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PROYECTO FINAL

Por

ADRIAN MOSQUERA MANRIQUE

JULIO CESAR MINA

EDWIN HERNANDO ESCOBAR RAMOS

SISTEMAS DINAMICOS

Cdigo 201527

Grupo 20

Presentado a

DIEGO FERNANDO SENDOYA

Tutor

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD

Diciembre de 2013

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INTRODUCCION

Con el nimo de evidenciar los conocimientos adquiridos dentro del proceso

educativo del curso sistemas dinmicos, se realiza este trabajo que representa el

40% de la nota final de la materia, el cual enfatiza en la participacin coherente y

continua de los integrantes del grupo colaborativo en la presentacin, entrega y

sustentacin del proyecto enmarcado en la solucin a un sistema elctrico RC.

Este trabajo se encamina en el desarrollo analtico de cada uno de los tems

consignados en una actividad terica y otra prctica que buscan dar solucin al

sistema a travs del modelo matemtico que lo describe, su funcin de

transferencia, diagrama de bloques y la representacin matricial en el espacio de

estados, obtencin de los diagramas de Bode y Nyquist.

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OBJETIVOS

Demostrar los conocimientos adquiridos a lo largo del curso de sistemas

dinmicos.

Participar activamente en la realizacin, anlisis, consolidacin y practica

del trabajo correspondiente al 40% de la nota final del curso

Resolver analticamente cada uno de los ejercicios propuestos en la gua

del trabajo final actividad 1.

Desarrollar asertivamente los ejercicios en la herramienta de software

LabVIEW

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ACTIVIDAD TEORICA

Para la primera actividad se propone el siguiente circuito elctrico.

Ejercicio 1:

Encuentre un modelo matemtico para representar el sistema elctrico en

forma de una ecuacin diferencial lineal e invariante en el tiempo, que

relacione el voltaje de e1(t)y el voltaje de salida e2(t).

R/ Modelo matemtico:

Sumatoria de voltajes en la malla 1,

1:

1 = + + = 0( + 1) + ( + 2) + 12 0 = 0 + 1 + + 2 + 12 0 = 0

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2 + 1 + 2 + 12 0 = 0 (Ecuacin 1)

Sumatoria de voltajes en la malla 2, 2:2 = 1 = 0( + 1) + 11 (1 2)0 = 1

+ 1 +1

1 1 1

1 20 0 = 1 (Ecuacin 2)

Sumatoria de voltajes en la malla 3, 3:3 = 2 = 0( + 2) + 11 (2 1)()0 = 2 + 2 + 11 2 11 10 0 = 2 (Ecuacin 3)

Derivando la ecuacin 1 se tiene:

2 + 1 + 2 + 12 () = 0 (Ecuacin 1.1)Sabemos que = 2 21 = 2 2 2 1 (Ecuacin 1.2)Derivando para hallar el valor de

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= 2 22 2 12 (Ecuacin 1.3)Reemplazandoy en la ecuacin1.1.22

22

2 12

+ 2

1

= 1

2

Despejando

1 1 = 22 22 + 2 12 1 2 + 1 1 + 2 (Ecuacin 1.4)Derivamos la ecuacin 2.

1

= + 1

+1

1 1() 2() (Ecuacin 2.1)Reemplazando las ecuaciones 1.3 y 1.4 en la ecuacin 2.1

1 = 2 22 2 12 22 22 + 2 12 2 + 1 + 2 + 11 1() 2()

2 22 2 12 22 22 + 2 12 2 + 1 + 2 1 + 11 1 2 = 0Simplificando y reorganizando para despejar11 = 12 22 + 1 2 1 2 + 2 (Ecuacin 2.2)Derivamos la ecuacin 3.

2 = + 2 + 11 2 1() (Ecuacin 3.1)

Reemplazando1; 1 ; ; en la ecuacin3.12 = 22 22 + 2 12 1 2 + 1 1 + 2 + 2 + 11 2 11 12 22 + 1 2 1 2 + 2

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2 = 2 22 23 12 + 1 2 13 1 (Ecuacin 3.2)Integrando

2 se puede llegar a determinar el valor de2

2 = 2 2

2

3 1

+1

2 1

3 1() (Ecuacin 3.3)Con los valores de las corrientes podemos determinar la relacin de los voltajes de

entrada y salida del sistema reemplazando en cualquiera de las ecuaciones.

