20210428 MacroDin Clase10 CCM - img1.wsimg.com
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2/5/21 1 Macroeconomía Dinámica EC3024.1 (CCM) CLASE 10 1 RECESO Hoy habrá dos recesos de 10 minutos: 4:50pm y 5:50pm 2 2
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1
Macroeconomía DinámicaEC3024.1 (CCM)
CLASE 10
1
RECESO
Hoy habrá dos recesos de 10 minutos:
4:50pm y 5:50pm
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Nuestra agenda de hoy
Revisión dedatos yeventosmacro
Optimización de un modelo
determinístico de tres
periodos
Tarea
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Nuestra agenda de hoy
Revisión dedatos yeventosmacro
Optimización de un modelo
determinístico de tres
periodos
Tarea
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Se va a publicar el PIB de México de 1T21
Fuente: Encuesta sobre las expectativas de los especialistas en economía del sector privado: marzo 2021. Liga: https://www.banxico.org.mx/publicaciones-y-prensa/encuestas-sobre-las-expectativas-de-los-especialis/%7BA9302B4A-04AD-4551-9877-028346F57E96%7D.pdf
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Nuestra agenda de hoy
Revisión dedatos yeventosmacro
Optimización de un modelo
determinístico de tres
periodosTarea
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6
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Número de periodos de tiempo
Determinístico / Estocástico
Método de solución
(1) Tres Determinístico Lagrange
(2) Tres Determinístico Función de política1
(3) Tres Determinístico Programación Dinámica
(4) Infinito Determinístico Programación Dinámica
(5) Tres Estocástico Programación Dinámica
(6) Infinito Estocástico Programación Dinámica
¿Cómo vamos a aprender DP?
1. Realmente no es un método, sino una forma alternativa de expresar las soluciones óptimas, que ayuda a ilustrar la idea conceptual sobre la que descansa la programación dinámica.
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Problema de optimización con función de utilidad logarítmica
8
max!! !"#
$ "! !"%&
$#$%
&
𝛽#'% ln 𝐶#
sujeto a:
𝐴#(% = 1 + 𝑟# 𝐴# + 𝑤# − 𝐶# , para toda 𝑡𝐴) ≥ 0
ℒ = ∑#$%& 𝛽#'% ln 𝐶# + ∑#$%& 𝜆# 1 + 𝑟# 𝐴# + 𝑤# − 𝐶# − 𝐴#(%
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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)
Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange
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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)
Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange
0
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ERROR
Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange
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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)
Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange
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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)
Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange
1 𝛽
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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)
FOC (First-Order Conditions)
Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange
,ℒ,!#
= 0
1 𝛽
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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)
FOC (First-Order Conditions)
Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange
,ℒ,!#
= 0,ℒ,!%
= 0
1 𝛽
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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)
FOC (First-Order Conditions)
Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange
,ℒ,!#
= 0,ℒ,!%
= 0,ℒ,!$
= 0
1 𝛽
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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)
FOC (First-Order Conditions)
Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange
,ℒ,!#
= 0,ℒ,!%
= 0,ℒ,!$
= 0
,ℒ,"%
= 0
1 𝛽
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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)
FOC (First-Order Conditions)
Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange
,ℒ,!#
= 0,ℒ,!%
= 0,ℒ,!$
= 0
,ℒ,"%
= 0,ℒ,"$
= 0
1 𝛽
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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)
FOC (First-Order Conditions)
Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange
,ℒ,!#
= 0,ℒ,!%
= 0,ℒ,!$
= 0
,ℒ,"%
= 0,ℒ,"$
= 0,ℒ,"&
? Restricción con desigualdad
1 𝛽
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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)
FOC (First-Order Conditions)
Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange
,ℒ,!#
= 0,ℒ,!%
= 0,ℒ,!$
= 0
,ℒ,"%
= 0,ℒ,"$
= 0,ℒ,"&
?
1 𝛽
,ℒ,.#
= 0; ,ℒ,.%
= 0; ,ℒ,.$
= 0
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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)
FOC (First-Order Conditions)
Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange
,ℒ,!#
= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)
,ℒ,!%
= 0,ℒ,!$
= 0
,ℒ,"%
= 0,ℒ,"$
= 0,ℒ,"&
?
1 𝛽
,ℒ,.#
= 0; ,ℒ,.%
= 0; ,ℒ,.$
= 0
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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)
FOC (First-Order Conditions)
Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange
,ℒ,!#
= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)
,ℒ,!%
= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)
,ℒ,!$
= 0
,ℒ,"%
= 0,ℒ,"$
= 0,ℒ,"&
?
1 𝛽
,ℒ,.#
= 0; ,ℒ,.%
= 0; ,ℒ,.$
= 0
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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)
FOC (First-Order Conditions)
Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange
,ℒ,!#
= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)
,ℒ,!%
= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0……….…..(2)
,ℒ,!$
= 0 ⟺ /%
!$−𝜆&= 0…………..(3)
,ℒ,"%
= 0,ℒ,"$
= 0,ℒ,"&
?
1 𝛽
,ℒ,.#
= 0; ,ℒ,.%
= 0; ,ℒ,.$
= 0
23
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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)
FOC (First-Order Conditions)
Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange
,ℒ,!#
= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)
,ℒ,!%
= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0……….…..(2)
,ℒ,!$
= 0 ⟺ /%
!$−𝜆&= 0…………..(3)
,ℒ,"%
= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$
= 0,ℒ,"&
?
1 𝛽
,ℒ,.#
= 0; ,ℒ,.%
= 0; ,ℒ,.$
= 0
24
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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)
FOC (First-Order Conditions)
Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange
,ℒ,!#
= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)
,ℒ,!%
= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)
,ℒ,!$
= 0 ⟺ /%
!$−𝜆&= 0…………..(3)
,ℒ,"%
= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$
= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5),ℒ,"&
?
1 𝛽
,ℒ,.#
= 0; ,ℒ,.%
= 0; ,ℒ,.$
= 0
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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)
FOC (First-Order Conditions)
Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange
,ℒ,!#
= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)
,ℒ,!%
= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)
,ℒ,!$
= 0 ⟺ /%
!$−𝜆&= 0…………..(3)
,ℒ,"%
= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$
= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5),ℒ,"&
≤ 0 ⟺ −𝜆&≤ 0
1 𝛽
,ℒ,.#
= 0; ,ℒ,.%
= 0; ,ℒ,.$
= 0
26
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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)
FOC (First-Order Conditions)
Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange
,ℒ,!#
= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)
,ℒ,!%
= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)
,ℒ,!$
= 0 ⟺ /%
!$−𝜆&= 0…………..(3)
,ℒ,"%
= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$
= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5),ℒ,"&
≤ 0 ⟺ −𝜆&≤ 0; 𝐴) ≥ 0
1 𝛽
,ℒ,.#
= 0; ,ℒ,.%
= 0; ,ℒ,.$
= 0
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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)
FOC (First-Order Conditions)
Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange
,ℒ,!#
= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)
,ℒ,!%
= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0……….…..(2)
,ℒ,!$
= 0 ⟺ /%
!$−𝜆&= 0…………..(3)
,ℒ,"%
= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$
= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5),ℒ,"&
≤ 0 ⟺ −𝜆&≤ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴),ℒ,"&
= 0
1 𝛽
,ℒ,.#
= 0; ,ℒ,.%
= 0; ,ℒ,.$
= 0
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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)
FOC (First-Order Conditions)
Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange
,ℒ,!#
= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)
,ℒ,!%
= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)
,ℒ,!$
= 0 ⟺ /%
!$−𝜆&= 0…………..(3)
,ℒ,"%
= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$
= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5),ℒ,"&
≤ 0 ⟺ −𝜆&≤ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴),ℒ,"&
= 0
Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker
1 𝛽
,ℒ,.#
= 0; ,ℒ,.%
= 0; ,ℒ,.$
= 0
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ℒ = ln 𝐶% + 𝛽 ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)
FOC (First-Order Conditions)
Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange
,ℒ,!#
= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)
,ℒ,!%
= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)
,ℒ,!$
= 0 ⟺ /%
!$−𝜆&= 0…………..(3)
,ℒ,"%
= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$
= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5),ℒ,"&
≤ 0 ⟺ −𝜆&≤ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴),ℒ,"&
= 0
Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker,ℒ,.#
= 0; ,ℒ,.%
= 0; ,ℒ,.$
= 0
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Albert W. Tucker(1905-1995)
Harold W. Kuhn(1925-2014)
William Karush(1917-1997)
31
Digresión: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker
Fuente: William Karush (https://www.math.uni-bielefeld.de); Harold W. Kuhn (https://optienterazavala.wordpress.com/); Albert W. Tucker (Wikipedia)
