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UNIVERSIDAD DE PANAMÁ FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES EXACTAS Y TECNOLOGÍA ESCUELA DE MATEMÁTICA “Teorema Euler-Fermat” POR: José de los Santos Sánchez Sarta 8-714-996 TRABAJO PRESENTADO EN EL SEMINARIO COMO OPCIÓN PARA LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE LICENCIADO EN MATEMÁTICA

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UNIVERSIDAD DE PANAMÁ

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES

EXACTAS Y TECNOLOGÍA

ESCUELA DE MATEMÁTICA

“Teorema Euler-Fermat”

POR:

José de los Santos Sánchez Sarta

8-714-996

TRABAJO PRESENTADO EN EL SEMINARIO COMO OPCIÓN PARA LA

OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE LICENCIADO EN MATEMÁTICA

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

CIUDAD UNIVERSITARIA, OCTAVIO MENDÉZ PEREIRA

PANAMÁ, 2009

Dedicatoria

Dedico con todo mi amor este trabajo a mi madre Beatrice Sarta Moro, quien

en el continuo esfuerzo de cada día, me concedió una educación y con sus

consejos me inspiro a superarme.

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

Agradecimiento

Primeramente doy gracias a Jesucristo por haberme concedido la energía y el

conocimiento necesario para continuar los estudios y culminar con éxitos uno

de mis mayores anhelos.

Mi agradecimiento al Dr. Jaime Gutiérrez del Departamento de Matemática por

su asesoramiento y orientación para la realización de este trabajo de

graduación y haber alcanzado los objetivos trazados.

De igual forma quiero agradecer a mi hermano Gilberto A. Sánchez S. por su

gran apoyo para continuar los estudios.

Finalmente agradezco particularmente a los siguientes profesores; Prof.

Narciso Rodríguez, Prof. Guadalupe Castillo, Prof. Teresita de Ávila, que de

una u otra forma contribuyeron y me incentivaron con sus consejos y animo

dado para continuar en los estudios de matemática.

Muchas Gracias…

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

INDICEDedicatoria iAgradecimiento iiÍndice general iiiIntroducción 1Sección 1. Connotación histórica

historia 3Sección 2. Teoría 7

• Congruencia

• Función de Euler

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10

Sección 3. Demostraciones• Demostraciones 14

Sección 4. consecuencias 20• El reciproco de teorema Euler-Fermat

• Teorema de lucas

• Números con la propiedad de fermat

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22

22

Sección 5. Aplicaciones del teorema 23• Criptografía 24

Biografías 29• Pierre Fermat

• Leonhard Euler

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33

Conclusión 36recomendaciones 37Bibliografía 38

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

INTRODUCCIÓN

La realización de este trabajo lo hago como un requisito para optar al grado de

licenciatura.

La elección del tema el teorema de Euler-Fermat se debió a su importancia que

tiene en el campo de los números.

El trabajo ha sido confeccionado a base de consultas, de bibliografía

especializada en el tema y discusiones periódicas con el profesor asesor y

compañeros de clase en exposición de charlas del mismo.

Nuestro objetivo principal de este trabajo es presentar y analizar varias

demostraciones del teorema de Euler-Fermat resaltando los aportes de Pierre

Fermat y Leonhard Euler y sus aplicaciones.

Con este trabajo se espera sirva de guía y apoyo a otros compañeros y poner

de manifiesto su importancia.

Hemos dividido el trabajo en un solo capitulo, y dentro de este 5 secciones y un

anexo.

• El primero lo dedicamos a la historia, resaltando una breve cronología de

las matemáticas en función del tema elegido.

• La segunda sección la dedicamos a la teoría y definiciones como

requisito a las demostraciones del teorema de Euler-Fermat.

• En la tercera sección presentamos varias demostraciones del teorema

de Euler-Fermat.

• En la cuarta sección presentamos algunas consecuencias del teorema

de Fermat.

• En la quinta sección presentamos aplicaciones del teorema.

• Como anexo presentamos las biografías de Pirre de Fermat y Leonhard

Euler.

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

SECCIÓN 1.

Connotación histórica

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

HISTORIA

Los matemáticos del siglo XX llevaron a cabo una actividad intelectual muy

sofisticada que no resulta fácil de definir, pero gran parte de lo que hoy se

conoce como matemática es el resultado de un pensamiento que originalmente

se centro en los conceptos de número, magnitud y forma.

