2.2 Equivalencia Lógica: Las

Leyes de la Lógica

Curso: Matemática Discreta

Ejemplo:

Aquí vemos que las tablas de verdad de las proposiciones

compuestas ¬pVq y p→q son exactamente iguales.

Definición de Equivalencia:

Dos proposiciones, 𝑠1, 𝑠2, son lógicamente equivalentes (𝒔𝟏 𝒔𝟐),

cuando la proposición 𝑠1es verdadera (respectivamente, falsa) si y

solo si la proposición 𝑠2 es verdadera (respectivamente, falsa)

p q ¬p ¬pVq p→q

0 0 1 1 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 1 0 1 1

Ejemplos de lógicamente equivalentes:

1. (p→q) ¬ p V q

2. (p ↔ q ) (p → q) Ʌ (q → p)

La siguiente se deriva de la segunda:

3. (p ↔ q ) (¬ p V q ) Ʌ (¬q V p)

Las leyes de la lógica

Para cualquiera proposiciones primitivas p, q, r, cualquier tautología

𝑇𝑜 y cualquier contradiccíón 𝐹𝑜

1) ¬¬p p Ley de la doble negación

2) ¬ (p V q) ¬ p Ʌ ¬q Leyes de Morgan

¬ (p Ʌ q) ¬ p V ¬q

3) p V q q V p Leyes conmutativas

p Ʌ q q Ʌ p

4) pV(qVr) (pVq)Vr Leyes asociativas

pɅ(qɅr) (pɅq)Ʌr

5) pV(qɅr) (pVq)Ʌ(pVr) Leyes distributivas

pɅ(qVr) (pɅq)V(pɅr)

6) pVp p Leyes idempotentes

pɅp p

7) pV𝐹𝑜 p Leyes de neutro

pɅ𝑇𝑜 p

8) pV¬p 𝑇𝑜 Leyes inversas

pɅ¬p 𝐹𝑜

9) pV 𝑇𝑜 𝑇𝑜 Leyes de dominación

pɅ 𝐹𝑜 𝐹𝑜

10) pV(pɅq) p Leyes de absorción

pɅ(pVq) p

Definición: Dual de s (𝒔𝒅):

Si s no contiene conectivas lógicas distintas de Ʌ y V, entonces el

dual de s, es la proposición que se obtiene de s al reemplazar cada

ocurrencia de Ʌ y V con V e Ʌ, respectivamente y cada ocurrencia

de 𝑻𝒐 y 𝑭𝒐 con 𝑭𝒐 𝒚 𝑻𝒐 respectivamente.

Si p es una proposición primitiva entonces:

𝑝𝑑 = p

(¬𝑝)𝑑 = ¬p

Ejemplo: Dadas la proposiciones: p, q y r. Se tiene la proposición

compuesta:

s: (p Ʌ ¬q) V (r Ʌ𝑇𝑜), el dual de s es?

𝑠𝑑: (p V ¬q) Ʌ (r V𝐹𝑜)

(observe que ¬q no cambia al pasar de s a 𝑠𝑑)

Teorema ( El principio de dualidad)

Sean s y t proposiciones como la definición de dual, si

s t, entonces 𝑠𝑑 𝑡𝑑.

Leyes de sustitución:

Ejemplo:

Sea la tautología (p→q) ¬ p V q

Si reemplazamos la proposición p, por una proposicion

arbitraria como (r ˄ s), entonces resulta:

[(r ˄ s)→q] [¬ (r ˄ s) V q]

Esta proposición compuesta resultante, también es una

tautología.