31
Solución interior
32
𝑓 𝑥
𝑥∗ ≠ 0 𝑥
A
Digresión: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker
32
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𝑓 𝑥
𝑥∗ ≠ 0 𝑥
Solución interior
A 𝑓( 𝑥 = 0
Digresión: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker
33
34
𝑓 𝑥
𝑥∗ ≠ 0 𝑥
Solución interior
A 𝑓( 𝑥 = 0
𝑥∗ ≠ 0 y 𝑓( 𝑥 = 0
Digresión: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker
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𝑓 𝑥
𝑥∗ ≠ 0 𝑥
𝑓 𝑥
Solución interior Solución de frontera
A B
𝑥∗ = 0 𝑥
𝑓( 𝑥 = 0
𝑥∗ ≠ 0 y 𝑓( 𝑥 = 0
Digresión: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker
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36
𝑓 𝑥
𝑥∗ ≠ 0 𝑥
𝑓 𝑥
Solución interior Solución de frontera
A B
𝑥∗ = 0 𝑥
𝑓( 𝑥 = 0 𝑓( 𝑥 = 0
𝑥∗ ≠ 0 y 𝑓( 𝑥 = 0
Digresión: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker
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𝑓 𝑥
𝑥∗ ≠ 0 𝑥
𝑓 𝑥
Solución interior Solución de frontera
A B
𝑥∗ = 0 𝑥
𝑓( 𝑥 = 0 𝑓( 𝑥 = 0
𝑥∗ ≠ 0 y 𝑓( 𝑥 = 0 𝑥∗ = 0 y 𝑓( 𝑥 = 0
Digresión: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker
37
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𝑓 𝑥
𝑥∗ ≠ 0 𝑥
𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
Solución interior Solución de frontera Máximo local1
1. Puede ser también mínimo.
A CB
𝑥∗ = 0 𝑥 𝑥∗ = 0 𝑥
𝑓( 𝑥 = 0 𝑓( 𝑥 = 0
𝑥∗ ≠ 0 y 𝑓( 𝑥 = 0 𝑥∗ = 0 y 𝑓( 𝑥 = 0
Digresión: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker
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𝑓 𝑥
𝑥∗ ≠ 0 𝑥
𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
Solución interior Solución de frontera Máximo local1
1. Puede ser también mínimo.
A CB
𝑥∗ = 0 𝑥 𝑥∗ = 0 𝑥
𝑓( 𝑥 = 0 𝑓( 𝑥 = 0
𝑓( 𝑥 < 0
𝑥∗ ≠ 0 y 𝑓( 𝑥 = 0 𝑥∗ = 0 y 𝑓( 𝑥 = 0
Digresión: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker
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40
𝑓 𝑥
𝑥∗ ≠ 0 𝑥
𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
Solución interior Solución de frontera Máximo local1
1. Puede ser también mínimo.
A CB
𝑥∗ = 0 𝑥 𝑥∗ = 0 𝑥
𝑓( 𝑥 = 0 𝑓( 𝑥 = 0
𝑓( 𝑥 < 0
𝑥∗ ≠ 0 y 𝑓( 𝑥 = 0 𝑥∗ = 0 y 𝑓( 𝑥 = 0 𝑥∗ = 0 y 𝑓( 𝑥 < 0
Digresión: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker
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𝑥∗ ≠ 0 y 𝑓( 𝑥 = 0 𝑥∗ = 0 y 𝑓( 𝑥 = 0 𝑥∗ = 0 y 𝑓( 𝑥 < 0
𝑓( 𝑥 ≤ 0 ; 𝑥 ≥ 0 ; y 𝑥𝑓( 𝑥 = 0
Digresión: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker
41
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𝑥∗ ≠ 0 y 𝑓( 𝑥 = 0 𝑥∗ = 0 y 𝑓( 𝑥 = 0 𝑥∗ = 0 y 𝑓( 𝑥 < 0
𝑓( 𝑥 ≤ 0 ; 𝑥 ≥ 0 ; y 𝑥𝑓( 𝑥 = 0
La variable 𝑥∗ o 𝑓( 𝑥pueden o no ser cero
Pero al menos una de las dos tiene que ser
cero
Digresión: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker
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Para un problema de optimización no lineal con 𝑛 variables y 𝑚 restricciones, las Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker son:Problema de maximización𝜕ℒ𝜕𝑥0
≤ 0; 𝑥0 ≥ 0; 𝑥0𝜕ℒ𝜕𝑥0
= 0 para 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛
𝜕ℒ𝜕𝜆1
≥ 0; 𝜆1 ≥ 0; 𝜆1𝜕ℒ𝜕𝜆1
= 0 para 𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑚
Fuente: Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics. 3a edición. Nueva York; NY: McGraw-Hill, pp. 722-30.
43
44
Para un problema de optimización no lineal con 𝑛 variables y 𝑚 restricciones, las Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker son:Problema de maximización𝜕ℒ𝜕𝑥0
≤ 0; 𝑥0 ≥ 0; 𝑥0𝜕ℒ𝜕𝑥0
= 0 para 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛
𝜕ℒ𝜕𝜆1
≥ 0; 𝜆1 ≥ 0; 𝜆1𝜕ℒ𝜕𝜆1
= 0 para 𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑚
Problema de minimización𝜕ℒ𝜕𝑥0
≥ 0; 𝑥0 ≥ 0; 𝑥0𝜕ℒ𝜕𝑥0
= 0 para 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛
𝜕ℒ𝜕𝜆1
≤ 0; 𝜆1 ≥ 0; 𝜆1𝜕ℒ𝜕𝜆1
= 0 para 𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑚
Fuente: Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics. 3a edición. Nueva York; NY: McGraw-Hill, pp. 722-30.
