2015 Matematica IV

Qu y cmo aprenden nuestros nios y nias?

rea Curricular

3. y 4. grados de Educacin Primaria

Matemtica

IVCiclo

Versin 2015

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ndicePresentacin ............................................................................................................................................. Pg. 5

Introduccin ............................................................................................................................................... 7

1. Fundamentos y definiciones .................................................................................................................... 8

1.1 Por qu aprender matemtica? .................................................................................................... 8

1.2 Para qu aprender matemtica? ................................................................................................. 10

1.3 Cmo aprender matemtica? ...................................................................................................... 12

2. Competencias y capacidades ................................................................................................................ 16

2.1 Competencias matemticas ........................................................................................................... 18 1. Acta y piensa matemticamente en situaciones de cantidad ........................................... 18

2. Acta y piensa matemticamente en situaciones de regularidad,

equivalencia y cambio .............................................................................................................. 20

3. Acta y piensa matemticamente en situaciones de forma, movimiento

y localizacin ............................................................................................................................. 22

4 . Acta y piensa matemticamente en situaciones de gestin de datos e incertidumbre ......................................................................................................................... 24

2.2 Capacidades matemticas ............................................................................................................ 25

Capacidad 1: Matematiza situaciones ......................................................................................... 25

Capacidad 2: Comunica y representa ideas matemticas ....................................................... 26

Capacidad 3: Elabora y usa estrategias ...................................................................................... 28

Capacidad 4: Razona y argumenta generando ideas matemticas ........................................ 29

2.3 Cmo se desarrolla las competencias en el IV ciclo? ............................................................... 30

2.3.1 Acta y piensa matemticamente en situaciones de cantidad ....................................... 30

2.3.2 Acta y piensa matemticamente en situaciones de regularidad,

equivalencia y cambio ......................................................................................................... 49

2.3.3 Acta y piensa matemticamente en situaciones de forma,

movimiento y localizacin ................................................................................................... 62

2.3.4 Acta y piensa matemticamente en situaciones de gestin de datos e incertidumbre .................................................................................................................... 73

En vista de que en nuestra opinin, el lenguaje escrito no ha encontrado an una manera satisfactoria de nombrar a ambos gneros con una sola palabra, en este fascculo se ha optado por emplear trminos en masculino para referirse a ambos gneros.

Ministerio de educacin Av. De la Arqueologa, cuadra 2 - San Borja Lima, Per Telfono 615-5800 www.minedu.gob.pe Versin 1.0 Tiraje: 228,100 ejemplares

elaboracin:Nelly Gabriela Rodrguez Cabezudo, Giovanna Karito Piscoya Rojas, Pedro David Collanqui Daz, Marisol Zelarayan Adauto. Mara Isabel Daz Maguia. SINEACE - Programa de Estndares de Aprendizaje: Gina Patricia Paz Huamn, Lilian Edelmira Isidro Cmac.

colaboradores:Flix Rosales Huerta, Elwin Contreras, Edith Bustamante, Sonia Laquita, Lorena Puente de la Vega, Alicia Veiga, Ramiro Febres, Jos Ral Salazar La Madrid, Guillermo Liu, Fernando Escudero, Rodrigo Valera, Andrea Soto.

cuidado de edicin:Fernando Carbajal Orihuela.

Correcin de estilo:Gustavo Prez Lavado.

ilustraciones:Gloria Arredondo Castillo.

diseo y diagramacin:Hungria Alipio Saccatoma.

Fotografas: Paula Yzaguirre, Flix Rosales, Elba Mayna.

impreso por:Quad/Graphics Per S.A.Av. Los Frutales 344 Ate LimaRUC: 20371828851 Ministerio de Educacin Todos los derechos reservados. Prohibida la reproduccin de este material por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso de los editores. Hecho el depsito Legal en la Biblioteca nacional del Per: n 2015 - 03215Impreso en el Per / Printed in Peru

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Presentacin

3. Orientaciones didcticas ....................................................................................................................... 81 3.1 Orientaciones para el desarrollo de la competencia: Acta y piensa matemticamente

en situaciones de cantidad ............................................................................................................ 81

3.1.1 Estrategias para la construccin del nmero .................................................................... 81

3.1.2 Estrategias para la resolucin de problemas .................................................................... 86

3.1.3 Estrategias para sumar o restar fracciones ...................................................................... 105

3.1.4 Estrategias de clculo multiplicativos ................................................................................. 105

3.1.5 Estrategias de clculo mental .............................................................................................. 107

3.2 Orientaciones para el desarrollo de la competencia: Acta y piensa matemticamente

en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio ............................................................... 108

3.2.1 Patrones de repeticin geomtricos con simetra ............................................................. 108

3.3 Orientaciones para el desarrollo de la competencia: Acta y piensa matemticamente

en situaciones de forma, movimiento y localizacin ................................................................... 123

3.3.1 Estrategias didcticas ........................................................................................................... 123 3.4 Orientaciones para el desarrollo de la competencia: Acta y piensa matemticamente

en situaciones de gestin de datos e incertidumbre .................................................................. 133 3.4.1 Situaciones de gestin de datos .......................................................................................... 133

3.4.2 Juegos para usar la probabilidad ....................................................................................... 137

3.4.3 Uso de materiales manipulativos ....................................................................................... 141

Referencias bibliogrfcas ............................................................................................................................ 142

Anexo 1: Matrices de las cuatro competencias ........................................................................................ 144

Anexo 2: Mapas de progreso ..................................................................................................................... 152

Las Rutas del Aprendizaje son orientaciones pedaggicas y didcticas para una enseanza efectiva de las competencias de cada rea curricular. Ponen en manos de nosotros, los docentes, pautas tiles para los tres niveles educativos de la Educacin Bsica Regular: Inicial, Primaria y Secundaria.

Presentan:

Los enfoques y fundamentos que permiten entender el sentido y las finalidades de la enseanza de las competencias, as como el marco terico desde el cual se estn entendiendo.

Las competencias que deben ser trabajadas a lo largo de toda la escolaridad, y las capacidades en las que se desagregan. Se define qu implica cada una, as como la combinacin que se requiere para su desarrollo.

Los estndares de las competencias, que se han establecido en mapas de progreso.

Los indicadores de desempeo para cada una de las capacidades, por grado o ciclos, de acuerdo con la naturaleza de cada competencia.

Orientaciones didcticas que facilitan la enseanza y el aprendizaje de las competencias.

Definiciones bsicas que nos permiten entender y trabajar con las Rutas del Aprendizaje:

1. Competencia

Llamamos competencia a la facultad que tiene una persona para actuar conscientemente en la resolucin de un problema o el cumplimiento de exigencias complejas, usando flexible y creativamente sus conocimientos y habilidades, informacin o herramientas, as como sus valores, emociones y actitudes.

La competencia es un aprendizaje complejo, pues implica la transferencia y combinacin apropiada de capacidades muy diversas para modificar una circunstancia y lograr un determinado propsito. Es un saber actuar contextualizado y creativo, y su aprendizaje es de carcter longitudinal, dado que se reitera a lo largo de toda la escolaridad. Ello a fin de que pueda irse complejizando de manera progresiva y permita al estudiante alcanzar niveles cada vez ms altos de desempeo.

2. Capacidad

Desde el enfoque de competencias, hablamos de capacidad en el sentido amplio de capacidades humanas. As, las capacidades que pueden integrar una competencia combinan saberes de un campo ms delimitado, y su incremento genera nuestro desarrollo competente. Es fundamental ser conscientes de que si

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Introduccin

bien las capacidades se pueden ensear y desplegar de manera aislada, es su combinacin (segn lo que las circunstancias requieran) lo que permite su desarrollo. Desde esta perspectiva, importa el dominio especfico de estas capacidades, pero es indispensable su combinacin y utilizacin pertinente en contextos variados.

