26761061-8634301-Manual-de-Filtracion

5/14/2018 26761061-8634301-Manual-de-Filtracion - slidepdf.com

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MANUAL DE FILTRACIÓN&

SEPARACIÓN

Fernando Concha Arcil, Ph.D.CENTRO DE TECNOLOGÍA MINERAL, CETTEM

TECNOLOGÍA PRODUCTIVA RED CETTEC, FUNDACIÓN CHILE. UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN

WWW.MetalurgiaUCN.TK



ÍNDICE

PARTE I. FUNDAMENTOS1. INTRODUCCIÓN 1.1 Marco conceptual de los sistemas de separación sólido-líquido. 1.2 Ope

2.

TEORÍA DE MEZCLAS 9 2.1 Cinemática. 9 2.2 Cuerpo, configuración y tipos de mezclas 9. 2.3

3.

4.



ii

Manual de Filtración & Separación esferas 52. Sedimentación de partículas isométricas 57.

70 73 73 76 86

5.

TEORÍA DE SEDIMENTACIÓN DE KYNCH 5.1 Conceptos de una suspensión ideal y de un espesador i

100 102 103 103 105 110 113 114

6.

127

7.

CONSOLIDACIÓN 128 7.1 Proceso dinámico de consolidación. 128 7.2 Teoría de Terzaghi para p

ii



ÍNDICE 8. ESPESAMIENTO 8.1 Introducción. Desde la Edad de la Piedra al siglo IXX 136. La i

iii 136 136

144 151

167 171

195

210

iii



iv 9.

Manual de Filtración & Separación FILTRACIÓN 9.1 Definición, equipos y operación. Filtraci

243 247 262

286

299 301 301 307 310 312 314

10. FLOCULACIÓN 10.1 Introducción. Coagulación 302. Floculación 305. 10.2 Floculantes poli

PARTE II. APLICACIONES11. AGREGACIÓN DE PARTÍCULAS EN PROCESAMIENTO DE MINERALES 11.1 Introducción. 11.2 Agregac

315 316 317

iv



ÍNDICE 11.3 Discusión. 11.4 Referencias. 12. TÉCNICAS DE FLOCULACIÓN Y METODOLOGÍAS PARA L

v 328 329 332 333 334 336 342 345 346 346 347

348 349 350

354 354 356 357 357 358 367 371 373 373 375 376

v



vi

Manual de Filtración & Separación Discos y segmentos 377; Cañerías de colección de filtrad

381

16. LAVADO CON FILTRO DE BANDA HORIZONTAL 16.1 Descripción del equipo y sus aplicaciones.

383 383 385 386

390 390 392 392 394 396

399

407 408 410 412 414

vi



ÍNDICE 18.5 Aplicaciones de la filtración Hi Bar con vapor a presión. Desaguado de concent

vii 415

418 418 419 420 422

PARTE III. PROVEEDORES

BOKELA CENTRO DE TRANSFERENCIA DE TECNOLOGÍA MINERAL (CETTEM) CIBA ESPECIALIDADES QUÍMICAS

vii



PREFACIO

Este libro pretende llenar un vacío existente en la bibliografía de los procesos extractiv



Prefacio

ix

espesamiento industrial en un marco científico y tecnológico adecuado. Marco fundamental s



x

Manual de Filtración & Separación

necesaria para entender los fundamentos y modelar los procesos de sedimentación y filtraci



Prefacio

xi

industrialmente para el espesamiento. Le sigue un riguroso análisis de la teoría de espesa



xii


La empresa alemana Bokela presenta en el capítulo 15 Conceptos Modernos de Filtros Rotator



CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓNMARCO CONCEPTUAL PARA LOS SISTEMAS DE SEPARACIÓN SÓLIDOLÍQUIDO La separación sólido-líquid

1



2


Tabla N°1 Mezcla de fases continuas y dispersas y métodos de separación Fase continua Fase

Filtración Centrifugación

Clasificación Molienda Flotación Líquido Gas Cromatografía Degasificación Sedimentación Ce

Sedimentación Cromatografía de gases

Gas Degasificación de queques de filtración



Capítulo 1. Desarrollo Histórico

3

microscópica, o si el volumen de trabajo es mucho mayor que el volumen en que se realiza l

Fig. 1.1 Secuencia de operaciones de separación sólido-líquido.

Cada una de estas etapas puede ser realizada de diversas maneras. El esquema que sigue mue Quimico I. Pretratamiento Fisico Floculacion Coagulacion Crecimiento

Congelacion Adicion de ayuda de filtrante

Espesamiento II. Concentracion Clarificacion Tamizaje III. Separacion Solido-liquidFig. 1.2 Esquema de los procesos de separación sólido-líquido



4


Mantener un proceso de separación sólido-líquido eficiente requiere considerar el conjuntoSEPARACIÓN SÓLIDO-LÍQUIDO

OPERACIONES MECÁNICAS

OPERACIONES TÉRMICAS SECADO VAPORIZACIÓN

TAMIZAJE SEDIMENTACIÓN FILTRACIÓN

Fig. 1.3 Mecanismos de Separación sólido-líquido

Las operaciones mecánicas de separación sólido-líquido se basan en tres mecanismos, la sed




5

sólidas en un líquido. La eficiencia de la separación depende principalmente de la magnitu

Fig.1.4 Sedimentación de esferas en un líquido

ESPESADOR GRAVITACIONAL CLARIFICADOR SEDIMENTACIÓN CENTRÍFUGA CENTRÍFUGA HIDROCICLÓN

Fig. 1.5 Fuerzas que originan la sedimentación y los equipos asociados.

Cuando el agua retenida en el sedimento es más que la deseada, se debe recurrir a la filtr



6


general la suspensión a filtrar se impulsa hacia un recipiente y se hace pasar a través de

líquido

sólido líquido

sólido

Fig. 1.6a Sedimentación y Filtración en la misma dirección

Fig.1.6b Sedimentación y Filtración en direcciones perpendiculares.

1.4 SELECCIÓN DE TÉCNICAS DE SEPARACIÓN SÓLIDO-LÍQUIDO La mayoría de las suspensiones conc




7

que es conveniente realizar los ensayos experimentales directamente en las plantas y, si sSEDIMENTACIÓN Espesador Clarificador Hidrociclón Centrífuga

Fig. 1.7 Equipos que utilizan la sedimentación como mecanismo

FILTRACIÓN Gravitacional Filtro de arena Vacío Filtro de tambor Filtro de discos Filtro de

Fig. 1.8 Equipos utilizados en la separación sólido-líquido en minería



8 1.6 REFERENCIAS


Concha F., Marco conceptual de los Sistemas de Filtración, I Coloquio Nacional de Avances



CAPÍTULO 2 TEORÍA DE MEZCLAS

Para el estudio de flujo en medios porosos rígidos y deformables y para el estudio de sedi

2.1 CINEMÁTICA2.1.1. Cuerpo, configuración y tipos de mezcla

B B , con 1, 2,..., n . Los elementos de B se denominan partículas y se denotan potridimensional E, denominada configuración del cuerpo. Los elementos de las 9

Denominaremos mezcla a un cuerpo B constituido por n componentes



10


configuraciones son puntos del espacio euclidiano cuya posición está dada por el vector po

r ( p ) ,

con 1,2, 3,..., n

(2.1)

Para conocer las propiedades matemáticas de ver Bowen (1976). La configuración de la m Bt

b g bB gn 1 t

(2.2)

La configuración ( Bt ) tiene un volumen Vm ( t ) denominado volumen material del cuerpo

m ( B)

m bB gn t 1

(2.3)

donde m B es la masa de la mezcla. El concepto continuo de la masa permite definir la dens

bg

r, t lim

bg

m ( Pk ) , k V ( P ) m k

con

1, 2, 3, ..., n

(2.4)

donde Pk 1 Pk son partes de la mezcla que tienen la posición r en común. Esta densidad

m ( Bt )

z

Vm ( t )

(r, t )dV

(2.5)

Si designamos por la densidad que tendría el componente si éste fuese el único compon r, t r , t r , t , con 1, 2,3,..., n



b g en la(2.6)



Capítulo 2 - Teoría de Mezclas Reemplazado esta expresión en la ecuación (2.5) se obtiene:m Bt

11

Vm (t)

dV

Vm (t)

dV

(2.7)

Definamos el elemento de volumen material dV en la forma:dV dV

(2.8)

tal que se cumpla:

m Bt

bg

zz Vm ( t )

dV

V ( t )

dV

(2.9)

Al volumen V lo denominaremos volumen parcial del componente y la función r, t recibe el nombre de fracción volumétrica del componente.

Según la expresión (2.2) el volumen de la mezcla es la suma de los volúmenes parciales de r, t 1 1

n

(2.10)

Se puede distinguir dos tipos de mezclas, homogéneas y heterogéneas. Mezclas homogéneas cu

bg

2.1.2 Deformación y movimiento Para cada cuerpo B podemos elegir una configuración de ref

R ( p )



Supondremos que la expresión (2.3) tiene inversa tal que:1 p ( R )

(2.11)

(2.12)



12


Movimiento de la partícula p B es la secuencia de configuraciones en el tiempo y qued

r ( p , t ) ,

Reemplazando (2.12) se obtiene:

con 1,2, 3,..., n

r f R , t

bg

(2.13)

donde la función f recibe el nombre de función deformación del componente y queda expre1 f

(2.14)

La función deformación tiene una inversa tal que:1 R f r , t

bg

(2.15)

Las componentes cartesianas x i de r y X de R reciben el nombre de coordenadas i espac

r xiei

y

R Xei i

(2.16)

La deformación de cada componente se cuantifica a través del tensor gradiente de la deform

F

f R r , R

con

det F 0

(2.17)

Asociados al tensor gradiente de la deformación podemos definir todas las otras medidas de

J det F

dV dV

(2.18)

donde dV y dV son elementos de volumen material en la configuración actual y en la conf



Capítulo 2 - Teoría de Mezclas

13

v

Dr f R , t , t Dt

b

g

1, 2, 3,..., n

(2.19)

a

D2 r 2 f R , t 2 , Dt t 2

bg

1, 2, 3,..., n

(2.20)

donde la derivada material D / Dt se calcula siguiendo el movimiento del componente . L

L

FG 1 btrD gIIJ H3 K

D

FG H

1 trD I 3

b g IJK

bW g

(2.21)

velocidad de expansión

velocidad de cizalle

velocidad de rotación

donde:

L v

D W 1 v ( v )T 2

(2.22)



c

h h

(2.23) (2.24)

1 v ( v )T 2

c

La velocidad de dilatación queda expresada por:

J det F v 2.1.3 Balance de masa

b

g

(2.25)

Admitamos que los componentes de B intercambian masa entre sí y designemos por g r, t la

bg

componente por todos los otros componentes. Otro nombre para g r, t es velocidad de cre Velocidad de variación de la masa Velocidad neta de generación de del componend dt

bg

Vm (t )

dV

Vm (t)

g dV(2.26)

Llevemos ambas integrales a la configuración de referencia para obtener:



14

d dt

Introduzcamos la derivada dentro de la primera integral y juntemos los términos dentro de

zz z FGH b g IJK z ed i j z ed i j z ed i j

J dV V V


g J dV

V

D J g J dV 0 Dt J J g J dV 0 v g J dV 0 v g dV 0

(2.27)

V

V

(2.28)

Vm ( t )

Cuando todos los campos dentro de la integral son continuos podemos hacer uso del teorema

v g

(2.29)

Desarrollando la derivada material y combinando el término convectivo con el segundo térmi v g t

(2.30)

Las expresiones (2.29) y (2.30) corresponden al balance local de masa y se las conoce como

n 1 t

v gn n 1 1

t

F I v g GH JK n n n 1 1 1



(2.31)

Según los postulados iniciales, la mezcla debe seguir las leyes de los materiales puros, p




15

v 0 tde donde se deduce:

n 1n 1

(2.32)

v

b v g

(2.33)

0

gn 1

(2.34)

Las propiedades así definidas tienen el nombre de densidad de la mezcla y velocidad mási