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Restricción: 𝐴) ≥ 0Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker:𝜕ℒ𝜕𝐴)
≤ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴)𝜕ℒ𝜕𝐴)
= 0
𝜕ℒ𝜕𝜆&
≥ 0; 𝜆& ≥ 0; 𝜆&𝜕ℒ𝜕𝜆&
= 0
Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker en la tercera restricción (expresión 6)ℒ = ln 𝐶% + 𝛽 ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +
𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)
−𝜆& ≤ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴) −𝜆& = 0
1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) ≥ 0;𝜆& ≥ 0;𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) = 0
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−𝜆& ≤ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴) −𝜆& = 01 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) ≥ 0; 𝜆& ≥ 0; 𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) = 0
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24
47
−𝜆& ≤ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴) −𝜆& = 01 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) ≥ 0; 𝜆& ≥ 0; 𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) = 0
𝜆& ≥ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴) −𝜆& = 01 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& ≥ 𝐴); 𝜆& ≥ 0; 𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) = 0
47
48
−𝜆& ≤ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴) −𝜆& = 01 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) ≥ 0; 𝜆& ≥ 0; 𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) = 0
𝜆& ≥ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴) −𝜆& = 01 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& ≥ 𝐴); 𝜆& ≥ 0; 𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) = 0
Si al final de su vida, el agente representativo deja activos sin consumir, i.e. 𝐴) > 0, entonces 𝜆& = 0 para que se cumpla la condición 𝐴) −𝜆& = 0
48
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25
49
−𝜆& ≤ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴) −𝜆& = 01 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) ≥ 0; 𝜆& ≥ 0; 𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) = 0
𝜆& ≥ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴) −𝜆& = 01 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& ≥ 𝐴); 𝜆& ≥ 0; 𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) = 0
Si al final de su vida, el agente representativo deja activos sin consumir, i.e. 𝐴) > 0, entonces 𝜆& = 0 para que se cumpla la condición 𝐴) −𝜆& = 0.Lambda (𝜆&) se interpreta como cuánto puede incrementarse la utilidad del agente representativo (ln𝐶&) si aumenta la restricción (i.e. 𝐴))
49
50
−𝜆& ≤ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴) −𝜆& = 01 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) ≥ 0; 𝜆& ≥ 0; 𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) = 0
𝜆& ≥ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴) −𝜆& = 01 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& ≥ 𝐴); 𝜆& ≥ 0; 𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) = 0
Si al final de su vida, el agente representativo deja activos sin consumir, i.e. 𝐴) > 0, entonces 𝜆& = 0 para que se cumpla la condición 𝐴) −𝜆& = 0.Lambda (𝜆&) se interpreta como cuánto puede incrementarse la utilidad del agente representativo (ln𝐶&) si aumenta la restricción (i.e. 𝐴)), por lo que si 𝜆& = 0 , eso quiere decir que la utilidad del agente representativo no aumenta al dejar activos sin consumir al final de su vida
50
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26
51
−𝜆& ≤ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴) −𝜆& = 01 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) ≥ 0; 𝜆& ≥ 0; 𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) = 0
𝜆& ≥ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴) −𝜆& = 01 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& ≥ 𝐴); 𝜆& ≥ 0; 𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) = 0
Si al final de su vida, el agente representativo deja activos sin consumir, i.e. 𝐴) > 0, entonces 𝜆& = 0 para que se cumpla la condición 𝐴) −𝜆& = 0.Lambda (𝜆&) se interpreta como cuánto puede incrementarse la utilidad del agente representativo (ln𝐶&) si aumenta la restricción (i.e. 𝐴)), por lo que si 𝜆& = 0 , eso quiere decir que la utilidad del agente representativo no aumenta al dejar activos sin consumir al final de su vida. Desde esta perspectiva, es óptimo consumir todos los activos en vida, i.e. 𝐴) = 0
51
52
ℒ = ln 𝐶% + 𝛽 ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)
FOC (First-Order Conditions),ℒ,!#
= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)
,ℒ,!%
= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)
,ℒ,!$
= 0 ⟺ /%
!$−𝜆&= 0…………..(3)
,ℒ,"%
= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$
= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5)
𝐴) = 0……………………………………………..(6)
,ℒ,.#
= 0; ,ℒ,.%
= 0; ,ℒ,.$
= 0
52
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27
53
ℒ = ln 𝐶% + 𝛽 ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)
FOC (First-Order Conditions),ℒ,!#
= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)
,ℒ,!%
= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)
,ℒ,!$
= 0 ⟺ /%
!$−𝜆&= 0…………..(3)
,ℒ,"%
= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$
= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5)
𝐴) = 0……………………………………………..(6)
,ℒ,.#
= 0 ⟺ 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ = 0..……………………………..…………....(7),ℒ,.%
= 0 ⟺ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& = 0..…………………………..………….......(8),ℒ,.$
= 0 ⟺ 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& = 0..…………………………………..……..….…....(9)
53
54
El objetivo aquí es que encontremos 𝐶%∗,𝐶+∗,𝐶&∗,𝐴+∗ y 𝐴&∗ (𝐴% es un parámetro y𝐴)∗ = 0) en términos de los parámetros (i.e. 𝑟%, 𝑟+, 𝑟&,𝑤%, 𝑤+ , 𝑤& yclaramente 𝛽)
54
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28
55
El objetivo aquí es que encontremos 𝐶%∗,𝐶+∗,𝐶&∗,𝐴+∗ y 𝐴&∗ (𝐴% es un parámetro y𝐴)∗ = 0) en términos de los parámetros (i.e. 𝑟%, 𝑟+, 𝑟&,𝑤%, 𝑤+ , 𝑤& yclaramente 𝛽)
Para para lograrlo, vamos a hacerlo en dos pasos:
55
56
El objetivo aquí es que encontremos 𝐶%∗,𝐶+∗,𝐶&∗,𝐴+∗ y 𝐴&∗ (𝐴% es un parámetro y𝐴)∗ = 0) en términos de los parámetros (i.e. 𝑟%, 𝑟+, 𝑟&,𝑤%, 𝑤+ , 𝑤& yclaramente 𝛽)
Para para lograrlo, vamos a hacerlo en dos pasos:
(1) Eliminar las lambdas utilizando las primeras seis condiciones de primer orden (1-6); y en lugar de utilizar las condiciones de primer orden asociadas a las restricciones (7, 8 y 9), vamos a…
56
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29
57
El objetivo aquí es que encontremos 𝐶%∗,𝐶+∗,𝐶&∗,𝐴+∗ y 𝐴&∗ (𝐴% es un parámetro y𝐴)∗ = 0) en términos de los parámetros (i.e. 𝑟%, 𝑟+, 𝑟&,𝑤%, 𝑤+ , 𝑤& yclaramente 𝛽)
Para para lograrlo, vamos a hacerlo en dos pasos:
(1) Eliminar las lambdas utilizando las primeras seis condiciones de primer orden (1-6); y en lugar de utilizar las condiciones de primer orden asociadas a las restricciones (7, 8 y 9), vamos a…
(2) Utilizar la restricción presupuestaria consolidada de ‘toda la vida’ del agente representativo (paso ‘nuevo’)
57
58
,ℒ,!#
= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)
,ℒ,!%
= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)
,ℒ,!$
= 0 ⟺ /%
!$−𝜆&= 0…………..(3)
,ℒ,"%
= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$
= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5)
𝐴) = 0……………………………………………..(6)
Paso 1: Eliminar las lambdas
58
2/5/21
30
59
,ℒ,!#
= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)
,ℒ,!%
= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)
,ℒ,!$
= 0 ⟺ /%
!$−𝜆&= 0…………..(3)
,ℒ,"%
= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$
= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5)
𝐴) = 0……………………………………………..(6)
Paso 1: Eliminar las lambdas
Despejamos 𝜆%, 𝜆+, 𝜆& de (1), (2) y (3)
59
60
,ℒ,!#
= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)
,ℒ,!%
= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)
,ℒ,!$
= 0 ⟺ /%
!$−𝜆&= 0…………..(3)
,ℒ,"%
= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$
= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5)
𝐴) = 0……………………………………………..(6)
Paso 1: Eliminar las lambdas
Despejamos 𝜆%, 𝜆+, 𝜆& de (1), (2) y (3)%!#−𝜆%= 0⟺ 𝜆% =
%!#
………..………(1b)
60
2/5/21
31
61
,ℒ,!#
= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)
,ℒ,!%
= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)
,ℒ,!$
= 0 ⟺ /%
!$−𝜆&= 0…………..(3)
,ℒ,"%
= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$
= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5)
𝐴) = 0……………………………………………..(6)
Paso 1: Eliminar las lambdas
Despejamos 𝜆%, 𝜆+, 𝜆& de (1), (2) y (3)%!#−𝜆%= 0⟺ 𝜆% =
%!#
………..………(1b)/!%−𝜆+= 0⟺ 𝜆+ =
/!%
………..………(2b)
61
62
,ℒ,!#
= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)
,ℒ,!%
= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)
,ℒ,!$
= 0 ⟺ /%
!$−𝜆&= 0…………..(3)
,ℒ,"%
= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$
= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5)
𝐴) = 0……………………………………………..(6)
Paso 1: Eliminar las lambdas
Despejamos 𝜆%, 𝜆+, 𝜆& de (1), (2) y (3)%!#−𝜆%= 0⟺ 𝜆% =
%!#
………..………(1b)/!%−𝜆+= 0⟺ 𝜆+ =
/!%
………..………(2b)/%
!$−𝜆&= 0⟺ 𝜆& =
/%
!$………..…..…(3b)
62
2/5/21
32
63
,ℒ,!#
= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)
,ℒ,!%
= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)
,ℒ,!$
= 0 ⟺ /%
!$−𝜆&= 0…………..(3)
,ℒ,"%
= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$
= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5)
𝐴) = 0……………………………………………..(6)
Paso 1: Eliminar las lambdas
Despejamos 𝜆%, 𝜆+, 𝜆& de (1), (2) y (3)%!#−𝜆%= 0⟺ 𝜆% =
%!#
………..………(1b)/!%−𝜆+= 0⟺ 𝜆+ =
/!%
………..………(2b)/%
!$−𝜆&= 0⟺ 𝜆& =
/%
!$………..…..…(3b)
Substituimos (1b) y (2b) en (4):/!%
1 + 𝑟+ = %!#
………..………………(10)
63
64
,ℒ,!#
= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)
,ℒ,!%
= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)
,ℒ,!$
= 0 ⟺ /%
!$−𝜆&= 0…………..(3)
,ℒ,"%
= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$
= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5)
𝐴) = 0……………………………………………..(6)
Paso 1: Eliminar las lambdas
Despejamos 𝜆%, 𝜆+, 𝜆& de (1), (2) y (3)%!#−𝜆%= 0⟺ 𝜆% =
%!#
………..………(1b)/!%−𝜆+= 0⟺ 𝜆+ =
/!%
………..………(2b)/%
!$−𝜆&= 0⟺ 𝜆& =
/%
!$………..…..…(3b)
Substituimos (1b) y (2b) en (4):/!%
1 + 𝑟+ = %!#
………..………………(10)Substituimos (2b) y (3b) en (5):/%
!$1 + 𝑟& = /
!%.………..………………(11)
64
2/5/21
33
Re arreglamos algunos términos en (10) y (11):
/!%
1 + 𝑟+ = %!#
⟺ 𝛽 1 + 𝑟+ 𝐶% = 𝐶+
65
Paso 1: Eliminar las lambdas
65
Re arreglamos algunos términos en (10) y (11):
/!%
1 + 𝑟+ = %!#
⟺ 𝛽 1 + 𝑟+ 𝐶% = 𝐶+ ⟺ 𝐶+ = 𝛽 1 + 𝑟+ 𝐶% ..……(10b)
66
Paso 1: Eliminar las lambdas
66
2/5/21
34
Re arreglamos algunos términos en (10) y (11):
/!%
1 + 𝑟+ = %!#
⟺ 𝛽 1 + 𝑟+ 𝐶% = 𝐶+ ⟺ 𝐶+ = 𝛽 1 + 𝑟+ 𝐶% ..……(10b)
/%
!$1 + 𝑟& = /
!%⟺ 𝛽+ 1 + 𝑟& 𝐶+= 𝛽𝐶&
67
Paso 1: Eliminar las lambdas
67
Re arreglamos algunos términos en (10) y (11):
/!%
1 + 𝑟+ = %!#
⟺ 𝛽 1 + 𝑟+ 𝐶% = 𝐶+ ⟺ 𝐶+ = 𝛽 1 + 𝑟+ 𝐶% ..……(10b)
/%
!$1 + 𝑟& = /
!%⟺ 𝛽+ 1 + 𝑟& 𝐶+= 𝛽𝐶&
68
Paso 1: Eliminar las lambdas
68
2/5/21
35
Re arreglamos algunos términos en (10) y (11):
/!%
1 + 𝑟+ = %!#
⟺ 𝛽 1 + 𝑟+ 𝐶% = 𝐶+ ⟺ 𝐶+ = 𝛽 1 + 𝑟+ 𝐶% ..……(10b)
/%
!$1 + 𝑟& = /
!%⟺ 𝛽+ 1 + 𝑟& 𝐶+= 𝛽𝐶& ⟺ 𝐶& = 𝛽 1 + 𝑟& 𝐶+ ………(11b)
69
Paso 1: Eliminar las lambdas
69
70
Paso 2: Substituir (10b) y (11b) en la restricción presupuestaria consolidada de ‘toda la vida’ del agente representativo
1 + 𝑟! 𝐴! + 𝑤! +"3!#$3
+ "4!#$3 !#$4
= 𝐶! +%3!#$3
+ %4!#$3 !#$4
70
2/5/21
36
71
Paso 2: Substituir (10b) y (11b) en la restricción presupuestaria consolidada de ‘toda la vida’ del agente representativo
1 + 𝑟! 𝐴! + 𝑤! +"3!#$3
+ "4!#$3 !#$4
= 𝐶! +%3!#$3
+ %4!#$3 !#$4
Activos iniciales
71
72
Paso 2: Substituir (10b) y (11b) en la restricción presupuestaria consolidada de ‘toda la vida’ del agente representativo
1 + 𝑟! 𝐴! + 𝑤! +"3!#$3
+ "4!#$3 !#$4
= 𝐶! +%3!#$3
+ %4!#$3 !#$4
Activos iniciales
Valor presente de los sueldos que va a recibir el
agente representativo
72
2/5/21
37
73
Paso 2: Substituir (10b) y (11b) en la restricción presupuestaria consolidada de ‘toda la vida’ del agente representativo
1 + 𝑟! 𝐴! + 𝑤! +"3!#$3
+ "4!#$3 !#$4
= 𝐶! +%3!#$3
+ %4!#$3 !#$4
Activos iniciales
Valor presente de los sueldos que se van a recibir
el agente representativo
Valor presente del consumo del agente
representativo
73
74
Paso 2: Substituir (10b) y (11b) en la restricción presupuestaria consolidada de ‘toda la vida’ del agente representativo
𝐶+ = 𝛽 1 + 𝑟+ 𝐶% ..……(10b) 𝐶& = 𝛽 1 + 𝑟& 𝐶+.……….(11b)
en…
1 + 𝑟! 𝐴! + 𝑤! +"3!#$3
+ "4!#$3 !#$4
= 𝐶! +%3!#$3
+ %4!#$3 !#$4
74
2/5/21
38
75
Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’
1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!
+ *")+,! )+,"
= 𝐶) +- )+,! .#
)+,!+ - )+," .!
)+,! )+,"
Substituir (10b) (i.e. 𝐶/ = 𝛽 1 + 𝑟/ 𝐶) ) en la última parte de la restricción…
75
76
Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’
1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!
+ *")+,! )+,"
= 𝐶) +- )+,! .#
)+,!+ - )+," .!
)+,! )+,"
Substituir (10b) (i.e. 𝐶/ = 𝛽 1 + 𝑟/ 𝐶) ) en la última parte de la restricción…
1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% +5!%(6!
+ 5"%(6! %(6"
= 𝐶% +/ %(6! !#
%(6!+ / %(6" / %(6! !#
%(6! %(6"
76
2/5/21
39
77
Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’Despejar 𝐶):1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% +
5!%(6!
+ 5"%(6! %(6"
= 𝐶% +/ %(6! !#
%(6!+ /! %(6" %(6! !#
%(6! %(6"
𝐶) +- )+,! .#
)+,!+ -! )+," )+,! .#
)+,! )+,"= 1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +
*!)+,!
+ *")+,! )+,"
𝐶) +- )+,! .#
)+,!+ -! )+," )+,! .#
)+,! )+,"= 1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +
*!)+,!
+ *")+,! )+,"
77
78
Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’Despejar 𝐶):
𝐶) + 𝛽𝐶) + 𝛽/𝐶) = 1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +𝑤/
1 + 𝑟/+
𝑤01 + 𝑟/ 1 + 𝑟0
78
2/5/21
40
79
Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’Despejar 𝐶):
𝐶) + 𝛽𝐶) + 𝛽/𝐶) = 1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +𝑤/
1 + 𝑟/+
𝑤01 + 𝑟/ 1 + 𝑟0
1 + 𝛽 + 𝛽/ 𝐶) = 1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +𝑤/
1 + 𝑟/+
𝑤01 + 𝑟/ 1 + 𝑟0
79
80
Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’Despejar 𝐶):
𝐶) + 𝛽𝐶) + 𝛽/𝐶) = 1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +𝑤/
1 + 𝑟/+
𝑤01 + 𝑟/ 1 + 𝑟0
1 + 𝛽 + 𝛽/ 𝐶) = 1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +𝑤/
1 + 𝑟/+
𝑤01 + 𝑟/ 1 + 𝑟0
𝐶)∗ =1
1 + 𝛽 + 𝛽/ 1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +𝑤/
1 + 𝑟/+
𝑤01 + 𝑟/ 1 + 𝑟0
80
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41
81
Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’
𝐶I∗ =I
IKLKL21 + 𝑟I 𝐴I + 𝑤I +
M2IKN2
+ M3IKN2 IKN3
…..……(12)
Ahora solo nos faltan 𝐶/∗,𝐶0∗, 𝐴/∗ y 𝐴0∗ …
81
82
Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’
𝐶I∗ =I
IKLKL21 + 𝑟I 𝐴I + 𝑤I +
M2IKN2
+ M3IKN2 IKN3
…..……(12)
Ahora solo nos faltan 𝐶/∗,𝐶0∗, 𝐴/∗ y 𝐴0∗ …
Podemos substituir 𝐶)∗ (12) en (10b)
𝐶/ = 𝛽 1 + 𝑟/ 𝐶) ………………………………………………….……………….……(10b)
82
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42
83
Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’
𝐶/∗ =- )+,!)+-+-!