3. Estndar nacional

Los estndares nacionales de aprendizaje se establecen en los Mapas de progreso y se definen all como metas de aprendizaje en progresin, para identificar qu se espera lograr respecto de cada competencia por ciclo de escolaridad. Estas descripciones aportan los referentes comunes para monitorear y evaluar aprendizajes a nivel de sistema (evaluaciones externas de carcter nacional) y de aula (evaluaciones formativas y certificadoras del aprendizaje). En un sentido amplio, se denomina estndar a la definicin clara de un criterio para reconocer la calidad de aquello que es objeto de medicin y pertenece a una misma categora. En este caso, como sealan los mapas de progreso, se indica el grado de dominio (o nivel de desempeo) que deben exhibir todos los estudiantes peruanos al final de cada ciclo de la Educacin Bsica con relacin a las competencias.

Los estndares de aprendizaje no son instrumentos para homogeneizar a los estudiantes, ya que las competencias a que hacen referencia se proponen como un piso, y no como un techo para la educacin escolar en el pas. Su nica funcin es medir logros sobre los aprendizajes comunes en el pas, que constituyen un derecho de todos.

4. Indicador de desempeo

Llamamos desempeo al grado de desenvoltura que un estudiante muestra en relacin con un determinado fin. Es decir, tiene que ver con una actuacin que logra un objetivo o cumple una tarea en la medida esperada. Un indicador de desempeo es el dato o informacin especfica que sirve para planificar nuestras sesiones de aprendizaje y para valorar en esa actuacin el grado de cumplimiento de una determinada expectativa. En el contexto del desarrollo curricular, los indicadores de desempeo se encuentran asociados al logro de una determinada capacidad. As, una capacidad puede medirse a travs de ms de un indicador.

Estas Rutas del Aprendizaje se han ido publicando desde el 2012 y estn en revisin y ajuste permanente, a partir de su constante evaluacin. Es de esperar, por ello, que en los siguientes aos se sigan ajustando en cada una de sus partes. Estaremos muy atentos a tus aportes y sugerencias para ir mejorndolas en las prximas reediciones, de manera que sean ms pertinentes y tiles para el logro de los aprendizajes a los que nuestros estudiantes tienen derecho.

El presente fascculo es la segunda versin de Rutas del Aprendizaje, mejorada y ms completa, fruto del trabajo de investigacin y validacin en las aulas, del que t formaste parte con tu opinin y tus sugerencias en los diversos talleres y eventos. Esta nueva versin te proporciona pautas para responder a dos preguntas fundamentales: qu ensear? y cmo ensear? El qu ensear se relaciona con los contenidos y las capacidades, y el cmo ensear, con la variedad de estrategias y recursos que te permitirn generar aprendizajes significativos en los nios.

Sin duda, la matemtica cobra mayor significado y se aprende mejor cuando se aplica directamente a situaciones de la vida real. Nuestros estudiantes sienten mayor satisfaccin cuando pueden relacionar cualquier aprendizaje matemtico nuevo con algo que saben y con la realidad que los rodea. Esa es una matemtica para la vida, donde el aprendizaje se genera en el contexto de las relaciones humanas y sus logros van hacia ellas.

Por otro lado, la sociedad actual requiere de ciudadanos reflexivos, crticos, capaces de asumir responsabilidades en su conduccin, y la matemtica debe ser un medio para ello, formando estudiantes con autonoma, conscientes de qu aprenden, cmo aprenden y para qu aprenden. En este sentido, es muy importante el rol del docente como agente mediador, orientador y provocador de formas de pensar y reflexionar durante las actividades matemticas. Conscientes de esta responsabilidad, mediante el presente fascculo te brindamos una herramienta pedaggica orientadora para generar esos aprendizajes. Con tal fin, se adopta un enfoque centrado en la resolucin de problemas desde el cual, a partir de una situacin problemtica, se desarrollan las capacidades matemticas configurando el desarrollo de la competencia.

En el presente fascculo encontrars:

Captulo I: los fundamentos tericos de por qu y para qu se aprende matemtica, asumiendo la resolucin de problemas como la centralidad del quehacer matemtico.

Captulo II: los elementos curriculares que permiten generar aprendizajes significativos, as como los estndares de aprendizaje que constituyen los hitos o las metas de aprendizaje a donde deben llegar los estudiantes al culminar el IV ciclo.

Captulo III: las orientaciones didcticas en cada una de las competencias que te guiarn para lograr los aprendizajes significativos en los estudiantes.

Finalmente, es necesario sealar que la intencin del presente fascculo no es entregar recetas aplicables de manera directa y mecnica, sino proporcionar herramientas pedaggicas que, haciendo las adaptaciones convenientes, puedan servir para generar aprendizajes en los nios y as complementen y refuercen tu labor cotidiana.

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Fundamentos y definiciones1.1.1 Por qu aprender matemtica?

La matemtica est presente en diversos espacios de la actividad humana, tales como actividades familiares, sociales, culturales o en la misma naturaleza. Tambin se encuentra en nuestras actividades cotidianas. Por ejemplo, al comprar el pan y pagar una cantidad de dinero por ello, al trasladarnos todos los das al trabajo en determinado tiempo, al medir y controlar la temperatura de algn familiar o allegado, al elaborar el presupuesto familiar o de la comunidad, etc.

Permite entender el mundo y desenvolvernos en l.

Las formas de la naturaleza y las regularidades que se presentan en ella pueden ser comprendidas desde las nociones matemticas de la geometra y de los patrones. La matemtica nos permite entenderlas, representarlas y recrearlas.

Asimismo, el mundo en que vivimos se mueve y cambia rpidamente; por ello, es necesario que nuestra sociedad actual demande una cultura matemtica para aproximarse, comprender y asumir un rol transformador en el entorno complejo y global de la realidad. En este sentido, se requiere el desarrollo de habilidades bsicas que nos permitan desenvolvernos en la vida cotidiana para relacionarnos con el entorno, con el mundo del trabajo, de la produccin y del estudio.

De lo dicho se desprende que la matemtica est incorporada en las diversas actividades de las personas, de tal manera que se ha convertido en clave esencial para poder transformar y comprender nuestra cultura y generar espacios que propicien el uso, reconocimiento y valoracin de los conocimientos matemticos propios.

En los pueblos originarios tambin se reconocen prcticas propias y formas de estructurar la realidad como, por ejemplo, agrupar objetos o animales en grupos de 2 o 3, adoptando un sistema de numeracin binario o terciario. Ello nos conduce a la necesidad de desarrollar competencias y capacidades matemticas asumiendo un rol participativo en diversos mbitos del mundo moderno, pues se requiere el ejercicio de la ciudadana con sentido crtico y creativo. La matemtica aporta en esta perspectiva cuando es capaz de ayudarnos a cuestionar hechos, datos y situaciones sociales, interpretndolas y explicndolas.

Es la base para el progreso de la ciencia y la tecnologa, por lo tanto, para el desarrollo de las sociedades.

En la actualidad, las aplicaciones matemticas ya no representan un patrimonio nicamente apreciable en la fsica, ingeniera o astronoma, sino que han desencadenado progresos espectaculares en otros campos cientficos. Por ejemplo, especialistas mdicos leen obras sobre la teora de la informacin, los psiclogos estudian tratados de teora de la probabilidad, etc. As, existen muchas evidencias para que los ms ilustres pensadores y cientficos hayan aceptado sin reparos que en los ltimos tiempos se ha vivido un intenso periodo de desarrollo matemtico.

Disear y elaborar una cometa

es una actividad divertida y

mediante la cual se pueden

construir conocimientos

geomtricos y de medida.

10 11

El pensar matemticamente es un proceso complejo y dinmico que resulta de la interaccin de varios factores (cognitivos, socioculturales, afectivos, entre otros), el cual promueve en los nios formas de actuar y construir ideas matemticas a partir de diversos contextos (Cantoral Uriza, 2000). Por ello, para pensar matemticamente tenemos que ir ms all de los fundamentos de la matemtica y la prctica exclusiva de los matemticos, y tratar de entender que se trata de aproximarnos a todas las formas posibles de razonar, formular hiptesis, demostrar, construir, organizar, comunicar ideas y resolver problemas matemticos que provienen de un contexto cotidiano, social, laboral, cientfico, etc.

En este sentido, se espera que los estudiantes aprendan matemtica desde los siguientes propsitos:

La matemtica es funcional. Se busca proporcionar las herramientas mate-mticas bsicas para su desempeo en contexto social, es decir, en la toma de decisiones que orientan su proyecto de vida. Es de destacar aqu la contri-bucin de la matemtica a cuestiones tan relevantes como los fenmenos po-lticos, econmicos, ambientales, de infraestructura, transportes o movimien-tos poblacionales.

