes conjuntos numéricos, pero requiere ayuda para operar con algunos de ellos.

Reconoce los diferentes conjuntos numéricos y opera con ellos en forma aislada

Realiza operatoria combinada con los distintos conjuntos numéricos, transformando entre sí las diferentes representaciones numéricas (enteros, decimales, fracciones, etc.) según corresponda; relacionándolos con problemas o situaciones reales

A partir de un problema, el estudiante trabaja con los distintos tipos de números para generar un modelo explicativo de la situación planteada.

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Desempeño básico


Desempeño adecuado

Resolver problemas seleccionando secuencias adecuadas de operaciones y métodos de cálculo, incluyendo una sistematización del método ensayo-error; analizar la pertinencia de los datos y soluciones

Resuelve problemas con operaciones aisladas, sin analizar la pertinencia de los resultados y soluciones halladas

Resuelve problemas con operaciones combinadas, analiza la pertinencia de las operaciones utilizadas, pero requiere de ayuda para relacionar el resultado encontrado con la solución del problema planteado.

Resuelve problemas con operaciones combinadas, analiza la pertinencia, y coherencia de las soluciones con él calculo realizado.

Establece y realiza una secuencia de operaciones adecuada para la resolución de un problema, analiza la congruencia de los datos y las soluciones encontradas con el problema planteado, modifica los posibles errores.



Desempeño básico


Desempeño adecuado

Percibir la matemática como una disciplina en evolución y desarrollo permanente.

El estudiante percibe la matemática como una ciencia acabada, no establece relaciones entre los diferentes contenidos trabajados.

Establece relaciones entre diferentes contenidos tratados, pero asocia la evolución de la matemática(números naturales, números enteros, etc.) a niveles progresivos de dificultad y no a un desarrollo de ésta como ciencia.

El estudiante reconoce el carácter evolutivo de la matemática, como un conocimiento generado en un contexto específico que permite adecuar o transformar el conocimiento existente.

El estudiante reconoce que la necesidad de contestar nuevas preguntas, tanto en el ámbito de las matemáticas como en otros ámbitos del saber otorga a la matemática su carácter evolutivo y de desarrollo permanente.

2.- Descripción del proyecto

Anoten los nombres de los integrantes del grupo:

— 66 —

Comienza el trabajo........

Primer Paso: Definiendo la muestra de la investigación

El tema de la investigación está definido por el proyecto: Relación que existe entre el consumo de tabaco y su salud Ahora es necesario definir que cantidad de datos se necesita recoger y respecto de que número de personas.

Ese grupo de personas a las que vamos a investigar, constituirá la muestra de nuestra investigación.

¿Cómo definir la muestra de la investigación?

Cada uno de ustedes debe elegir un total de 10 estudiantes, pueden ser tanto del curso como compañeros o compañeras de colegio, incluyendo a las personas que conforman el grupo de trabajo.

Segundo Paso: La recolección de datos

Los datos básicos que se requieren en esta investigación son: si el encuestado es fumador o no.

Recuerden repartirse esta tarea al interior del grupo y fijen un plazo para cumplirla.Después de haber hecho la encuesta registren en esta tabla los datos obtenidos.Vacíen los datos obtenidos en esta tabla de registro. Tabla de registro N° 1

Total encuestados

Total mujeres que fuman

Total hombres que fuman

Total mujeres que no fuman

Total hombres que no fuman

Total de personas que fuman

Total de personas que no fuman

• Comparación por medio de una razón

Se llama razón entre dos cantidades a y b, a la comparación de ellas por cociente o división. Su notación queda definida por:La razón entre a y b se escribe a

b o bien a : b con b ≠ 0, para ambos casos su lectura es: “a es

a b”

El primer término de la razón recibe el nombre de “Antecedente” y el segundo término recibe el nombre de “Consecuente”

— 67 —

Ejemplo: En un curso de 40 alumnos, 15 alumnos son hombres y 25 son mujeres.

a La razón entre los hombres y mujeres se expresa de la siguiente manera: 15 es a 25 como 15: 25 como 15 / 25 , donde 15 es el antecedente y 25 el consecuente.

b La razón entre los hombres y el total de los alumnos del curso es:

15 es a 40 como 15 : 40 como 15 / 40, donde 15 es el antecedente y 40 es el consecuente.

c La razón entre el número de mujeres y el total de alumnos del curso es:

25 es a 40 25 : 40 25/ 40, donde 25 es el antecedente y 40 es el consecuente.