D J g J 0 DtDividiendo ambos términos por J y designando la velocidad de crecimiento de la masa d

bg

1D J g DtIntegrando en el tiempo se obtiene:

bg

(2.35)

det F exp

FG H

z

t

g ( )d

0

IJ K



(2.36)

donde es la densidad del componente en la configuración de referencia. Como hemos su

det F

(2.37)



16 7.1.4 Balance de masa en una discontinuidad


Para cuerpos que presentan discontinuidades, las ecuaciones (2.29) y (2.37) no son válidas

d dt

z

dV

Vm ( t )

z

dV Vm ( t ) t

bg

z

v ndS

Sm ( t )

z

dS (2.38)

SI ( t )

donde es una propiedad extensiva cualquiera, [.] indica el salto de una propiedad en la

z

dV Vm ( t ) t

z

v ndS

Sm ( t )

z dS

SI ( t )

z

g dV

Vm ( t )

Tomando el límite de esta expresión cuando los volúmenes en torno a la discontinuidad tien

v e I



b

g

(2.39)

Esta ecuación recibe el nombre de condición de salto para la masas del componente o ecua

LM v e OP LM OP b gP M P NM QN Qn n I 1 1

y usando los resultados de (2.32) y (2.33) se tiene:

v e I 2.1.5 Ecuación de difusión convectiva En ocasiones es conveniente escribir las ecuaciones

jc vSi se suma y resta el flujo convectivo a la ecuación (2.30) resulta:

(2.40)




17 (2.41)

v ( v v ) g t

El primer término del miembro derecho representa la diferencia entre la densidad de flujo

jD u

(2.42) (2.43)

u v v

En términos de los flujos convectivo jc y difusivo jD , la ecuación (2.41) puede ser esc

jc jD g t

(2.44)

Esta expresión recibe el nombre de ecuación de difusión convectiva. Sumando (2.41) para to

t

F I F Iv F u I g GH JK GH JK GH JK n n n n 1 1 1 1

Usando resultados previos podemos concluir que:

j u

n n D 1 1

0

(2.45)

2.1.6 Ecuación de continuidad y condición de salto de masa para mezclas de componentes inc v g t v e I

(2.46) (2.47)



18


Como es constante, podemos dividir estas dos expresiones por su valor y obtener la ecua ˆ v g t v eI

(2.48) (2.49)

Sumando para todos los componentes obtenemos: n n n ˆ v g t 1 1 1

n n v e I 1 1

Definiendo la velocidad promedio volumétrica q en el forma:q

1

n

v

(2.50)

y usando resultados anteriores podemos concluir que:n ˆ q g 1

(2.51) (2.52)

q 0 2.2 DINÁMICA

2.2.1 Balance de momentum linealCuando se analizan las fuerzas que actúan en cuerpos multicomponentes debemos agregar a la




d dt

z

v dV

Vm ( t )

z

T ndS

Sm ( t )

z

19

bb

m g v dV

g

(2.53)

Vm ( t )

donde T es el tenso esfuerzo en B y se le conoce como el esfuerzo parcial, b es la fuer

v v v T b m g v t

b

gb

g

(2.54) (2.55)

v T b m

La primera de estas ecuaciones recibe el nombre de forma de conservación del balance de mo

v v e I v e I T e I

b

g

b

gb

g



(2.56)

donde v I eI es la velocidad de desplazamiento de la discontinuidad y e I es el vect

t

F v I F v v I T b b GH JK GH JK

n n n n 1 1 1 1

m g v

g

Introduciendo resultados anteriores y comparando con la ecuación de movimiento de un mater

vv T b t



20 se puede concluir que:


T TI

u u

n 1n 1

(2.57)

TI

T

(2.58)

bn

bn 1

(2.59)

0

bm 1

g v

g

(2.60)

El término TI recibe el nombre de parte interior del tensor esfuerzo de la mezcla. La rest

d dt

zd

(r rq )x v dV

Vm ( t )

i

zd zd

(r rq )xT n dS

Sm ( t )

i



(r rq )x b m g v dV

b

Vm ( t )

gi

z

(2.61)

Vm ( t )

p dV

El primer término es la velocidad de variación de momentum angular del componente B ; el



Capítulo 2 - Teoría de MezclasT T T P

21 (2.62)

donde el tensor antisimétrico P tiene como vector axial a p. Sumando la expresión (2.62)

T T P T

Usando la ecuación (2.58) podemos escribir:

TI TIT

P

(2.63)

La expresión (2.63) representa el balance de momentum angular local para la mezcla. De acu

P 0

(2.64)

Se puede concluir, entonces, que la parte interna del tensor esfuerzo parcial es simétrica

TI TIT

(2.65)

En aquellos casos en que no hay intercambio de momentum angular entre componentes, P 0T T T

(2.66)

El balance de momentum angular en una discontinuidad no da información adicional a la obte

B B(2.67) (2.68) (2.69) (2.70) (2.71) (2.72)

con 1,2,3, ..., n . Sobre B tenemos definidas las siguientes variables de campo:r f ( R , t )

(r , t ) T T (r, t )b b (r, t ) g g ( r , t ) m m (r , t )



22


P P (r , t )

(2.73)

Diremos que estas siete variables constituyen un proceso dinámico si, en las regiones dond

v g t

o con

det F exp

ˆ g0

t ( )d

(2.74)

v T b m y en las discontinuidades cumplen:

TI TIT P

(2.75)

bg v b v e g b v e g bT e g v e I I I I

(2.76) (2.77)

Se denomina proceso dinámico al conjunto de ecuaciones (2.67) a (2.77),que cuantifican un

b

gb

gbgb

gb

g

2.3 REFERENCIAS Atkin, R.J. and Crain, R.E., Continuum theories of mixtures: Basic theory




23

Drew, D.A., Mathematical modeling of two-phase flow, Ann. Review of Fluid Mechanics 15, 26



CAPÍTULO 3 SISTEMAS PARTICULADOS

3.1

PROCESO DINÁMICO EN UN SISTEMA PARTICULADO

Consideremos un conjunto de partículas sólidas íntimamente mezcladas con un fluido bajo la

v g t

(3.1) (3.2) (3.3) (3.4)

q

g 1

2

v T b m

bm2 1

g v 0

g

En estas expresiones las variables de campo (r, t), v(r, t) y T(r, t) representan la f



Capítulo 3. Sistemas Particulados

25

El primer término de la ecuación (3.1) la velocidad de variación de la masa del componente

v e I v v ( v e I ) T e I

en que vs e I es la velocidad de desplazamiento de la discontinuidad.

(3.5) (3.6)

Denominemos 1 s al componente sólido y 2 f al componente fluido. Como, en virt vs 0 t

(3.7)q v s (1 ) v f

0 , q

con(3.8) (3.9) (3.10)

s v s Ts s g m f (1 ) v f Tf f (1 )g m

donde r es el vector posición, (r,t) es la fracción volumétrica de sólidos y vs(r,t), vf(



26 Balance de momentum lineal del sólido: Balance de momentum lineal del fluido: 3.1.1 Com

Manual de Filtración & Separación0 Ts s g m 0 Tf f (1 )g m

(3.11) (3.12)

Para todo tipo de fluido, los esfuerzos pueden ser separados en una parte de equilibrio yTf pf (1 )I TfE

(3.13)

donde pf es la presión parcial, o simplemente la presión, del componente fluido y TfE es ep f TfE f 1 g m e m d

(3.14)

En flujos en sistemas particulados hay dos variables relacionadas con fricción. Una de ellp f f (1 )g m e m d

(3.15)

Despreciar el término viscoso en la ecuación constitutiva de los esfuerzos representados p



Capítulo 3. Sistemas Particuladosp z f g h z Manómetro

27

q h-L

L-z

L

h-z

h

k z

q

Fig. 3.1 Medición de la presión de poros.

Procesos que se desarrollan en sistemas particulados generalmente dependen de la presión epe z p z f g z (L z)

(3.16)

3.1.3 Componente Sólido En general, las propiedades del componente sólido de un medio part



28Ts ps I

Manual de Filtración & Separación con para c ps ps () para c

(3.17)

donde c se denomina concentración crítica. Así, el balance de momentum lineal del componeps f g m e md

(3.18)

3.1.4 Esfuerzo efectivo del sólido Al igual que en el caso del fluido, la presión en el co



Capítulo 3. Sistemas Particulados5 kg 0 kg 0 kg 0 kg 10 kg 15 kg 20 kg

29

Peso total Presión poros Presión sólido Figura

0 0 0 1

20 20 0 2

20 20 0 3

20 15 5 4

20 10 10 5

20 5 15 6

20 0 20 7Fig. 3.1 Representación mecánica de la consolidación.

Figura 4: A medida que el agua sale, el pistón baja en forma paulatina comprimiendo al res

El proceso completo, esquematizado por las figuras 1 a 7, ha transferido los 20 kg. de car

p t p f ps p e

(3.19)



30


donde ps y pf son las presiones de los componentes sólido y fluido de la mezcla, considera

z

S

p f dS

z

Sf

pdSf p sdSS

zbg

(3.20)

donde Sf es el área de una sección del lecho poroso conteniendo solamente fluido, S es el

z

S

p f dS p(1 )dS

S

z

(3.21)

de donde resulta:

p f (1 )py, usando la ecuación (3.19) se obtiene:

(3.22)

p s p e

(3.23)

Substituyendo las presiones de sólido y fluido por sus equivalentes experimentales desde l p e f g m e m d (1 )p f (1 )g m e md

(3.24) (3.25)

3.2

FUERZA DE INTERACCIÓN EN EL EQUILIBRIO

Consideremos el balance de fuerzas del componente fluido (3.25) en el equilibrio. En este(1 )f g p equilibrio f (1 )g m e



b

g

m e p equilibrio

(3.26)



Capítulo 3. Sistemas Particulados

31

Suponiendo que la forma funcional de esta ecuación es siempre válida, podemos escribir:m e r, t p

(3.27)

Reemplazando (3.27) en los balances de fuerza (3.25) y (3.24) se obtiene:p f g e g md 1 md 1

(3.28) (3.29)

En términos de la presión de poros en exceso pe, la expresión para el fluido se reduce a:p e md 1

(3.30)

Combinando (3.29) y (3.30) podemos sustituir (3.29) por:pe e g3.3 DISCONTINUIDADES

(3.31)

Es bien conocido el hecho que suspensiones desarrollan discontinuidades. Por esta razón de

vs e I v s vs ( vs e I ) (pe f g(L z) e )eI

(3.32) (3.33)

3.4

PROCESO DINÁMICO

Resumiendo los resultados anteriores, se puede decir que el flujo a través de un sistema p v s 0 t

(3.34)



32 0 , q conmd 1

Manual de Filtración & Separaciónq v s (1 ) v f

(3.35) (3.36) (3.37)

e g p e md 1

2) En las discontinuidades cumplen las condiciones de salto:

v s e I v s vs ( vs e I ) (pe f g(L z) e )eI

(3.38) (3.39)

3) Se debe establecer ecuaciones constitutivas para e y md para describir el comportamien

m d m d (, v s , q,) e e (, v s , q,)(3.40) (3.41)

3.5

REFERENCIAS

Atkin, R.J. and Crain, R.E., Continuum theories of mixtures, Basic theory and historical d



CAPÍTULO 4 SEDIMENTACIÓN DE SISTEMAS PARTICULADOSSe denomina sedimentación el asentamiento de una partícula, o una suspensión de partículas

4.1

SEDIMENTACIÓN DISCRETA

La física del proceso de sedimentación más elemental, el asentamiento de una partícula sól

33



34


radio de la esfera, a la fuerza de gravedad e inversamente proporcional a la viscosidad deFD 6Ru

(4.1)

Es usual escribir la fuerza hidrodinámica en su forma adimensional, conocida como coeficieCD FD 1 2 f u 2 R 2

(4.2)

donde f es la densidad del fluido. Reemplazando (4.1) en (4.2) se obtiene el coeficienteCD 24 Re

(4.3)

4.1.2 Balance macroscópico sobre una esfera en régimen de Stokes Supongamos que tenemos un



Capítulo 4 Sedimentación de Sistemas Particulados

35

gravedad, que atrae la esfera hacia abajo, (2) la fuerza de empuje del fluido, esto es, la0 Fhilo Fgravedad Fempuje 0 Fhilo0 p Vp g f Vp gFhilo p f Vp g Vp g

(4.4) (4.5) (4.6)

Fhilo Fempuje

Fgravedad

Fig. 4.1 Equilibrio sobre una esfera sumergida en un fluido.