La matemtica es instrumental. Todas las profesiones requieren una base de conocimientos matemticos y, en algunas, como en la matemtica pura, en la fsica, en la estadstica o en la ingeniera, la matemtica es imprescindible.

En la prctica diaria de las ciencias se hace uso de la matemtica. Los concep-tos con que se formulan las teoras cientficas son esencialmente conceptos matemticos. Por ejemplo, en el campo biolgico, muchas de las caracters-ticas heredadas en el nacimiento no se pueden prever de antemano: sexo, color de cabello, peso al nacer, estatura, etc. Sin embargo, la probabilidad permite describir estas caractersticas.

La matemtica es formativa. El desenvolvimiento de las competencias mate-mticas propicia el desarrollo de capacidades, conocimientos, procedimien-tos y estrategias cognitivas, tanto particulares como generales, que promue-van un pensamiento abierto, creativo, crtico, autnomo y divergente.

As, la matemtica posee valores formativos innegables, tales como:

Desarrollar en los nios capacidades y actitudes para determinar hechos, establecer relaciones, deducir consecuencias y, en definitiva, potenciar su autonoma, su razonamiento, la capacidad de accin simblica, el espritu crtico, la curiosidad, la persistencia, la imaginacin, la creatividad, la sistematicidad, etc.

La utilidad para promover y estimular el diseo, elaboracin y apreciacin de formas artsticas, a travs del material concreto, as como el uso de grficos y esquemas para elaborar y descubrir patrones y regularidades.

En este contexto, las ciencias se sirven de la matemtica como medio de comunicacin, pues hay un lenguaje comn que es el lenguaje matemtico para todas las civilizaciones por muy diferentes que sean, y este saber est constituido por las ciencias y la matemtica. La razn est en que las leyes de la naturaleza son idnticas en todas partes. En este sistema comunicativo-representativo est escrito el desarrollo de las dems ciencias; gracias a l ha habido un desarrollo dinmico y combinado de la ciencia-tecnologa que ha cambiado la vida del ciudadano moderno.

Al da de hoy, la necesidad de desarrollar competencias y capacidades matemticas se ha hecho no solo indispensable, sino apremiante para el ejercicio de cualquier actividad cientfica en la que tanto ciencias como humanidades han recibido ya visiblemente su tremendo impacto.

Promueve una participacin ciudadana que demanda toma de decisiones responsables y conscientes.

La formacin de ciudadanos implica desarrollar una actitud problematizadora capaz de cuestionarse ante los hechos, los datos y las situaciones sociales; as como sus interpretaciones y explicaciones por lo que se requiere saber ms all de las cuatro operaciones y exige, en la actualidad, la comprensin de los nmeros en distintos contextos, la interpretacin de datos estadsticos, etc. El dominio de la matemtica para el ejercicio de la ciudadana requiere no solo conocer el lenguaje matemtico y hechos, conceptos y algoritmos, que le permitir interpretar algunas situaciones de la realidad relacionadas con la cantidad, forma, cambio o la incertidumbre, sino tambin procesos ms complejos como la matematizacin de situaciones y la resolucin de problemas (Callejo de la Vega, 2000).

En virtud de lo sealado, los nios deben aprender matemtica porque:

Permite comprender el mundo y desenvolvernos adecuadamente en l.

Es la base para el progreso de la ciencia y la tecnologa; por ende, para el desarrollo de las sociedades.

Proporciona las herramientas necesarias para desarrollar una prctica ciudadana responsable y consciente.

1.2 Para qu aprender matemtica?

La finalidad de la matemtica en el currculo es desarrollar formas de actuar y pensar matemticamente en diversas situaciones, que permitan a los nios interpretar e intervenir en la realidad a partir de la intuicin, el planteamiento de supuestos, conjeturas e hiptesis haciendo inferencias, deducciones, argumentaciones y demostraciones; comunicarse y otras habilidades, as como el desarrollo de mtodos y actitudes tiles para ordenar, cuantificar y medir hechos y fenmenos de la realidad e intervenir conscientemente sobre ella.

12 13

Actuar y pensarmatemticamente Resolucin de

problemas

Enseanza

Aprendizaje

Enfoque centrado en la resolucin de

problemas

"A travs de"

"Sobre la"

"Para la"

Explcame cmo lo has resuelto t.

Y si en vez de un cuarto hubiera sido

un quinto?

Voy a intentar resolverlo de otra manera para ver si

sale igual.

Usando tapas lo resolv ms rpido.

Mi estrategia es ms fcil.

Cmo han resuelto el problema?

1.3 Cmo aprender matemtica?En diversos trabajos de investigacin en antropologa, psicologa social y cognitiva, afirman que los estudiantes alcanzan un aprendizaje con alto nivel de significatividad cuando se vinculan con sus prcticas culturales y sociales.

Por otro lado, como lo expres Freudenthal1, esta visin de la prctica matemtica escolar no est motivada solamente por la importancia de su utilidad, sino principalmente por reconocerla como una actividad humana; lo que implica que hacer matemtica como proceso es ms importante que la matemtica como un producto terminado.

En este marco, se asume un enfoque centrado en la resolucin de problemas con la intencin de promover formas de enseanza y aprendizaje a partir del planteamiento de problemas en diversos contextos. Como seal Gaulin (2001), este enfoque adquiere importancia debido a que promueve el desarrollo de aprendizajes a travs de, sobre y para la resolucin de problemas.

1 La educacin matemtica realista (EMR) fue fundada por el profesor alemn Hans Freudenthal (1905-1990).

El cambio fundamental

es pasar de un aprendizaje,

en la mayora de los casos

memorstico de conocimientos

matemticos (como supuestos

prerrequisitos para aprender

a resolver problemas), a un

aprendizaje enfocado en la

construccin de conocimientos

matemticos a partir de la

resolucin de problemas.

A travs de la resolucin de problemas inmediatos y del entorno de los nios, como vehculo para promover el desarrollo de aprendizajes matemticos, orientados en sentido constructivo y creador de la actividad humana.

Sobre la resolucin de problemas, que explicita el desarrollo de la comprensin del saber matemtico, la planeacin, el desarrollo resolutivo estratgico y metacognitivo, es decir, la movilidad de una serie de recursos y de competencias y capacidades matemticas.

Para la resolucin de problemas, que involucran enfrentar a los nios de forma constante a nuevas situaciones y problemas. En este sentido, la resolucin de problemas es el proceso central de hacer matemtica; asimismo, es el medio principal para establecer relaciones de funcionalidad de la matemtica con la realidad cotidiana.

Estimular el trabajo cooperativo, el ejercicio de la crtica, la participacin y colaboracin, la discusin y defensa de las propias ideas, y para asumir la toma conjunta de decisiones.

Desarrollar capacidades para el trabajo cientfico, la bsqueda, identificacin y resolucin de problemas.

Las situaciones que movilizan este tipo de conocimiento, enriquecen a los nios al sentir satisfaccin por el trabajo realizado al hacer uso de sus competencias matemticas.

El enfoque centrado en la resolucin de problemas orienta la actividad matemtica en el aula, situando a los nios en diversos contextos para crear, recrear, investigar, plantear y resolver problemas, probar diversos caminos de resolucin, analizar estrategias y formas de representacin, sistematizar y comunicar nuevos conocimientos, entre otros.

La resolucin de problemas como enfoque orienta y da sentido a la educacin matemtica, en el propsito que se persigue de desarrollar ciudadanos que acten y piensen matemticamente al resolver problemas en diversos contextos. Asimismo, orienta la metodologa en el proceso de la enseanza y el aprendizaje de la matemtica.

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Pintaremos la cuarta parte que nos corresponde.

El cambio fundamental, entonces, para ensear y aprender matemtica radica en proponer a los nios, en cada sesin de clase, situaciones o problemas que los obliguen todo el tiempo a actuar y pensar matemticamente.