Cuando esté entendido el concepto de “ razón” a partir del registro de datos de la tabla N° 1, expresa la razón que existe entre:

1 la razón entre los hombres que fuman (H F) y los hombres que no fuman (H n F) 2 la razón entre las mujeres que fuman (M F) y las mujeres que no fuman (M n F) 3 la razón entre el total de las personas que fuman (T F) y el total de encuestados (T E) 4 la razón entre el total de las personas que no fuman (T n F) y el total de los

encuestados (T E)

Expresa tus datos en la tabla de registro N° 2

Tabla de registro N° 2

T. Encuestados H F : H n F M F : M n F T F: T Enc T n F : T Enc

• Porcentajes

Recordemos las diferentes formas que este concepto se puede ser definido:

a Un porcentaje o tanto por ciento corresponde a una fracción con denominador constante e igual a cien. La expresión porcentaje se abrevia mediante el símbolo %, que es una deformación de la abreviatura de ciento (cto)

b Porcentaje, o tanto por ciento, es la fracción de un número entero expresada en centésimas. El término se deriva del latín per centum, que significa “por ciento”, pues representa fracciones

cuyo denominador es 100. Así, 20 por ciento significa 20100

. Normalmente se representa con

el símbolo %.

c El “a % de una cantidad X” es una notación que se refiere al valor “ 20100 • X” y se lee “el a por

ciento de la cantidad X”. La cantidad X se denomina referente. El valor que puede tomar a es cualquiera, es decir, a es cualquier número real.

— 68 —

d Toda razón se puede expresar como una razón porcentual, es decir como una razón de consecuente 100

Ejemplo

Si 25 es el antecedente y 40 es el consecuente. La razón que lo representa es: 25 es 40, 25: 40 ó 25 / 40

Esta razón se puede expresar como una razón porcentual de la siguiente manera:

1. la razón 25 / 40 se iguala a una razón de consecuente 100, y por tanto se debe establecer cual es el antecedente de esta nueva razón de consecuente 100, esto significa lo siguiente.

25 : 40 = X : 100

2. Para determinar cual es el valor del antecedente de esta razón e consecuente 100, se debe despejar la incógnita de la ecuación anterior, para ello multiplicaremos los extremos de estas razones, para ello recuerda que:

Los extremos son el 25 y 100 Los medios son el 40 y X Entonces al operar el paso 2 tenemos que: 25 • 100 = 2.500

3. Ahora al igualar ambas multiplicaciones tenemos que:

2.500 = 40X

4. Entonces para determinar el valor de la incógnita debemos dividir el producto de 25 • 100, que es 2.500, por el consecuente de la primera razón:

2.500 : 40 = 62,5

5. Como el valor de la incógnita es 62,5 podemos establecer que el antecedente de la segunda razón es 62,5 lo que implica que la razón porcentual es 62,5 : 100 que corresponde al 62,5 %

6. Por lo tanto 25 : 40 = X : 100 es igual a 25 : 40 = 62,5 : 100 lo que implica que 25: 40 = 62,5 %

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Luego de haber analizado el ejemplo de una razón de consecuente 100, o dicho de otra forma, analizar el ejemplo referido a porcentaje. Responde las siguientes preguntas a partir de la tabla de registro N° 2.

1. ¿Cuál es el porcentaje entre hombres fumadores y de hombres no fumadores?

2. ¿Cuál es el porcentaje entre Mujeres fumadoras y mujeres no fumadoras?

3. ¿Cuál es el porcentaje del total de fumadores con respecto al total de encuestados?

4. ¿Cuál es el porcentaje de total de personas no fumadoras con respecto al total de encuestados?

3.- Informe Final

¿Cómo presentar los resultados?

Elaboren un informe final que de cuenta del trabajo realizado.

1. Introducción: En esta primera parte deben explicar cual es el contenido de este informe, el tema de la investigación y la descripción de la muestra de su investigación. Es importante que cada informe destaque quienes son sus autores

2. Presentación y análisis de los datos recolectados:

En esta sección deberán presentar los porcentajes obtenidos.

Aprendizaje final

En esta última parte deben exponer con claridad acerca del aprendizaje obtenido a partir de este proyecto.

¿Cuál es la conclusión que se puede sacar acerca del hábito de fumar entre las personas que ustedes consideraron como muestra de análisis?

¿Cuál es la importancia de las matemáticas para sacar estas conclusiones?

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Indicaciones al docente

Usted debe apoyar la elaboración de cada uno de los productos señalados anteriormente, para ello se presentan en el siguiente anexo técnicas de trabajo y sus consideraciones para ser elaboradas, las cuales, se reitera deben ser estudiadas y explicadas en clase previo a la fase del cierre.