Si en un instante se corta el hilo, se produce un desbalance de las fuerzas y, de acuerdo

Fe= fVpg

Fe= fVpg Fd=-6Ru

Fg=-pVpg

u(t)

Fg=-pVpg

Fig. 4.2a Antes del movimiento.

Fig. 4.2b Inicio de movimiento.



36ma (t 0) Vp g a( t 0) ma(t) g p


Fgravedad Fempuje Farrastre g p 9 2p R 2

p Vp a(t) Vp g 6Ru(t) a(t) u(t)

(4.7)

Debido al aumento de la velocidad u con el tiempo, el segundo término de (4.7) crece mientu 2 R 2 g 1 d 2g 9 18

(4.8)

Esta expresión se conoce como ecuación de Stokes, es válida parra pequeños números de Reynu(10) 1 (2.65 1.00) (10 10000) 2 981 9.0 103 cm / s 18 0.01

Dinámica de la sedimentación La ecuación (4.7) representa la dinámica de la sedimentación u(t) 1 18p d2

u(t)

g0 p

cuya solución es:

u(t)

18 1 d 2 g 1 exp d2 18 p

t

(4.9)




37

El término entre paréntesis dentro del exponencial se denomina número de Stokes y el térmi

Ejemplo 2 Determinar cuanto tiempo necesita una partícula de 10, 50 y 100m para llegar a

1.00000

d=100 m

Velocidad en cm/s

d=50 m 0.10000

d=10 m

0.01000 0.0001 0.001 0.01

Tiempo en segundos

Velocidad de sedimentación versus tiempo. 4.1.3 Fuerza hidrodinámica sobre una esfera en f



38

Manual de Filtración & Separación3 u () sen u y 2 ur 0

(4.10)

pero la presión ya no es lineal y responde a la ecuación de Bernouilli (Batchelor 1967):2 p( ) 1 2 f u p 1 2 f u 2 =constante

u 2 1 p() p f u 2 1 u 2

(4.11)

La presión adimensional, o coeficiente de presión sobre la esfera, definida por: Cp p(9 Cp 1 sen 2 2

(4.12)

La figura 4.3 muestra esta relación en forma gráfica, donde p() y u son la presión y la1.5

1

Coeficiente de presión Cp

0.5

0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.5

-1

-1.5

Angulo en radianes

Fig. 4.3 Coeficiente de presión en función de la distancia sobre la superficie de la esfer

Para un flujo invíscido estacionario la fuerza de arrastre es cero. Esto se debe a que, no



Capítulo 4 Sedimentación de Sistemas Particulados 4.1.4 Fuerza hidrodinámica sobre una esf

39

Cuando el número de Reynolds tiene valores intermedios, las fuerzas convectivas tienen el

s 214 Re 0.1

para 24<Re<10.000

(4.13)

El valor del ángulo de separación es de s=155.7 para Re=24 y s=85.2 para Re=10.000. Para

02 R Re1

(4.14)

McDonald (1954) da un valor de 0 9.06 . Taneda (1956) calculó el tamaño de la región ce



40


La separación de la capa límite previene la recuperación de la presión en la parte posteri

Fig. 4.4 Flujo alrededor de un cilindro a varios números de Reynolds.

Fig.4.5 Tamaño de la zona de vórtices detrás de una esfera a números de Reynolds intermedi




41

1.5

1

Coeficiente de presión Cp

0.5

0 0 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

-1.5

Angulo en radianes

Fig. 4.6 Coeficiente de presión en función de la distancia sobre la superficie de la esfer

La asimetría de la distribución de presión sobre la esfera explica el origen de la fuerza



42


experimentales del coeficiente de arrastre, o fuerza hidrodinámica adimensional, considera1000.00

100.00

Coeficiente de arrastre CD

10.00

1.00

0.10

0.01 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07

Número de Reynolds ReFig. 4.7 Coeficiente de arrastre CD versus número de Reynolds Re, según datos estándares d

4.1.5 Coeficiente de arrastre para una esfera con 0<Re<150.000 La figura 4.7 muestra cómo




43

Fig. 4.8 Modelo físico para una esfera en flujo en capa límite.

9 Cp 1 sen 2 2

Por lo tanto, dentro de la capa límite, y hasta el punto de separación, la distribución de1 9 p( ) f u 2 1 sen 2 2 2

(4.15)

y más allá del punto del punto de separación esta será:1 p( ) f u 2 p* b 2

(4.16)

Sobre el sistema de radio "a" en consideración, esfera más capa límite, la fuerza hidrodin

FD

Sa

p( ) cos dS

(4.17)

El elemento de superficie de la esfera de radio a en coordenadas esféricas es:dS a 2sendd

(4.18)

Donde es la coordenada azimutal. Reemplazando en (4.17) obtenemos:FD

0

2

0p( )sen cos dd



44 Integrando (4.17) en resulta:FD 2a 2


0

p( )sen cos d

(4.19)

Como el valor de p es diferente antes y después del punto de separación, dividamos la intFD 2a 2

s

0

p( )send(sen)

s

p()send(sen)

Sustituyendo los valores de p() de (4.15) y (4.16) para cada caso e integrando resulta:9 1 1 FD a 2f u 2 sen 2 s sen 4 s p* sen 2 s b 16 2 2

(4.20)

Reemplazando a=R+ y definiendo la función f s , p* en la forma: b1 9 1 f s , p* sen 2 s sen 4 s p* sen 2 s b b 2 16 2

(4.21)

podemos escribir(4.20) en la forma: FD f u R 1 f s , p* b R 2 2 2



(4.22)

En términos del coeficiente de arrastre podemos escribir: C D 2f s , p* 1 b R

2

(4.23)

Definiendo el nuevo parámetro C0 en la forma:C0 2f s , p* b

2(4.24)

y reemplazando la razón /R de (4.14), podemos escribir finalmente:CD C0 s , p* b

0 1 1 2 Re

(4.25)

Si calculamos el valor de C0 para s=84° y p* 0.4 , se obtiene f 84, 0.4 0.142 b9.06 C D 0.28 1 1 2 Re 2

(4.26)




45

La expresión (4.26) representa el coeficiente de arrastre para una esfera en régimen de ca

4.1.6 Velocidad de sedimentación de una esfera Hemos visto, que cuando una partícula sedim

Fgravitacional Fempuje Fhidrodinamica 0

por lo tanto: Fhidrodinamica Fgravitacional Fempuje peso neto de las partícula

donde es la diferencia de densidades entre sólido y fluido. La expresión (4.27) implicaFD 4 R 3g 3

(4.28)

y el coeficiente de arrastre será:CD FD 4 dg 2 2 3 f u 2 1 2 f u R

(4.29)donde d=2R es el diámetro de la esfera. Como el número de Reynolds está definido por:Re duf f

(4.30)

mediante la combinación de éste y el coeficiente de arrastre, se puede definir dos números 4 f g 3 C D Re 2 d 3 2 f 2 Re 3 f 3 u CD 4 f g

(4.31)



46

Manual de Filtración & Separación Tabla 4.1 Coeficiente de arrastre en función del númeroRe 0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1 2 3 5 7 10 20 30 50 70 100 200 300 500 700 1000 2000 3000 5000 70

*Lapple and Shepherd 1940.




47

1000,00

100,00 Coeficiente de arrastre CD

10,00

1,00

0,10

0,01 0,01

0,1

1

10

100

1000

10000

Número de Reynolds Re

100000 100000 1E+07 0

Fig. 4.9 Coeficiente de arrastre versus número de Reynolds. La línea continua corresponde

Concha y Almendra (1979a) definieron los parámetros característicos del sistema sólido-flu 3 f2 P 4 f g 13

(4.32)13

4 f g Q 2 3 f

(4.33)

de forma que las ecuaciones (4.31) y se pueden escribir en la forma:d CD Re d *3 P2 3

(4.34)

Re u u *3 CD Q

3

(4.35)

Las expresiones (4.34) y (4.35) definen un tamaño d* y una velocidad u* adimensionales, qu



48Re d * u *

Manual de Filtración & Separación (4.36)

Reemplazando las expresiones (4.25) y (4.36) en (4.34) obtenemos (Concha y Almendra 1979a) 0 2 u *d * d * C0 1 12 u * d *

3 2

u * d * 0 u *d *

12

d *3 2 0 C1 2 0

Resolviendo esta ecuación algebraica de segunda grado obtenemos:12 1 2 4 32 0 u* 1 1 2 2 d * 1 4 d * C 0 0 2

(4.37)2

12 1 4 2 1 1 1 0 u *3 2 d* C0 u * C0 2 4

(4.38)

La primera ecuación se conoce con el nombre de ecuación de Concha y Almendra para una esfeu* 20.52 1 0.0921d *3 2 d*

12

1

2

(4.39)

d* 0.07u *2 1 1 68.49u *3 2

12 2

(4.40)

La figura 4.9 muestra la comparación entre los valores de sedimentación simulados y los ca



Capítulo 4 Sedimentación de Sistemas Particulados1,00E+03

49

1,00E+02 Velocidad adimensional u*

1,00E+01

1,00E+00

1,00E-01

1,00E-02 1,E-01

1,E+00

1,E+01

1,E+021,E+03

1,E+04

1,E+05

Diámetro adimensional d*

Fig. 4.9 Velocidad adimensional versus tamaño adimensional para la sedimentación de esfera

Ejemplo 3 Para realizar cálculos de sedimentación de partículas esféricas es necesario con

2 La definición de P y Q es P 3f 4f g

13

Q 4 f g 32 f

13

. El

resultado se muestra en la tabla de la página siguiente.

Ejemplo 4 Calcular la velocidad de sedimentación de esferas de cuarzo de densidad 2.65 g/cu* 20.52 1 0.0921d *3 2 d*

12



1 ,

2

con

d* d P y u Q u *



50 Tabla de resultados del ejemplo 3.s (g/cm3) f (g/cm3) f (g/cms) 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.


s (g/cm3) f (g/cm3) 3.35 3.40 3.45 3.50 3.55 3.60 3.65 3.70 3.75 3.80 3.85 3.90 3.95 4.0

f (g/cms) 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.

P (cm) 3.1934E-03 3.1711E-03 3.1494E-03 3.1282E-03 3.1076E-03 3.0876E-03 3.0681E-03 3.0490

Q (cm/s) 3.1314E+00 3.1535E+00 3.1752E+00 3.1967E+00 3.2179E+00 3.2388E+00 3.2594E+00 3.27

Tabla de resultados del ejemplo 4d (m) 1 10 50 100 300 500 1000 5000 10000 d* 2.7832E-02 2.7832E-01 1.3916E+00 2.7832E+00




51

Para calcular velocidades de sedimentación a otras temperaturas es necesario disponer de l0.018 0.016 0.014 2.00E-04 2.50E-04

viscosidad agua (g/cm-s)

0.012 0.01 0.008

y = 5E-07x + 0.0002 R = 0.99962

1.50E-04

1.00E-04 0.006 0.004 0.002 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

y = 9E-07x - 0.0002x + 0.0156 R = 0.9983

22

5.00E-05

0.00E+00 100

Temperatura (ºC)

Fig. 4.10 Viscosidades del agua y aire a diversas temperaturas.1.005 1.40E-03

y = -3E-06x + 0.00131.000 0.995

R = 0.9931

2

1.20E-03

densidad agua (g/cm )

3

0.985 0.980 0.975 0.970 0.965 0.960 0.955 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

8.00E-04

6.00E-04

4.00E-04

y = -4E-06x - 6E-05x + 1.0004 R = 0.99932

2

2.00E-04



0.00E+00 100

Temperatura (ºC)

Fig. 4.10 Densidades del agua y aire a diversas temperaturas.

densidad aire (g/cm )

0.990

1.00E-033

viscosidad aire (g/cm-s)



52


Las correlaciones para las viscosidades con la temperatura T en °C son:agua 9.0 107 T 2 2.0 10 4 T 1.56 10 2 ( g / cm s)

(4.41) (4.42)

aire 5.0 107 T 2.0 10 4 (g / cm s)

Las correlaciones para las densidades con la temperatura T en °C son:agua 4.0 10 6 T 2 6.0 10 5 T 1.0004 (g / cm3 )

(4.43) (4.44)

aire 3.0 106 T 1.3 103 (g / cm3 )

Ejemplo 5 Calcular la velocidad de sedimentación de una esfera de cuarzo de 300 m en agua

agua 0.982 g / cm3 , agua 6.84 103 g / cms , P 2.796 10 3 , Q 2.4903d* 300 10.730 10000 2.796 103

u * 2.14 y u 2.14 2.4903 5.34 cm s .