Rasgos esenciales del enfoque

La resolucin de problemas debe plantearse en situaciones de contextos diversos, pues ello moviliza el desarrollo del pensamiento matemtico. Los estudiantes desarrollan competencias y se interesan en el conocimiento matemtico, si le encuentran significado y lo valoran, y pueden establecer la funcionalidad matemtica con situaciones de diversos contextos.

La resolucin de problemas sirve de escenario para desarrollar competencias y capacidades matemticas.

La matemtica se ensea y se aprende resolviendo problemas. La resolucin de problemas sirve de contexto para que los estudiantes construyan nuevos conceptos matemticos, descubran relaciones entre entidades matemticas y elaboren procedimientos matemticos, estableciendo relaciones entre experiencias, conceptos, procedimientos y representaciones matemticas.

Los problemas planteados deben responder a los intereses y necesidades de los nios. Es decir, deben presentarse retos y desafos interesantes que los involucren realmente en la bsqueda de soluciones.

La resolucin de problemas permite a los nios hacer conexiones entre ideas, estrategias y procedimientos matemticos que le den sentido e interpretacin a su actuar en diversas situaciones.

Un problema es un desafo,

reto o dificultad a resolver y

para el cual no se conoce de

antemano una solucin.

Una situacin se describe

como un acontecimiento

significativo, que le da

marco al planteamiento

de problemas con cantidades,

regularidades, formas,

etc. Por ello, permite dar

sentido y funcionalidad

a las experiencias

y conocimientos

matemticos que

desarrollan los estudiantes.

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A nuestro saln le ha tocado cultivar un cuarto del terreno

del huerto. Ayer lo visit y observ que estaba dividido as:

16 17

Competencias y capacidades2.

Acta y piensa matemticamente en situaciones de

cantidad.

Acta y piensa matemticamente en situaciones de gestin de datos e

incertidumbre.

Acta y piensa matemticamente

en situaciones de forma,

movimiento y localizacin.


en situaciones de regularidad, equivalencia y

cambio.

MATEMTICA

Los nios de hoy necesitan enfrentarse a los diferentes retos que demanda la sociedad, con la finalidad de que se encuentren preparados para superarlos tanto en la actualidad como en el futuro. En este contexto, la educacin y las actividades de aprendizaje deben orientarse a que los estudiantes sepan actuar con pertinencia y eficacia en su rol de ciudadanos, lo cual involucra el desarrollo pleno de un conjunto de competencias, capacidades y conocimientos que faciliten la comprensin, construccin y aplicacin de una matemtica para la vida y el trabajo.

Los nios en la educacin bsica regular tienen un largo camino por recorrer para desarrollar competencias y capacidades, las cuales se definen como la facultad de toda persona para actuar conscientemente sobre una realidad, sea para resolver un problema o cumplir un objetivo, haciendo uso flexible y creativo de los conocimientos, las habilidades, las destrezas, la informacin o las herramientas que tengan disponibles y considere pertinentes a la situacin (MINEDU, 2014).

Tomando como base esta concepcin es que se promueve el desarrollo de aprendizajes en matemtica explicitados en cuatro competencias. Estas, a su vez, se describen como el desarrollo de formas de actuar y de pensar matemticamente en diversas situaciones, donde los nios construyen modelos, usan estrategias y generan procedimientos para la resolucin de problemas, apelan a diversas formas de razonamiento y argumentacin, realizan representaciones grficas y se comunican con soporte matemtico.

Segn Freudenthal (citado por Bressan y otros 2004), la matemtica es pensada como una actividad; as, el actuar matemticamente consistira en mostrar predileccin por:

Usar el lenguaje matemtico para comunicar sus ideas o argumentar sus conclusiones, es

decir, para describir elementos concretos, referidos a contextos especficos de la matemtica,

hasta el uso de variables convencionales y lenguaje funcional.

Cambiar de perspectiva o punto de vista y reconocer cundo una variacin en este aspecto

es incorrecta dentro de una situacin o un problema dado.

Captar cul es el nivel de precisin adecuado para la resolucin de un problema dado.

Identificar estructuras matemticas dentro de un contexto (si es que las hay) y abstenerse de

usar la matemtica cuando esta no es aplicable.

Tratar la propia actividad matemtica como materia prima para la reflexin, con miras a

De otro lado, pensar matemticamente se define como el conjunto de actividades

mentales u operaciones intelectuales que llevan al estudiante a entender y dotar de

significado a lo que le rodea, resolver un problema sobre conceptos matemticos,

tomar una decisin o llegar a una conclusin en los que estn involucrados procesos

como la abstraccin, justificacin, visualizacin, estimacin, entre otros (Cantoral, 2005;

Molina, 2006; Carretero y Ascencio, 2008).

Las competencias propuestas en la Educacin Bsica Regular se organizan sobre la

base de cuatro situaciones. La definicin de estas se sostiene en la idea de que la

matemtica se ha desarrollado como un medio para describir, comprender e interpretar

los fenmenos naturales y sociales que han motivado el desarrollo de determinados

procedimientos y conceptos matemticos propios de cada situacin (OECD, 2012). En

este sentido, la mayora de pases ha adoptado una organizacin curricular basada

en estos fenmenos, en la que subyacen numerosas clases de problemas, con

procedimientos y conceptos matemticos propios de cada situacin. Por ejemplo,

fenmenos como la incertidumbre, que pueden descubrirse en muchas situaciones

habituales, necesitan ser abordados con estrategias y herramientas matemticas

relacionadas con la probabilidad. Asimismo, fenmenos o situaciones de equivalencias

o cambios necesitan ser abordados desde el lgebra; las situaciones de cantidades

se analizan y modelan desde la aritmtica o los nmeros; las de formas, desde la

geometra.

Por las razones descritas, las competencias se formulan como actuar y pensar

matemticamente a travs de situaciones de cantidad; regularidad, equivalencia y

cambio; forma, movimiento y localizacin y gestin de datos e incertidumbre.

18 19

2.1 Competencias matemticas

En la actualidad, la presencia de la informacin cuantitativa se ha incrementado de forma considerable. Este hecho exige al ciudadano construir modelos de situaciones en las que se manifiesta el sentido numrico y de magnitud, lo cual va de la mano con la comprensin del significado de las operaciones y la aplicacin de diversas estrategias de clculo y estimacin.

Actuar y pensar en situaciones de cantidad implica resolver problemas relacionados con cantidades que se pueden contar y medir para desarrollar progresivamente el sentido numrico y de magnitud, la construccin del significado de las operaciones, as como la aplicacin de diversas estrategias de clculo y estimacin. Toda esta comprensin se logra a travs del despliegue y la interrelacin de las capacidades de matematizar situaciones, comunicar y representar ideas matemticas, elaborar y usar estrategias para resolver problemas o al razonar y argumentar generando ideas matemticas a travs de sus conclusiones y respuestas.

Conocer los mltiples usos que les damos a los nmeros naturales y a las fracciones.

Representar los nmeros y las fracciones en sus variadas formas.

Realizar procedimientos como conteo, clculo y estimacin de cantidades.

Comprender las relaciones y las operaciones.

Comprender el sistema de numeracin decimal.

Reconocer patrones numricos con nmeros de hasta cuatro cifras.

Utilizar nmeros para representar atributos medibles de objetos del mundo real.

Comprender el significado de las operaciones con cantidades y magnitudes.

competencia

Acta y piensa matemticamente en situaciones de cantidad1

Matematiza situaciones

Razona y argumenta generando ideas matemticas

Expresar problemas diversos en modelos

matemticos relacionados con los nmeros y las

operaciones.

Justificar y validar conclusiones,

supuestos, conjeturas e hiptesis

relacionadas con los nmeros y las

operaciones.

Comunica y representa ideas matemticas

Elabora y usa estrategias

Planificar, ejecutar y valorar estrategias heursticas, procedimientos de clculo, comparacin y estimacin usando diversos recursos para resolver problemas.

Expresar el significado de los nmeros y operaciones de manera oral y escrita, haciendo uso de representaciones y lenguaje matemtico.

S/. 1,00Kg

S/. 1,00Kg

S/. 5,00la cabeza

S/. 3,00Kg


cantidad.

La necesidad de cuantificar y organizar lo que se encuentra en nuestro entorno nos

permite reconocer que los nmeros poseen distinta utilidad en diversos contextos.