Durante un cierto tiempo se pensó que la matemática se refería directamente al

mundo de nuestra experiencia sensible, y solo en el siglo XIX se libero la

matemática pura de las limitaciones que implican las observaciones de la

naturaleza.

Las afirmaciones que se hagan acerca de los orígenes de la matemática, ya

sea de la aritmética o de la geometría, serán necesariamente arriesgadas y

conjeturales, ya que, en cualquier caso, los orígenes de esta materia son más

antiguos que el arte de la escritura.

La Aritmética y la geometría, son ramas de las matemáticas estudiadas desde

la antigüedad, la civilización china parece que fue la primera cultura en estar

interesada en la aritmética modular. Sin embargo, hasta el momento no ha sido

superada la disparidad y pobreza de información científica fidedigna sobre los

conocimientos matemáticos de la civilización china de la antigüedad. Los

chinos desarrollaron muchos problemas aritméticos y junto a estos surgieron

los problemas teóricos numéricos. Existe una hipótesis, documentada por

Joseph Needham, según la cual los números de la forma 2p − 2 fueron

estudiados por esta civilización.

Así pues, la civilización china formulo la hipótesis de que si p es primo si y sólo

si . Es verdad que, si p es primo, entonces

(este es un caso especial del pequeño teorema de Fermat), pero el recíproco

(si , entonces p es primo) no lo es, por lo que la hipótesis es

falsa.

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

Aunque esta hipótesis sea parcialmente incorrecta, es notable que pueda haber

sido conocida por los matemáticos de la antigüedad.

Algunos, sin embargo, sostienen que la creencia de que esta hipótesis fuera

conocida hace tanto tiempo que es fruto de un error de comprensión, y que se

desarrolló realmente en 1872.

En el continente europeo, las matemáticas no tienen un origen tan antiguo

como en muchos países del lejano y Medio Oriente.

Durante el siglo XIII surgió la figura de Leonardo de Pisa (1180-1250) más

conocido como Fibonacci.

Hablar del siglo XVII es hablar de la cuna de, quizás, los más grandes

matemáticos de la historia. Newton, Leibniz, Descartes, Pascal, Fermat, entre

otros.

Mostrando a Descarte como uno de los grandes matemáticos de todos los

tiempos, debemos justificar la afirmación, frecuentemente hecha y rara vez

discutida, de que el más grande matemático del siglo XVII fue Pierre de

Fermat.

La ciencia de la teoría de números, que había permanecido aletargada desde

la época medieval, es un buen ejemplo de los avances conseguidos en el siglo

XVII basándose en los estudios de la antigüedad clásica. La obra Las

aritméticas de Diofante ayudó a Fermat a realizar importantes descubrimientos

en la teoría de números. Alrededor de 1636, Pierre de Fermat enunció el

teorema que aparece con el siguiente texto:

Si p es un número primo, y a es un entero, entonces p divide al número

Aunque actualmente lo conozcamos como pequeño teorema de Fermat, lo

cierto es que hasta el siglo XX fue conocido como teorema de Fermat, como

recoge por ejemplo Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones arithmeticae.

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

El término pequeño teorema de Fermat, tal como lo conocemos actualmente,

fue usado por primera vez por el matemático alemán Kurt Hensel en 1913 en

su libro Zahlentheorie.

Für jede endliche Gruppe besteht nun ein Fundamentalsatz, welcher der kleine

Fermatsche Satz genannt zu werden pflegt, weil ein ganz spezieller Teil

desselben zuerst von Fermat bewiesen worden ist.

He aquí el teorema fundamental que se cumple en cada grupo finito, llamado

habitualmente pequeño teorema de Fermat, porque Fermat fue el primero en

probar una parte especial de él.

Kurt Hensel

Fermat estableció tal resultado en una carta a Frénicle de Bessy, pero como

era usual en él, omitió la prueba del mismo:

Tout nombre premier mesure infailliblement une des puissances -1 de quelque

progression que ce soit, et l’exposant de la dite puissance est sous-multiple du

nombre premier donné -1. (...) Et cette proposition est généralement vraie en

toutes progressions et en tous nombres premiers; de quoi je vous envoierois la

démonstration, si je n'appréhendois d'être trop long.

Todo número primo mide una de las potencias menos uno de cualquier

progresión en la que el exponente es un múltiplo del primo dado menos uno.

(...) Y esta proposición es generalmente cierta para todas las progresiones y

todos los números primos; te enviaría la prueba, si no temiese que es

demasiado larga.

En la afirmación original de Fermat, no se hace explícita la suposición de que a

y p son primos relativos.