Reemplazamos los valores de la ecuacin 2.1

1 = + 1 + 11 1() 2()

1 + 2 22 2 12 222 22 + 2 12 2 + 1 + 22 22 23 12 + + 2 3 1 + 2 22 + 2 22 22 23

12 + 2 13 1 + 11 2 11 2 = 0

22 22 2 22 23 12 + 23 12 + 2 1 2 + 23 1 + 13 1 = 0

22 22 + 2 2 1 1 = 12 23 23 + 1 23 + 13 (Ecuacin 2.3)

Si integramos a ambos lados obtenemos la relacin de los voltajes de entrada y

salida del sistema:

2 22 + 2 2() 1 1 = 1 23 23 + 1() 23 + 13 (Ecuacin 2.4)Ejercicio 2:

Represente el sistema elctrico en forma de una funcin de transferencia

E2(t)/E1(t).

R/ Para hallar la funcin de transferencia Aplicamos la transformada de Laplace a

las ecuaciones 1,2,3:

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2 + 1 + 2 + 12 0 = 02 + 1 + 2 + 12 = 0 (Ecuacin 4)

+ 1 + 11 1 11 20 0 = 1 + 1() + 11 1 11 2 = 1() (Ecuacin 5)

+ 2 + 11 1 11 20 0 = 2

+ 2 +1

1 2 1

1 1 = 2() (Ecuacin 6)De la ecuacin 4 se despeja I(S)

= 1 12+

12 2() 12+ 12 (Ecuacin 7)Reemplazando ecuacin 7 en 5 y 6

Sea =1

2+ 12Entonces

= 1 2()Despejando()en5.[1 2] + 1() + 11 1 11 2 = 1()

1 + 1() +1

1 12 +1

1 2 = 1()1 = 1 11 + 2 11 + (Ecuacin 8)

Despejando()en6.

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[1 2] + 2 + 11 2 11 1 = 2() 11 1 1 + 2 2 + 11 2 = 2()

2 = 1 1

1 + 2 1

1 + (Ecuacin 9)Retomando el valor deuen 8 y 9 para obtener la funcin de transferencia.

1 = 1 11 12+ 12 + 2 12+ 12 + 11 (Ecuacin 10)2 = 1 11 12+ 12 + 2 11 12+ 12 + (Ecuacin 11)Obtenemos la funcin de transferencia =

2

1de las ecuaciones 10 y 11:

= 2()1() =1 11 12+ 12+2

11 12+ 12+1 11 12+ 12+2

1

2+12+

11

Ejercicio 3:

Represente el sistema elctrico mediante un diagrama de bloques y realice su

correspondiente reduccin.

Teniendo en cuenta el circuito inicial:

+

-

+1 + 1 +

121

11

1 -+

I

RI+RI1

IC1-IC2

RI2+RI

2

1

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Ejercicio 4:

Represente el sistema elctrico matricialmente en el espacio de estados.

2 + 1+2212 2 + 1212 2 = 1 + 21 1 + 1212 1

1 =

1+2

2

12

2 =

1

2

12

0 = 1 1 = 21 2 = 12120 = 0 = 11 = 1 10 = 21 1+2212 1 = 122 = 2 11 20 = 1212 1+2212 12 1212 12 = 1+2212221 = 2 12 2 = 21 12 + 2 = 1212 1 1+2212 2 + 1+221222Representacin en espacio de estados.

1

2 =

0 1

1

212 1+2

2

12

1

2+

1

2

1+221222

= 1 0 12 + 1

+1

+

1

+

12

11

1 -+

I

RI+RI1

IC1-IC2

RI2+RI

2-

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= 0 1 1212 1+2212 = 121+221222 = 1 0 = 1

Segunda actividad:

Utilizar el mismo sistema elctrico de la primera actividad con los siguientes

valores: R=1K, C1=1uF; C2=2uF. Adems, suponga que el sistema elctrico se

integra en un sistema de control realimentado que tiene la siguiente estructura:

Ejercicio Practico 1.

Utilice LabVIEW para obtener la respuesta del sistema realimentado ante unaentrada escaln de 1 V. Suponga un valor de que permita una respuesta estable.

Desarrollo.

Para el sistema estable se supondr un valor de k igual a 1.

Por tanto la funcin de transferencia que se usara para construir la respuesta delsistema ante una entrada escaln en LabVIEW ser la siguiente:

= [22 + 4 + 1] ()23 + 1 5 + 22 + 2 6 + 4 + ( 1 + ) = 22 + 4 + 1

23 + 172 + 30 + 2

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Paso 1: elegir en el modulo de simulacin y control de LabVIEW un bloque de

construccin de funcin de transferencia, como se muestra en la figura 4 y definir

de manera simblica su numerador y denominador.

Figura 4.

Para que la funcin de transferencia que se va a crear sea visible en el panel

frontal del programa es necesario crear un indicador de funcin de transferencia,

como se muestra en la figura 5.Para tal propsito se incorporan al esquema de

diseo un dibujante de funcin de transferencia y un indicador.

Figura 5.

El siguiente paso es generar los coeficientes del numerador y del denominador de

la funcin de transferencia que se desea crear, como se muestra en la figura 6.

