C u r s o : Matemática

Material N° 13

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 13

UNIDAD: GEOMETRÍA

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y ELEMENTOS SECUNDARIOS

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

DEFINICIÓN

Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices,de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean de igual medida.

EJEMPLOS

1. En la figura 1, LMN HIJ, entonces los ángulos correspondientes a los MNL y NML,

respectivamente, son

A) JIH y IJHB) IJH y JIHC) IHJ y JIHD) IJH y IHJE) HIJ y HJI

2. Los triángulos ABC y DEF de la figura 2, son escalenos rectángulos en B y en F,respectivamente. Si ABC DFE, entonces ¿cuál de las opciones siguientes esverdadera?

A) BC DF

B) AC FEC) ABC FDE

D) CAB EDF

E) DE AB

R

P QA

C

B

AB PQ

AC PR

CB RQ

A P

B Q

C R

ABC PQR

L

M

N

J

H

I

fig. 1

A

CBD

F

E fig. 2

2

3. Los triángulos PQR y TNM de la figura 3, son escalenos. Si PQR TNM, entonces¿cuál de las siguientes proposiciones es falsa?

A) PQ TN

B) PR TMC) QR NM

D) QRP NMT

E) PQR TMN

4. En la figura 4, si CAB PRQ, entonces ¿cuál es el valor de x?

A) 4B) 7C) 12D) 15E) Falta información

5. Si ABC PQR, AB = 3x + 2 y PQ = 5x – 8, ¿cuál es el valor de AB ?

A) 5B) 10C) 15D) 17E) 18

6. Los triángulos RST y XWZ de la figura 5, son isósceles congruentes en ese orden, debase RS y XW , respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)verdadera(s)?

I) TSR ZXWII) STR ZXW

III) SRT WZX

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo II y III

7. Los triángulos ABC y DBE de la figura 6, son congruentes en ese orden, entonces lasuma de los trazos del contorno es

A) 21 cmB) 19 cmC) 18 cmD) 17 cmE) 16 cm

R

P Q

fig. 3

M

T

N

PA

B

CRQ

fig. 47

10

15

x + 3

U

TA N

D

G36º

76º

fig.

5

A B

D

E

5 cm

3 cm

fig. 6

C

R

ST

W Z

X

fig. 5

3

POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

EJEMPLOS

1. Las siguientes figuras están formadas por dos triángulos equiláteros. ¿En cuál(es) deellas se puede asegurar que los triángulos son congruentes?

I) II) III)

A) Sólo en IB) Sólo en IIC) Sólo en IIID) Sólo en II y IIIE) En ninguna de ellas

ALA: Dos triángulos son congruentes si tienenrespectivamente iguales un lado y los dos ángulosadyacentes a ese lado.

LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienendos lados y el ángulo comprendido entre ellosrespectivamente iguales.

LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen sustres lados respectivamente iguales.

LLA>: Dos triángulos son congruentes cuandotienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor deesos lados respectivamente iguales.

c

C

BA

c’

C’

B’A’

C

BA c

b a

c’

C’

B’A’

b‘ a’

C

BA c c’

C’

B’A’

b b’ b < c

c’

C’

B’A’

C

BA c

b’b

4

2. ¿Qué pareja(s) de triángulo(s) es (son) congruente(s)?

I) II) III)

A) Sólo IIB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

3. En la figura 1, los triángulos PRQ y RTS se forman con los trazos PT y QS, que seintersectan en R, entonces para demostrar que PQR STR, es necesario saber que

A) PRQ SRT

B) PR = RS y PQ = STC) QR = RT y PR = RSD) QPR TSR

E) PQ = ST

4. El triángulo ABC de la figura 2, es isósceles de base AB , CD AB . Entonces, ¿cuál(es)de los siguientes pares de triángulos es (son) congruentes?

I) ADE BDEII) AEC BECIII) ADC BDC

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) I, II y III

fig. 2

A D B

E

C

15

10º 150º

1520º

150º

5

730º

5

730º

115º

12

30º

150º

12

65º

P

Q

R

S

T

fig. 1

5

C

A B

H

H = ORTOCENTRO (punto deintersección de las alturas)F

E

D

ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO

ALTURA: Es el segmento perpendicular que va desde un vértice al lado opuesto o a suprolongación.

EJEMPLOS

1. En la figura 1, el ABC es equilátero y el DEA es rectángulo isósceles CE es altura,entonces + + =

A) 105ºB) 120ºC) 135ºD) 150ºE) 165º

2. En el MNO de la figura 2, H es el ortocentro. El ángulo MNO mide 40º, entonces elángulo PHQ mide

A) 120ºB) 130ºC) 140ºD) 150ºE) Ninguno de los anteriores

M

N

O

H

P

Q fig. 2

A B

C

E

fig. 1

D

6

BISECTRIZ: Es el trazo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes.

EJEMPLOS

1. En la figura 1, CD es bisectriz del ángulo ACB. ¿Cuál es la medida del ángulo x?

A) 10ºB) 20ºC) 50ºD) 60ºE) 110º

2. Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus bisectrices, entonces se forman dostriángulos

A) isósceles congruentes.B) acutángulos congruentes.C) isósceles acutángulos congruentes.D) escalenos rectángulos congruentes.E) isósceles rectángulos congruentes.

