Matemática II Unidad I: Vectores en el Espacio 2015

Unidad I: Vectores en el Espacio

Primera Práctica Grupal

PROBLEMAS RESUELTOS:

1.- y son los vectores en R3 de posición de los segmentos y . Si 2 = 3 y

P= (3, -1 ,2), Q=(x, y, z), R = (-2, 3, -3) y S = (2,5, -5); hállese el vector y el Punto Q.

SoluciónSegmentos:

Q S

P R

= = Q – P = (x, y, z) – (3, -1, 2) = (x-3, y+1, z-2)

= = S – R = (2, 5, -5) – (-2, 3, -3) = (4, 2, -2)

Del dato 2 = 3

2(x-3, y+1, z-2) = 3(4, 2, -2)

(2x-6, 2y +2, 2z-4) = (12, 6, -6)

Por comparación de términos

2x-6 = 12 2y +2 = 6 2z-4 = -6

X = 9 y = -2 z = -1

Remplazando valores en el punto Q = (9, -2 ,1) solución

Matemática II Unidad I: Vectores en el Espacio 2015

Calculando el vector = (x-3, y+1, z-2)

= (6,-1,-1) solución

41.- Hallar el coseno del ángulo θ entre las diagonales: y de un paralelogramo si

están dados tres de sus vértices: A = (2, 1, 3); B = (5, 2, -1) y C = (-3, 3, -3).

Solución: B C

A D

Calculando las coordenadas del punto D:De la figura tenemos

ǁ ǁ

= =

D - A = C – B A – D = C - B

D = A + C – B D = A + C – B

Remplazando coordenadas

D = (2, 1, 3) + (-3, 3, -3) – (5, 2, -1)

D = (-6, 2, 1)

= D – B = (-6, 2, 1) - (5, 2,-1) = (-11, 0, 2)

= C – A = (-3, 3, -3) - (2, 1, 3) = (-5, 2,-6)

Matemática II Unidad I: Vectores en el Espacio 2015

Cosθ = =

Cosθ = = 0.4152

Θ = cos-1(0.4152) = 65.47 ° Solución Θ = 65° 28´ 12´´

81.- Se dan los vectores = (1, -2, 0); = (0, 1, 2); = (1, 0, 1). Hállese la proyección

ortogonal del vector en el plano de los vectores y .

Solución:

Sea el plano definido por los vectores y donde

Donde estos vectores son linealmente independientes

Sea V = ProyBCA (Proyección de A en el plano b y c)

o v Como los vectores y son L.I constituyen una base

Para el vector V Ǝ ƛ1, ƛ2

V = ƛ1 + ƛ2 = ƛ1 (0, 1, 2) + ƛ2 (1, 0, 1) …… (1)

De la figura = n +v, n = – v, será ortogonal a y entonces ( -v). = 0 y ( -v). = 0

( -v) = (1, -2, 0) - ƛ1 (0, 1, 2) - ƛ2 (1, 0, 1) = 0

( -v)= (1- ƛ2, -2 – ƛ1, -2 ƛ1 - ƛ2)

( -v). = 0

Matemática II Unidad I: Vectores en el Espacio 2015

(1- ƛ2, -2 – ƛ1, -2 ƛ1 - ƛ2). (0, 1, 2) = 0(-2 – ƛ1 - 4 ƛ1 - 2ƛ2) = (-2 -5 ƛ1 - 2 ƛ2 ) = 0 ……..(2)

( -v). = 0

(1-ƛ2, -2 – ƛ1, -2 ƛ1 - ƛ2). (1, 0, 1) = 0 (1- ƛ2 -2 ƛ1 - ƛ2) = 0(1- 2ƛ2 - 2 ƛ1) = 0 …..(3)

Resolviendo (2) y (3) tenemos

ƛ2= 3/2

ƛ1= -1

Remplazando los valores en (1)

V = ƛ1 (0, 1, 2) + ƛ2 (1, 0, 1)

V = -1(0, 1, 2) +3/2(1, 0, 1)

V = (3/2, -1, -1/2) solución

121.- Dado los vectores = (2-k, -2, 3); = (1, 1-k, 1) y = (1, 3, -1-k): ¿Qué valores debe

tener K para que los vectores , y sean linealmente independientes ( L.I)y que valores

de tener K para que sean linealmente dependientes ( L.D).