4.1.7 Sedimentación de una suspensión de esferas Cuando una esfera que sedimenta se encuenU* 20.52 1 0.0921D *3 2 D*

12

1

2

(4.45)



Capítulo 4 Sedimentación de Sistemas Particulados donde supondremos que:D* d P y U* u Q

53

(4.46)

Es costumbre considerar las propiedades de una suspensión, tal como la viscosidad, como elP Pf p y Q Qf q

(4.47)

Entonces, reemplazando en (4.46) resulta:D* d* fp y U* u* fq

(4.48)

Con estas definiciones, la ecuación (4.45) se puede escribir en la forma:u* 20.52 f p f q 1 0.0921f p3 2d *3 2 d*

12

1

2

(4.49)

Esta expresión, conocida con el nombre de ecuación de Concha y Almendra para suspensiones0.0921d *3 2 0.0921d *32

1 f p3 2 1

Tomando en cuenta estas consideraciones, las ecuaciones (4.39) y (4.49) se reducen a: 0.0921 2 2 u* 20.52 d * f p fq 2 u* 0.0921 2 20.52 d2 2

En esta expresión hemos usado los símbolos u* y u* para indicar la velocidad de una part



54 Para Re0

Manual de Filtración & Separaciónu* f p2 f q u*

(4.50)

Haciendo una deducción similar para valores altos del número de Reynolds, Re, para (4.390.0921d *3 2 0.0921d *32

1 f p3 2 1

y las ecuaciones (4.39) y (4.49) se reducen a:u* 20.52x0.0921xd *1 2 f p1 2 f q u* 20.52x0.0921xd *1 2

El cuociente entre estas dos expresiones es:

Para Re

u* f p1 2 f q u*

(4.51)

Formas funcionales para fp() y fq() Varios autores han presentado ecuaciones para expresR. y Zaki fp() (1-)-1.51 Concha y Almendra13 (1 )(1 0.75 ) 23 34 1.83 (1 1.2 ) (1 1.45) 23

Massarani

0.087 1 0.751 3 exp 2.37(1 ) 1 1.45 1.83

23

fq()

(1-)0.64

4 13 (1 ) (1 0.75 ) 23 3 1.83 (1 1.2 ) (1 1.45)

13

1 0.75 0.087 exp 2.37(1 ) 13 4

13

1 1.45 1.83

La figura 4.10 muestra la velocidad adimensional U* para suspensiones de esferas de cualqu




55

La figura 4.11 muestra una simulación de la velocidad de sedimentación adimensional u* de

Figura 4.10. Velocidad adimensional U* para suspensiones de esferas de cualquier tamaño y

Veremos mas adelante que para un medio poroso la velocidad de percolación q está dada por:q vs (1 )v r

(4.52)

donde q vs (1 )vf y v r vs vf es la velocidad relativa sólido-fluido. Para un



561.00E+02

Manual de Filtración & Separación=0,3

1.00E+01

Velocidad adimensional u*

1.00E+00

=0,2 =0,4

1.00E-01

=0,1 =0,51.00E-02

=01.00E-03

=0,585

1.00E-04

0.01

0.1

1

10

100

1000

Diámetro adimensional d*

Fig. 4.11 simulación de la velocidad de sedimentación adimensional u* de partículas de tam

Consideremos como un ejemplo que un flujo en un lecho poroso, formado por partículas esfér

Ejemplo 5 Calcular la velocidad de sedimentación de una suspensión de monotamaño de esfera40 0.20 2.65 (100 40) 40

agua 0.9959 , agua 0.01280 , P 4.2385 103 , Q 3.0329

f p (0.2) 1.40066 , f q (02) 0.86692



Capítulo 4 Sedimentación de Sistemas Particuladosd* u*

57

150 3.5390 4.2385 103

20.52 f p f q 1 0.0921f p3 2d *3 2 d*

12

1

2u * 0.423 y u 0.423 3.0329 0.128 cm s

Ejemplo 6 Calcular la velocidad de fluidización de una suspensión monotamaño de partículasq (1 0.20) 1.28 1.024 cm s

El transporte comenzará cuando la concentración tienda a cero. Como d* 3.539 ,u * 0.423 y q u(0) 1.28 cm s

4.1.8 Sedimentación de partículas isométricas Las partículas no-esféricas tienen un comporup 0.843log ue 0.065

(4.53)

donde ue es la velocidad de sedimentación de una esfera que tiene el mismo volumen que la



58ue d 2 g e 18f


en esta expresión de es el diámetro equivalente o diámetro de la esfera equivalente. Paraue 4 d e g 3 f C D

(4.55)

con el coeficiente de arrastre CD dado por:C D 5.31 4.88

(4.56)

Como hemos dicho, por sobre Re=300, las partículas comienzan a rotar y oscilar. Para tomarC D , 1 18CD

(4.57)

donde es el cuociente de densidades entre el sólido y el fluido: p f . Los datos

Fig. 4.12 Datos de Pettyjohn y Christiansen (1948) y de Barker (1951) graficados como coef




59

Coeficiente de arrastre y velocidad de sedimentación Toda la información anterior se puede , C D , C0 , 1 0 1 2 Re u* p

2

(4.58)2

12 2 1 0 , 4 32 1 d * 1 2 4 d * C1 2 , 0

(4.59)

Donde el número de Reynolds queda definido con el diámetro equivalente. Supongamos, además C 0 , C0 f A f C

(4.60) (4.61) 0 , 0 f B f D

donde C0 y 0 son los parámetros para una esfera. Hemos ya demostrado, que para una esferau* e d*2 e 2 C 0 0

(4.62)

Del mismo modo para una partícula isométrica tenemos:u* p d*2 e 2 C 0 , 0 ,

(4.63)

Como el diámetro de es el mismo para la esfera y la partícula, reemplazando (4.60) y (4.61u* u e 2 2 e f A f B fC f D u* u p p

(4.64)

Por otra parte para Re, se puede comprobar que:



60 C D , CD y reemplazando la expresión Re,

Manual de Filtración & Separación C0 , C0 (4.65)

C D , f A fC CD

(4.66)

Para determinar las funciones fA, fB, fC y fD, usaremos las ecuaciones propuestas por Pett2 2 f A f B f C f D 0.843log

0.065

(4.67)

f A f C 1 18De (4.57) y (4.68)se puede concluir que:

5.42 4.75 5.42 4.75 5.42 4.75 0.67

(4.68)

fA

(4.69) (4.70)

f C 1 18Como en régimen de Stokes no hay efecto de la densidad, (4.67) implica que:2 f D f C 1 1 18

y

f D 1 361 2

(4.71)

por lo tanto 5.42 4.75 fB 0.843log 0.67 0.065

(4.72)

Coeficiente de arrastre y velocidad de sedimentación modificados Introduciendo los valores C D , 0 C0 1 f )f fA fC Re B D

2

(4.73)




61

Definiendo el coeficiente de arrastre modificado CDM y el número de Reynolds modificado Re

CDM

fA fC Re 2 2 f B f D

C D ,

(4.74)

ReM

(4.75)

Si se grafica todos los datos experimentales como CDM versus ReM se obtiene la curva unifiFig. 4.13 Datos experimentales de Pettyjohn y Christiansen (948) y Barker (1951) graficado

Un resultado similar se obtiene para la velocidad de sedimentación. Definiendo el diámetro

d* eM

d* , e

1 2 12 f A 2 f B f C 2f D

23

(4.76)



62


u* eM

u* , p f B f D

(4.77)

La curva unificada de u* versus d* para los datos de Pettyjohn y Christiansen pM eM (1948)

Fig. 4.14 Curva unificada de u* versus d* para los datos de pM eM Pettyjohn y Christiansen

Los datos experimentales que se utilizaron para desarrollar las expresiones anteriores con3

<de< <s< << <s< <Re<

1.6 cm 11.2 g/cm3 1 1.43 g/cm3 900 g/cm-s 2x104 =1.000 =0.9069x10-3 g/cm-s <<

Con los siguientes valores para la esfericidad (Happel and Brenner 1965): Esfera Octaedro



Capítulo 4 Sedimentación de Sistemas Particulados Octaedro Cubo Tetraedro Ejemplo 7 =0.84

63

Calcular la velocidad de sedimentación de un cubo de cuarzo de 1mm de lado, densidad 2.65d e 6V 13

6a 3 a2 6

13

6 a13

La esfericidad es:fA

6

23

13

6a 2

0.806

5.42 4.75 5.42 4.75 0.806 2.3754 5.42 4.75 5.42 4.751 2

5.42 4.75 0.843log fB 0.065 5.42 4.75 0.67581

0.806 5.42 4.75 0.806 0.843log 5.42 4.75 0.065

1 2

f 4.0 106 252 6.0 105 25 1.0004 0.9964 (g / cm3 ) 2.65 f C 1 18 0.9964 2.65 f D 1 36 0.9964 1 18

0.9473 1.0274

1 36

0 , 9.08 f B ( )f D ( ) 9.08 0.6758 1.0275 6.305

C0 , 0.28 f A ( )f C ( ) 0.28 2.3753 0.9471 0.6299

agua 9.0 107 252 2.0 104 25 1.56 102 0.0112 ( g / cm s)

2 3 f P 4 f g 13

3 0.01122 4(2.65 0.9964) 0.9964 980.1



13

0.003877



64 4 f g Q 2 3 f d* 13

Manual de Filtración & Separación 4 (2.65 0.9964) 0.0112 980.1 3 0.99642

13

2.900

de 0.1 25.79 P 0.0038772

12 2 1 0 , 4 * 32 up d * 1 1 1 2 2 4 d * C 0 ,

6.0557 25.796

2

12 4 25.7962 3 1 1 9.07 (1/ 2) 2 0.6299 6.3050

2

u p Q u* 2.9 9.07 26.3 cm / s

4.1.9 Sedimentación de una suspensión de partículas arbitrarias En un estudio realizado po

CD

4 d e g 2 3 f u p

Concha y Christiansen (1986) extendieron la validez del coeficiente de arrastre y de la ve , , C D , , C 0 , , 1 0 1 2 Re 2

(4.78)2

12 2 1 0 , , 4 * 32 u p , , d * 1 1 1 2 2

(4.79)



Capítulo 4 Sedimentación de Sistemas Particulados Tabla 4.3 Velocidades de fluidización dede cm Caliza 0.0148 0.0216 0.0306 0.0443 0.0615 0.0956 0.1239 0.1859 0.2374 0.3292 0.5060

65



6610000,00 =0.4 1000,00 =0.3 =0.2 100,00 =0.1 =0.0 10,00


Caliza Cuarzo Arena

Coeficiente de arrastre CD

1,00

0,10 0,1 1 10 100 1000 10000

Número de Reynolds Re

Fig. 4.16 Coeficiente de arrastre para suspensiones de partículas irregulares de para part

donde es la esfericidad, el cuociente de densidades del sólido y el fluido y la conc C 0 , , C 0 f A f C f E 0 , , 0 f B

(4.80) (4.81)

y que los valores de fA a fD son los definidos por las expresiones (4.69), (4.72), (4.70)fA 5.42 4.75 0.671 2

