ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR.

1.- Ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes.

La ecuación diferencial )(01

)1(

1

)( xFyayayaya n

n

n

n

recibe el nombre de ecuación

diferencial lineal con coeficientes constantes. Si 0)( xF , la ecuación es homogénea; en caso contrario

es no homogénea.

2.- Independencia lineal.

Se dice que las funciones 1y ,

2y , ..., ny , son linealmente independientes si la única solución de la

ecuación 02211 nn yCyCyC es 021 nCCC . Un conjunto de funciones que no

son linealmente independientes se denomina linealmente dependiente.

3.- El Wronskiano.

3.1.- Definición de Wronskiano.

Se define el Wronskiano ),,( 21 nyyyw de un conjunto de n funciones como el determinante

)1()1(

3

)1(

2

)1(

1

21

21

21 ),,(

n

n

nnn

n

n

n

yyyy

yyy

yyy

yyyw

3.2.- Criterio del Wronskiano para dependencia lineal.

Sean 1y ,

2y , ..., ny soluciones de una ecuación lineal homogénea de orden n.

i.- Si 0),,( 21 nyyyw , las funciones 1y ,

2y , ..., ny , son linealmente independientes por lo menos

en algún punto del intervalo.

ii.- Si 0),,( 21 nyyyw , las funciones 1y ,

2y , ..., ny , son linealmente dependientes para todo punto

del intervalo.

4.- Solución general de una ecuación lineal homogénea (Principio de superposición).

Si 1y ,

2y , ..., ny son soluciones independientes de la ecuación diferencial

001

)1(

1

)(

yayayaya n

n

n

n entonces la solución general está dada por

nn yCyCyCy 2211siendo

1C , 2C , ...,

nC , constantes arbitrarias.

5.- Método de reducción de orden.

Para resolver 0)()( yxQyxPy dada una solución conocida )(1 xy , una segunda solución se

obtiene a partir de

xdxy

exyxy

xdxP

)()()(

2

1

)(

12 (Teorema de Abel).

6.- Ecuación característica.

En general, para resolver una ecuación diferencial de orden n

001

)1(

1

)(

yayayaya n

n

n

n en donde los ia , siendo ni ,,1,0 , son constantes

reales, se toma el operador 0)( 01

1

1

yaDaDaDa n

n

n

n , cambiar “D” por “m” y se debe

resolver una ecuación polinomial de grado n: 001

2

2

1

1

amamamama n

n

n

n . Esta

última ecuación se llama ecuación auxiliar o ecuación característica de la ecuación diferencial.

7.- Soluciones generales de 0 ybyay .

i.- Caso I (Raíces reales diferentes): Si 21 mm son raíces diferentes de la ecuación característica, la

solución general es entonces xmxmeCeCy 21

21 .

ii.- Caso II (Raíces reales iguales): Si 21 mm son raíces iguales de la ecuación característica, entonces

la solución general es xmxmxmexCCexCeCy 111 )( 2121 .

iii.- Caso III (Raíces complejas): Si im 1 y im 2

son raíces complejas de la ecuación

característica, entonces la solución general es )(sen)(cos 21 xeCxeCy xx .

8.- Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes no homogéneas.

8.1- Solución general de una ecuación lineal no homogénea.

Sea )(01

)1(

1

)( xFyayayaya n

n

n

n

una ecuación diferencial lineal no homogénea con

coeficientes constantes na ,

1na , ..., 1a ,

0a . Si py es una solución particular de esta ecuación no

homogénea y hy la solución general de la correspondiente ecuación homogénea, entonces

hp yyy

es la solución general de la ecuación no homogénea.

8.2.- Método de los coeficientes indeterminados (Familia).

