ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y CÁLCULO TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

FORMA PARAMÉTRICA DE LA DERIVADA

Si una curva suave C está dada por las ecuaciones 𝑥 = 𝑓(𝑡) y 𝑦 = 𝑔 𝑡 , entonces lapendiente de C en 𝑥, 𝑦 es

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦𝑑𝑡𝑑𝑥𝑑𝑡

,𝑑𝑥

𝑑𝑡≠ 0 1𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=

𝑑

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑑𝑡

𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑑𝑥𝑑𝑡

,𝑑𝑥

𝑑𝑡≠ 0 2𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎

𝑑3𝑦

𝑑𝑥3=

𝑑

𝑑𝑥

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=

𝑑𝑑𝑡

𝑑2𝑦𝑑𝑥2

𝑑𝑥𝑑𝑡

,𝑑𝑥

𝑑𝑡≠ 0 3𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎

EJEMPLO:𝑑𝑦

𝑑𝑥=?

Si:

𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑦 𝑦 = cos 𝑡

SOLUCIÓN:𝑑𝑥

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡𝑠𝑒𝑛 𝑡 = cos 𝑡 𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡cos 𝑡 = −𝑠𝑒𝑛 𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦𝑑𝑡𝑑𝑥𝑑𝑡

= −𝑠𝑒𝑛 𝑡

cos 𝑡= − tan 𝑡

∴𝑑𝑦

𝑑𝑥= − tan 𝑡

EJEMPLO DE UNA DERIVACIÓN O DIFERENCIACIÓN REPRESENTADO EN FORMA PARAMÉTRICA

PENDIENTE Y CONCAVIDAD

EJEMPLO: Hallar la pendiente y concavidad mediante las siguientes ecuaciones paramétricas:

𝑥 = 𝑡 𝑦 𝑦 =1

4𝑡2 − 4 , 𝑡 ≥ 0 𝑦 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 2,3

SOLUCION:

De la ecuación “x”, se despeja t:

𝑥 = 𝑡

𝑡 = 𝑥2

Si 𝑥 = 2:𝑡 = 𝑥2

𝑡 = 22 = 4

De la ecuación “y”, se despeja t:

𝑦 =1

4𝑡2 − 4

4𝑦 = 𝑡4 − 4

𝑡2 − 4 = 4𝑦

𝑡 = 4𝑦 + 4

Si 𝑦 = 3:

𝑡 = 4𝑦 + 4

𝑡 = 4 3 + 4

𝑡 = 12 + 4

𝑡 = 16 = 4

Derivando la función “x” y la función “y” con respecto a al parámetro “t”:

𝑑𝑥

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡

1

4𝑡2 − 4

𝑑𝑥

𝑑𝑡=1

42𝑡

𝑑𝑥

𝑑𝑡=1

2𝑡 =

𝑡

2

Y de la otra derivada:𝑑𝑦

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑡=

1

2 𝑡

Se sustituye en la fórmula para obtener la primera derivada 𝑑𝑦

𝑑𝑥:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦𝑑𝑡𝑑𝑥𝑑𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑡21

2 𝑡

=𝑡 2 𝑡

2 1

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑡 𝑡 = 𝑡1+

12

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑡

32

Utilizando el valor de “t” obtenido anteriormente, da como resultado la pendiente tangente:

𝑚𝑡𝑔 =𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑡=4= 4

32 −−−→ 𝑚𝑡𝑔 = 8

Derivando nuevamente

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=

𝑑𝑑𝑡

𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑑𝑥𝑑𝑡

=

𝑑𝑑𝑡

𝑡32

𝑑𝑑𝑡

𝑡

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=

32𝑡12

1

2 𝑡

=3𝑡

12 2 𝑡

2 1

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=3 𝑡 2 𝑡

2 1= 3 𝑡 𝑡 = 3𝑡

Tomando el valor de “t”, da como resultado la concavidad y se verificará si va hacia arriba o hacia abajo (dependiendo del signo):

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2𝑡=4= 3 4 = 12 > 0 −−−→ 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎

UNA CURVA CON DOS RECTAS TANGENTES EN UN PUNTO

EJEMPLO: Encontrar las rectas tangentes en una curva dada mediante las ecuaciones paramétricas

𝑥 = 2𝑡 − 𝜋𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑦 𝑦 = 2 − 𝜋 cos 𝑡

Para el punto 0,2 .

SOLUCIÓN: De la función “y” se despeja el parámetro “t”:

𝑦 = 2 − 𝜋 cos 𝑡

𝑦 − 2 = −𝜋 cos 𝑡

𝑦 − 2

−𝜋= cos 𝑡

−𝑦 − 2

𝜋= cos 𝑡

cos 𝑡 = −𝑦 − 2

𝜋

𝑡 = 𝑎𝑟𝑐 cos −𝑦 − 2

𝜋

Si 𝑦 = 2:

𝑡 = 𝑎𝑟𝑐 cos −2 − 2

𝜋

𝑡 = 𝑎𝑟𝑐 cos0

𝜋

𝑡 = 𝑎𝑟𝑐 cos 0 = 90°

∴ 𝑡 = ±𝜋

2

Entonces, el valor de t es 2. Ahora se derivan las funciones paramétricas “x” y “y”:𝑑𝑥

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡2 − 𝜋 cos 𝑡

𝑑𝑥

𝑑𝑡= −𝜋 −𝑠𝑒𝑛 𝑡

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝑡

Y también:𝑑𝑦

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡2𝑡 − 𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 2 − 𝜋 cos 𝑡

Sustituyendo, se obtiene la primera derivada:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦𝑑𝑡𝑑𝑥𝑑𝑡

=𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝑡

2 − 𝜋 cos 𝑡

Ahora, utilizando el valor positivo de “t”, da como resultado el valor de la primera pendiente:

𝑚1 =𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑡=𝜋2

𝑚1 =𝜋 𝑠𝑒𝑛

𝜋2

2 − 𝜋 cos𝜋2

∴ 𝑚1 =𝜋

2

Y utilizando el valor negativo de “t”, da como resultado el valor de la segunda pendiente:

𝑚2 =𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑡=−𝜋2

𝑚2 =𝜋 𝑠𝑒𝑛 −

𝜋2

2 − 𝜋 cos −𝜋2

∴ 𝑚2 = −𝜋

2

Entonces:

𝑚1 =𝜋

2𝑦 𝑚2 = −

𝜋

2

De los valores de las pendientes, se obtienen las ecuaciones de la recta:

Para 𝑡 =𝜋

2y el punto 0,2

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚1 𝑥 − 𝑥1

𝑦 − 2 =𝜋

2𝑥 − 0

𝑦 − 2 =𝜋

2𝑥

Para 𝑡 = −𝜋

2y el punto 0,2

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚2 𝑥 − 𝑥1

𝑦 − 2 = −𝜋

2𝑥 − 0

𝑦 − 2 = −𝜋

2𝑥

RESULTADO GRÁFICO DE LAS ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y DE LAS RECTAS TANGENTES

𝑦 − 2 =𝜋

2𝑥 𝑦 − 2 = −

𝜋

2𝑥

𝑚1 =𝜋

2𝑚2 = −𝜋

2

𝑥 = 2𝑡 − 𝜋𝑠𝑒𝑛 𝑡

𝑦 = 2 − 𝜋 cos 𝑡

BIBLIOGRAFÍAS

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.

Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.

R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW - HILL.