No fue sino hasta que Leonhard Euler probó este teorema, este matemático

del siglo XVIII, ha sido uno de los más productivos en la historia de las

matemáticas. Euler empleo su gran capacidad en mucho de los campos de la

matematica, la teoría de números no fue la excepción.

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

Fue Euler quien se ocupó de la teoría de números de una manera definitiva.

Comenzó estudiando los teoremas de Fermat, para desarrollar a continuación

todos los aspectos de esta teoría.

A él debemos la actual teoría de congruencias, a la que llegó tras extensos

trabajos sobre la divisibilidad y tras introducir el concepto de raíz primitiva

según el módulo m.

Estudiando los teoremas de Fermat refuto una lista en las que se pueden citar:

• En 1732 refuto una conjetura de Fermat que establecía que los números

de la forma son siempre primos.

• En 1736 publico una demostración de otra conjetura de Fermat: si

p es primo y a es un numero entero no divisible por p, entonces

es divisible por p.

(El cual es nuestro interés de investigación)

• En 1747 prolongo la lista de los tres pares de números amigos que

conocía Fermat hasta 30 pares de ellos.

• Demostró que todos los números perfectos pares son de la forma dada

por Euclides, es decir, ( ) siendo primo.

El teorema de Fermat quedó demostrado como un resultado del teorema de

Euler, pues es un corolario del teorema de Euler. En notación de congruencias,

el teorema de Fermat establece que

Si p es un número primo y a es un entero no divisible por p, entonces

Dado que si p es un número primo, todos los números son

primos relativos con p, se cumple que y por tanto el teorema de

Fermat es una consecuencia directa del teorema de Euler. Por ésta razón al

teorema de Euler se le conoce en ocasiones como teorema de Euler-Fermat.

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

SECCIÓN N°2

TEORIA

El objeto de estudio en esta sección son las congruencias y la función φ, las

cuales nos ayudaran a la demostración del teorema de Euler-Fermat

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

CONGRUENCIA

En la Teoría de Números un concepto muy importante es el de las

congruencias. Fue el gran matemático alemán Karl Friedrich Gauss (1777-

1855), en su monumental obra “Disquisitiones Arithmeticae”, quien, en analogía

con el “=” para la igualdad, introdujo el símbolo “≡” para demostrar que dos

números son “congruentes”.

La teoría de congruencias se empieza a desarrollar en el siglo XIX y nos ayuda

a trabajar con números muy grades de una manera rápida y sencilla,

actualmente tiene gran utilidad en la Teoría de Grupos y Criptografías entre

otros.

Definición: Sean , con Decimos que a es congruente a b

módulo n y escribimos si y solo si , es decir, n divide a

.

(i) Es reflexividad

, pues , es decir

(ii) Es simétrica

Si

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

(iii) Es transitiva

Si

Si

Sumando miembro a miembro las dos igualdades:

Teorema: Si , entonces

Demostración: Dado que , tenemos que .

como , por el lema de Euclides se tiene que .

es decir,

El teorema anterior es conocido como la “ley de cancelación” para

congruencias.

Teorema: Si y es un sistema completo de

residuos n, entonces también lo es.

Demostración: Sabemos que cualquier sistema completo de residuos modulo n

debe tener n elementos, así, para ver que los enteros , que son

n, forman un sistema completo de residuos modulo m, basta demostrar que

este conjunto no tiene elementos repetidos en el sentido de que dos elementos

estén en una misma clase de equivalencia, es decir, si .

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

Esto debe ser cierto ya que si , implicaría por la ley de

cancelación, que . Esto último es una contradicción ya que

es un sistema completo de residuos modulo n.

Ejemplo: el conjunto es un sistema completo de residuos modulo

6, así, es un sistema reducido de residuos modulo 6.

Ejemplo: si p es primo, el conjunto es un sistema completo de

residuos modulo p y es un sistema reducido de residuos modulo p.

Función φ de Euler

Definición: Sea se define como el numero de enteros positivos

menores o iguales que n que además son primos relativos con n.

Es decir

:

: # enteros positivos, menores que y primos con n.

En la siguiente tabla se proporcionan los valores de para n de 1 a 12:

Es muy fácil

determinar

si p es

primo. Es

efecto,

observe que

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

si p es un numero primo, entonces todos los números son primos

con p, como estos son números, se tiene que p es primo, entonces

.