)(01

)1(

1

)( xFyayayaya n

n

n

n

.

i.- Obtener hy , solución general de la ecuación homogénea que resulta de hacer 0)( xF .

ii.- Utilizar )(xF para determinar la forma de la solución particular py . Véase la tabla siguiente:

Término en )(xF Términos correspondientes en py

C (Constante) A k

k

k

k xaxaxaa

1

110 k

k

k

k xAxAxAA

1

110

xmeC xmeA

xmk exC xmk

k

k

k exAxAxAA )( 1

110

xC cos ó xC sen xBxA sen cos

xxaxaxaa k

k

k

k cos)( 1

110

xxaxaxaa k

k

k

k sen )( 1

110

)sencos()( 0 xBxAxAA k

k

xeC xm cos ó xeC xm sen )sencos( xBxAe xm

iii.- Si un término de py coincide con un término de

hy , multiplicar el término en py por la mínima

potencia de x que evita la duplicación.

iv.- Sustituir py y sus derivadas en la ecuación no homogénea y despejar los coeficientes.

v.- Formar la solución general hp yyy .

8.3.- Operadores Diferenciales.

Término en )(xF Operador anulador.

C (Constante) D k

k

k

k xaxaxaa

1

110 1kD

xeC D

xk

k

k

k exaxaxaa )( 1

110

1)( kD

xC cos ó xC sen 22 D

xxaxaxaa k

k

k

k cos)( 1

110

xxaxaxaa k

k

k

k sen )( 1

110

122 )( kD

xeC x cos ó xeC x sen )(2 222 DD

xexaxaxaa xk

k

k

k cos)( 1

110

xexaxaxaa xk

k

k

k sen)( 1

110

1222 )](2[ kDD

8.4.- Método de variación de los parámetros.

)(01

)1(

1

)( xFyayayaya n

n

n

n

.

Métodos de solución.

Primer método.

i.- Hallar la solución general hy de la ecuación homogénea:

nnh yCyCyCy 2211

ii.- Reemplazar las constantes de hy por variables, a fin de obtener

py : nnp yvyvyvy 2211.

iii.- Resolver el siguiente sistema, despejando las variables 1v , 2v , ...,

nv :

)(

0

0

0

)1()1(

22

)1(

11

2211

2211

2211

xFyvyvyv

yvyvyv

yvyvyv

yvyvyv

n

nn

nn

nn

nn

nn

iv.- Integrar para hallar 1v ,

2v , ..., nv .

v.- Formar la solución general: hp yyy .

La solución del sistema de ecuaciones para ecuaciones diferenciales de segundo y tercer orden es:

Segundo orden.

),,(

)(

0

21

2

2

1

nyyyw

yxF

y

v

;

),,(

)(

0

21

1

1

2

nyyyw

xFy

y

v

Tercer orden.

),,(

)(

0

0

21

32

32

32

1

nyyyw

yyxF

yy

yy

v

;

),,(

)(

0

0

21

31

31

31

2

nyyyw

yxFy

yy

yy

v

;

),,(

)(

0

0

21

21

21

21

3

nyyyw

xFyy

yy

yy

v

Segundo método.

n

k n

k

kp xdyyyw

xFxwyxy

1 21 ),,(

)()()(

, ),,()1( 21 n

kn

k yyyww

9.- Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables.

9.1- Ecuación de Cauchy – Euler.

Una ecuación diferencial de la forma )(011

11

1 xFyaxd

ydxa

xd

ydxa

xd

ydxa

n

nn

nn

nn

n

en

donde na ,

1na , …, 0a son constantes, se llama ecuación de Cauchy-Euler o ecuación equidimensional.

La característica obvia de este tipo de ecuación es que el grado de los coeficientes polinomiales kx es

igual al orden de derivación en los términos k

k

xd

yd , para nk ...,,2,1 .

Para precisar el estudio, fijaremos nuestra atención sobre la resolución de la ecuación homogénea de

segundo orden 02

22 yc

xd

ydxb

xd

ydxa .