Treffers (citado por Jan de Lange) hace hincapi en la importancia de la capacidad

de manejar nmeros y datos, y de evaluar los problemas y situaciones que implican

procesos mentales y de estimacin en contextos del mundo real.

Por su parte, The International Life Skills Survey (Policy Research Initiative Statistics Canada,

2000) menciona que es necesario poseer un conjunto de capacidades, habilidades,

conocimientos, creencias, disposiciones, hbitos de la mente, para resolver problemas

que las personas necesitan para participar eficazmente en situaciones cuantitativas

que surgen en la vida y el trabajo.

Lo dicho anteriormente pone de manifiesto la importancia de promover aprendizajes

vinculados con la aritmtica asociada a la idea de cantidad, lo cual implica lo siguiente

en el IV ciclo:

20 21

Ana Bressan (2010) menciona que el descubrimiento de las leyes que rigen patrones, y su reconstruccin con base en estas mismas leyes, cumple un papel fundamental para el desarrollo del pensamiento matemtico. Ambas actividades estn vinculadas estrechamente con el proceso de generalizacin, que forma parte del razonamiento inductivo, entendido tanto como pasar de casos particulares a una propiedad comn (conjetura o hiptesis), como transferir propiedades de una situacin a otra. Asimismo, el estudio de patrones y la generalizacin de estos abren las puertas para comprender la nocin de variable y de frmula, as como para distinguir las formas de razonamiento inductivo y deductivo, y el valor de la simbolizacin matemtica.

La competencia de Actuar y pensar matemticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio implica promover aprendizajes relacionados con el lgebra:

Identificar, interpretar y representar regularidades que se reconocen en diversos contextos, incluidos los matemticos.

Comprender que un mismo patrn se puede hallar en situaciones diferentes, ya sean fsicas, geomtricas, aleatorias, numricas, etc.

Generalizar patrones y relaciones usando smbolos, lo que conduce a crear procesos de generalizacin.

Interpretar y representar las condiciones de problemas, mediante igualdades o desigualdades.

Determinar valores desconocidos y establecer equivalencias entre expresiones algebraicas.

Identificar e interpretar las relaciones entre dos magnitudes.

Analizar la naturaleza del cambio y modelar situaciones o fenmenos del mundo real mediante funciones, con la finalidad de formular y argumentar predicciones.

competencia

Acta y piensa matemticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio2






en situaciones de regularidad, equivalencia y

cambio.

En el entorno se producen mltiples relaciones temporales y permanentes que se presentan en los diversos fenmenos naturales, econmicos, demogrficos, cientficos, entre otros. Estas relaciones influyen en la vida del ciudadano exigindole que desarrolle capacidades matemticas para interpretarlas, describirlas y modelarlas (OCDE, 2012). La interpretacin de los fenmenos supone comprender los diferentes tipos de cambios y reconocer cundo se presentan, con el propsito de utilizar modelos matemticos para describirlos.

Actuar y pensar en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio implica desarrollar progresivamente la interpretacin y generalizacin de patrones, la comprensin y el uso de igualdades y desigualdades, y la comprensin y el uso de relaciones y funciones. Por lo tanto, se requiere presentar el lgebra no solo como una traduccin del lenguaje natural al simblico, sino tambin usarla como una herramienta de modelacin de distintas situaciones de la vida real.

Las cuatro capacidades de esta competencia se definen de la siguiente manera:

Asociar problemas diversos con modelos

que involucran patrones, igualdades,

desigualdades y relaciones.

Justificar y validar conclusiones, supuestos,

conjeturas e hiptesis respaldadas en leyes que rigen patrones,

propiedades sobre la igualdad y desigualdad y

las relaciones de cambio.

Planificar, ejecutar y valorar estrategias heursticas, procedimientos de clculo, estimacin, usando diversos recursos, para resolver problemas.

Expresar el significado de patrones, igualdades, desigualdades y relaciones, de manera oral y escrita haciendo uso de diferentes representaciones y lenguaje matemtico.

22 23

Esta forma de promover aprendizajes relacionados con la geometra involucra lo siguiente:

competencia

Acta y piensa matemticamente en situaciones de forma, movimiento y localizacin3 Matematiza situaciones




Usar relaciones espaciales al interpretar y

describir de forma oral y grfica trayectos

y posiciones de objetos y personas, para

distintas relaciones y referencias.

Construir y copiar modelos de formas

bidimensionales y tridimensionales, con

diferentes formas y materiales.

Expresar propiedades de figuras y cuerpos

segn sus caractersticas, para que los

reconozcan o los dibujen.

Explorar afirmaciones acerca de caractersticas

de las figuras y argumentar su validez.

Estimar, medir y calcular longitudes y superficies

usando unidades arbitrarias.


forma, movimiento y localizacin.

En el mundo en que vivimos la geometra est presente en diversas manifestaciones de la cultura y la naturaleza. En nuestro alrededor podemos encontrar una amplia gama de fenmenos visuales y fsicos, las propiedades de los objetos, posiciones y direcciones, representaciones de los objetos, su codificacin y decodificacin (PISA, 2012). Esto nos muestra la necesidad de tener una percepcin espacial, de comunicarnos en el entorno cotidiano haciendo uso de un lenguaje geomtrico, as como de realizar medidas y vincularlas con otros aprendizajes matemticos. En este sentido, aprender geometra proporciona a la persona herramientas y argumentos para comprender el mundo; por ello, la geometra es considerada como la herramienta para el entendimiento y es la parte de las matemticas ms intuitiva, concreta y ligada a la realidad (Cabellos Santos, 2006).

Actuar y pensar en situaciones de forma, movimiento y localizacin implica desarrollar progresivamente el sentido de la ubicacin en el espacio, la interaccin con los objetos, la comprensin de propiedades de las formas y cmo se interrelacionan, as como la aplicacin de estos conocimientos al resolver diversos problemas. Esto involucra el despliegue de las cuatro capacidades: matematizar situaciones, comunicar y representar ideas matemticas, elaborar y usar estrategias y razonar y argumentar generando ideas matemticas.

Estas cuatro capacidades matemticas se interrelacionan entre s, para lograr que el estudiante sea capaz de desarrollar una comprensin profunda de las propiedades y relaciones entre las formas geomtricas, as como la visualizacin, la localizacin y el movimiento en el espacio; todo lo cual permite resolver diversos problemas.

Asociar problemas diversos con

modelos referidos a propiedades de las

formas, localizacin y movimiento en el

espacio.


supuestos, conjeturas e hiptesis respecto

a las propiedades de las formas, sus transformaciones

y localizacin en el espacio.

Planificar, ejecutar y valorar estrategias heursticas y procedimientos de localizacin, construccin, medicin y estimacin, usando diversos recursos para resolver problemas.

Expresar las propiedades de las formas, localizacin y movimiento en el espacio, de manera oral y escrita, haciendo uso de diferentes representaciones y lenguaje matemtico.

24 25

2.2 Capacidades matemticas

La matematizacin destaca la relacin entre las situaciones reales y la matemtica, resaltando la relevancia del modelo matemtico, el cual se define como un sistema que representa y reproduce las caractersticas de una situacin del entorno. Este sistema est formado por elementos que se relacionan y por operaciones que describen cmo interactan dichos elementos, haciendo ms fcil la manipulacin o el tratamiento de la situacin (Lesh y Doerr, 2003).

Identificar caractersticas, datos, condiciones y variables del problema que permitan construir un sistema de caractersticas matemticas (modelo matemtico), de tal forma que reproduzca o imite el comportamiento de la realidad.

Usar el modelo obtenido estableciendo conexiones con nuevas situaciones en las que puede ser aplicable. Esto permite reconocer el significado y la funcionalidad del modelo en situaciones similares a las estudiadas.

Contrastar, valorar y verificar la validez del modelo

competencia

Acta y piensa matemticamente en situaciones de gestin de datos e incertidumbre4





Acta y piensa matemticamente en situaciones de gestin de datos e incertidumbre.

Matematiza situacionesCapacidad 1

Por ejemplo, un estudiante expresar un problema con diferentes modelos:

En una tienda de juguetes hay carritos de dos clases: bombero y camin, trompos rojos, azules y verdes. Cuntas parejas de carrito y trompo se puede tomar?