Teorema: si p es un número primo positivo y si r es un entero positivo entonces

Demostración: existen enteros positivos menores o iguales que . De ellos,

hay números que son divisibles por p y los demás son primos relativos con

. De modo que =

Teorema: si n y m son numero enteros positivos tales que cualquier primo que

divida a m también divide a n, entonces

Demostración: consideremos el arreglo

Vamos a calcular . En la primera fila hay números primos relativos

con n y, como los divisores primos de m también lo son de n, entonces el

número de elementos en esa fila que son primos con mn es Por otra

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

parte como todos los elementos en la misma columna son congruentes modulo

n entonces todos ellos son primos con n o todos no son primos con n.

Esto significa que en cada fila hay números primos con n por lo tanto hay

números primos con Como hay m columnas entonces la cantidad de

números primos con que hay en el arreglo es

Es decir

Ejemplo: Puesto que el único divisor primo de 2 es 2 y este divide a 6 entonces

Teorema: la función φ de Euler es multiplicativa; esto es, si x, y son números

enteros positivos primos relativos entonces:

Demostración:

Arreglemos los enteros desde 1 hasta de la siguiente forma sugerida

por las clases residuales modula a:

En la primera fila hay enteros primos con x. por otra parte en cada

columna los enteros son de la forma (para ).Pero

y por lo tanto, si el entero de k tiene un divisor común con x,

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

entonces todos los enteros de esa columna tienen un divisor común con x. esto

significa que hay columnas de enteros que son primos relativos con x.

Además, en cada columna, enteros son primos relativos con y. puesto

que enteros en cada una de las columnas de enteros primos con x

son también primos con y, entonces el números de enteros de 1 a que son

primos a x y a y es Puesto que , entonces un numero

es primo a si y solo si es primo a ambos, por lo tanto

Teorema: sea n un entero positivo y sea la

desconposicion prima de n, entonces

Demostración: tenemos:

Siguiendo el proceso llegamos a

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

SECCIÓN N°3

DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA

EULER-FERMAT

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

Leonhard Euler dedujo la generalización del teorema de Fermat del

siguiente teorema:

Teorema: el conjunto de elementos distintos de cero de que no son

divisores de 0 forman grupo bajo la multiplicación modulo n.

Demostración:

Se debe mostrar que es cerrado bajo la multiplicación módulo n.

Sea .

Si entonces existiría en tal que

Ahora, implica que

Como y , tenemos , por definición de . Pero, entonces

implica que , contrario a la hipótesis. Es decir se ha mostrado

que, para cualquier anillo, el conjunto de elementos que no son divisores de

cero es cerrado bajo la multiplicación.

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

Se debe mostrar ahora que es un grupo.

la multiplicación módulo n es asociativa y .

Ahora se debe mostrar que, para , existe tal que .

Sean

Los elementos de .

Los elementos

son todos diferentes, pues si , entonces y como

y por tanto, no es un divisor de cero, se debe tener que o .

En consecuencia, contando, encontramos que o alguna debe ser 1,

de modo que a tiene inverso multiplicativo.

Leonhard Euler dio en 1736 la primera demostración del teorema de Fermat, en

un artículo titulado Theorematum Quorundam ad Números Primos Spectantium

Demonstratio, basada en el uso del desarrollo binomial;

Se demuestra por inducción matemática sobre los números naturales.

Sea ,

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

sabemos que es divisible por p primo.

Supongamos ahora que se aplica para 2, entonces;

tendremos que

Si se aplica a todos los números hasta n se cumple la proposición, y se puede

demostrar que para también se cumple, entonces se cumplirá para todo

n.

Supongamos que

Utilizando el binomio de Newton para expandir la potencia

Agrupando factores y reordenando la identidad:

Dado que el número resultante del sumatorio del miembro de la derecha es

divisible por p, porque el coeficiente binomial

es divisible por p para y p primo, y es divisible por p por

hipótesis inductiva, tenemos que es divisible por p.

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

Repitiendo el proceso vemos que se cumple para toda n, con lo cual queda

demostrado el teorema.

La siguiente demostración es la generalización del “teorema de Fermat”,

y se conoce como el teorema de Euler-Fermat.

Teorema: (De Euler) Sin entonces,

Demostración:

Considere los enteros positivos menores que n y primos

relativos con n.

Sea a cualquier número tal que

Son los primos relativos a n y no hay dos de ellos que sean congruentes entre

sí modulo n. Por lo tanto, estos últimos deben ser congruentes, con un

reordenamiento, a los números , es decir

= ≡

Además, como el , i tenemos que mcd

y asi, podemos aplicar la ley de cancelación de congruencias, luego

Este resultado es otro de los grandes aportes de Euler a la Teoría de Numeros.