5.42 4.75 fB 0.843log 0.67 0.065

f C 1 18 f D 1 36

Basados en los datos de la tabla 4.3 encontraron las siguientes expresiones para las funci



Capítulo 4 Sedimentación de Sistemas Particulados f E 1 2.2315 1 0.89957

67 (4.82)

1 f F 1 1.6556 1

1.4191

(4.83)

Obviamente que los parámetros numéricos de las dos expresiones anteriores son solamente vá

Factor de forma hidrodinámico Uno de los problemas encontrados para usar estas ecuaciones2 A0 A1d e A 2d e

(4.84)

con los valores de A0, A1 y A2 indicados en la tabla 4.4. Según los cálculos anteriores, lParámetro A0 A1 A2 Error relativo % Caliza 0.81540 -0.27614 -0.03624 1.5 Cuarzo 0.87806 -1

Coeficiente de arrastre y velocidad de sedimentación modificados Se puede obtener una corr



68C DM f A fC f E C D ,


Re Re M 2 2 2 fB fD fF d* eM

(4.86)

f

A

fC f E

d * , e13

f2 B

2 2 fD fE

23

(4.87)

u* pM

f

2 B

2 2 fD fF

u * , p13

f

A

fC f E

1 3

(4.88)

Las figuras 4.17 and 4.18 muestran las correlaciones unificadas para los datos de la tabla1,0E+03

Coeficiente de Arrastre Modificado CDM

1,0E+02

1,0E+01

1,0E+00



1,0E-01 1,0E-01

1,0E+00

1,0E+01

1,0E+02

1,0E+03

1,0E+04

Número de Reynolds Modificado ReM

Fig. 4.17 Coeficiente de arrastre unificado versus número de Reynolds modificado para part

Ejemplo 8 Calcular la velocidad de fluidización de una suspensión de 35% de sólidos en pes



Capítulo 4 Sedimentación de Sistemas Particulados100

69

Velocidad adimensional u*

10

1

0.1 1 10 100 1000

Tamaño adimensional d*

Fig. 4.18 Velocidad de sedimentación unificada versus tamaño modificado para partículas de

f 0.9964 g cm3 , s 2.65 g cm3 , f 0.0112 g cms , P 0.003877 , Q 2.900 f A ()

0.9964 35 0.1684 2.65 (100 35) 0.9964 35 0.1684 f E 1 2.2315 1 0.1684 0.89957

1.53051.4191

0.1684 f F 1 1.6556 0.1684 1 0.1684

1.0207

0 , . 9.08 f B ( )f D ( )f F 9.08 0.6758 1.0275 1.0207 6.4

C0 , 0.28 f A ( )f C ( )f E 0.28 2.3753 0.9471 1.5305 0.964d* d 250 104 6.448 P 3.877 103



70

Manual de Filtración & Separación2

12 2 1 0 , , 4 * 32 u p , , d * 1 = 1 1 2 2 2 1 6.4357

4

6.448

1

4 6.4357

32

0.96411 2 6.4357 2

12

1 2.44

2

v r u Q u * 2.9 2.44 7.076 cm s pLa velocidad de fluidización q está dada por:q (1 )v r (1 0.1684) 7.076 5.884 cm s

La dirección del flujo es contraria al de sedimentación de las partículas.

4.2

REFERENCIAS

Abraham, F.F., 1979. Functional dependence of the drag coefficient of a sphere on Reynolds




71

Concha F. and Barrientos, A., Mecánica Racional Moderna, Vol II, Termomecánica del Medio C



72


Stokes, G.G., On the theories of internal friction of fluids in motion and of the equilibr



CAPÍTULO 5 TEORÍA DE SEDIMENTACIÓN DE KYNCH ______________________________________________Tal como se mencionó en el capítulo anterior, para analizar un proceso de sedimentación y

Consideremos la sedimentación de una mezcla de partículas sólidas y un fluido, contenidos

La suposición 1, junto a la 3, permiten establecer una velocidad única para el componente

73



74


ser considerada como una superposición de medios continuos con dos componentes incompresib

Fig. 5.1 Distribución de concentración en un espesador industrial de 100 m de diámetro tra

Ecuaciones de campo La sedimentación de una suspensión ideal en un espesador ideal puede s



Capítulo 5 Teoría de Sedimentación

75

volumétrica de sólidos, y las velocidades de los componentes sólidos v s ( z, t ) y fluido

v f ( z, t ) . Estas variables de campo deben obedecer los balances locales de masa, según

las ecuaciones (2.48): vs 0 t z 1 (1 )vf 0 t z

(5.1) (5.2)

Las expresiones (5.1) y (5.2) reciben el nombre de ecuaciones de continuidad del component

vs (1 )vf (1 )

(5.3)

Estas expresiones se denominan ecuaciones de salto o condiciones de salto. Sumando las dosq 0 z

(5.4)

y de (4.7) resulta:

q 0donde q(z,t) es la velocidad promedio volumétrica de la suspensión, definida por:q vs (1 )vf 0

(5.5)

(5.6)

En términos de la velocidad relativa sólido-fluido u v s v f , la velocidad volumétricq vs (1 )u

(5.7)

La ecuación (5.4)implica que la velocidad volumétrica es una función del tiempo solamente



76


Multiplicando la expresión (5.7) por y, definiendo las densidades de flujo f , t f , t q f b

(5.8)

esto es, la densidad de flujo de sólidos total consiste en la suma de una parte lineal q,

bg

f , t f b

b g bg

(5.9)

A esta densidad de flujo la denominaremos densidad de flujo batch. Usando la definición de f ( , t ) 0 t z f

(5.10) (5.11)

Esta expresión recuerda que, generalmente, las soluciones de un proceso de sedimentación nf ' , f '

(5.12)

Cuando la velocidad de desplazamiento de la discontinuidad cumple (5.12) estrictamente se

5.2

PROCESO DE KYNCH PARA LA SEDIMENTACIÓN BATCH

Cuando una suspensión ideal sedimenta bajo el efecto de la gravedad en una columna de sedi



Capítulo 5 Teoría de Sedimentación b)

77

Cuando la sedimentación comienza, todas las partículas caen a la misma velocidad, de maner

c)

d)

e)

f)

La figura 5.2 muestra un gráfico de las interfaces agua-suspensión y suspensiónsedimento e

Fig. 5.2 Curva de sedimentación mostrando las interfaces. (a) agua-suspensión; (b) suspens



78


Con base a esta descripción deduciremos un modelo para la sedimentación batch de una suspe

Bajo estas suposiciones son válidas la ecuación de continuidad y condición de salto siguie

fb ( ) 0 t z

para 0<z<L, t>0

(5.13) (5.14)

f b ()

La expresión (5.13) es una ecuación hiperbólica cuasi-lineal. Para esta ecuación, las supo

bg b0, t g b L, t g

z,0 0 para 0 z L

(5.15) (5.16) (5.17)

para t 0 para t 0

L

Las concentraciones L , 0 y son constantes y satisfacen L 0 0 1 .' ' fb ( ) 0 para entre 0 y , fb ( 0) f b ( ) 0 , fb ( 0) 0 y fb (



Capítulo 5 Teoría de Sedimentaciónf b z df b d z' fb

79 , la ecuación (5.13) se puede escribir en la z

Como forma:

' f b 0 t z

(5.19)

De las expresiones anteriores podemos concluir que la sedimentación de una suspensión idea

5.2.1 Solución por la teoría de características Escrita en esta forma, la ecuación de la sdt dz d ' 1 f b 0

(5.20)

donde z y t son las coordenadas de . Entonces la ecuación (5.19) puede ser reemplazada pod 0, y dz ' fb dt

(5.21)

que indican que la concentración es constante a lo largo de las características de ' pen' de concentración constante . Para constante, f b también es constante y, en est

Las condiciones de contorno se transforman ahora en condiciones iniciales en la forma:0 z, 0 0 para Lz para 0 z L para z0

(5.22)



80


Como las condiciones para z 0 , 0 z L y z L son constantes, y las características' ' ' debe notar que f b 0 , f b 0 y f b son las tangentes en =0, 0 y

densidad de flujo f b versus , 0, 0 y 0, * son las cuerdas trazadas desde 0, 0 f b 0 f b 0 0 0 f b 0 0 v s 0

(5.23)

' Las características de pendiente f b llenan la base del plano z-t y cortan a las

0 , * 0

f b * f b 0 0 * 0 0

(5.24)

donde f b * , * son las coordenadas del punto de tangencia a la curva de flujo, de 0 0 l' Entre la característica de pendiente f b que sale del origen y la discontinuidad

Finalmente, las características de concentración 0 y * se cortan 0 formando




81

Fig. 5.2 Determinación gráfica de los parámetros de sedimentación de la curva de densidad

Finalmente la altura final del sedimento se obtiene del siguiente balance macroscópico: SL

z

0 L

(5.25)

La figura 5.3 muestra la forma de calcular los parámetros en la curva de densidad de flujo

Fig. 5.3 Solución por el método de características de un problema de sedimentación.



82


5.2.2 Modos de Sedimentación En su trabajo, Kynch (1952) habló de modos de sedimentación,

En todos los casos, e independiente del tipo de MS, el estado final es un sedimento de con

' ' solución para MS-1. Como 0 ** y f b 0 0 , f b , se forma

z 2 t 0 , t ,

0 t tc

(5.26)

El tiempo crítico se puede obtener de:tc L 0 , 0, 0

(5.27)




83

b) El Proceso de Sedimentación Batch de Kynch es un MS-2 El PSK es un MS-2 si ** 0 ' z 2 t f b * t , para 0 t t1 0

(5.28)

* 0

, porque 0 ** 0

' ' donde f b * 0 , * f b 0 . Para valores mayores a * , de * , h

un aumento continuo de concentración desde * a . (ver figura 5.4). El tiempo t1 0 ,cort1 ' fb

0, * 00

L

(5.29)

y el tiempo crítico tc:tc 0 L ' f b

(5.30)

Fig. 5.4 Solución global para un MS-2,

** 0 a .

c) El Proceso de Sedimentación Batch de Kynch es un MS-3 El PSK es un MS-2 si 0 a en u



84t1 L


' fb

0, 0 0

(5.31)

y el tiempo crítico tc:tc 0 L ' f b

(5.32)

Fig. 5.5 Solución global para un el caso de un MS-3, con

0 a .Fig. 5.6 Parámetros de la curva de flujo con dos puntos de inflexión para el caso de un MS




85

d) El Proceso de Sedimentación Batch de Kynch es un MS-4 El PSK es un MS-4 si ** 0 ' ' inflexión. (ver figura 5.6). Como * * y 0 , * f b * f b 0 , se

forman dos discontinuidades de contacto con las ecuaciones:z 2 t f b' * t para 0 t t1 0' z3 t f b * c

t para 0 t t

(5.33) (5.34)Desde la concentración 0 habrá un brusco aumento de concentración a * , luego un 0 paulat1 ' fb

0, * 00

L

(5.35)

tc

0 L

' f b *

(5.36)

Fig. 5.7 Curva de flujo con dos puntos de inflexión para el caso de un MS-4,

** 0 a . e) El Proceso de Sedimentación Batch de Kynch es un MS-5 El PSK es un MS-5 si a 0 *



86


desde 0 a * y luego un salto de concentración a . La discontinuidad de contacto tie' z3 t f b * t , para 0 t t c

' fb

(5.37)

con el tiempo t1<tc están dados por:t1

0, 0 0

L

(5.38)

tc

0 L

' f b *

(5.39)

Fig. 5.8 Curva de flujo con dos puntos de inflexión para el caso de un MS-5,

a 0 * . 5.3 PROCESO DE KYNCH PARA LA SEDIMENTACIÓN CONTINUA La sedimentación continua se lleva a c



Capítulo 5 Teoría de Sedimentación Zona I

87

La zona I corresponde al de agua clara que se recupera y se ubica en la parte superior del

Fig. 5.9 Esquema de un espesador industrial continuo.

