201410-cv-p2-A_sol

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Universidad de los Andes Departamento de Matematicas

Segundo Parcial MATE1207 Calculo Vectorial (Tema A)1

Instrucciones:Lea cuidadosamente y conteste cada pregunta en la hoja asignada. Escribacon bolgrafo negro. No desprenda las hojas. Durante el examen no puede

hablar con companeros, no puede usar calculadora, celular, apuntes,cuadernos, textos ni aparatos electronicos. Escriba todo su analisis si desea

recibir el maximo puntaje. Buena suerte. Tiempo: 120 minutos.

Question Points Score

1 10

2 10

3 10

4 10

5 10

Total: 50

Chequee su seccion en la tabla

Seccion Profesor Mi seccion

01 Mauricio Velasco Grigori

06 Mikhail Malakhaltsev

11 Paul Bressler

16 Marco Boggi

21 Alexander Cardona Guio

26 Jean Carlos Cortissoz Iriarte

Nombre:

Codigo:

Firma:

Bogota, Abril 12, 2014

1El juramento del uniandino dice: Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que

pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas academicas, o en cualquier otro acto que perjudique la

integridad de mis companeros o de la misma Universidad

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Codigo: Tema A Pag. 2 de 16

1. Si su respuesta y justificacion son correctas obtendra el maximo puntaje. Si su respuesta es inco-rrecta podra obtener creditos parciales de acuerdo a su justificacion.

(a) (5 points) Evaluar la integral 40

2y/2

ex2

dxdy.

(b) (5 points) Hallar la masa de la placa acotada por las curvas x 2y2 = 0 y x y2 = 1con densidad (x, y) = y2.

Respuesta: (a)

(b)

Solution: a) La region de integracion es el triangulo acotado por las rectas x = y/2,x = 2, y = 0.

x=2

y=4

y=2xx=y/2

y=0

La region de integracion Ejercicio 1

Entonces

40

2y/2

ex2

dxdy =

20

2x0

ex2

dydx =

20

2xex2

dx = 1 e4.

b) La masa de la placa M =

D dA donde la region de integracion D es acotado

por las graficas x = 2y2 y x = 1 + y2. Encontraremos los puntos de interseccion de lasgraficas del sistema

x = 2y2, x = 1 + y2 x = 2y2, y2 = 1 y = 1, x = 2

y son A(2, 1), B(2,1).

Problema 1 continua en la pagina siguiente. . .

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Prob. 1 cont.. . . Codigo: Tema A Pag. 3 de 16

Entonces la masa

M =

D

dA =

11

1+y22y2

y2 dx dy = 2

10

y2(1 y2) dy = 415.

La region de integracion Ejercicio 1 b)

Respuesta: (a)1 e4

(b)

415

Pautas de correccion:

Reglas generales:

Cada error en calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -2

Cada error aritmetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1

El camino sin solucion correcta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0

Creditos parciales:

En a) y b)

Plantear integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Resolver integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2


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2. (10 points) Si su respuesta y justificacion son correctas obtendra el maximo puntaje. Si su res-puesta es incorrecta podra obtener creditos parciales de acuerdo a su justificacion.

La distribucion de temperatura de una placa metalica

D ={(x, y) | x2 + y2 + 2x 3 0}

es dada por la funcion T (x, y) = ex2y2 . Encontrar los puntos mas calientes y mas fros de

la placa.

Respuesta:Puntos mas fros:

Puntos mas calientes:

Solution: Como la funcion et crece, las funciones T (x, y) = ex2y2 y Q(x, y) = x2

y2 toman valores maximos (mnimos) en los mismos puntos. Entonces para hallar lospuntos mas calientes y mas fros podemos optimizar la funcion Q(x, y).

La funcion Q(x, y) = x2 y2 tiene un punto crtico A(0, 0) y el punto pertenece a laplaca pues 02 + 02 + 2 0 3 0.Encontraremos los puntos crticos de la restriccion de la funcion Q(x, y) a la frontera dela placa. La frontera viene dada por la ecuacion x2+y2+2x3 = 0, entonces necesitamosoptimizar la funcion objetivo Q(x, y) = x2y2 bajo la restriccion G(x, y) = x2+y2+2x 3 = 0.Consideremos la funcion de Lagrange F (x, y, ) = Q(x, y) + G(x, y) = x2 y2 +(x2 + y2 + 2x 3) y encontraremos sus puntos crticos

Fx

= 2x+ 2x+ 2 = 0Fy

= 2y + 2y = 0F

= x2 + y2 + 2x 3 = 0x+ x+ = 0y(1 ) = 0x2 + y2 + 2x 3 = 0

De la segunda ecuacion tenemos que y = 0 o = 1.

Si y = 0, entonces x2 + 2x 3 = 0 y luego x = 1 o x = 3. De la primera ecuacionhallamos valores de correspondientes: para x = 1 tenemos = 1/2 y, para x = 3, = 3/2.

Si = 1, la primera ecuacion nos da la constradiccion 2 = 0.

Por lo tanto tenemos dos soluciones del sistema: (x = 1, y = 0, = 1/2) y (x = 3, y =0, = 3/2), y entonces tenemos dos puntos crticos B(1, 0) y C(3, 0).Ahora bien, encontramos los valores de la funcion Q: Q(A) = 0, Q(B) = 1, Q(C) =10.


