PROBABILIDADESConceptos Previos

Es toda prueba o ensayo cuyo resultado puede predecirse sin realizar previamente la prueba, ya que consta de un nico resultado posible.

Ejemplo :

Al lanzar el dado se obtiene como nico resultado probable 1 punto.

Es toda prueba o ensayo cuyos resultados no pueden predecirse sin realizar previamente la prueba, ya que consta con ms de un resultado posible.

Ejemplo :

No podemos predecir qu resultado saldr ya que podra ser: 1, 2, 3, 4, 5 6 puntos.

Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Ejemplo :Experimento aleatorio:Lanzamiento de un dado.

Espacio muestral: Nmero de elementos del espacio muestral:

Es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Se denota con las primeras letras del alfabeto (maysculas).

Ejemplo :Experimento aleatorio: Lanzar un dadoEvento: Obtener un puntaje impar

Si A es un evento de un espacio muestral, entonces la probabilidad de ocurrencia de A se denota por P(A) y est dado por la relacin.

Ejemplo 01:

Si se lanza un dado, cul es la probabilidad de obtener un puntaje impar?

a) 1/3b) 1/6c) 4/5d) 1/2e) 2/3

Solucin:

Experimento aleatorio: Lanzar un dadoEspacio muestral:

Evento: Obtener un puntaje impar

Luego: Rpta.

Ejemplo 02:

Cul es la probabilidad de que al lanzar dos monedas se obtenga en ambas sello?

a) 1/3b) 5/6c) 1/5d) 1/4e) 1/2

Solucin: Al lanzar dos monedas los posibles resultados son:

Luego: Rpta.

Ejemplo 03:

Si se lanzan dos dados, uno de color blanco y otro de color rojo, cul es la probabilidad de obtener 7 puntos en total?

a) 2/18b) 1/4 c) 1/6d) 3/7 e) 1/12

Solucin: Cuando tengamos experimentos en los que se lanzan dos dados es recomendable usar el siguiente esquema:

Casos totales:

Casos a favor:

Luego: Rpta.

Ejemplo 04:

Una caja contiene 4 esferas azules y 5 esferas rojas:I.Cul es la probabilidad de que al extraer una esfera, esta sea azul?II.Cul es la probabilidad de que al extraer dos esferas, ambas sean rojas?III.Cul es la probabilidad de que al extraer 5 esferas, dos sean azules y 3 rojas?a) 4/9 ; 5/18 ; 10/21b) 4/9 ; 5/18 ; 11/21c) 4/9 ; 5/18 ; 13/21d) 4/9 ; 4/36 ; 10/21e) 5/9 ; 5/18 ; 10/21

Solucin:I. Probabilidad de que al extraer una esfera sea azul:

Como al extraer una esfera se quiere que sea azul:Nmero de casos a favor = 4(Porque hay 4 azules)Nmero de casos totales = 9

(Porque hay 9 esferas en total)

II. Probabilidad de que al extraer dos esferas, ambas sean rojas:

Si denotamos a las esferas como:

Casos a favor:Se observa que cualquier grupo de 2 esferas rojas que podemos formar con las 5 esferas rojas que tenemos representa un caso a favor, luego:

N de casos a favor Al extraer dos esferas podra salir cualquier de los grupos de 2 que podemos formar con las 9 esferas:

Casos totales:

N de casos totales

III. Probabilidad de que al extraer 5 esferas, 2 sean azules y 3 rojas.

Anlogamente se deduce:

N de casos totales N de casos a favor

Rpta.

Si A es un evento definido en , entonces:

Cuando: P(A) = 0, se dice que A es un evento imposible; porque nunca va a ocurrir.

Ejemplo Evento A: Obtener un puntaje mayor que 7 en el lanzamiento de un dado.

Cuando: P(A) = 1, se dice que A es un evento seguro; porque siempre ocurre.

Ejemplo Evento A: Obtener un puntaje menor que 7 al lanzar un dado

Probabilidad por complemento:Si A es un evento definido en el espacio muestral , entonces:

donde:P(A): Probabilidad de que ocurra el evento A.P(A): Probabilidad de que no ocurra el evento A.

Ejemplo 05:Calcular la probabilidad de obtener al menos una cara en el lanzamiento de 3 monedas.a) 1/8b) 1/4c) 3/8d) 7/8e) 5/8

Resolucin:

Como el complemento (lo contrario) de obtener al menos una cara es no obtener ninguna cara (puros sellos). Hallemos la probabilidad de obtener puros sellos.

Luego:

Entonces:

La probabilidad de obtener al menos una cara es

Ejemplo 06:Las probabilidades que tienen Juan y Mara de resolver un mismo problema son 1/3 y 2/5 respectivamente. Si ambos intentan hacerlo, seale la probabilidad de que el problema sea resuelto.a) 2/5b) 3/5c) 1/4d) 3/4e) 11/15

Resolucin:Aplicando la propiedad por complemento-Probabilidad de que Juan resuelva: 1/3 Probabilidad de que no resuelva: 1 1/3 = 2/3 -Probabilidad de que Mara resuelva: 2/5 Probabilidad de que no resuelva: 1 2/5 = 3/5

Como:

Rpta.