La siguiente demostración se realiza usando sistema completo de

residuo.

Teorema (De Fermat). Si p es primo, todo entero a satisface y

todo entero a no divisible por p satisface

Demostración:

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

Supongamos primero que Como es un sistema

completo de residuos módulos p y

es un sistema completo de residuos módulo p.

Como tenemos que es un reordenamiento, modulo

p, de . así,

Dado que pues p es primo, tenemos que es decir

de donde se obtiene el resultado.

Para completar la demostración basta multiplicar por a,

para obtener que sería cierto para , y es trivialmente

cierta en el caso que .

La siguiente demostración se realiza usando sistema reducido de restos.

Teorema de Euler: Si , entonces

Demostración:

En efecto, consideremos un sistema reducido de restos modulo m:

Entonces, como

el conjunto: , es también un sistema reducido de

restos modulo m.

Por consiguiente, a cada le corresponde un solo un tal que:

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

Además, a elementos diferentes de R, le corresponderán elementos diferentes

de , por tanto, , son congruentes con

modulo m (no necesariamente en ese orden).

Luego,

Y como , y aplicando la ley de cancelación de

congruencias, se tiene:

Conforme se quería demostrar.

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

SECCIÓN N°4

Consecuencia del teorema de Euler-Fermat .

El recíproco del teorema de Fermat

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

El teorema de Fermat establece que para todo entero a no divisible por el primo

p, se satisface la congruencia

Es natural investigar inversamente si del hecho de que sea válida una

congruencia de este tipo se desprende que el módulo es primo. En general tal

conclusión es inválida. Existen números a y n tales que, a no es congruente

con y sin que n sea primo.

Sin embargo, imponiendo restricciones adicionales en el número a de la

congruencia anterior, es posible expresar una forma recíproca del teorema de

Fermat.

Teorema de Lucas:

Cuando para algún entero a la congruencia vale, mientras

que ninguna congruencia semejante con exponentes menor

, n-1>t>0

se cumple, el modulo n es primo.

Demostración: la condición del teorema establece que a pertenece al

exponente n-1( ).mas el mayor exponente al cual puede a pertenecer es

. Debemos recordar además que donde las pi son los

distintos primos que dividen a n de modo que

lo cual muestra que podemos tener solo cuando n=p1 es primo.

El Teorema de Lucas no es practico cuando se trata de verificar, en la forma en

que el teorema esta, si un numero es primo. Pero unas observaciones lo

mejoran.

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

Números con la propiedad de fermat

Para ciertos números compuestos n pueden existir números a para los cuales

Pero más notable es el hecho de que se pueden hallar números n que no son

primos y tales que la congruencia de Fermat se satisface para todo entero a

primo con n. Estos números se dice que poseen la propiedad de Fermat, se les

llaman números pseudoprimo, estos números tienen la peculiaridad de que

pueden pasar el test de primalidad de Fermat algunas veces, siendo

reconocidos como falsos primos

Definición: Un pseudoprimo es un número que pasa una prueba de número

primo y sin embargo es compuesto.

Una de las pruebas más aplicadas para determinar si un número es primo es el

pequeño teorema de Fermat, la manera de comprobar esto es escogiendo un

base cualquiera y comprobar si se verifica el teorema. Sin embargo, no supone

ninguna garantía, desde luego si no lo verifica, podemos afirmar que el número

es compuesto, pero si lo verifica, no podemos afirmar con seguridad que sea

primo. Cuando el número pasa la prueba en una base al número de la base se

le llama mentiroso y se dice que ese número es pseudoprimo, si no la pasa,

testigo.

Ejemplo: Veamos si 205 es pseudoprimo en base 42.

luego 205 es compuesto.

.

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

SECCIÓN N°5

Aplicaciones del teorema

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

CRIPTOGRAFÍA

Definición: La criptografía es el estudio de los métodos de enviar mensajes en

forma disfrazada, de manera, que solo los que lo reciban pueden quitarle el

disfraz y leerlo.

La criptografía con clave pública corresponde a un código que se agrega para

asegurar la confidencialidad de los mensajes con la ayuda de dos claves

criptográficas. Una, que permite cifrar el mensaje, es pública. La otra, que tiene

como objetivo el descifrado, es privada.

Una importante familia de códigos asimétricos utiliza la tecnología llamada

RSA. La clave secreta está determinada por la descomposición de un número

entero grande, a menudo de varias centenas de cifras. Éste tiene dos factores

primos. Lo esencial de las técnicas industriales de principios del siglo XXI se

basa en el pequeño teorema de Fermat para generar grandes números primos

o para comprobar la primalidad de un número.