1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!
+ *")+,! )+,"
……….……….…...…(13)
83
84
Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’
𝐶/∗ =- )+,!)+-+-!
1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!
+ *")+,! )+,"
……….……….…...…(13)
Podemos substituir 𝐶/∗ (13) en (11b)
𝐶0 = 𝛽 1 + 𝑟0 𝐶/.………………….……………………………….……………….……(11b)
84
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43
85
Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’
𝐶0∗ =-! )+,! )+,"
)+-+-!1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +
*!)+,!
+ *")+,! )+,"
……….……(14)
85
86
Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’
𝐶0∗ =-! )+,! )+,"
)+-+-!1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +
*!)+,!
+ *")+,! )+,"
……….……(14)
Ahora ¿Cómo vamos a obtener 𝐴/∗ y 𝐴0∗?
86
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87
Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’
𝐶0∗ =-! )+,! )+,"
)+-+-!1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +
*!)+,!
+ *")+,! )+,"
……….……(14)
Ahora ¿Cómo vamos a obtener 𝐴/∗ y 𝐴0∗?
à Utilizando 𝐶)∗, 𝐶/∗ y las condiciones de primer orden (7) y (8) …1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) − 𝐶) − 𝐴/ = 0..……………………………..…………………….(7)1 + 𝑟/ 𝐴/ +𝑤/ − 𝐶/ − 𝐴0 = 0..…………………………..…………..................(8)
87
88
Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’
Despejamos 𝐴/ de (7)…1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) − 𝐶) − 𝐴/ = 0..……………………………..………….………….(7)𝐴/ = 1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) − 𝐶)..…………………………………..…………………….(7b)
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45
89
Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’
Despejamos 𝐴/ de (7)…1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) − 𝐶) − 𝐴/ = 0..……………………………..………….………….(7)𝐴/ = 1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) − 𝐶)..…………………………………..…………………….(7b)
…y substituimos 𝐶)∗ de (12) en (7b):𝐶)∗ =
))+-+-!
1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!
+ *")+,! )+,"
………………………(12)
89
90
Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’
Despejamos 𝐴/ de (7)…1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) − 𝐶) − 𝐴/ = 0..……………………………..………….………….(7)𝐴/ = 1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) − 𝐶)..…………………………………..…………………….(7b)
…y substituimos 𝐶)∗ de (12) en (7b):𝐶)∗ =
))+-+-!
1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!
+ *")+,! )+,"
………………………(12)
𝐴+∗ = 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% −%
%(/(/!1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% +
5!%(6!
+ 5"%(6! %(6"
90
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91
Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’
Despejamos 𝐴0 de (8)…1 + 𝑟/ 𝐴/ +𝑤/ − 𝐶/ − 𝐴0 = 0..…………………………..…………....................(8)𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝐴/ +𝑤/ − 𝐶/…….…………………………..…………....................(8b)
91
92
Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’
Despejamos 𝐴0 de (8)…1 + 𝑟/ 𝐴/ +𝑤/ − 𝐶/ − 𝐴0 = 0..…………………………..…………....................(8)𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝐴/ +𝑤/ − 𝐶/…….…………………………..…………....................(8b)…y substituimos 𝐴/∗ y 𝐶/∗ de (13) en (8b):𝐶/∗ =
- )+,!)+-+-!
1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!
+ *")+,! )+,"
……….…………...…(13)
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Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’
Despejamos 𝐴0 de (8)…1 + 𝑟/ 𝐴/ +𝑤/ − 𝐶/ − 𝐴0 = 0..…………………………..…………....................(8)𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝐴/ +𝑤/ − 𝐶/…….…………………………..…………....................(8b)…y substituimos 𝐴/∗ y 𝐶/∗ de (13) en (8b):𝐶/∗ =
- )+,!)+-+-!
1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!
+ *")+,! )+,"
……….…………...…(13)
𝐴0∗ = 1 + 𝑟/ -
.
1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) − /
0
))+-+-!
1
2
1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!
+*"
)+,! )+,"+𝑤/ −
- )+,!)+-+-!
1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!
+ *")+,! )+,"
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Equilibrio del agente representativo:
𝐶)∗ =)
)+-+-!1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +
*!)+,!
+ *")+,! )+,"
………………….……(12)
𝐶/∗ =- )+,!)+-+-!
1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!
+ *")+,! )+,"
……….………...….…(13)
𝐶0∗ =-! )+,! )+,"
)+-+-!1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +
*!)+,!
+ *")+,! )+,"
………………(14)
𝐴+∗ = 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% −%
%(/(/!1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% +
5!%(6!
+ 5"%(6! %(6"
𝐴0∗ = 1 + 𝑟/ -
.
1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) − /
0
))+-+-!
1
2
1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!
+*"
)+,! )+,"+𝑤/ −
- )+,!)+-+-!
1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!
+ *")+,! )+,"
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Ejercicio numérico con parámetros:
Parámetro Descripción Número
𝜌 Coeficiente de impaciencia 1.0938𝛽 Factor de descuento 0.4776𝑤) Salario en 𝑡 = 1 0.7𝑤* Salario en 𝑡 = 2 0.7𝑤+ Salario en 𝑡 = 3 0.7𝑟) Tasa de interés en 𝑡 = 1 1.6658𝑟* Tasa de interés en 𝑡 = 2 1.6658𝑟+ Tasa de interés en 𝑡 = 3 1.6658𝐴) Nivel de activos en 𝑡 = 1 0
95
96
Ejercicio numérico con parámetros:
Parámetro Descripción Número
𝜌 Coeficiente de impaciencia 1.0938𝛽 Factor de descuento 0.4776𝑤) Salario en 𝑡 = 1 0.7𝑤* Salario en 𝑡 = 2 0.7𝑤+ Salario en 𝑡 = 3 0.7𝑟) Tasa de interés en 𝑡 = 1 1.6658𝑟* Tasa de interés en 𝑡 = 2 1.6658𝑟+ Tasa de interés en 𝑡 = 3 1.6658𝐴) Nivel de activos en 𝑡 = 1 0
𝛽 =1
1− 𝜌
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Place your screenshot here
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…Hagamos el ejercicio en Excel
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Número de periodos de tiempo
Determinístico / Estocástico
Método de solución
(1) Tres Determinístico Lagrange
(2) Tres Determinístico Función de política1
(3) Tres Determinístico Programación Dinámica
(4) Infinito Determinístico Programación Dinámica
(5) Tres Estocástico Programación Dinámica
(6) Infinito Estocástico Programación Dinámica
¿Cómo vamos a aprender DP?
1. Realmente no es un método, sino una forma alternativa de expresar las soluciones óptimas, que ayuda a ilustrar la idea conceptual sobre la que descansa la programación dinámica.
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50
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‘Función de política’ (Policy Function)§ Una vez más, vamos a utilizar el problema de optimización de la decisión
consumo-ahorro (o de consumo inter-temporal) de un agente representativo que vive tres periodos
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100
‘Función de política’ (Policy Function)§ Una vez más, vamos a utilizar el problema de optimización de la decisión
consumo-ahorro (o de consumo inter-temporal) de un agente representativo que vive tres periodos
§ Sin embargo, en lugar de resolver las trayectorias óptimas de consumo y nivel de activos para todo el periodo en cuestión desde la perspectiva inicial, i.e. 𝑡 = 1...
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‘Función de política’ (Policy Function)§ Una vez más, vamos a utilizar el problema de optimización de la decisión
consumo-ahorro (o de consumo inter-temporal) de un agente representativo que vive tres periodos
§ Sin embargo, en lugar de resolver las trayectorias óptimas de consumo y nivel de activos para todo el periodo en cuestión desde la perspectiva inicial, i.e. 𝑡 = 1,...
§ …vamos a posicionarnos en algún momento intermedio en la vida del agente representativo (i.e. , 𝑡 = 2 o 𝑡 = 3, porque en 𝑡 = 4 ya terminó) y resolver el problema de optimización…
101
102
‘Función de política’ (Policy Function)§ Una vez más, vamos a utilizar el problema de optimización de la decisión
consumo-ahorro (o de consumo inter-temporal) de un agente representativo que vive tres periodos
§ Sin embargo, en lugar de resolver las trayectorias óptimas de consumo y nivel de activos para todo el periodo en cuestión desde la perspectiva inicial, i.e. 𝑡 = 1...