Observacin:

Eventos mutuamente excluyentes:Se dice que A y B son eventos mutuamente excluyentes cuando ambos no pueden ocurrir a la vez, entonces se cumple:

donde:

: Probabilidad de que ocurra A o B

Eventos independientes:Se dice que dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta a la ocurrencia del otro, entonces se cumple:

donde:

: Probabilidad de que ocurra A y B.

Ejemplo 07:Una bola se extrae al azar de una caja que contiene 4 bolas blancas, 5 bolas rojas y 2 bolas azules. Determinar la probabilidad de que sea azul o roja.a) 2/11b) 10/11c) 5/11d) 4/11e) 7/11

Resolucin:

Del enunciado:

Como no es posible que la bola sea azul y roja a la vez (eventos mutuamente excluyentes), entonces:

Rpta.

Ejemplo 08:Calcular la probabilidad de obtener sello al lanzar una moneda, y un puntaje impar mayor que 2 al lanzar un dado.a) 2/3b) 1/12c) 1/6 d) 2/11 e) 5/6

Resolucin:

Sabemos que al lanzar una moneda: Como al lanzar un dado los posibles resultados son:

Los casos a favor son:

Luego: Como obtener sello en la moneda no afecta a que se obtenga un puntaje impar mayor que 2 en el dado, entonces:

Rpta.

Nota :

Cuando dos eventos A y B no son mutuamente excluyentes, es decir pueden ocurrir a la vez:

Ejemplo 09:La probabilidad de que Anglica estudie RM es 0,75 y la probabilidad de que estudie RV es 0,50. Si la probabilidad de que estudie RM o RV es 0,85, cul es la probabilidad de que estudie ambos a la vez?a) 0,1b) 0,2c) 0,3d) 0,4e) 0,5

Resolucin:Como Anglica puede estudiar RM y RV a la vez, los eventos estudiar RM y estudiar RV no son mutuamente excluyentes, entonces:

La probabilidad de que estudie ambos cursos a la vez es 0,40.

Nota :Cuando dos sucesos A y B no son independientes:

donde:

: Probabilidad de que ocurra B, asumiendo que ya ocurri el suceso A.

Ejemplo 10:En una caja hay 15 fichas, de las cuales 10 estn pintadas de rojo y el resto de blanco. Una persona extrae dos fichas, una por una. Halle la probabilidad de que ambas sean de color rojo.a) 4/9b) 3/7c) 5/9d) 4/7 e) 2/7

Resolucin:

Del enunciado:

Nos piden:

Rpta.

Ejemplo 11:Se han vendido 100 boletos de rifa numerados del 001 al 100. Si el nmero ganador ha resultado par, cul es la probabilidad de que sea premiada una persona que ha comprado los nmeros 020, 021 y 022?a) 3/20b) 3/100c) 1/50d) 1/25e) 1/20

Resolucin:Se nos dice calcular la probabilidad que gane, sabiendo que el nmero ganador fue par.Utilizando:

, tenemos

Casos totales:No son todos los resultados posibles, si no slo aquellos boletos cuya numeracin es par; es decir:

Casos totales:

Casos favorables:Son todos los boletos que compr la persona; pero que se encuentran en los casos totales; es decir los pares:

Casos favorables

Rpta.

PARTE II:

1. Encontrar la probabilidad que al lanzar un dado se obtenga un valor impar.a) 20%b) 40%c) 50%d) 30%e) n.a.

Resolucin:Experimento aleatorio: lanzar un dado

Espacio muestral:

Casos favorables:

Rpta.

2. Al lanzar tres monedas al aire. Cul es la probabilidad de que las tres sean iguales?

a) b) c)

d) e)

Resolucin:

De donde:

Rpta.

3. Al abrir un folleto de 100 pginas, calcular la probabilidad que al observar sta pgina no termine en cero.

a) b) c)

d) e) n.a.

Resolucin:

De donde:

Entonces:

Rpta. 4. Una casa est conformado por 11 nios y 7 nias, si se escoge 4 estudiantes al azar .Cual es la probabilidad que todos sean nios?

a) b) c)

d) e) n.a.

Resolucin:

Rpta.

5. Se lanzan dos dados al aire simultneamente. Cul es la probabilidad de obtener 8 puntos?

a) b) c)

d) e) n.a.

Resolucin:

Rpta. 6. Para una rifa se venden 20 cupones; Mario compra dos cupones, si se ofrecen dos premios. Cul es la probabilidad de que obtenga solo uno de los premios?

a) b) c)

d) e) n.a. Resolucin:

Rpta.

7. Se tiene una caja con 3 bolas rojas, 5 bolas blancas y 4 bolas verdes. Determinar cual es la probabilidad de que se extraiga una bola roja blanca.

a) b) c)

d) e)

Resolucin:

Piden:

Rpta.