En una operación normal, la pulpa que entra a un espesador se diluye, por lo que la zona I



88 Zona IV


Finalmente la zona IV corresponde al “sedimento”. Cuando las partículas que forman la susp

5.3.1 Espesador ideal continuo: modelación de la alimentación y descarga Tomar en consider

QR

Zona I

QF, FZona II

Zona III Zona IV

QD,DFig. 5.10 Espesador Ideal Continuo (RIC).

(1)Alimentación

La alimentación al espesador se diluye rápidamente y se esparce a toda el área del equipo.




89

caudal o flujo volumétrico, F t la concentración y f F t la densidad de flujo defF t Q F t F t S

espesador y que se diluye instantáneamente. Para el modelo diremos que el EIC es alimentad

(5.40)

Como ya hemos dicho, el flujo de alimentación que entra al espesador se mezcla y diluye cof k L, t f F t Q F t F t S

(5.41)

La densidad de flujo de sólidos en la alimentación puede ser controlada externamente a tra

el caudal o flujo volumétrico, D t la concentración y f D t la densidad de flujo

fD t Q D t D t S(5.42)

El sedimento sale por la descarga en z=0 sin mezclarse con otra fuente, por lo que allí taf k 0, t f D t Q D t D t S

(5.43) (5.44)

0, t D t

Si la concentración de la descarga es menor que la de alimentación, se dice que el EIC se



90 (3) Rebalse


En una operación normal, el rebalse no contiene partículas sólidas. Esto significa que elQ R Q F QD Q F D F F QD D D F

(5.45)

La velocidad volumétrica del agua en la zona I será:

qR t

QR t S

(5.46)

5.3.2

Proceso de Sedimentación Continua de KynchCon base a esta descripción, deduciremos un modelo para la sedimentación continua de una s

Diremos que la sedimentación continua de una suspensión ideal en un EIC queda descrita por



Capítulo 5 Teoría de Sedimentación ´ f k 0 t z

91para 0 z L , t>00

(5.47) (5.48)

dq z, t dz

y en las discontinuidades satisfacen las condiciones de salto:

f k ( )

(5.49) (5.50)

q 0

y, además, satisfacen las condiciones iniciales: z, 0 I z

(5.51)

Para una gran mayoría de casos experimentales, la curva de densidad de flujo f k esf k , t q t f b 0 , 0 f k 0, t 0' f k , t 0 , 0 a ' f k , t 0 '' f k , t 0 , a

(5.52)

(5.53) (5.54) (5.55)

La figura 5.11 muestra la función densidad de flujo de sólidos con un punto de inflexión.

5.3.4 Solución por el método de características La solución a la ecuación (5.47) es co' con pendiente dz dt f k , t dada por: ' ' f k , t q t f b

(5.56)

De la ecuación (5.48) se sabe que q(t) es independiente de la coordenada z. Para simplific



92


Fig. 5.11 Función densidad de flujo de sólidos con un punto de inflexión y tres valores de

I z L

para c z para c z

(5.57)

El valor de L se puede calcular de las ecuaciones (5.41) y (5.52):f F qL f b L t

(5.58)

5.3.5

Modos de sedimentación continuaEn forma similar al caso batch, se denomina Modo de Sedimentación Continuo (MSC) a los dif




93

Fig. 5.12 Parámetros de la curva de densidad de flujo con un punto de inflexión.

El Procesos de Sedimentación Continuos de Kynch es un MSC-1 Tenemos aquí cuatro casos:

' 1) Si f k 0 y L s , se forma una sola onda de choque de ecuación: ' ' z1 t

(5.59)

la solución para el PSCK será un MSC-1 y el espesador se vacía. (Ver figura 5.12 para defi

Fig. 5.13 Solución global para un MSC-1 con

f b' 0 y L s .



94


2) Si f k' 0 y L s , se forma una sola onda de choque de ecuación:' ' z1 t c , con f k L L , f k

(5.60)

la solución para el PSCK será un MSC-1 y el espesador llega a un estado estacionario con u' 3) Si f k 0 y L s ** , se forma una sola onda de choque de ecuación igual

(5.59) pero con L , 0 , la solución para el PSCK será un MSC-1 y el espesador


f b' 0 y L s .


f k' 0 y L s .




95

(5.59) y con L , 0 . La solución para el PSCK será un MSC-1 y el espesador set1 t c L ,

' 4) Si f k 0 y L ** , se forma una sola onda de choque de ecuación igual a

(5.61)


f k' 0 y L ** .

El Procesos de Sedimentación Continuos de es un MSC-2 Tenemos aquí también cuatro casos:' 1) Si f k 0 y ** L a , se forma una discontinuidad de contacto de ecuació

' ' ' z1 t c f k * t , con f k L L , * f k * 0 L L L

(5.62)

Hay un cambio brusco de L a * y luego un aumento continuo de concentración L hasta .t1 Lc

' f k * L

(5.63)



96



f k' 0 y ** L a .

M * L

2)' fk

' Si f k 0 y ** L ** , se forma una discontinuidad de contacto de M

ecuación

L

igual

L , * L . Hay un cambio brusco de ' fk

a

la

de

(5.62),

ya

que

tenemosL

que

y

* L

a * y luego un aumento L

continuo de concentración hasta . La concentración de descarga es de hasta t2 y luegt1

c L , * L

y

t2



' fk

c

(5.64)

' ' 3) Si f k 0 y L ** , se tiene que * M y L , * f k M 0 ,

que el PSCK es un MCS-2, formándose una discontinuidad de contacto horizontal de ecuación:z1 t c y z2 t ' fk

c

(5.65)

El espesador llega al estado estacionario con dos concentraciones, L y M, (ver figura 5.' f k 0

4) Si

' 0 L , * f k * , (ver figura 5.19). Se forma una discontinuidad de contacto de L

y ** L a * , se tiene que M L

** L a * M L

y

ecuación igual a la de (5.62). La concentración sufre un cambio brusco de L a * y L




97


' f k 0 y a) ** L ** , b) D M ,c) L ** . M M

Fig. 5.19 Solución global para un MSC-2 con ** L a * . M L



98


' luego aumenta continuamente hasta . Como f k * 0 , el EIC se rebalsa en el L

tiempo t=t1 de ecuación:t1 L , * L

Lc

(5.66)

El Procesos de Sedimentación Continuos de es un MSC-3 Nuevamente tenemos cuatro casos:' ' ' 1) Si f k 0 y a L , se tiene f k a f k L f k'

que la concentración cambia continuamente desde L a constituyendo un MSC-3.Para el tieLc' fk L

t1

(5.67)

' Fig. 5.20 Solución global para un MSC-3 con f k 0 y a L .

' ' ' 2) Si f k 0 y a L M , se tiene que f k f k M f k'




99

' Fig. 5.20 Solución global para un MSC-3 con c) f k 0 y L M . ' ' ' ' 3) Si f

por lo que se forma un gradiente continuo de concentración entre L a . La descarga tie

' Fig. 5.20 Solución global para un MSC-3 con d) f k () 0 y L M . ' ' ' 4) Si f k'

por lo que se forma un gradiente continuo de concentración entre L a . La' solución es un MCS-3 y como f k 0 , el espesador se vacía en t=t1:



100t1 c L

Manual de Filtración & Separaciónt2 c

' fk

' fk

(5.68)

Fig. 5.21 Solución global para un MSC-3 con' f k 0 y a L M .

5.4

ESTADO ESTACIONARIO Y CAPACIDAD DE UN ESPESADOR IDEAL En el estado estacionario la ecuaciódf k dz 0 , para 0 z L

(5.69)

de donde se deduce que la densidad de flujo de sólidos es constante en todo el EIC en el e' segunda con un MSC-2 para f k 0 con L ** y D M , ver figura 5.14. En M

f k q f bk y f k D qD

Reemplazando la segunda ecuación en la primera y aplicándola a la concentración L, tenemof k L f k D D L f bk L



Capítulo 5 Teoría de Sedimentaciónf k L L f k D D f bk L L

101

Como en el estado estacionario la densidad de flujo es una constante, f k L f k

y f bk L L 0, L I L vs L , donde I L es la pendientef F I L 1 1 1 L D

(5.70)

Como por definición la densidad de flujo de sólidos f F F sS y el área unitariaUA S F , finalmente podemos escribir para la capacidad F S y el área unitaria UA como:

1 F 1 1 1 s I L y AU s I L L D S 1 1 L D

(5.71)

Tal como hemos mencionado, hay dos casos de estados estacionarios dependiendo de ' si f k' Si f k 0 , L s y D , por lo que la expresión (5.71) se transforma en:

1 F 1 1 1 s I s y AU s I s s S 1 1 s

(5.72)

' Si f k 0 , L ** y D M , por lo que la expresión (5.71) se transforma en

1 F 1 1 1 s I ** y AU M ** ** S 1 1 s I M M M ** M

(5.73)

En el capítulo 8 tendremos la oportunidad de utilizar esta ecuación y comentar su aplicabi



102


concentración de la descarga de un espesador ideal era M , el valor del máximo loca

5.5 REFERENCIAS Bustos, M.C. and Concha, F., 1988a, On the construction of global weak sol



CAPÍTULO 6 FLUJO EN LECHO POROSOEn 1856 Darcy propuso la primera correlación experimental para el flujo de un fluido visco



104


ecuaciones derivadas en la sección anterior. Como en este caso el fluido es el único compo v f 0 t 0 , con q

md

6.1.1

(6.1)q v f y vs 0

(6.2) (6.3)

Balance de momentum lineal del fluido: p e

donde r es el vector posición, (r, t) 1 (r , t) es la porosidad del lecho, v f (r

m d m d , v r

6.1.2

(6.4)

La función más general para md es de la forma:

m d , v r v rdonde el coeficiente de resistencia , v r la forma: , v r 0 1 v r 2 v r ......2

(6.5)

puede ser expandido en serie de Taylor en(6.6)

Ley de Darcy Si la velocidad relativa sólido-fluido es pequeña, es posible conservar solam

6.1.3



Capítulo 6. Flujo en Lecho Porosom d 0 v r

105 (6.7)

La expresión (6.7) recibe el nombre de Ley de Darcy y corresponde a una relación lineal enp e vr

(6.8)

Ley de Forcheimer Si la velocidad relativa sólido-fluido adquiere valores mayores, es nece

6.1.4

m d 0 1 v r v r

(6.9)

Esta es la Ley de Forcheimer. Sustituyendo en el balance de momentum lineal del fluido obt

1 p e 0 vr vr

(6.10)

Esta ecuación representa el balance de fuerzas en el flujo a través de un lecho poroso a vp e pe z k :

pe=po pe=pL

q 0 k

q

z

z=L

Fig. 6.1 Medición de parámetros de resistencia en un lecho poroso rígido homogéneo horizon



106


Como es constante, de la ecuación (6.1), se deduce que la velocidad del fluido es constap e ( ) ( ) 0 2 1 3 q q z

(6.11)

Integrando esta ecuación con las siguientes condiciones de frontera: pe z 0 p 0 ype z L p L , donde p e p 0 p L , obtenemos: dp 0 2

pL

p0

L

dz

0

p L p0 pe 0 2 1 3 q qL

(6.12)

Dividiendo ambos miembros de (6.12) por qL, resulta:1 p e 0 1 3q qL 2

(6.13)

Graficando la ecuación (6.13) con q como abscisa y p e qL como ordenada se obtiene una lí37.4E+05

bg

bg

7.3E+05

7.2E+05 pe/qL en g/s-cm3

7.1E+05

7.0E+05

6.9E+05

6.8E+05

6.7E+05 0 10 20 30 40 50 60 Velocidad de percolación q en cm/s

Fig. 6.2 Mediciones de los parámetros geométricos de un lecho poroso rígido formado por pa



Capítulo 6. Flujo en Lecho Poroso

107

Se acostumbra a escribir ambos parámetros en términos del coeficiente de permeabilidad k(

0 2 k

bg

bg

y

1 c f 3 k

bg

bg bg

(6.14)

donde k es la permeabilidad, medida en Darcy (1 Darcy=10-3 cm2). Con estas definiciones, l

bg

k . Tanto k como c

son funciones de . El orden de magnitud de k() y c() pueden observarse en la tabla 6.1.Tabla N° 6.1 Orden de magnitud de k() y c (Massarani 1984) Medio Arenisca de petróleo Pla-12

c() [-] 3x105 15

1.0x10-7 5.0x10-9

1.5x10-6 4.0x10-4

1.7 0.49

Con las definiciones (6.14), la ecuación (6.11) se puede escribir en la forma más conocida pe c() q q f k() z k()

(6.15)

Integrando esta expresión se obtiene: c 1 pe q f qL k k

(6.16)

Para describir la funcionalidad de la permeabilidad k y del parámetro c con la porosidad s



108


transversal de 16.8 cm2 con una porosidad de =0.37, calcular los parámetros de permeabili

q(cm/s) p (cm Hg)

6.33 4.69

7.47 6.24

10.2 10.4

12.7 15.2

15.2 21.2

17.7 28.0

20.3 35.9

23.9 48.9

La presión en cm de mercurio debe transformarse a unidades cgs usando la expresión:p Hg gh 13.595 980.7 h g cms 2

donde h está en cm de Hg. Con los datos de la tabla siguiente se puede obtener el gráfico:q (cm/s) 6.33 7.47 10.18 12.66 15.20 17.73 20.26 23.93 P (cmHg) 4.69 6.24 10.37 15.15 21.