§ …vamos a posicionarnos en algún momento intermedio en la vida del agente representativo (i.e. , 𝑡 = 2 o 𝑡 = 3, porque en 𝑡 = 4 ya terminó) y resolver el problema de optimización…
§ Las soluciones que vamos a obtener se conocen también como ‘funciones de política (económica)’, que son una ‘manera alternativa’ de expresar las soluciones óptimas en cada periodo de tiempo
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103
‘Funciones de política’𝑡 = 1 𝑡 = 2 𝑡 = 3
𝐴) 𝐴* 𝐴,𝐴+ 𝑡𝐶) 𝐶* 𝐶+
Solución para toda la vida del agente
representativoen 𝑡 = 1
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‘Funciones de política’𝑡 = 1 𝑡 = 2 𝑡 = 3
𝐴) 𝐴* 𝐴,𝐴+ 𝑡𝐶) 𝐶* 𝐶+
Solución óptima del agente
representativo cuando ya vivió
𝑡 = 1
Solución óptima del agente
representativo cuando ya vivió
𝑡 = 2
Funciones de política
Solución para toda la vida del agente
representativoen 𝑡 = 1
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Soluciones ‘condicionalmente óptimas’
§ Entonces vamos a resolver el problema de optimización del agente representativo para 𝑡 = 2 y para 𝑡 = 3
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Soluciones ‘condicionalmente óptimas’
§ Entonces vamos a resolver el problema de optimización del agente representativo para 𝑡 = 2 y para 𝑡 = 3
§ A diferencia de las soluciones óptimas que obtenemos cuando resolvemos el problema para todo el periodo de tiempo, las ‘funciones de política’ son soluciones condicionalmente óptimas
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Soluciones ‘condicionalmente óptimas’
§ Entonces vamos a resolver el problema de optimización del agente representativo para 𝑡 = 2 y para 𝑡 = 3
§ A diferencia de las soluciones óptimas que obtenemos cuando resolvemos el problema para todo el periodo de tiempo, las ‘funciones de política’ son soluciones condicionalmente óptimas
§ ¿Por qué ‘condicionalmente óptimas’? Porque son decisiones óptimas, pero están condicionadas a los activos que se desea acumular en el periodo siguiente
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Soluciones ‘condicionalmente óptimas’
§ Entonces vamos a resolver el problema de optimización del agente representativo para 𝑡 = 2 y para 𝑡 = 3
§ A diferencia de las soluciones óptimas que obtenemos cuando resolvemos el problema para todo el periodo de tiempo, las ‘funciones de política’ son soluciones condicionalmente óptimas
§ ¿Por qué ‘condicionalmente óptimas’? Porque son decisiones óptimas, pero están condicionadas a los activos que se desea acumular en el periodo siguiente
§ Vamos a denotarlas con un acento circunflejo o ‘gorrito’ (e.g. P𝐶+ )
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Soluciones ‘condicionalmente óptimas’
§ Entonces vamos a resolver el problema de optimización del agente representativo para 𝑡 = 2 y para 𝑡 = 3
§ A diferencia de las soluciones óptimas que obtenemos cuando resolvemos el problema para todo el periodo de tiempo, las ‘funciones de política’ son soluciones condicionalmente óptimas
§ ¿Por qué ‘condicionalmente óptimas’? Porque son decisiones óptimas, pero están condicionadas a los activos que se desea acumular en el periodo siguiente
§ Vamos a denotarlas con un acento circunflejo o ‘gorrito’ (e.g. P𝐶+ )§ Vamos a ver este método como ‘paso intermedio’ para poder entender
mejor el concepto de Programación Dinámica
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110
Como vamos a optimizar la decisión del agente representativo en 𝑡 = 2, entonces solo se maximiza la función de utilidad aditiva para los periodos 2 y 3 (en el cuarto periodo el agente representativo ya no puede obtener utilidad):
max7% ,7$
ln 𝐶+ + 𝛽 ln 𝐶&¿Sujeto a?
1 + 𝑟! 𝐴! + 𝑤! +"3!#$3
+ "4!#$3 !#$4
= 𝐶! +%3!#$3
+ %4!#$3 !#$4
’Funciones de política’ para 𝑡 = 2
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Como vamos a optimizar la decisión del agente representativo en 𝑡 = 2, entonces solo se maximiza la función de utilidad aditiva para los periodos 2 y 3 (en el cuarto periodo el agente representativo ya no puede obtener utilidad):
max7% ,7$
ln 𝐶+ + 𝛽 ln 𝐶&¿Sujeto a?
1 + 𝑟! 𝐴! + 𝑤! +"3!#$3
+ "4!#$3 !#$4
= 𝐶! +%3!#$3
+ %4!#$3 !#$4
’Funciones de política’ para 𝑡 = 2
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Como vamos a optimizar la decisión del agente representativo en 𝑡 = 2, entonces solo se maximiza la función de utilidad aditiva para los periodos 2 y 3 (en el cuarto periodo el agente representativo ya no puede obtener utilidad):
max7% ,7$
ln 𝐶+ + 𝛽 ln 𝐶&¿Sujeto a?
1 + 𝑟! 𝐴! + 𝑤! +"3!#$3
+ "4!#$3 !#$4
= 𝐶! +%3!#$3
+ %4!#$3 !#$4
’Funciones de política’ para 𝑡 = 2
𝑟+
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Como vamos a optimizar la decisión del agente representativo en 𝑡 = 2, entonces solo se maximiza la función de utilidad aditiva para los periodos 2 y 3 (en el cuarto periodo el agente representativo ya no puede obtener utilidad):
max7% ,7$
ln 𝐶+ + 𝛽 ln 𝐶&¿Sujeto a?
1 + 𝑟! 𝐴! + 𝑤! +"3!#$3
+ "4!#$3 !#$4
= 𝐶! +%3!#$3
+ %4!#$3 !#$4
’Funciones de política’ para 𝑡 = 2
𝑎𝑟+
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Como vamos a optimizar la decisión del agente representativo en 𝑡 = 2, entonces solo se maximiza la función de utilidad aditiva para los periodos 2 y 3 (en el cuarto periodo el agente representativo ya no puede obtener utilidad):
max7% ,7$
ln 𝐶+ + 𝛽 ln 𝐶&¿Sujeto a?