Carros : 2

Trompos : 3

2 3

Problema referido a cantidades

Modelo matemticoSe expresa

en un...

Con diagramas de rbol

Usando una tabla

Mediante una operacin

En la actualidad, nos encontramos en un contexto social cambiante e impredecible, donde la informacin, el manejo del azar y la incertidumbre juega un papel relevante. En este contexto, la informacin es presentada de diversas formas; por ejemplo, los resultados de las encuestas se presentan en diagramas y grficos, motivo por el cual la estadstica se convierte en una herramienta para comprender el mundo y actuar sobre l. De otro lado, tambin se presentan situaciones de azar, impredecibles y de incertidumbre en la que nos sentimos inseguros sobre cul es la mejor forma de tomar decisiones, es por ello que la probabilidad se presenta como una herramienta matemtica para fomentar el pensamiento aleatorio y estas nociones se desarrollarn de forma intuitiva e informal en el nivel primario.

Actuar y pensar en situaciones de gestin de datos e incertidumbre implica desarrollar progresivamente la comprensin sobre la recopilacin y el procesamiento de datos, su interpretacin y valoracin, y el anlisis de situaciones de incertidumbre. Esto involucra el despliegue de las capacidades de matematizar situaciones, comunicar y representar ideas matemticas, elaborar y usar estrategias, razonar y argumentar generando ideas matemticas.

Asociar problemas diversos con

modelos estadsticos y

probabilsticos.


supuestos, conjeturas e hiptesis

respaldados en conceptos estadsticos y

probabilsticos.

Expresar el significado de conceptos estadsticos y probabilsticos de manera oral o escrita, haciendo uso de diferentes representaciones y lenguaje matemtico.

Planificar, ejecutar y valorar estrategias heursticas y procedimientos para la recoleccin y el procesamiento de datos y el anlisis de problemas de incertidumbre.

Es la capacidad de expresar en un modelo matemtico, un problema reconocido en una situacin. En su desarrollo se usa, interpreta y evala el modelo matemtico, de acuerdo con el problema que le dio origen. Por ello, esta capacidad implica:

Cuntos me faltan?

26 27

1 Entendemos por representacin escrita tambin lo grfico y lo visual.

Dibujos e conos.

Tablas, cuadros, grficos de barras.

Estructurado: material Base Diez, baco, regletas de colores, balanza, etc.No estructurado: semillas, piedritas, palitos, tapas, chapas, etc.

Acciones motrices:juegos de roles y dramatizacin.

Smbolos, expresiones matemticas.

Representacin pictrica

Representacin con material concreto

Representacin grfica

Representacin simblica

Representacin vivencial

dIfEREntES foRMAS dE REPRESEntAR

Comunica y representa ideas matemticasCapacidad 2 Por ejemplo, un estudiante puede representar distintas fracciones con diferentes representaciones:

En forma vivencial Con regletas Con grficos Con smbolos

8

21

1

En los primeros grados de la educacin primaria, el proceso de construccin del conocimiento matemtico se vincula estrechamente con el proceso de desarrollo del pensamiento del nio. Este proceso comienza con un reconocimiento a travs de su cuerpo interactuando con el entorno, y con la manipulacin del material concreto; se va consolidando cuando el nio pasa a un nivel mayor de abstraccin, al representar de manera pictrica y grfica aquellas nociones y relaciones que fue explorando en un primer momento a travs del cuerpo y los objetos. La consolidacin del conocimiento matemtico, es decir, de conceptos, se completa con la representacin simblica (signos y smbolos) de estos y su uso a travs del lenguaje matemtico, simblico y formal.

Es importante resaltar que en cada nivel de representacin se evidencia ya un nivel de abstraccin. Es decir, cuando el nio es capaz de transitar de un material concreto a otro, o de un dibujo a otro, va evidenciando que est comprendiendo las nociones y conceptos y los va independizando del tipo de material que est usando. Por ejemplo, representar una cantidad con billetes y monedas, con material Base Diez o con smbolos de decenas y unidades, ello implica para el nio ir construyendo el significado del sistema de numeracin decimal. De igual manera, sucede con las representaciones pictricas, grficas y simblicas.

Se debe fomentar que antes de pasar de un tipo de representacin a otra, se trabaje de diversas formas dentro del mismo tipo de representacin. Por ejemplo, dentro de la representacin concreta, se puede transitar por el material no estructurado (bolitas, chapas u otros objetos agrupados o embolsados, etc.) y luego con material estruturado

Para la construccin

del significado de los

conocimientos matemticos

es recomendable que

los estudiantes realicen

diversas representaciones,

partiendo de aquellas que

son vivenciales hasta llegar

a las grficas o simblicas.

Es la capacidad de comprender el significado de las ideas matemticas y expresarlas de forma oral y escrita1 usando el lenguaje matemtico y diversas formas de representacin con material concreto, grfico, tablas y smbolos, y transitando de una representacin a otra.

La comunicacin es la forma de expresar y representar informacin con contenido matemtico, as como la manera en que se interpreta (Niss,2002). Las ideas matemticas adquieren significado cuando se usan diferentes representaciones y se es capaz de transitar de una representacin a otra, de tal forma que se comprende la idea matemtica y la funcin que cumple en diferentes situaciones.

12

18

Se lee: un medio

Se lee: un octavo

28 29

Abril 2015

2

9

16

23

30

1

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15

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5

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7

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6

13

20

27

El manejo y uso de las expresiones y smbolos que constituyen el lenguaje matemtico, se va adquiriendo de forma gradual en el mismo proceso de construccin de conocimientos. Conforme el estudiante va experimentando o explorando las nociones y las relaciones, va expresndolas de forma coloquial al principio, para luego pasar al lenguaje simblico y, finalmente, dar paso a expresiones ms tcnicas y formales que permitan expresar con precisin las ideas matemticas y que adems responden a una convencin.

Las estrategias se definen como actividades conscientes e intencionales que guan el proceso de resolucin de problemas; estas pueden combinar la seleccin y ejecucin tanto de procedimientos matemticos como de estrategias heursticas, de manera pertinente y adecuada al problema planteado.

La capacidad Elabora y usa estrategias implica que los nios:

Elaboren y diseen un plan de solucin.

Seleccionen y apliquen procedimientos y estrategias de diversos tipos

(heursticos, de clculo mental o escrito).

Realicen una valoracin de las estrategias, procedimientos y los recursos

que fueron empleados; es decir, que reflexione sobre su pertinencia y si le

fueron tiles.

TRNSITO PARA LA ADqUISICIN DEL LENGUAJE MATEMTICO

Lenguaje coloquial

Lenguaje simblico

Lenguaje tcnico y formal

Elabora y usa estrategiasCapacidad 3

Maestra, una regleta rosada puede representar la mitad del terreno. Entonces, la

fraccin es 1/2.

Maestra, tambin dos regletas rojas representa 2/4.

Maestra, yo encontr

cuatro blancas: 4/8.

Es cada 6 das. Contar a partir del 21: 22, 23,

24, 25, 26, 27.

Si trazo una lnea oblcua toca el 27.

Los estudiantes han marcado en el calendario las fechas para

ordenar la biblioteca usando diversas estrategias. qu da les

tocar ordenar en la ltima semana?

Es la capacidad de planificar, ejecutar y valorar una secuencia organizada de estrategias y diversos recursos, entre ellos las tecnologas de informacin y comunicacin, emplendolos de manera flexible y eficaz en el planteamiento y la resolucin de problemas. Esto implica ser capaz de elaborar un plan de solucin, monitorear su ejecucin, pudiendo incluso reformular el plan en el mismo proceso con la finalidad de resolver el problema. Asimismo, implica revisar todo el proceso de resolucin, reconociendo si las estrategias y herramientas fueron usadas de manera apropiada y ptima.

30 31

2.3 Cmo se desarrollan las competencias en el IV ciclo?

2.3.1 Acta y piensa matemticamente en situaciones de cantidad

Los nios en este ciclo se enfrentan a situaciones y problemas de contextos cada vez ms

amplios. Ya no solo resuelven problemas de contexto personal, familiar y escolar, sino

que tambin comienzan a enfrentarse a contextos sociales y comerciales, por ejemplo,

a situaciones de compra-venta, situaciones del pago de pasajes, situaciones de reparto

de cantidades, entre otras. Asimismo, en el mbito personal comienzan a tener un mejor

manejo del tiempo, con la lectura de relojes, la estimacin y de la duracin de eventos

cotidianos, lo que les permite organizarse mejor en todos los aspectos de su vida.