8. En una urna se tiene 4 bolas de color rojo, 6 bolas de color verde y 8 bolas de color azul. Cul es la probabilidad de que al extraer una bola sea de color verde o azul?

a) b) c)

d) e) n.a.

Resolucin:Total de bolas:

Verde azul

Rpta.9. Se arrojan 6 monedas. Cul es la probabilidad de obtener 4 caras y dos sellos?

a) b) c)

d) e) n.a.

Resolucin:Para cada moneda se tiene dos probabilidades.

,permutacin con repeticin

Rpta.

10. Se arrojan 6 monedas. Cul es la probabilidad de obtener 4 caras y dos sellos?

a) b) c)

d) e) n.a.

Resolucin:Para cada moneda se tiene dos probabilidades.

,permutacin con repeticin

Rpta.

11. En una caja hay 20 bolas numeradas del 1 al 20, se extrae al azar una bola Cul es la probabilidad que el numero de la bola extrada sea mayor a 14?a) 15%b) 30%c) 20%d) 36%e) 24%

Resolucin:Del enunciado.

Luego:donde A es sacar una bola cuyo nmero sea mayor a 14 se tendr.

Rpta.

12. Ocho amigos juegan al golf, 5 jvenes y 3 adultos. Si los jvenes tienen la mitad de habilidad de los adultos Cul es la probabilidad que un joven gane?a) 5/8b) 5/11c) 5/9d) 5/13e) 1/2

Resolucin:Sea la habilidad de los jvenes como 1 entonces la habilidad de los adultos ser como si fueran 2 personas jvenes. Entonces se podra decir que en vez de considerar 3 adultos, estos fueran:

Luego:Sea A: Probabilidad de que gane un joven.

Rpta.

13. Dado un conjunto no nulo A, la probabilidad de que al escoger aleatoriamente uno de sus subconjuntos resultando binario es 5/16.Cul es la probabilidad de obtener un subconjunto propio?

a) 15/16b) 5/32c) 30/31d) 63/64e) 31/32

Resolucin:Dado el conjunto de n elementos la totalidad de subconjuntos binarios esta dado por.

Luego la probabilidad de obtener un subconjunto binario de los subconjuntos ser:

Se obtiene:

Total de subconjuntos: # de subconjuntos propios: 32-1=31Luego la probabilidad P de obtener un subconjunto propio es:

Rpta.

14. Seis personas se sientan al azar, alrededor de una fogata Cul es la probabilidad que 3 personas ocupen lugares continuos?a) 0,3b) 0,4c) 0,7d) 0,9e) 0,6

Resolucin:El total de formas de sentarse 6 personas alrededor de un centro esta dada por.

Pero deseando que se cumpla el evento A: 3 personas ocupan lugares continuos.Se consider que las 3 personas forman un solo elemento, lo que indicara que hay 4 elementos a permutar circularmente.

Pero cada una de estas formas cambiara segn se altere la forma como las tres personas se sientan, y esto ser:

Habr entonces diferentes, para que se cumpla el evento A

Luego: Rpta.15. De una baraja de 52 cartas se extraen al azar 5 cartas. Determine la probabilidad de que 3 de ellas sean negras y las otras no.

a)b) c)

d) e)

Resolucin:De las cartas: 26 son negras 26 son rojas

Luego, elegir 5 cartas de 52 se tendra. Formas diferentes ahora.

Escoger 3 cartas negras:

Escoger 3 cartas rojas:

El total de formas ser: Donde:

Rpta.

16. Se escogen al azar 3 relojes de 15, de los cuales 6 son defectuosos, seale la probabilidad de que se haya escogido 2 relojes defectuosos.

a) 17/19b) 27/91c) 37/43d) 17/43e) 30/17

Resolucin:De los 15 relojes se deben escoger 3, el nmero de formas de escoger ser:

Pero de estas formas encontremos aquellos en que haya 2 defectuosos.

El total de formas ser:

Finalmente:

Rpta.

17. Cul es la probabilidad que al lanzar un dado salga un nmero primo?Resolucin:Los nmeros primos son: 2, 3, 5, .

Un dado tiene slo 3 nmeros primos, la probabilidad de obtener un nmero primo ser de Rpta.

18. Desde un avin se suelta un proyectil dirigido hacia un blanco (regin circular de radio 40 m). Cul es la probabilidad que el proyectil d en el blanco, si est sobre una regin circular de radio 20 m?

a) b) c)

d) e)

Resolucin:

Rpta.19. Diez libros, de los cuales 6 son de fsica y 4 de qumica, se colocan al azar en un estante. Determinar la probabilidad de que los libros de fsica queden juntos.

a) b) c)

d) e) Resolucin:

Rpta.

20. Mara da en el blanco 4 veces en 5 tiros, Diana 3 veces en 4 tiros y Elena da 2 veces en 3 tiros. Si las tres disparan en forma simultanea, Cul es la probabilidad de que las tres acierten en el blanco?

a) b) c)

d) e)

Resolucin:

Rpta.