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Entonces el punto mas caliente es el punto A y mas fro es el punto C.

Observacion. La funcion objetiva es |OM |2, donde O es el origen del sistema decoordenadas, entonces los puntos mas fros son los puntos mas lejanos del origen y lospuntos mas calientes son los puntos mas cercanas al origen. Como se puede reescribirx2 + y2 + 2x 3 0 en la forma (x + 1)2 + y2 4, la placa es el disco con el centro(1, 0) y radio 2. Ahora la respuesta esta clara del grafica:

Respuesta:Puntos mas fros: (3, 0)

Puntos mas calientes: (0, 0)


Reglas generales:




Creditos parciales:

Puntos crticos interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Puntos crticos en la frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

La conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2


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Evaluar D

y

xdA,

donde D es la region en el primer cuadrante del plano (x > 0, y > 0) acotada por lascurvas: y = x, y = 2x, y = 2/x, y = 4/x. Ayuda: usar el cambio de coordenadas u = y/x,v = xy.

Respuesta:

Solution: Reescribimos las ecuaciones de las curvas en la forma y/x = 1, y/x = 2,xy = 2 y xy = 4. Entonces la region de integracion D con respecto a las coordenadas(u, v) es el rectangulo 1 u 2 y 2 v 4.Las regiones de integracion D y D:

Ahora la matriz de Jacobi

D(u, v)

D(x, y)=

[ ux

uy

vx

vy

]=

[ yx2

1x

y x

]

entonces el Jacobiano det D(u,v)D(x,y)

= 2y/x = 2u.Entonces el Jacobiano del cambio inverso es

D(x, y)

D(u, v)=

[xu

xv

yu

yv

]= 1

2u.


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Por lo tantoD

y

xdx dy =

D

u | 12u| du dv =

21

42

1

2du dv = 1.

Respuesta:1


Reglas generales:




Creditos parciales:

olvidar Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -5

olvidar el valor absoluto del Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -2

tomar el Jacobiano D(u,v)D(x,y)

en lugar del Jacobiano correcto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -3


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Encuentre el valor promedio de la funcion f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 sobre el solido

E ={(x, y, z) | x 0, y 0, x2 + y2 + z2 4} .

Respuesta:

Solution: El valor promedio de la funcion f sobre el solido E es

f =

EfdV

V ol(E).

El solido E

Como E es un carto de la esfera de radio R = 2, usando la formula de volumen de laesfera V = 4

3piR3 obtenemos que V ol(E) = 8pi/3.

En coordenadas esfericas el solido E se representa como el paralelipipedo E : 0 2,0 pi, 0 pi/2 y el integrando f(x, y, z) =

x2 + y2 + z2 = .


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Entonces,

E

x2 + y2 + z2 dV =

E 2 sind d d

= pi/20

pi0

20

3 sind d d

= pi/20

d pi0

sind 20

3 d = pi/2 2 4 = 4pi,

y por lo tanto

f = 4pi8pi/3

= 32.

Respuesta:3

2


Reglas generales:




Creditos parciales:

Si la respuesta no es un numero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -10

Si aparece una definicion errada de valor promedio o si se utiliza una formula equivocadapara calcular el mismo o si no aparece una definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -6

Si hay cualquier error en el planteamiento de la integral del numerador del valor pro-medio (ya sea en los limites de integracion o en no poner el jacobiano al cambiar devariable) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -3

Si hay cualquier error en el calculo de la integral planteada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -2


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5. No hay creditos parciales. Las cinco partes no estan relacionadas.Llene la casilla en blanco con F (Falso) o V (Verdadero), segun sea el caso.

(a) (2 points) El punto (0, 0) es un punto de mnimo local de la funcion f(x, y) = x22y2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b) (2 points)

Dex

2+y2 dA = 1 donde D = {(x, y) | 0 x 1, 0 y 1}. . . . . . .

(c) (2 points) La integral iterada 10

[1y20

dx

]dy es igual a pi/2. . . . . . . . . . . . . . . .

(d) (2 points) D

x dA =

pi/20

10

r cos dr d,

donde D = {(x, y) | x 0, y 0, x2 + y2 1}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(e) (2 points) La integral iterada

10

1y0

1yz0

dxdzdy

es igual al volumen del tetraedro ABCD (ver Figura 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

y

z

D(0, 0, 1)

A(0, 0, 0)B(1, 0, 0)

C(0, 1, 0)

Figure 1. El tetraedro ABCD.

Solution:

(a) El punto (0, 0) es un punto de mnimo local de la funcion f(x, y) = x2 2y2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F


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(b)

Dex

2+y2 dA = 1 donde D = {(x, y) | 0 x 1, 0 y 1}. . . . . . . . . . . . . . F

(c) La integral iterada 10

[1y20

dx

]dy es igual a pi/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F

(d) D

x dA =

pi/20

10

r cos dr d,

donde D = {(x, y) | x 0, y 0, x2 + y2 1}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F

(e) La integral iterada 10

1y0

1yz0

dxdzdy

es igual al volumen del tetraedro ABCD (ver Figura 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V


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