Ejemplo: Se presenta a los estudiantes el siguiente problema:

La mueca de Mara tiene dos blusas y tres faldas. De cuntas maneras podr

vestir Mara a su mueca?

Lo har mentalmente.

Voy a vestir a la mueca.

Utilizar una tabla.

3 x 2 = ?

Es por ello que actuar y pensar matemticamente en situaciones de cantidad implica

que los estudiantes realicen acciones orientadas a matematizar situaciones al plantear

relaciones y expresarlas en modelos de solucin aditivos y multiplicativos; comunicar y

representar ideas matemticas sobre el significado de las operaciones de multiplicacin

y divisin y sobre las diferentes formas de representar nmeros de hasta cuatro cifras

y fracciones usuales; elaborar y usar estrategias y procedimientos de clculo escrito y

mental para resolver problemas; y razonar y argumentar al establecer conjeturas

sobre las propiedades de los nmeros y operaciones. En este afn es importante la

consolidacin de ideas y conceptos fundamentales de la matemtica, como el sistema

de numeracin decimal al trabajar con nmeros hasta cuatro cifras, del significado de las

operaciones aditivas y multiplicativas, a travs de los problemas PAEV, y del significado de

las fracciones, mediante problemas de reparto equitativo y particin.

Es importante mencionar que en este ciclo se da inicio al estudio de los nmeros racionales

con la introduccin de fracciones usuales con denominadores 2, 4, 8, 3, 6, 5 y 10, lo cual

demanda un cambio en las concepciones e ideas de los nios sobre los nmeros que hasta

ahora conocen. La nocin de fracciones es construida a partir de los problemas de reparto

y de dividir el todo en partes iguales, ya no est relacionada con el sistema de numeracin

decimal, por lo que su enseanza y aprendizaje tienen tambin una lgica diferente.

La capacidad Razona y argumenta generando ideas matemticas implica que el estudiante:

Capacidad 4 Razona y argumenta generando ideas matemticas

Explique sus argumentos al plantear supuestos, conjeturas e hiptesis.

Observe los fenmenos y establezca diferentes relaciones matemticas.

Elabore conclusiones a partir de sus experiencias.

Defienda sus argumentos y refute otros sobre la base de sus conclusiones.

12

16

16

16

Todas las fracciones se pueden dividir en fracciones ms

pequeas

Es la capacidad de plantear supuestos, conjeturas e hiptesis de implicancia matemtica mediante diversas formas de razonamiento, as como de verificarlos y validarlos usando argumentos. Para esto, se debe partir de la exploracin de situaciones vinculadas a las matemticas, a fin de establecer relaciones entre ideas y llegar a conclusiones sobre la base de inferencias y deducciones que permitan generar nuevas ideas matemticas.

32 33

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ione

s tra

baja

das

y la

s ju

stifi

ca u

sand

o ej

empl

os o

con

traej

empl

os.


Segu

ndo

grad

ote

rcer

gra

doC

uarto

gra

doQ

uint

o gr

ado

Prob

lem

as a

ditiv

os c

on n

mer

os n

atur

ales

: O

rden

a da

tos

en p

robl

emas

de

una

etap

a1

que

dem

anda

n ac

cion

es d

e ju

ntar

-sep

arar

, ag

rega

r-qu

itar,

avan

zar-

retro

cede

r, co

mpa

rar

e ig

uala

r, co

n n

mer

os d

e do

s ci

fras,

ex

pres

ndo

los

en u

n m

odel

o de

sol

uci

n ad

itiva

con

sop

orte

con

cret

o, p

ict

rico

o gr

fic

o.

Usa

un

mod

elo

de s

oluc

in

aditi

va p

ara

crea

r un

rela

to m

atem

tic

o so

bre

su c

onte

xto.

Prob

lem

as a

ditiv

os c

on n

mer

os n

atur

ales

: P

lant

ea re

laci

ones

ent

re lo

s da

tos,

en

prob

lem

as d

e un

a et

apa3

, ex

pres

ndo

los

en

mod

elos

de

solu

cin

adi

tiva

con

cant

idad

es

de h

asta

tres

cifr

as.

Em

plea

un

mod

elo

de s

oluc

in

aditi

va

al re

solv

er u

n pr

oble

ma

o cr

ear u

n re

lato

m

atem

tic

o en

su

cont

exto

.

Prob

lem

as a

ditiv

os c

on n

mer

os n

atur

ales

: P

lant

ea re

laci

ones

ent

re lo

s da

tos

en

prob

lem

as d

e un

a et

apa8

, ex

pres

ndo

los

en u

n m

odel

o de

sol

uci

n ad

itiva

de

hast

a cu

atro

cifr

as.

Em

plea

un

mod

elo

de s

oluc

in

aditi

va a

l pl

ante

ar o

reso

lver

un

prob

lem

a en

su

cont

exto

.

Prob

lem

as a

ditiv

os c

on n

mer

os n

atur

ales

: I

nter

pret

a da

tos

y re

laci

ones

no

expl

cita

s en

pro

blem

as a

ditiv

os d

e un

a et

apa1

3 , ex

pres

ndo

los

en u

n m

odel

o de

sol

uci

n co

n n

mer

os n

atur

ales

. U

sa u

n m

odel

o de

sol

uci

n ad

itiva

al

plan

tear

o re

solv

er u

n pr

oble

ma

en s

u co

ntex

to.

Prob

lem

as a

ditiv

os d

e do

s o

ms

eta

pas

con

nm

eros

nat

ural

es:

Id

entif

ica

dato

s en

pro

blem

as d

e do

s o

ms

et

apas

2 que

com

bine

n ac

cion

es d

e ju

ntar

-ju

ntar

, agr

egar

-agr

egar

, ava

nzar

-ava

nzar

, ag

rega

r-qu

itar,

avan

zar-

retro

cede

r, co

n n

mer

os d

e ha

sta

dos

cifra

s, e

xpre

snd

olos

en

un

mod

elo

de s

oluc

in

aditi

va c

on s

opor

te

conc

reto

o p

ict

rico.

Prob

lem

as a

ditiv

os d

e do

s o

ms

eta

pas

con

nm

eros

nat

ural

es:

Pla

ntea

rela

cion

es e

ntre

los

dato

s en

pr

oble

mas

4 que

com

bine

n ac

cion

es d

e ag

rega

r-qu

itar,

com

para

r, co

mbi

nar e

igua

lar;

expr

esn

dola

s en

un

mod

elo

de s

oluc

in

aditi

va c

on c

antid

ades

has

ta d

e tre

s ci

fras.

Prob

lem

as a

ditiv

os d

e do

s o

ms

eta

pas

con

nm

eros

nat

ural

es:

Pla

ntea

rela

cion

es e

ntre

los

dato

s en

pr

oble

mas

adi

tivos

de

dos

o m

s e

tapa

s9

que

com

bine

n ac

cion

es d

e ju

ntar

-junt

ar,

junt

ar-a

greg

ar-q

uita

r, ju

ntar

-com

para

r, ju

ntar

-igua

lar e

xpre

snd

olas

en

un m

odel

o de

sol

uci

n ad

itiva

con

nm

eros

nat

ural

es

Prob

lem

as d

e va

rias

etap

as c

on n

mer

os

natu

rale

s: P

lant

ea re

laci

ones

adi

tivas

y m

ultip

licat

ivas

en

pro

blem

as d

e va

rias

etap

as14

que

co

mbi

nen

acci

ones

de

agre

gar,

quita

r, ju

ntar

, co

mpa

rar,

igua

lar,

repe

tir, r

epar

tir o

agr

upar

un

a ca

ntid

ad; e

xpre

snd

olas

en

un m

odel

o de

sol

uci

n ad

itiva

y m

ultip

licat

iva

con

nm

eros

nat

ural

es.