1 + 𝑟! 𝐴! + 𝑤! +"3!#$3
+ "4!#$3 !#$4
= 𝐶! +%3!#$3
+ %4!#$3 !#$4
1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤&
1 + 𝑟&= 𝐶+ +
𝐶&1 + 𝑟&
’Funciones de política’ para 𝑡 = 2
𝑎𝑟+
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max7% ,7$
ln 𝐶+ + 𝛽 ln 𝐶&
sujeto a:
1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤&
1 + 𝑟&= 𝐶+ +
𝐶&1 + 𝑟&
Podríamos resolverlo con un lagrangiano. Sin embargo, en este caso es más sencillo despejar 𝐶& de la restricción e incorporar la expresión en la función objetivo. Así lo podemos resolverlo como un problema de optimización no restringido
’Funciones de política’ para 𝑡 = 2
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116
1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤&
1 + 𝑟&= 𝐶+ +
𝐶&1 + 𝑟&
’Funciones de política’ para 𝑡 = 2
116
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117
1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤&
1 + 𝑟&= 𝐶+ +
𝐶&1 + 𝑟&
𝐶+ +𝐶&
1 + 𝑟&= 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +
𝑤&1 + 𝑟&
’Funciones de política’ para 𝑡 = 2
117
118
1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤&
1 + 𝑟&= 𝐶+ +
𝐶&1 + 𝑟&
𝐶+ +𝐶&
1 + 𝑟&= 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +
𝑤&1 + 𝑟&
𝐶&1 + 𝑟&
= 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤&
1 + 𝑟&− 𝐶+
’Funciones de política’ para 𝑡 = 2
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119
1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤&
1 + 𝑟&= 𝐶+ +
𝐶&1 + 𝑟&
𝐶+ +𝐶&
1 + 𝑟&= 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +
𝑤&1 + 𝑟&
𝐶&1 + 𝑟&
= 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤&
1 + 𝑟&− 𝐶+
𝐶& = 1 + 𝑟& 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤&
1 + 𝑟&− 𝐶+
’Funciones de política’ para 𝑡 = 2
119
120
max7%
ln 𝐶+ + 𝛽 ln 1 + 𝑟& 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤&
1 + 𝑟&− 𝐶+
FOC – Condición de primer orden:
’Funciones de política’ para 𝑡 = 2
120
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121
max7%
ln 𝐶+ + 𝛽 ln 1 + 𝑟& 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤&
1 + 𝑟&− 𝐶+
FOC – Condición de primer orden:
& '&%3
= 0⟺ !%3− ( !#$4
!#$4 !#$3 )#"3#94:;<4
*%3= 0
’Funciones de política’ para 𝑡 = 2
121
122
max7%
ln 𝐶+ + 𝛽 ln 1 + 𝑟& 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤&
1 + 𝑟&− 𝐶+
FOC – Condición de primer orden:
& '&%3
= 0⟺ !%3− ( !#$4
!#$4 !#$3 )#"3#94:;<4
*%3= 0
’Funciones de política’ para 𝑡 = 2
122
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62
123
max7%
ln 𝐶+ + 𝛽 ln 1 + 𝑟& 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤&
1 + 𝑟&− 𝐶+
FOC – Condición de primer orden:
& '&%3
= 0⟺ !%3− ( !#$4
!#$4 !#$3 )#"3#94:;<4
*%3= 0
1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤,
1 + 𝑟,− 𝐶+ = 𝛽𝐶+
’Funciones de política’ para 𝑡 = 2
123
124
1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤,
1 + 𝑟,− 𝐶+ = 𝛽𝐶+
’Función de política’ de 𝐶 para 𝑡 = 2
124
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1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤,
1 + 𝑟,− 𝐶+ = 𝛽𝐶+
𝛽𝐶+ + 𝐶+ = 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤,
1 + 𝑟,
’Función de política’ de 𝐶 para 𝑡 = 2
125
126
1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤,
1 + 𝑟,− 𝐶+ = 𝛽𝐶+
𝛽𝐶+ + 𝐶+ = 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤,
1 + 𝑟,𝐶+ 1 + 𝛽 = 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +
𝑤,1 + 𝑟,
’Función de política’ de 𝐶 para 𝑡 = 2
126
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1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤,
1 + 𝑟,− 𝐶+ = 𝛽𝐶+
𝛽𝐶+ + 𝐶+ = 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤,
1 + 𝑟,𝐶+ 1 + 𝛽 = 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +
𝑤,1 + 𝑟,
-𝐶+ =1
1 + 𝛽1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +
𝑤,1 + 𝑟,
’Función de política’ de 𝐶 para 𝑡 = 2
127
128
1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤,
1 + 𝑟,− 𝐶+ = 𝛽𝐶+
𝛽𝐶+ + 𝐶+ = 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤,
1 + 𝑟,𝐶+ 1 + 𝛽 = 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +
𝑤,1 + 𝑟,
-𝐶+ =1
1 + 𝛽1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +
𝑤,1 + 𝑟,
’Función de política’ de 𝐶 para 𝑡 = 2
128
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129
§ Ya tenemos 3𝐶/’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2
129
130
§ Ya tenemos 3𝐶/§ Ahora ¿Qué función de política nos falta para tener el equilibrio
completo en 𝑡 = 2?
’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2
130
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131
§ Ya tenemos 3𝐶/§ Ahora ¿Qué función de política nos falta para tener el equilibrio
completo en 𝑡 = 2? § Podríamos pensar que 3𝐴/ por ser ‘el par en el tiempo’ de 3𝐶/
’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2
131
132
§ Ya tenemos 3𝐶/§ Ahora ¿Qué función de política nos falta para tener el equilibrio
completo en 𝑡 = 2? § Podríamos pensar que 3𝐴/ por ser ‘el par en el tiempo’ de 3𝐶/§ Sin embargo, debido a que 𝐴) es un parámetro, 𝐴/∗ se tuvo que haber
obtenido en 𝑡 = 1, por lo que en 𝑡 = 2 tenemos que obtener 𝐴0∗
’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2
132
2/5/21
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133
§ Ya tenemos 3𝐶/§ Ahora ¿Qué función de política nos falta para tener el equilibrio
completo en 𝑡 = 2? § Podríamos pensar que 3𝐴/ por ser ‘el par en el tiempo’ de 3𝐶/§ Sin embargo, debido a que 𝐴) es un parámetro, 𝐴/∗ se tuvo que haber
obtenido en 𝑡 = 1, por lo que en 𝑡 = 2 tenemos que obtener 𝐴0∗§ No nos dimos cuenta de esto cuando resolvimos el problema de
optimización para todo el periodo de tiempo, porque resolvimos todo de manera simultánea. Por esto no nos detuvimos a ver en qué momento en el tiempo el agente representativo toma la decisión sobre su nivel de activos para el siguiente periodo
’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2
133
134
§ Entonces en 𝑡 = 2 tenemos que obtener la función de política de los activos para 𝑡 = 3, i.e. 3𝐴0
’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2 (&𝐴7)
134
2/5/21
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135
§ Entonces en 𝑡 = 2 tenemos que obtener la función de política de los activos para 𝑡 = 3, i.e. 3𝐴0
§ Tomando la restricción o simplemente la expresión (8b):
𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝐴/ +𝑤/ − 𝐶/……………………..…………….....................(8b)
’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2 (&𝐴7)
135
136
§ Entonces en 𝑡 = 2 tenemos que obtener la función de política de los activos para 𝑡 = 3, i.e. 3𝐴0
§ Tomando la restricción o simplemente la expresión (8b):
𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝐴/ +𝑤/ − 𝐶/……………………..…………….....................(8b)
§ Proponemos la función de política para los activos en 𝑡 = 3:
3𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ −3𝐶/
’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2 (&𝐴7)
136
2/5/21
69
137
§ Entonces substituimos 3𝐶/ en 3𝐴0:
3𝐶/ = ))+-
1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ +*")+,"
3𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ −3𝐶/
’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2 (&𝐴7)
137
138
§ Entonces substituimos 3𝐶/ en 3𝐴0:
3𝐶/ = ))+-
1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ +*")+,"
3𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ −3𝐶/
’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2 (&𝐴7)
138
2/5/21
70
139
§ Entonces substituimos 3𝐶/ en 3𝐴0:
3𝐶/ = ))+-
1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ +*")+,"
3𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ −3𝐶/
3𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ −)
)+-1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ +
*")+,"
’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2 (&𝐴7)
139
140
3𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ −)
)+-1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ +
*")+,"
’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2 (&𝐴7)
140
2/5/21
71
141
3𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ −)
)+-1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ +
*")+,"
3𝐴0 = ))+-
1 + 𝛽 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 𝑤/ − 1 + 𝑟/ 𝑎 − 𝑤/ −*")+,"
’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2 (&𝐴7)
141
142
3𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ −)
)+-1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ +
*")+,"
3𝐴0 = ))+-
1 + 𝛽 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 𝑤/ − 1 + 𝑟/ 𝑎 − 𝑤/ −*")+,"
3𝐴0 = ))+-
1 + 𝛽 1 + 𝑟/ 𝑎 − 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 𝑤/ −𝑤/ −*")+,"
’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2 (&𝐴7)
142
2/5/21
72
143
3𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ −)
)+-1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ +
*")+,"
3𝐴0 = ))+-
1 + 𝛽 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 𝑤/ − 1 + 𝑟/ 𝑎 − 𝑤/ −*")+,"
3𝐴0 = ))+-
1 + 𝛽 1 + 𝑟/ 𝑎 − 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 𝑤/ −𝑤/ −*")+,"
3𝐴0 = ))+-
1 + 𝛽 − 1 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 − 1 𝑤/ −*")+,"
’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2 (&𝐴7)
143
144
3𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ −)
)+-1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ +
*")+,"
3𝐴0 = ))+-
1 + 𝛽 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 𝑤/ − 1 + 𝑟/ 𝑎 − 𝑤/ −*")+,"
3𝐴0 = ))+-
1 + 𝛽 1 + 𝑟/ 𝑎 − 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 𝑤/ −𝑤/ −*")+,"
3𝐴0 = ))+-
1 + 𝛽 − 1 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 − 1 𝑤/ −*")+,"
3𝐴0 = ))+-
𝛽 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝛽𝑤/ −*")+,"
’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2 (&𝐴7)
144
2/5/21
73
145
3𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ −)
)+-1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ +
*")+,"
3𝐴0 = ))+-
1 + 𝛽 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 𝑤/ − 1 + 𝑟/ 𝑎 − 𝑤/ −*")+,"
3𝐴0 = ))+-
1 + 𝛽 1 + 𝑟/ 𝑎 − 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 𝑤/ −𝑤/ −*")+,"
3𝐴0 = ))+-
1 + 𝛽 − 1 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 − 1 𝑤/ −*")+,"
3𝐴0 = ))+-
𝛽 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝛽𝑤/ −*")+,"
3𝐴0 = -)+-
1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ - ))+-
*")+,"
’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2 (&𝐴7)
145
146
3𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ −)
)+-1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ +
*")+,"
3𝐴0 = ))+-
1 + 𝛽 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 𝑤/ − 1 + 𝑟/ 𝑎 − 𝑤/ −*")+,"
3𝐴0 = ))+-
1 + 𝛽 1 + 𝑟/ 𝑎 − 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 𝑤/ −𝑤/ −*")+,"
3𝐴0 = ))+-
1 + 𝛽 − 1 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 − 1 𝑤/ −*")+,"
3𝐴0 = ))+-
𝛽 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝛽𝑤/ −*")+,"
3𝐴0 = -)+-
1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ - ))+-
*")+,"
’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2 (&𝐴7)
146
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74
147
§ Así, ya obtuvimos las dos funciones de política para el agente representativo en 𝑡 = 2:3𝐶/ = )
)+-1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ +
*")+,"
3𝐴0 = -)+-
1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ - ))+-
*")+,"
’Funciones de política’ en 𝑡 = 2
147
148
§ Así, ya obtuvimos las dos funciones de política para el agente representativo en 𝑡 = 2:3𝐶/ = )
)+-1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ +
*")+,"
3𝐴0 = -)+-
1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ - ))+-
*")+,"
§ Ambas son funciones condicionalmente óptimas porque están en función de 𝑎…
’Funciones de política’ en 𝑡 = 2
148
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149
§ Así, ya obtuvimos las dos funciones de política para el agente representativo en 𝑡 = 2:3𝐶/ = )
)+-1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ +
*")+,"
3𝐴0 = -)+-
1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ - ))+-
*")+,"
§ Ambas son funciones condicionalmente óptimas porque están en función de 𝑎…
§ …por lo que para que 3𝐶/ y 3𝐴0 sean óptimas, se necesita que 𝑎 = 𝐴/∗
’Funciones de política’ en 𝑡 = 2
149
150
§ Entonces las funciones de política 3𝐶/ y 3𝐴0 cuando 𝑎 = 𝐴/∗ son: 𝐶/∗ =
))+-
1 + 𝑟/ 𝐴/∗ +𝑤/ +*")+,"
𝐴0∗ =-
)+-1 + 𝑟/ 𝐴/∗ +𝑤/ - )
)+-*")+,"
§ ¿En qué se parecen las funciones de política –que son funciones condicionales-, a las soluciones óptimas para todo el periodo?
150
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151
§ Entonces las funciones de política 3𝐶/ y 3𝐴0 cuando 𝑎 = 𝐴/∗ son: 𝐶/∗ =
))+-
1 + 𝑟/ 𝐴/∗ +𝑤/ +*")+,"
𝐴0∗ =-
)+-1 + 𝑟/ 𝐴/∗ +𝑤/ - )
)+-*")+,"
§ ¿En qué se parecen las funciones de política –que son funciones condicionales-, a las soluciones óptimas para todo el periodo?𝐶/∗ =
- )+,!)+-+-!
1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!
+ *")+,! )+,"
𝐴0∗ = 1 + 𝑟/ -
.
1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) − /
0
))+-+-!
1
2
1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!
+*"
)+,! )+,"+𝑤/ −
- )+,!)+-+-!
1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!
+ *")+,! )+,"
151
152
§ Entonces las funciones de política 3𝐶/ y 3𝐴0 cuando 𝑎 = 𝐴/∗ son: 𝐶/∗ =
))+-
1 + 𝑟/ 𝐴/∗ +𝑤/ +*")+,"
𝐴0∗ =-
)+-1 + 𝑟/ 𝐴/∗ +𝑤/ - )
)+-*")+,"
§ ¿En qué se parecen las funciones de política –que son funciones condicionales-, a las soluciones óptimas para todo el periodo?𝐶/∗ =
- )+,!)+-+-!
1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!
+ *")+,! )+,"
𝐴0∗ = 1 + 𝑟/ -
.
1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) − /
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+*"
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1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!
+ *")+,! )+,"
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153
max?"
ln 𝐶0sujeto a:
1 + 𝑟0 𝑎 + 𝑤0 = 𝐶0 + 𝐴@𝐴@ ≥ 0
’Funciones de política’ en 𝑡 = 3
153
154
max?"
ln 𝐶0sujeto a:
1 + 𝑟0 𝑎 + 𝑤0 = 𝐶0 + 𝐴@𝐴@ ≥ 0
§ Aquí ni siquiera hay necesidad de construir un lagrangiano, ni es necesario obtener alguna derivada. Debido a que sabemos que en óptimo el agente representativo se va a terminar sus recursos (i.e. 𝐴@ = 0 ), simplemente con ‘cumplir’ con la restricción obtenemos el máximo restringido: 3𝐶0 = 1 + 𝑟0 𝑎 + 𝑤0
’Funciones de política’ en 𝑡 = 3
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§ 3𝐶0 = 1 + 𝑟0 𝑎 + 𝑤0
§ Ahora, tomando la primera restricción y despejando 𝐴@, la función de política de 𝐴@ sería:
3𝐴@ = 1 + 𝑟0 𝑎 + 𝑤0 −3𝐶0
’Funciones de política’ en 𝑡 = 3
155
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§ 3𝐶0 = 1 + 𝑟0 𝑎 + 𝑤0
§ Ahora, tomando la primera restricción y despejando 𝐴@, la función de política de 𝐴@ sería:
3𝐴@ = 1 + 𝑟0 𝑎 + 𝑤0 −3𝐶0
3𝐴@ = 1 + 𝑟0 𝑎 + 𝑤0 − 1 + 𝑟0 𝑎 − 𝑤0
’Funciones de política’ en 𝑡 = 3
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§ 3𝐶0 = 1 + 𝑟0 𝑎 + 𝑤0
§ Ahora, tomando la primera restricción y despejando 𝐴@, la función de política de 𝐴@ sería:
3𝐴@ = 1 + 𝑟0 𝑎 + 𝑤0 −3𝐶0
3𝐴@ = 1 + 𝑟0 𝑎 + 𝑤0 − 1 + 𝑟0 𝑎 − 𝑤0
’Funciones de política’ en 𝑡 = 3
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§ 3𝐶0 = 1 + 𝑟0 𝑎 + 𝑤0
§ Ahora, tomando la primera restricción y despejando 𝐴@, la función de política de 𝐴@ sería:
3𝐴@ = 1 + 𝑟0 𝑎 + 𝑤0 −3𝐶0
3𝐴@ = 1 + 𝑟0 𝑎 + 𝑤0 − 1 + 𝑟0 𝑎 − 𝑤0
3𝐴@ = 0 = 𝐴@∗
’Funciones de política’ en 𝑡 = 3
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Nuestra agenda de hoy
Revisión dedatos yeventosmacro
Optimización de un modelo
determinístico de tres
periodos
Tarea
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159
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(2) Leer mi columna en El Financiero (martes 27-abr) sobre la aprobación de las modificaciones a las leyes secundarias del Poder Judicial1 página
https://www.elfinanciero.com.mx/opinion/gabriel-casillas/
(1) Estar atentos y revisar los datos y eventos económicos que se van a publicar en la semana2 páginas
https://www.banorte.com/cms/casadebolsabanorteixe/analisisyestrategia/analisiseconomico/otros/20210426_Calendario.pdf
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(3) Escuchar el podcast ‘Norte Económico’ episodio 15 de la Temporada 2 (mié 28-abr) -Entrevista con Alejandro Werner (FMI)45 minutos
https://podcasts.apple.com/mx/podcast/norte-económico/id1515320115
(4) Desarrollar una hoja de cálculo en Excel con el modelo determinístico de optimización dinámica de tres periodos.
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162
Muchasgracias!
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