Criptosistema RSA

El primer avance en los sistemas de llave publica lo realizaron en 1977 Ron

Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman cuando inventaron el criptosistema

RSA. A pesar de que recientemente se ha conseguido rebatir su seguridad, se

le considera como uno de los criptosistemas más seguros. Quiza también, el

más sencillo de comprender e implementar.

Este criptosistema utiliza operaciones fundamentales sobre Zn, donde n es el

producto de dos primos p y q.

Definición

Sea , donde , números primos.

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

Sea : primos, , el espacio llave.

Para cada , defínanse las función de encripción

y la función de desencripción,

Donde . Entonces, a este criptosistema se le denomina RSA.

Se puede verificar fácilmente que la función de encripcion y la desencripcion

son operaciones inversas. Por definición,

tenemos que,

para algún entero Supongamos que ; entonces,

Vamos a describir como trabaja el RSA. Primeramente, cada usuario escoge

dos números primos grandes (donde y k es el numero de

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

usuario) y hacen . Conociendo la factorización de es fácil calcular

.

Ahora los usuarios escogen, cada uno, un numero entero aleatorio ,

que sea primo relativo con (esto lo pueden hacer con la

ayuda de algún programa generador de numero aleatorios o

pseudoaleatorios).

Por último, los usuarios calculan en secreto , un inverso de modulo

Para la función de inscripción utilizaran la llave pública y para la función

de desencripcion, la llave secreta.

Veamos un ejemplo con números relativamente pequeños. Pero, debe tenerse

en cuenta que en la práctica p y q tienen más de 100 cifras cada uno.

Ejemplo:

Supóngase que Boris escoge Entonces y

. Se utilizara un entero e para la encripcion si y

solo si e es un primo relativo con . Supongamos que Boris escoge

luego efectivamente Para la decodificacion se usaran un

entero d que resuelva Para esto, mediante el algoritmo

euclidiano se calcula,

Así,

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

Esto es, , por lo tanto, el valor d, correspondiente a

es 43.

Luego, Boris publica en un directorio y, mantiene en secreto

Ahora, supóngase que Ana desea enviarle a Boris el mensaje:

C A M P O S

Debe utilizar la llave pública e = 7 para en cifrar el texto simple

:

Obteniendo el texto en clave:

Si Boris recibe este texto y quiere descifrarlo, solamente debe aplicar su llave

privada a cada uno de los elementos. Por ejemplo, para descodificar

141, calcular

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

Dado que

estas potencias no son difíciles de obtener,

entonces,

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

Biografía

A continuación se presenta las biografías de Pirre de Fermat, y Leonhard Euler.

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

Pierre Fermat

Nació: 17 de agosto de 1601 en Beaumont-de-Lomagne, Francia, murió el 12

de enero de 1665 en Castres, Francia El padre de Pierre Fermat era un rico

comerciante y cónsul segundo de Beaumont - de - Lomagne. Pierre tuvo un

hermano y dos hermanas y casi de seguro creció en el lugar dónde nació.

Aunque hay poca evidencia respecto a su educación escolar, debe haber sido

educado en el monasterio franciscano del lugar.

Asistió a la Universidad de Toulouse antes de mudarse a Burdeos durante la

segunda mitad de la década de 1620. Fermat tuvo una carrera apacible,

caracterizada por un cuidado ejemplar de hacer bien su tarea y, en sus

momentos de ocio, supo crearse ocupaciones literarias y apasionarse por las

matemáticas, aunque Fermat disfrutaba de la literatura y escribió muchos

versos, lo que realmente amaba era las matemáticas.

En su juventud, con su amigo el científico y filósofo Blaise Pascal, realizó una

serie de investigaciones sobre las propiedades de los números, las cuales

nunca quiso publicar, incluso, llegó a escribir a Pascal:

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

"No quiero que aparezca mi nombre en ninguno de los trabajos considerados

dignos de exposición pública"

En Burdeos comenzó sus primeras investigaciones científicas serias y en 1629

le dio a uno de los matemáticos de allí su restauración del Plane loci de

Apolonio.

Sin duda estuvo en contacto con Beaugrand en Burdeos y durante esa época

produjo importantes trabajos sobre máximos y mínimos que le entregó a

Étienne d'Espagnet quien compartía con Fermat sus intereses matemáticos.