16000

p/qL g/scm

3

11000

6000y = 470.57x + 1697.8 R = 0.99962

1000 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00

Velocidad de percolación q cm/sDel gráfico podemos escribir:



Capítulo 6. Flujo en Lecho Porosop 470.57q 1697.8 qL

109

de donde podemos obtener los parámetros:k 0.0118 6.95 10 6 cm 2 p qL q 0 1697.8

c k

p q L 1.242

Ecuaciones de Forcheimer y de Darcy Si substituimos los valores de 0 y 1 desde (6.14) enmd f k()c( ) q 1 k() q

6.1.1

(6.17)

p e

f c( ) k() q 1 q k()

(6.18)

Esta última expresión se denomina ecuación de Forcheimer. El segundo término de los paréntRe* f c() k q

(6.19)

podemos escribir ambas ecuaciones en la forma:md 1 Re* q k() 1 Re* q k()

(6.20)

p e

(6.21)

El número de Reynolds de percolación mide la desviación de la fuerza resistiva de la ley dmd q k()

(6.22)

y (6.21) se reduce a la ecuación de Darcy:



110p e q k()


Ejemplo 2 Para los datos del problema 1, definir si el régimen es de Darcy o Forcheimer. PRe* f c( ) k q f c( ) k q 1.23 6.84 106 6.33 1.73 0.0118

Re*

Como en ambos casos el número de Reynolds es mayor a 1, el régimen es de Forcheimer. Ecuach 1 Re* q f gk()

6.1.2

Definiendo la conductividad hidráulica K(), medida en cm/s, mediante la expresión:

K( )

f gk( )

(6.24)

Las ecuaciones de Forcheimer y de Darcy se transforman en:h 1 1 Re* q K()

(6.25)

h

1 q K()

(6.26)

6.3 MODELO CAPILAR DE UN LECHO POROSO RÍGIDO El modelo capilar de un medio poroso rígido,




111

conjunto de tubos capilares de sección transversal arbitraria. Se supone que el fluido sigp e v R2 h

La velocidad promedio en los tubos v corresponde a la velocidad intersticial vf, por lo qup e q R 2 h

(6.27)

donde Rh es el radio hidráulico, definido como el área de sólido mojada por el fluido, divRh área mojada L x perímetro mojado L volumen de poros / volumen del lecho sup erficie

Sp / V Sp (1 ) / V(1 ) (1 )Sp / Vp (1 )S

donde S es la superficie específica por unidad de volumen de lecho. Reemplazando esta exprp e (1 ) 2 S 2 q 3

de aquí resulta que la permeabilidad queda expresada por:k( ) 3 (1 ) 2 S 2

(6.28)

Si las partículas fueran esféricas, entonces la superficie específica quedaría expresada pk( ) 3d 2 p 36(1 )2

(6.29)

donde dp es el diámetro de la esfera. Cuando las partículas no son esféricas se puede usar



112


esfera equivalente, esto es, de aquella esfera que tiene el mismo volumen de la partícula. Se Se Vp Se Ve 6 d e Sp Sp Ve Sp Vp S

Por lo tanto:

S

6 d e

(6.30)

donde de es el diámetro equivalente volumétrico, es decir, el diámetro de una esfera que tk( ) 3d 2 2 e 36(1 ) 2

(6.31)

También es posible utilizar el diámetro volumétrico-superficial, o diámetro de permeabilid S S V

x f (x)dx 1 x f (x)dx f (x)dx x f (x)dx f (x)dx x 2 S S 3 V V

S

V

1 x12

(6.32)

x12 es el tamaño de permeabilidad ya que, junto a los factores de forma superficial S

y volumétrico V permiten calcular la superficie específica S . Sustituyendo (6.32) en (6.k( ) (1 ) 2 S V 2 3x12 2

(6.33)

Tabla 6.2 Valores del parámetro Tipo de conducto Circular Elíptico Triangular equilátero

Otros modelos propuestos son los de Ergun (1952) y de Massarani (1989) son: Modelo de Ergu3 d e k 170(1 ) 22

(6.34)



Capítulo 6. Flujo en Lecho Poroso Modelo de Ergun para 0.35<<0.45: Modelo de Massarani (1c 0.143 3 20.98

113 (6.35)

1 c 3 2

0.37 0.01 k0 k0 0.13 0.10 k k

, k 0 106 cm 2

(6.36)

Ejemplo 3. Para los datos del ejemplo 1, calcular la permeabilidad mediante los modelos dek c 3 d e 2 2

150 1

(0.37)3 (972.6 104 0.6) 2 7.83 106 cm 2 150 (1 0.37) 2

0.143 0.143 0.635 32 (0.37)3 20.37 0.01 106 106 0.10 0.13 6 6 6.95 10 6.95 10

Massarani: 1 c (0.37) 3 2 0.744

6.4 PROCESO DINÁMICO EN UN LECHO POROSO RÍGIDO El escurrimiento estacionario de un fluido(r, t) 0

y

q (r , t) q 0

(6.37) (6.38)

p e

1 Re* q0 k(0 )



114


donde Re* f c( 0 ) k( 0 ) q 0 y donde 0, k(0) y c(0) son la porosidad, permeabilp e q0 k( 0 )

(6.39)

6.5

FLUJO BIFÁSICO EN UN LECHO POROSO RÍGIDO

El flujo conjunto de un líquido y un gas en un medio poroso es de gran importancia en much v 0 t

(6.40)

Donde y v son la densidad de masa y velocidad del componente del medio poroso. Para

a (1 s)Para el sólido: s (1 ) Con estas definiciones, los balances de masa para los comp s sv 0 t

(6.41)



Capítulo 6. Flujo en Lecho Poroso Para el aire: a (1 s) a (1 s) v a 0 t

115 (6.42)

Como el medio poroso es rígido, no hay movimiento del sólido. Sumando las expresiones (6.4 v 0 t

con y v definidos por: s a (1 s)v q a q a

(6.43) (6.44)

dondeq sv y q a (1 s) v a

(6.45)

Balance de momentum lineal: v T b m

(6.46)

donde v , T , b , y m son la aceleración, los esfuerzos, la fuerza de cuerpo y la

Para el agua: Para el aire:

sv T sg m a (1 s) v a Ta a (1 s)g m a

(6.47) (6.48)

donde m y m a son las fuerzas de interacción entre componentes. Consideremos flujos lent p s g m p a a (1 s) g m a

(6.49) (6.50)

Sumando estas dos expresiones resulta la ecuación tradicional de un fluido, para una mezclp g m

(6.51)



116


donde s a (1 s) es la densidad de la mezcla de fluidos, m m m a

6.5.1 Ecuaciones constitutivas de las presiones Las presiones p y pa son variables asocia

p sp y pa (1 s)pg

(6.52)

Cuando se encuentran en un tubo capilar tres fases, como el caso de un líquido, que moja a

(6.53)

donde g y son la tensión superficial y la densidad del líquido, respectivamente y

d 4 , esto es,2

f c d cos . La altura a la que asciende el

líquido depende del balance entre la fuerza capilar y la fuerza gravitacional, con f g




117

a)

b)

Fig. 6.3 Capilaridad: a) Tubos capilares verticales, b) Tubos capilares horizontales.

Si los tubos capilares se colocan en posición horizontal sumergidos totalmente en el líqui



1184.5 4 3.5 Presión Capilar pc (bar) 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


0.6

0.7

0.8

0.9

1

Saturación s

Fig. 6.4 Presión capilar versus saturación para un concentrado de cobre. Los círculos son

s s pc p50 1 s

1

(6.54)

donde p50 , s y son constantes. Para detalles ver ecuaciones (6.71) a (6.73). 6.5.2 Ecu (,s) (,s) m q , ,s 0 2 1 3 q q (,s) (,s) m

(6.55)

(6.56)

Reemplazando las expresiones (6.52), (6.55) y (6.56) en las ecuaciones (6.49) y (6.50) res (,s) (,s) sp sg 0 2 1 3 q q

(6.57)



Capítulo 6. Flujo en Lecho Poroso (,s) (,s) (1 s)pg a (1 s) g 0 2 1 3 q a q a

119 (6.58)

Desarrollando (6.57) resulta:

6.5.3 Percolación en medios porosos La percolación en medios porosos es un proceso lento,sp ps sg 0 (,s) q 2

(6.59)

La precolación es un fenómeno regido por gravedad en que no existe gradiente de presión exps sg 0 (,s) q 2

(6.60)

Despejando la velocidad volumétrica del líquido, tenemos:q 1 3ps 3sg 0 (,s)

Definiendo la conductividad hidráulica K(,s) y la difusividad hidráulica D(,s) en la forK(,s) 3sg 0 (,s) y D(,s) 3 p 0 (,s)

(6.61)

como g gk , la velocidad de percolación se puede escribir en la forma:q K(,s)k D(,s)s

(6.62)

Esta ecuación es conocida en la literatura como ecuación de Darcy-Buckingham (Massarani 19

6.5.4 Flujo a presión en medio poroso no-saturado Cuando el gradiente de presión es más im (,s) (,s) p g 0 3 1 4 q q s s

(6.63)



120

Manual de Filtración & Separación (,s) (,s) p g a g 30 41 qa qa (1 s) (1 s)

(6.64)

Definiendo las permeabilidades relativas k (,s) y k a (,s) y los parámetros adimensionk (,s) c ( ,s)

k() 0 (,s) 3sk( ) 0 ( ,s) 4s

y k a (,s)

a k() 0 (,s) 3 (1 s)k( ) a 1 ( ,s) 4 (1 s)

(6.65)y

ca ( ,s)

(6.66)

donde k() es la permeabilidad del medio poroso, que depende exclusivamente de la estructu c (,s) q q p g k()k (s) k()

(6.67)

a c (,s)a qa qa p g a k()k a (s) k()

(6.68)

En la ecuación (6.68) hemos tomado en consideración que el gradiente de presión del aire ep g q k()k (,s)

(6.69)

p g

a qa k()k a ,s

(6.70)

De acuerdo a su definición, la permeabilidad relativa puede ser determinada, midiendo el fk s 1.36 106 exp 13.6s




121

Fig. 6.5 Permeabilidad relativa k del agua en el flujo de una mezcla de agua y aire en s

Ejemplo 4 Experiencias de flujo de agua en un lecho poroso incompresible de área 1.96x10-3

Vfiltrado 19.119753 2.4962155 ln(t) (cm 3 )Q aire 1 (l / h) 0.012528241 0.027846883 (t) 0.5

donde el tiempo está en segundos. Calcular la permeabilidad relativa del agua y del aire eg p q (t) q g (t) L k()k (t) k()k g (t) L Q (t) 3.5 10 3 1.2 10 3 2.4962155 k (t) 14 6 p k() S 4



122


L a Q a (t) 3.5 103 2.1 10 5 1 1 k a (t) 14 0.5

El resultado se observa en la figura.