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Figura 6.

Los pasos anteriormente descritos generaran la funcin de transferencia del

sistema que puede observarse en el panel frontal de LabVIEW, como se observa

en la figura 7.

Figura 7.

A partir de este punto se generan los bloques para construir una entrada escaln

unitario y obtener la respuesta del sistema. Para tal propsito se incorporan al

diagrama de la figura 6 un bloque de ganancia, el cual es en este caso unitaria, se

incorpora un bloque el bloque de respuesta del sistema ante entrada escaln y su

respectivo indicador para poder visualizar el resultado de la simulacin del sistemaen el panel frontal de LabVIEW. Todos los elementos descritos en el prrafo

anterior fueron definidos en trminos de funcin de transferencia y su esquema

puede observarse en la figura 8.

Figura 8.

La respuesta del sistema ante una entrada de voltaje de magnitud 1 voltio tipo

escaln se aprecia en la figura 9.

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Figura 9.

Como puede apreciarse en la figura 9, la suposicin hecha en cuanto al valor de la

ganancia K, para obtener una respuesta estable es correcta, pues el sistema

presenta una respuesta sin oscilaciones y un comportamiento estable ante una

entrada tipo escaln unitario.

Ejercicio Practico 2.

Utilice LabVIEW obtener el lugar geomtrico de las races. Encuentre los valoresde K, para los cuales sistema es estable.

Ahora se procede a realizar el montaje para obtener el lugar geomtrico de las

races para el sistema que se est analizando, para tal propsito se construye

dentro del esquema un bloque de construccin de funcin de transferencia, en

esta oportunidad se debe hacer uso de la funcin de transferencia total o en lazo

cerrado del sistema, que segn los clculos realizados en el apartado

consideraciones generales es la siguiente:

= [22 + 4 + 1] ()23 + 1 5 + 22 + 2 6 + 4 + ( 1 + )

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Dentro de los requerimientos de desarrollo de la segunda actividad practica se

pide hallar el rango de valores de la ganancia K, para los cuales el sistema tiene

un comportamiento estable, es decir el valor de ganancia critica de K que permite

que el sistema trabaje en su lmite de estabilidad, para tal propsito se hace uso

del criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz, como se desarrollo en el apartado

consideraciones generales y que dio como resultado que el sistema es estable

entre un rango de valores comprendido entre -7.5 y 1.10

Para la construccin del lugar geomtrico de las races se hara uso de k=1, que es

un nmero muy cercano al mximo valor de ganancia critica, para el cual el

sistema presenta un comportamiento estable. Por tanto la funcin de transferencia

con la cual se construir el lugar geomtrico de las races es la siguiente:

= 22 + 4 + 12

3 + 17

2 + 30

+ 2

En primer lugar se construye el bloque, al cual se acopla un dibujante y un

indicador para generar la funcin de transferencia en lazo cerrado, la cual se

denominara con las letras CL, por sus siglas en ingles, el procedimiento descrito

en el prrafo anterior se muestra en la figura 12.

Figura 12.

Para la construccin del lugar geomtrico de las races al sistema mostrado en la

figura 12, se le integra un bloque llamado Root Locus, al cual se le incorpora un

indicador para poder apreciar la grafica del lugar geomtrico de las races en el

panel frontal.

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Figura 13.Adicin del bloque de generacin del lugar geomtrico de las races.

En la figura 14 se observa el lugar geomtrico de las races, que presenta un

todos los polos y ceros del sistema en el semiplano negativo del eje real, sin

componentes imaginarios, la introduccin de la realimentacin genera un leve

corrimiento de los polos del sistema hacia el origen coordenado, es decir se ha

afectado la estabilidad del sistema, sin que este presente aun un comportamiento

inestable. Por tanto puede decirse que el valor de alimentacin elegido y que fue

calculado segn el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz es correcto.

Figura 14.

En las figuras 15 y 16 se presenta la propuesta de solucin realizada para el

desarrollo de la segunda actividad practica, es decir los bloques para el anlisis

del sistema en lazo abierto y cerrado y sus respectivos resultados para el

diagrama de polos y ceros y lugar geomtrico de las races propuestos.

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Figura 15. Diagramas de bloque para los sistemas en lazo abierto y cerrado

respectivamente.

Figura 16. Diagrama de polos y ceros para el sistema en lazo abierto y lugar

geomtrico de las races en lazo cerrado.

Ejercicio Practico 3.

Utilice LabVIEW para obtener los diagramas de Bode de magnitud y fase deGcG (w)/k. Encuentre el margen de ganancia, la frecuencia de cruce de ganancia,

el margen de fase, la frecuencia de cruce de fase.

Desarrollo.