Desde Burdeos, Fermat fue a Orleáns donde estudió leyes en la Universidad.

Obtuvo el grado en ley civil y compró las oficinas de consejero en el parlamento

de Toulouse. Así que para 1631, Fermat era abogado y oficial gubernamental

en Toulouse y gracias al puesto que ocupaba tuvo el derecho de cambiar su

nombre de Pierre Fermat a Pierre de Fermat.

El resto de su vida la pasó en Toulouse pero además de trabajar allí también lo

hizo en su pueblo natal, Beaumont-de-Lomagne, y en la cercana ciudad de

Castres. Desde su nombramiento el 14 de mayo de 1631, Fermat trabajó en la

cámara baja del parlamento pero el 16 de enero de 1638 fue nombrado a la

cámara alta; en 1652 fue promovido ala nivel más alto de la corte criminal. Más

promociones parecen indicar una subida casi meteórica en su profesión pero

estas se daban mayormente por antigüedad y como la peste azotó la región a

principios de la década de 1650, muchos hombres mayores murieron. Fermat

mismo sufrió la peste y en 1653 su muerte fue erróneamente anunciada y

después corregida.

Fermat, un hombre de gran erudición, tiene contacto con hombres de

conocimiento por todos lados. Fermat publicó rara vez sus descubrimientos;

apenas algunas notas como apéndice a tratados escritos por otros. Como

trabajaba para entretenerse, sus resultados más bellos aparecen en los

márgenes de estos tratados, y un gran número de sus trabajos se han perdido.

Mantuvo correspondencia con todos los científicos de su época; su reputación

de matemático competente fue inmensa, y la estima en la que se le tuvo fue

general. Pascal confesó que era “aquel a quien tengo por el gran geómetra de

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

toda Europa”, y este personaje tan atrayente, de un carácter constante, afable,

poco susceptible, sin orgullo, contribuyó ampliamente a la evolución las

matemáticas en campos tan variados como la geometría analítica, el cálculo

diferencial e integral, la teoría de números y la teoría de probabilidades. Los

principales escritos de Fermat fueron publicados, después de muerte, por su

hijo Samuel en 1679, bajo el título de Varia opera mathematica.

Aunque esta publicación no encierra más que una parte de su producción,

basta por sí sola para clasificar al célebre habitante de Toulouse como el más

importante matemático Francés del siglo XVII.

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

Leonhar Euler

Nació el 15 de abril de 1707 en Basel, Suiza. Su padre Paul Euler había

estudiado teología en la Universidad de Basel y era un ministro protestante.

Las facultades que desde temprana edad demostró para las matemáticas

pronto le ganaron la estima del patriarca de los Bernoulli, Johann, uno de los

más eminentes matemáticos de su tiempo y profesor de Euler en la

Universidad de Basilea. Tras graduarse en dicha institución en 1723, cuatro

años más tarde fue invitado personalmente por Catalina I para convertirse en

asociado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde coincidió con

otro miembro de la familia Bernoulli, Daniel, a quien en 1733 relevó en la

cátedra de matemáticas. A causa de su extrema dedicación al trabajo, dos

años más tarde perdió la visión del ojo derecho, hecho que no afectó ni a la

calidad ni al número de sus hallazgos.

El 7 de enero de 1734, se casó con Katharina Gsell. Tuvieron trece hijos,

aunque sólo cinco sobrevivieron su infancia. Euler manifestó que muchos de

sus mayores descubrimientos los hacía mientras sostenía a un bebé en sus

brazos y los demás se encontraban jugando alrededor de sus pies.

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

En 1741, por invitación de Federico el Grande se trasladó a la Academia de

Berlín, donde refinó los métodos y las formas del cálculo integral (no sólo

gracias a resultados novedosos, sino también a un cambio en los habituales

métodos de demostración geométricos, que sustituyó por métodos

algebraicos), que convirtió en una herramienta de fácil aplicación a problemas

de física.

Con ello configuró en buena parte las matemáticas aplicadas de la centuria

siguiente (a las que contribuiría luego con otros resultados destacados en el

campo de la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales), además de

desarrollar la teoría de las funciones trigonométricas y logarítmicas

(introduciendo de paso la notación e para definir la base de los logaritmos

naturales). En 1748 publicó la obra Introductio in analysim infinitorum, en la que

expuso el concepto de función en el marco del análisis matemático, campo en

el que así mismo contribuyó de forma decisiva con resultados como el teorema

sobre las funciones homogéneas y la teoría de la convergencia. En el ámbito

de la geometría desarrolló conceptos básicos como los del ortocentro, el

circuncentro y el baricentro de un triángulo, y revolucionó el tratamiento de las

funciones trigonométricas al adoptar ratios numéricos y relacionarlos con los

números complejos mediante la denominada identidad de Euler; a él se debe la

moderna tendencia a representar cuestiones matemáticas y físicas en términos

aritméticos.