Prob

lem

as d

e do

ble

y m

itad:

Ide

ntifi

ca d

atos

de

hast

a 20

obj

etos

en

prob

lem

as d

e re

petir

dos

vec

es u

na m

ism

a ca

ntid

ad o

repa

rtirla

en

dos

parte

s ig

uale

s,

expr

esn

dola

s en

mod

elos

de

solu

cin

de

dobl

e y

mita

d, c

on m

ater

ial c

oncr

eto.

Prob

lem

as m

ultip

licat

ivos

: O

rgan

iza

dato

s en

pro

blem

as5 q

ue im

pliq

uen

acci

ones

de

repe

tir u

na c

antid

ad e

n gr

upos

ig

uale

s, e

n fil

as y

col

umna

s, o

com

bina

r do

s ca

ntid

ades

de

hast

a 10

0 ob

jeto

s,

expr

esn

dolo

s en

un

mod

elo

de s

oluc

in

de

mul

tiplic

aci

n.

Rela

cion

a da

tos

en p

robl

emas

6 , qu

e im

pliq

uen

acci

ones

de

repa

rtir y

agr

upar

en

cant

idad

es

exac

tas

y no

exa

ctas

, qui

tar r

eite

rada

men

te

una

cant

idad

, co

mbi

nar d

os c

antid

ades

de

hast

a 10

0 ob

jeto

s, e

xpre

snd

olos

en

un m

odel

o de

sol

uci

n de

div

isi

n, c

on s

opor

te c

oncr

eto.

Re

laci

ona

dato

s en

pro

blem

as7 ,

que

impl

ique

n ac

cion

es d

e am

plia

r o re

duci

r una

can

tidad

, ex

pres

ndo

los

en u

n m

odel

o de

sol

uci

n de

do

ble,

trip

le, m

itad,

terc

ia, c

on s

opor

te c

oncr

eto

y gr

fic

o.

Rela

cion

a un

mod

elo

de s

oluc

in

mul

tiplic

ativ

a co

n pr

oble

mas

de

dive

rsos

con

text

os.

Prob

lem

as m

ultip

licat

ivos

con

nm

eros

na

tura

les:

Org

aniz

a da

tos

en p

robl

emas

10,

expr

esn

dolo

s en

un

mod

elo

de s

oluc

in

m

ultip

licat

ivo

con

nm

eros

nat

ural

es h

asta

cu

atro

cifr

as.

Rec

onoc

e da

tos

rele

vant

es e

n pr

oble

mas

11

y lo

s ex

pres

a en

un

mod

elo

de s

oluc

in

de

divi

sion

es e

xact

as e

inex

acta

s co

n n

mer

os

natu

rale

s ha

sta

con

cuat

ro c

ifras

. R

elac

iona

dat

os e

n si

tuac

ione

s12 ,

que

impl

ique

n ac

cion

es d

e re

duci

r una

can

tidad

, ex

pres

ndo

los

en u

n m

odel

o de

sol

uci

n de

m

itad,

terc

ia, e

tc. c

on c

antid

ades

de

hast

a cu

atro

cifr

as.

Rel

acio

na u

n m

odel

o de

sol

uci

n m

ultip

licat

ivo

a si

tuac

ione

s de

div

erso

s co

ntex

tos.

Prob

lem

as m

ultip

licat

ivos

con

nm

eros

na

tura

les:

Int

erpr

eta

rela

cion

es e

ntre

los

dato

s en

pr

oble

mas

de

divi

sin

15, y

los

expr

esa

en u

n m

odel

o de

sol

uci

n co

n n

mer

os n

atur

ales

. U

sa u

n m

odel

o de

sol

uci

n ad

itiva

o

mul

tiplic

ativ

a a

l pla

ntea

r o re

solv

er u

n pr

oble

ma.

A c

ontin

uaci

n le

s pr

esen

tam

os u

na m

atriz

que

mue

stra

de

man

era

inte

grad

a el

est

nda

r de

apre

ndiz

aje

(map

a de

pro

gres

o), a

s c

omo

los

indi

cado

res

de d

esem

peo

de

las

capa

cida

des

para

el d

esar

rollo

de

la c

ompe

tenc

ia e

n el

cic

lo. L

os n

ivel

es d

e lo

s m

apas

de

prog

reso

mue

stra

n u

na d

efin

ici

n cl

ara

y co

nsen

suad

a de

las

met

as

de a

pren

diza

je q

ue d

eben

ser

logr

adas

por

tod

os lo

s es

tudi

ante

s al

con

clui

r un

cic

lo o

per

iodo

det

erm

inad

o. E

n es

te s

entid

o, s

on u

n re

fere

nte

para

la p

lani

ficac

in

anua

l, el

mon

itore

o y

la e

valu

aci

n, p

ues

nos

mue

stra

n el

des

empe

o g

loba

l que

deb

en a

lcan

zar n

uest

ros

estu

dian

tes

en c

ada

una

de la

s co

mpe

tenc

ias.

Las

mat

rices

co

n lo

s in

dica

dore

s de

des

empe

o d

e la

s ca

paci

dade

s so

n un

apo

yo p

ara

dise

ar

nues

tras

sesi

ones

de

apre

ndiz

aje;

son

til

es ta

mbi

n p

ara

dise

ar

inst

rum

ento

s de

ev

alua

cin

, per

o no

nos

olv

idem

os q

ue e

n un

enf

oque

de

com

pete

ncia

s, a

l fin

al, d

ebem

os g

ener

ar in

stru

men

tos

que

perm

itan

evid

enci

ar e

l des

empe

o in

tegr

al d

e es

tas.

En

resu

men

, am

bos

inst

rum

ento

s no

s ay

udan

tant

o a

la p

lani

ficac

in

com

o a

la e

valu

aci

n, p

ero

uno

nos

mue

stra

des

empe

os

ms

aco

tado

s (in

dica

dore

s de

de

sem

peo

s), m

ient

ras

que

el o

tro n

os m

uest

ra u

n de

sem

peo

com

plej

o (m

apas

de

prog

reso

).H

emos

col

ocad

o el

niv

el a

nter

ior

y po

ster

ior

al c

iclo

cor

resp

ondi

ente

par

a qu

e pu

edan

iden

tific

ar e

n qu

ni

vel d

e de

sem

peo

se

encu

entra

cad

a un

o de

nue

stro

s es

tudi

ante

s, y

as

dis

ear

act

ivid

ades

ade

cuad

as p

ara

cada

uno

de

ello

s.

1 Pr

oble

mas

Arim

tic

os E

lem

enta

les

Verb

ales

(PA

EV):

Cam

bio

3 y

4, C

ombi

naci

n 2

y C

ompa

raci

n e

igua

laci

n 1

y 2

.

2 Pr

oble

mas

Arim

tic

os E

lem

enta

les

Verb

ales

(PA

EV):

Cam

bio

5 y

6, C

ompa

raci

n e

igua

laci

n 3

y 4

. 3

Prob

lem

as m

ultip

licat

ivos

(pro

porc

iona

lidad

sim

ple)

.4

Prob

lem

as A

rimt

icos

Ele

men

tale

s Ve

rbal

es (P

AEV

): C

ompa

raci

n e

igua

laci

n 5

y 6

. 5

Prob

lem

as m

ultip

licat

ivos

con

ocid

os c

omo

de p

rodu

cto

carte

sian

o.6

10%

, 20%

, 25%

, 50%

, 75%

.

1 (P

AEV

) Pro

blem

as a

ditiv

os d

e co

mbi

naci

n 2

; ca

mbi

o 3

y 4;

com

para

cin

1,2

; igu

alac

in

1 y

2 co

n ca

ntid

ades

de

hast

a do

s ci

fras.

2

Prob

lem

as a

ditiv

os d

e do

s o

ms

eta

pas

que

com

bine

n ca

mbi

o 1

y ca

mbi

o 1

(agr

egar

y

agre

gar),

com

bina

cin

1-c

ombi

naci

n 1

(jun

tar y

junt

ar),

cam

bio

3 y

4 (a

greg

ar y

qui

tar)

o ca

mbi

o-ca

mbi

o-ca

mbi

o o

agre

gar-

agre

gar-

agre

gar

2015 Matematica IV

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Transcript of 2015 Matematica IV