Alumnos y alumnas a continuación te invitamos a leer y estudiar algunas técnicas de trabajo posibles de emplear en la ponencia y divulgación del proyecto a la comunidad educativa (Panel).

Uso de transparencias

Previo a su uso es conveniente elaborar en borrador un resumen o esquema de los temas abordados en la investigación y que son considerados como relevantes para la ponencia. Las transparencias pueden ser en blanco y negro o bien en color, esto se puede hacer a mano o bien directamente desde un computador (utilizando la transparencia adecuada para ello).

Al proyectar la transparencia hay que considerar las condiciones de luz, en la mayoría de los casos es conveniente disminuir la luz para obtener una mejor imagen. Además, la ubicación del proyector debe guardar una distancia adecuada para facilitar un buen tamaño de las imágenes.

Uso de papelógrafo

Es una de las técnicas de trabajo más empleadas. Consiste en presentar la Información en pliegos de papel puestos en un lugar seleccionado para ello. Esta Técnica resume y apoya la explicación oral de quien o quienes realizaron el trabajo. El papel kraft es ideal para la elaboración del papelógrafo pero ante la dificultad de no poder contar con este puede ser reemplazado por pliegos de cartulina. Durante su elaboración es recomendable previamente hacer una selección y resumen de la información a exponer, por lo general, se emplean de 3 a 4 papelógrafos. El uso de plumones de colores, pegamento, reglas, tijeras y cinta adhesiva son importantes en su presentación, importante es recomendar que el tamaño de las letras, dibujos, fotografías o fotocopias sean lo suficientemente grandes para captar y favorecer la atención y comprensión de los compañeros.

Uso de paneles

Como una forma de difundir el proyecto de investigación al interior del establecimiento, se puede construir un panel informativo puesto en un lugar visible y por donde acostumbren a pasar muchas personas (alumnos (as), profesores (as), apoderados, personal administrativo, etc.) En la mayoría de los casos cada colegio cuenta con este tipo de paneles, los cuales pueden ser solicitados previamente para difundir el trabajo. Si no se contase con ellos será necesario contar con un soporte donde ubicar el material elaborado. Una alternativa es el empleo de pizarras que se puedan desplazar.

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Autoevaluación

Indicaciones al docente

Se considera relevante dentro del proceso evaluativo, en especial de trabajos con estas características, el que los alumnos tomen conciencia y se hagan responsables de evaluar su desempeño individual y grupal, por ello, consideramos pertinente el que usted reflexione sobre este punto con sus alumnos y plantee la importancia que tiene el que ellos respondan la siguiente pauta de evaluación, la cual posteriormente será conveniente compartir en sus aspectos generales más significativos para los estudiantes.

Estimados alumnos, ante la culminación de un trabajo es necesario realizar una evaluación de él para reflexionar sobre los aspectos positivos y negativos evidenciados durante el proceso, por ello es importante que ustedes respondan y reflexionen la siguiente pauta en función de su trabajo, tanto en el plano grupal como individual.

Evaluación del trabajo en equipo MB B S I

El trabajo se realizó en forma limpia y ordenada.

Hubo planificación previa para la realización del proyecto.

Cada uno de los integrantes aportó según sus capacidades al logro del proyecto.

El grupo asigno tareas en forma equitativa a los integrantesdel equipo.

El equipo mantuvo su responsabilidad y compromiso de trabajo hasta el término del proyecto.

Cada uno de los integrantes del grupo cumplió con las tareas en las que se comprometió.

Todos los integrantes del grupo participaron debidamente del proyecto.

Se respetaron las fechas y/o plazos convenidos para la elaboración y presentación del proyecto.

El desempeño e interacción entre los miembros del equipo fue armónico.

Durante la elaboración del proyecto se respeto la opinión de los integrantes del grupo

MB Muy bueno: el desempeño grupal en este aspecto es sobresaliente y completo.

B, Bueno: el desempeño grupal en este aspecto fue positivo y adecuado.

S, Suficiente: el trabajo en este sentido cumple con lo mínimo. ¡Faltó más esfuerzo!

I, Insuficiente: no se logra el propósito. Es necesario corregir y reorientar.

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Bibliografía

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O. Tapia, M. Ormazábal, J. Olivares y D. López. Manual de preparación matemática. Ediciones Universidad Católica de Chile.

A. Wesley y otros., Matemática Intermedia. Editorial Menlo Park.

R. E. De las Heras y otros., Álgebra y geometría I Medio. Editorial Santillana.

E. Díez L y M. Román., Conceptos básicos de las reformas educativas iberoamericanas. Editorial Andrés Bello.

A. Alvarez A., Uso de la calculadora en el aula. Narcea, s.a. de ediciones.

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