En el terreno del álgebra obtuvo así mismo resultados destacados, como el de

la reducción de una ecuación cúbica a una bicuadrada y el de la determinación

de la constante que lleva su nombre. A lo largo de sus innumerables obras,

tratados y publicaciones introdujo gran número de nuevas técnicas y contribuyó

sustancialmente a la moderna notación matemática de conceptos como

función, suma de los divisores de un número y expresión del número imaginario

raíz de menos uno. También se ocupó de la teoría de números, campo en el

cual su mayor aportación fue la ley de la reciprocidad cuadrática, enunciada en

1783. A raíz de ciertas tensiones con su patrón Federico el Grande, regresó

nuevamente a Rusia en 1766, donde al poco de llegar perdió la visión del otro

ojo. A pesar de ello, su memoria privilegiada y su prodigiosa capacidad para el

tratamiento computacional de los problemas le permitieron continuar su

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

actividad científica; así, entre 1768 y 1772 escribió sus Lettres à une princesse

d’Allemagne, en las que expuso concisa y claramente los principios básicos de

la mecánica, la óptica, la acústica y la astrofísica de su tiempo. De sus trabajos

sobre mecánica destacan, entre los dedicados a la mecánica de fluidos, la

formulación de las ecuaciones que rigen su movimiento y su estudio sobre la

presión de una corriente líquida, y, en relación a la mecánica celeste, el

desarrollo de una solución parcial al problema de los tres cuerpos –resultado

de su interés por perfeccionar la teoría del movimiento lunar–, así como la

determinación precisa del centro de las órbitas elípticas planetarias, que

identificó con el centro de la masa solar.

El 18 de septiembre de 1783, aproximadamente a las cinco de la tarde, sufrió

una hemorragia cerebral. Alrededor de las once de la noche pereció en San

Petersburgo, Rusia.

Tras su muerte, se inició un ambicioso proyecto para publicar la totalidad de su

obra científica, compuesta por más de ochocientos tratados, lo cual lo convierte

en el matemático más prolífico de la historia.

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CONCLUSIÓN

Con este trabajo ponemos de manifiesto que en la matemática no existen

resultados triviales y que es importante reformular ideas con el fin de

proporcionar medios para la creación de nuevas teorías.

A medida de conclusiones particulares podemos señalar las siguientes:

1. El interés permanente de los matemáticos por la Teoría de Números.

2. Grandes matemáticos han dedicado esfuerzos en esta rama de la

matemática, tales como, Pierre de Fermat, Leonhard Euler, etc...

3. Una de las características de la teoría de números es la facilidad con

que surgen gran cantidad de problemas muchos de los cuales pueden

ser abordados, en principio, sin necesitar grandes requisitos.

4. Las pruebas del teorema de Euler-Fermat están basadas esencialmente

en teoremas sobre congruencias y teoría de números

5. Sobre la importancia del teorema de Euler-Fermat podemos destacar

sus amplias aplicaciones en la criptografía y los test de primalidad.

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

RECOMENDACIONES

Este trabajo de investigación, es realizado con la finalidad de que sirva

de motivación para otros lectores, para seguir realizando trabajos en el

campo de la investigación, y así poder dar aportes al campo de la

Matemática.

Hay que realizar más trabajos de investigación en temas de la teoría de

números.

Los estudiantes de matemáticas deben estudiar temas relacionados con

la teoría de números.

El teorema de Euler-Fermat es importantes pues nos ayuda a dar

solución a aplicaciones de la congruencias

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

BIBLIOGRAFIA

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Dickson, Leonard Eugene, (1919), History of Numbers, Volumen I, Divisibility and Primality, No. 256, The Carnegie Institution of Washington, Washigton.

Apostol, Tom M., Introducción a la Teoría Analítica de Números, Reverté, S. A.,

WebBibliografía

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Euler

http://es.wikipedia.org/wiki/Peque%C3%B1o_teorema_de_Fermat

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Teorema Euler-Fermat Teoría de números

http://es.wikipedia.org/wiki/Demostraciones_del_peque

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http://www.hojamat.es/sindecimales/congruencias/teoria/teorcong.

htm

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