El primer paso para construir los diagramas de Bode del sistema que se estanalizando es construir la funcin de transferencia del sistema en LabVIEW, paratal propsito se genera un constructor de funcin de transferencia, con susdibujante e indicador respectivos asociados, para el desarrollo de esta actividad se

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hace uso de la funcin de transferencia de la planta G(s) y la funcin detransferencia del controlador, estas dos funcin de transferencia, segn la gua deactividades se deben multiplicar y el resultado de dicha multiplicacin debedividirse por K.

=

+ 5

= 2 + 21 + 12122 + 1 + 2212 + 1212=

2 + 2 + 12

2 + 52 + 1

2

= 2 + 2 + 122 + 52 + 1

2

+ 5

= [2 + 2 + 12] ()3 + 15

22 + 26

2 + 5

2

Si se multiplica en el numerador y el denominador de la ecuacin anterior por 2, se

obtiene:

= [22 + 4 + 1] ()23 + 152 + 26 + 5

= [22 + 4 + 1]23 + 152 + 26 + 5

Figura 17. Construccin de la funcin de transferencia actividad practica 3.

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Ahora se procede a agregar al diagrama de la figura 17 un bloque para crear losdiagramas de Bode del sistema, con sus respetivos indicadores de magnitud yfase acoplados a l. En la figura 18 se observa este procedimiento.

Figura 18.

En la figura 19 se muestran los diagramas generados a partir del diagrama debloques de la figura 18.

Figura 19.

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Ejercicio Terico 4.

Utilice LabVIEW para obtener el diagrama de Nyquist del sistema realimentado.Suponga un valor de k que permita una respuesta estable

Desarrollo.

El criterio de estabilidad de Nyquist permite conocer la estabilidad de de unsistema en lazo cerrado, conociendo la respuesta en frecuencia del mismosistema en lazo abierto. En el apartado consideraciones Generales si realizaronlos clculos mediante el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz para los cuales elsistema es estable, valores de K, comprendidos en un rango de valores entre -7.5y 1.1, por tanto para el desarrollo de la presente actividad, se har uso de lasiguiente funcin de transferencia en lazo cerrado, con una ganancia igual a 1,ganancia que lleva el comportamiento del sistema al lmite de estabilidad.

Por tanto la funcin de transferencia a utilizar es:

= [22 + 4 + 1] ()23 + 1 5 + 22 + 2 6 + 4 + ( 1 + )

Para k=1, la funcin de transferencia del sistema en lazo cerrado es:

= 22 + 4 + 123 + 172 + 30 + 2

El primer paso para construir el diagrama de Nyquist para el sistema en lazocerrado es generar un bloque de construccin de funcin de transferencia, en este

bloque se definen los coeficientes tanto del denominador, como del denominador

de dicha funcin de manera simblica. Al diagrama de construccin de funcin de

transferencia se le incorporan un dibujante de funcin de transferencia con su

correspondiente indicador. El procedimiento descrito en el prrafo anterior se

muestra en la figura 22.

Figura 14.

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El siguiente paso en la construccin del diagrama de Nyquist del sistema es

generar un bloque constructor para dichos diagramas, al cual se le asignan sus

indicadores correspondientes, tanto para la generacin del grafico como para el

anlisis de datos, como se observa en la figura 23.

Figura 23.

En la figura 24 se muestra el diagrama de Nyquist para el sistema de controlplanteado.

Figura 24.

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CONCLUSIONES

Al resolver los ejercicios planteados logramos relacionar las variables de entrada y

salida del circuito y el anlisis completo del mismo por medio de la funcin de

transferencia, el diagrama de bloques y las variables de estado.

Se logra consolidar y demostrar los conocimientos adquiridos a lo largo del curso de

sistemas dinmicos.

Mediante el anlisis matemtico del sistema elctrico se logra comprender la

funcionalidad del sistema de transferencia.

Se recalca la importancia de las herramientas informticas, que para este caso es el

uso de Lab VIEW, una herramienta que facilita la simulacin y modelado de los

sistemas dinmicos.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Aula Virtual. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Disponible en

http://www.unad.learnmate.co/course/view.php?id=396

Sendoya Lozada. D.F. (2009). 201527_SISTEMAS DINAMICOS. Universidad Nacional

Abierta y a Distancia. Disponible en URL:

http://www.unad.learnmate.co/mod/resource/view.php?inpopup=true&id=18690

http://www.unad.learnmate.co/course/view.php?id=396http://www.unad.learnmate.co/course/view.php?id=396http://www.unad.learnmate.co/mod/resource/view.php?inpopup=true&id=18690http://www.unad.learnmate.co/mod/resource/view.php?inpopup=true&id=18690http://www.unad.learnmate.co/mod/resource/view.php?inpopup=true&id=18690http://www.unad.learnmate.co/course/view.php?id=396