I = INCENTRO (punto deintersección de las bisectrices)

A B

C

I

x

60º

A C

B

70ºfig. 1

D

7

G = CENTRO DE GRAVEDAD(punto de intersección de lastransversales de gravedad)

A D

F

B

C

GE

A D B

F E

C

G

fig. 2

TRANSVERSAL DE GRAVEDAD: Es el trazo que une un vértice con el punto medio del ladoopuesto.

OBSERVACIONES: - Si ABC es rectángulo en C, entonces CD = AD = DB.- G divide a cada transversal en la razón 1 : 2.Es decir: AG = 2GE

CG = 2GDBG = 2FG

EJEMPLOS

1. En el triángulo de la figura 1, CE es transversal de gravedad y CE BE . La medida delángulo x es

A) 40°B) 70°C) 80°D) 90°E) no se puede calcular.

2. En el triángulo equilátero de la figura 2, se trazan las transversales de gravedad.Entonces, es FALSO afirmar que

A) AEC AEB

B) ECG DBG

C) FCG DBG

D) AGD CGE

E) AGD CGB

xB C

A

E70º

fig. 1

8

SIMETRAL: Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado deltriángulo.

EJEMPLOS

1. En la figura 4, RS es simetral de AB y AD // RS. ¿Cuál es la medida del x?

A) 139ºB) 90ºC) 51ºD) 49ºE) 41º

2. En el MNO de la figura 2, C es el circuncentro, AC y BC son simetrales donde elángulo OMN mide 40º y el ángulo MNO mide 80º, entonces el ángulo ACB mide

A) 140ºB) 130ºC) 120ºD) 110ºE) 100º

x

49ºA B

C

49º

fig. 1D

R

S

M

N

O

A B

C

fig. 2

O = CIRCUNCENTRO(punto de intersecciónde las simetrales)

A B

C

O

9

FE // ABFD // BC

DE // AC

A D B

F E

C

MEDIANA: Es el segmento de recta que une los puntos medios de los lados deltriángulo.

EJEMPLOS

1. En el triángulo PQR de la figura 1, PRQ = 80º y DE es mediana. ¿Cuánto mide el

x?

A) 35ºB) 45ºC) 50ºD) 55ºE) 60º

2. En el triángulo ABC de la figura 2, MN , NO y MO son medianas, entonces la suma delas medidas de los ángulos MON y ONM es

A) 140ºB) 135ºC) 130ºD) 125ºE) 120º

fig. 1

P D

E

Q

R

55º x

B

CO

N

A

M75º 50º

fig. 2

ADF DBE FEC EFD

10

ALGUNOS TEOREMAS REFERENTES A UN TRIÁNGULO ISÓSCELES Y/O EQUILÁTERO

En todo triángulo isósceles coinciden los elementos secundarios correspondientes allado distinto.

En todo triángulo equilátero coinciden los elementos secundarios correspondientes acualquier lado. Además, coinciden los puntos singulares.

EJEMPLOS

1. En un triángulo isósceles ABC, de base AB , se traza la altura hc correspondiente alvértice C. Si 2hc = AB , entonces se forman dos triángulos

A) equilátero congruentes.B) escalenos rectángulos congruentes.C) isósceles rectángulos congruentes.D) acutángulos congruentes.E) escalenos no congruentes.

2. En el triángulo equilátero ABC de la figura 1, E es punto medio de AB y BD esbisectriz del ángulo ABC. ¿Cuánto mide el suplemento de (x + y)?

A) 150ºB) 120ºC) 90ºD) 60ºE) 30º

A D B

F E

C

G

30 30

3030 30

30

y

A E B

D

C

x

fig. 1

CD = hc = tc = bc = sc

AC BC

AB BC

A

BD

C

11

O

L

G

J

H

I40º fig. 5

3. En el triángulo PQR de la figura 2, si SRP PQS y PS es transversal de gravedad,entonces la medida del RSP es

A) 60ºB) 90ºC) 100ºD) 110ºE) 120º

4. El ABC es isósceles de base AB (fig. 3). Si se trazan las alturas AD y BE , ¿cuál(es)de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) BEC ADCII) ADB EAB

III) BAE ABD

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo I y III

5. El triángulo DEF de la figura 4, es isósceles de base DF . Si R es punto medio de DF yEFD = 50º, ¿cuánto mide el ángulo REF?

A) 25ºB) 30ºC) 40ºD) 50ºE) 80º

6. El triángulo GOL de la figura 5, es isósceles de base GO , H es el ortocentro yOLG = 40º. ¿Cuánto mide el IHJ?

A) 140ºB) 120ºC) 100ºD) 70ºE) 50º

R

P Q

S

fig. 2

C

E

A B

D

fig. 3

fig. 4

D E

F

R

12

RESPUESTAS

DMTRMA13

EjemplosPágs. 1 2 3 4 5 6 7

1 y 2 B D E C D A C

3 y 4 C D C E

5 C C

6 B D

7 D E

8 B C

9 B C

10 y 11 C E B E C A

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