Solución:

Haciendo un arreglo matricial los vectores

Calculamos la determinante (∆)

Si la (∆) = 0 son linealmente dependientes

Si la (∆) ≠ 0 son linealmente IndependientesCalculando la ∆ = 0Usando la Regla Sarrus.[(2-k)(1-k)(-1-k) + (1)(2)(3) + (-2)(1)(1) ] - [(3)(1)(1-k) + (3)(1)(2-k) + (-2)(1)(-1-k)] = 0[(2-k-2k+k2)(-1-k) + 9 – 2] – [ 3(1-k) - 3(2-k) -2(-1-k)] = 0

Matemática II Unidad I: Vectores en el Espacio 2015

-2 + 3k - k2 - 2k + 3 k2 – k3+7 = 3 -3k +6 K3 - 2 k2 – 5k + 6 = 0 (factorizando)

(k-1)( k2 – k – 6) = (k-1)(k-3)(k+2)K = ( -2,1,3) Entonces para k = (-2,1,3) los vectores será linealmente dependientes

Para k ≠(-2,1,3 ) los vectores serna Linealmente Independientes

Unidad I: Vectores en el

Espacio

Primera Práctica Individual

PROBLEMAS RESUELTOS:

01.- Dados los vectores = 2i -j +k , = i +3j -2k , = -2i +j -3k , = 3i + 2j +5k

Matemática II Unidad I: Vectores en el Espacio 2015

Determine los escalares de α, β, ɣ para que = α + β + ɣ

Solución:

= α + β + ɣ

(3, 2, 5) = α (2, -1, 1) + β (1, 3, -2) + ɣ (-2, 1, -3)Obteniendo el sistema de ecuaciones lineales correspondientes

3 = 2 α + β -2ɣ …(1)2 = -α + 3β + ɣ ...(2)5 = α - 2β -3ɣ …(3)

Resolviendo (2) y (3)7 = β -2ɣ ….(4)

Resolviendo (1) y (2)β = 1 sol Reemplazando en (4)ɣ = -3 solα = -2 sol

= -2 + + -3 solució

41. Los lados de un triángulo son los vectores , y - , si = 2 , = 3 y . =-3/2.

Hallar :

ǁ - ǁ2 = ǁ ǁ2 + ǁ ǁ2 - 2 .

= 4 +9 – 2(-3/2) = 16

ǁ - ǁ = 4 solución

b

b

a

a

c

b

a

a

b

c

Matemática II Unidad I: Vectores en el Espacio 2015

81.Si y comp

SOLUCION

comp = = = ………(1)

Entonces : …….(2)

En (1) : Reemplazo en (2):

121.- Los vectores y forman un Angulo de , sabiendo que ǁ ǁ = 1, ǁ ǁ = 2. Calcular

a) ǁ x ǁ= ǁ ǁ.ǁ ǁsenθ

= ǁ ǁ.ǁ ǁsenθ

= (2)(1)sen( )

=22/3 . Hallar la norma de

22

2

2

2

22

2

Matemática II Unidad I: Vectores en el Espacio 2015

= solución.

b) ǁ(2 + )x( +2 ǁ usando las propiedades algebraicas del producto escalar

ǁ(2 + )x( +2 ǁ = ǁ (2 + )x + (2 + )x2 ǁ

=ǁ 2 + x + 2 x2 + x2 ǁ

= ǁ x + 4 x ǁ

= ǁ- x + 4 x ǁ

= ǁ3 x ǁ = 3 sol.

c) ǁ( +3 )x(3 - ǁ = ǁ( +3 )x3 – ( +3 )x ǁ

= ǁ( x3 +3 x3 ) – ( x + 3 x )ǁ

= ǁ 9 x - x ǁ

= ǁ -9 x - x ǁ

= ǁ -10 x ǁ

= 10

161.- Si ( x ) x ( ) = . Hallar el valor de ( x ) x ( ).

Solución:

Como ( x ) x ( ) son ┴ a los vectores ( x ), ( ) respectivamente.

Matemática II Unidad I: Vectores en el Espacio 2015

( x ) ┴ = 0 ( x ). = 0

( x ) ┴ = 0 ( x ). = 0

Usando las propiedades algebraicas del producto vectorial.

(( x ). ) - (( x ). ) =

(( x ). ) – 0 =

( x ). = 1

Calculando ( x ) x ( ). Usando las propiedades algebraicas del producto

vectorial.

[(( x ). ) - (( x ). ) ].

- 0 ].

2

( x ) x ( ). = 2 = ǁ ǁ2 solución.