La solución de ecuaciones de orden superior se encuentra de forma análoga. Además, podemos resolver

la ecuación no homogénea )(2

22 xFyc

xd

ydxb

xd

ydxa mediante variación de parámetros, una vez

que hayamos determinado la función complementaria )(xyh. Al resolver

)(2

22 xFyc

xd

ydxb

xd

ydxa mediante el método de variación de parámetros, se debe escribir la

ecuación en la forma )(ˆ22

2

xFyxa

c

xd

yd

xa

b

xd

yd , donde

2

)()(ˆ

xa

xFxF

9.2.- Método de solución.

Probamos una solución de la forma mxy , donde m debe ser determinada. Las derivadas de la función

mxy son:

1 mxmy , 222 )()1( mm xmmxmmy , 3233 )23()2()1( mm xmmmxmmmy

mxy será solución de la ecuación diferencial cada vez que m sea solución de la ecuación auxiliar

0)1( cmbmma o bien 0)(2 cmabma .

Hay que considerar tres casos diferentes dependiendo de si las raíces de esta ecuación cuadrática son

reales y distintas, reales e iguales, o complejas conjugadas.

i.- Caso I (Raíces reales diferentes): Si 21 mm son raíces diferentes de la ecuación característica, la

solución general es entonces 21

21

mmxCxCy .

ii.- Caso II (Raíces reales iguales): Si 21 mm son raíces iguales de la ecuación característica, entonces

la solución general es 111 )ln(ln 2121

mmmxxCCxxCxCy .

iii.- Caso III (Raíces complejas): Si im 1 y im 2

son raíces complejas de la ecuación

característica, entonces la solución general es )]ln(sen)ln(cos[ 21 xCxCxy .

Para una ecuación de tercer orden 02

22

3

33 yk

xd

ydxc

xd

ydxb

xd

ydxa , la ecuación auxiliar es

0)2()3( 23 kmbcamabma .

9.3.- Cambio de variable.

La sustitución tex permite convertir la ecuación diferencial de Cauchy-Euler

0011

11

1

yaxd

ydxa

xd

ydxa

xd

ydxa

n

nn

nn

nn

n en una ecuación diferencial lineal homogénea de

coeficientes constantes.

Fórmulas de derivadas paramétricas:

tdxd

tdyd

xd

yd

/

/ ,

tdxd

td

yd

td

d

xd

yd

/2

2

,

tdxd

td

yd

td

d

xd

yd

/

2

2

3

3

.

Las tres primeras derivadas requeridas son:

td

yde

xd

yd t

td

yd

td

yde

xd

yd t

2

22

2

2

td

yd

td

yd

td

yde

xd

yd t 232

2

3

33

3

3

Si la ecuación diferencial es de la forma

0)()()( 01

11

ya

xd

ydbxa

xd

ydbxa

xd

ydbxa

n

nn

n

nn

El cambio de variable correspondiente es tebxa . Las tres primeras derivadas requeridas son:

td

ydea

xd

yd t

td

yd

td

ydea

xd

yd t

2

222

2

2

td

yd

td

yd

td

ydea

xd

yd t 232

2

3

333

3

3

10.- Problema de valor inicial.

Un problema de valor inicial para una ecuación diferencial lineal de orden n es:

Resolver: )(01

)1(

1

)( xFyayayaya n

n

n

n

Sujeta a: 00 )( yxy , ,

00 )( yxy , ...,

)1(

00

)1( )( nn yxy en donde 0y , ,

0y , ..., )1(

0

ny son constantes arbitrarias.

11.- Problema de valores en la frontera.

Un problema como: Resolver: )()(012

2

2 xFyxaxd

yda

xd

yda Sujeta a:

0)( yay , 1)( yby se

llama problema de valores de frontera de dos puntos o, simplemente, un problema de valores de frontera.

Autor: Ing. Willians Medina. / +58–424–9744352 / +58–426–2276504 / medinawj@gmail.com /

PIN: 58B3CF2D – 569A409B.

http://www.slideshare.net/asesoracademico/

Abril 2016.