1

kl = 173.52s - 503.15s + 546.05s - 262.65s + 47.22 R = 0.99912

4

3

2

Permeabilidad relativa del agua ka

0.5

0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Saturación s

Permeabilidad relativa del agua

6.5.5

Saturación residual y saturación efectiva La saturación efectiva se define al sistema bifáse 1 s 1 s

(6.71)

donde s es la saturación residual. La saturación efectiva se puede correlacionar con la p 1 s pc 1 se 1 s p50 1

(6.72)

Donde p50 es el valor de pc para se=0.5 y 2.1972 ln(p 25 p75 ) . Para la saturación pos s (1 s )

pc p50 1 pc p50

(6.73)




123

6.1E-05

Permeabilidad relativa del aire k a

5.1E-05

4.1E-05

3.1E-05

2.1E-05

1.1E-05

ka = -0.0041s4 + 0.0122s3 - 0.0138s2 + 0.0068s - 0.0012 R2 = 0.9997

1.0E-06 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Saturación s

Permeabilidad relativa del aire.

Ejemplo 5 Durante la etapa de formación del queque, en un proceso de filtración, el agua rVolumen de filtrado cm3 0.00 0.50 0.29 0.30 3.67 0.32 6.86 5.71 0.69 Saturación s 1 0.985

Graficando los datos obtenemos la figura que sigue. Del gráfico se obtiene s 0.466 . P



1244.5 4.0 3.5 Presión Capilar pc (bar) 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Saturación s

Curva de capilaridad.1.00 0.90 0.80 Saturación (s-sr)/(1-s r) 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 0.0 1.0 2

Modelación de la presión capilar.

Del gráfico se obtiene el valor de p50 0.78 como el valor de pc para s 0.5 y el

valor de de 2.1972 ln p 25 p75 2.95 . La línea del gráfico de presión capilar



Capítulo 6. Flujo en Lecho Porosop 0.0 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 1.0 2.0 4.0 (s-s)/(1-s) 0 0.0272777 0.0430987 0.0594654 0.259

125

La saturación residual s se relaciona al balance entre la fuerza de presión y la fuerza cNc K d p cos

(6.74)

donde K es una constante. La recta de la figura 6.6 muestra la dependencia de la saturaciós 1

1 0.264 Nc 86.3

Fracción de Humedad residual

0.1

0.01 1.00E-07 1.00E-06 1.00E-05 1.00E-04 1.00E-03 1.00E-02 1.00E-01 Número de capilaridad

Fig. 6.6 Saturación residual s versus índice de capilaridad Nc para lechos porosos de gra



126


Los valores pequeños de saturación residual corresponden a medios de alta porosidad, mient s kN c n

(6.75)

donde k y n se pueden obtener de un gráfico como el de la figura 6.6. Wakeman (1976) definN cap av x 2 p

1 av

2

L

donde av es la porosidad promedio del queque, x es el tamaño promedio de las partículas,

0.49 s 0.155 1 0.031N cap

(6.76)

1.000 Fracción de Humedad residual sr 0.100 1.00E-05

1.00E-04

1.00E-03

1.00E-02

1.00E-01

Número de capilaridad Ncap

Fig. 6.7 Humedad residual versus número de capilaridad según Wakeman (1974).

Del gráfico se puede concluir que para números de capilaridad menores que 2.6x10-5 el queq



Capítulo 6. Flujo en Lecho Poroso 6.6 REFERENCIAS

127

Becker, R., Integration des equations du mouvement d'un fluide visqueux incompressible, Ha



CAPÍTULO 7 CONSOLIDACIÓN ___________________________________________________ Cuando se aplica una carga compresiva sobre un sedimento saturado con agua, el esfuerzo to

7.1

PROCESO DINÁMICO DE CONSOLIDACIÓN

Consideremos una mezcla de partículas y un fluido con las siguientes propiedades: (i) (ii)

Tal mezcla puede ser considerada una superposición de dos medios continuos interactivos qu



Capítulo 7 Consolidación

129

vf(z,t), la velocidad volumétrica de la mezcla q z, t v f 1 v s , la presi v f 0 t z dq 0 , donde q v f 1 v r v s v r dzpe m d z pe e 1 g z z z

(7.1) (7.2) (7.3) (7.4)

(2) las ecuaciones constitutivas:m d md , v f ,q e e , v f ,q

(7.5) (7.6)

(3) las condiciones iniciales y de contorno:pe z,0 C, p e h, t 0 , e h, t 0 , pe z 0z 0

(7.7)donde P es la presión externa aplicada y h es la coordenada de la superficie del sedimentope z e z g 1 z h z dz C

(7.8)

7.1.1 Teoría de Terzaghi para pequeñas deformaciones En esta sección analizaremos la conso



130 (ix) (x) (xi)

Manual de Filtración & Separación El sedimento sufre solamente pequeñas deformaciones. El

Un sedimento que se comporta según las suposiciones (i) a (xi) recibirá el nombre de sedim

C

vf

Fig. 7.1 Esquema de un sedimento ideal en consolidación bajo una fuerza externa. La suposip e z e z C

(7.9)

donde C es la presión externa.

7.1.2 Ecuación constitutiva de la fuerza hidrodinámica. La suposición (viii) reduce la ecumd 2 vr k

(7.10)

Sustituyendo esta expresión en el balance de momentum lineal del fluido (7.3), obtenemos:pe vr z k

Como no hay flujo hacia fuera del sistema sedimento-agua, q=0 y v r v f (1 ) . Reemv f

1 k pe z

(7.11)




131

Usando la ecuación (7.9), podemos sustituir el gradiente de presión por el gradiente de esv f

1 k e z d z

1 k de

(7.12)

7.1.3 Ecuación constitutiva del esfuerzo efectivo del sólido. El comportamiento de suelos

e

e0 e

e0

e

e

Fig. 7.2 Ecuación constitutiva para el esfuerzo en un suelo sometido a fuerzas externas.

La suposición (ix) supone una función lineal entre la fracción de hueco y el esfuerzo efecav de d con a v 0eeo

(7.13)

de donde se deduce que:



132d e 1 de av


(7.14)

Esta Expresión representa la compresibilidad del medio poroso. Definiendo la fracción de he e y por lo tanto 1 1 e 1

(7.15)

y

de

1

2d

(7.16)

Reemplazando (7.16) en (7.14) obtenemos: d e 1 2 d a v 1 (7.17)

7.1.4 Proceso dinámico en términos de la porosidad Ahora podemos reemplazar (7.17) en la ev f a v 1 z k

(7.18)

Definiendo el coeficiente de consolidación C para pequeñas deformaciones por: k o

Cv

a v 1 o

(7.19)

Reemplazando (7.19) en (7.18) y el resultado en la ecuación de continuidad (7.1) obtenemos Cv t z z

(7.20)

7.1.5 Proceso dinámico en términos de la presión de poros en exceso La expresión (7.17) pod 1 a v de2

D esta expresión y de (7.9) se puede deducir que:



Capítulo 7 Consolidación p 2 1 a v e t t pe 2 1 a v z z

133

(7.21)

Reemplazando estas expresiones en la ecuación de consolidación (7.20) se obtiene finalmentpe 2 pe Cv t z 2

(7.22)

Esta ecuación, clásica en mecánica de suelos y denominada ecuación de Terzaghi, permite ob

pe z,0 P pe h 0 , t 0pe z 0z 0

(7.23) (7.24) (7.25)

Esta última condición se obtiene de hacer m d 0, t 0 en la ecuación (7.3). Para obtet* t t 0 , podemos escribir: t * t 0 t , z * h z , 2 z *2 h 2 2 z

definiendo t 0 h 2 C v , obtenemos al reemplazar en la ecuación y condiciones inicialesp* 2 p* e *2e * t z

(7.26) (7.27) (7.28) (7.29)

p* z*,0 1 e p* 1, t * 0 e

p* e 0 z * z*0



134


Para resolver este problema se usa le método de separación de variables. Definiendo p* FG" t * G t * F" z * F z * A 2

donde A es una constante. De aquí se puede establecer las siguientes dos ecuaciones:F" z * A 2 F z y G" t * A 2G t *

(7.30)

cuyas respectivas soluciones son:F z * C1 cos Az * C2senAz *

(7.31) (7.32)

G t * C3 exp A 2 t * de modo que la solución de la ecuación (7.26) es:

p* z * C4 cos Az * C5senAz * exp A 2 t * edonde C 4 C1C3 y C5 C 2C3 . Aplicando las condiciones de contorno se obtiene finalment 2n 1 2 2 1n 2n 1 p cos z * exp t * * e

(7.33)

(7.34)

pe*t*=0 t*=0.9

Figure 7.3 muestra la solución no-dimensional de la consolidación según Terzaghi.

Tal como hemos mencionado en varias oportunidades, la consolidación es una parte esencial




135

Cuando una suspensión sedimenta, produce en el fondo de la columna de sedimentación un sed

7.2 BIBLIOGRAFÍA Bowles, J.E., Manual de Laboratorio de Suelos en la Ingeniería Civil, McG



CAPÍTULO 8 ESPESAMIENTO

8.1 INTRODUCCIÓN 8.1.1 Desde la Edad de la Piedra al siglo IXX La invención del espesador

136



Capítulo 8 Espesamiento

137

Fig.1 Sedimentadores según Agrícola (1556).

El desarrollo del Procesamiento de Minerales desde una actividad primitiva a una calificad



138


Latín y muy luego traducido al alemán e italiano. El libro de Agrícola tuvo un tremendo im

8.1.2

La invención del espesador Dorr y el diseño de espesadores, 1900 a 1940

La clasificación, la clarificación y el espesamiento, todos envuelven la sedimentación de




139

sino que las porciones de sólido removidas son proporcionales al área superficial del esta



140


describir la velocidad de sedimentación de suspensiones mediante la extensión de la ecuaci

8.1.3

El descubrimiento de las variables de operación de un espesador continuo, 1940-1950

En la década del 40, la Universidad de Illinois se tornó muy activa en investigación en el




141

8.1.4

La Era de Kynch, 1950-1970

Desde la invención del espesador Dorr hasta el establecimiento de las variables que contro



142


adelantado a su tiempo y habría sido bien recibido en los años 70. Behn fue el primer inve

8.1.5

Teoría Fenomenológica, 1970-1980

Aún cuando fue Behn quien en 1957 aplicó por primera vez la teoría de consolidación a la c




143

poros. Esta teoría dio al espesamiento y a la filtración una estructura científica riguros

8.1.6

Teoría Matemática, 1980-2000

A fines de la década de los 70 y durante los 80, varias publicaciones demostraron que el m



144


los procesos de sedimentación de suspensiones ideales en columnas de sedimentación y espes

Los espesadores son equipos típicos que no han cambiado mucho su apariencia desde la inven

Fig. 8.1 Espesador Dorr inventado en 1905.

En general el estanque de un espesador es cilíndrico. Las unidades pequeñas, de menos de 3




145

veces se usan bases de tierra (Hsia and Reinmiller 1977). La forma de la base es un cono,

Fig. 8.2 Esquema de un feedwell con dos tubos tangenciales de alimentación y bafles intern

Fig. 8.3 Feedwell con dos tubos tangenciales de alimentación.



146


Las rastras, que pueden tener una gran variedad de formas, principalmente en la forma de s

Fig. 8.4 Feedwell de dos entradas y rastra de tracción central.

Fig. 8.5 Rastra de tracción periférica.




147

Fig. 8.6 Mecanismo de tracción periférico para la rastra de la figura 8.2

Fig. 8.7 Esquema de rastras con tirantes alzadores.

Fig. 8.8 Rastras con tirantes alzadores.

Las canaletas de rebalse en la periferia del espesador tiene por objetivo evacuar el agua



148


Fig 8.9 Canaleta de rebalse típica mostrando los vertederos.

8.1.7

Espesador convencional. Espesador de alta capacidad y espesador de alta densidad.

Manteniendo la misma forma estructural y los mismos elementos principales, los espesadores

Alta capacidad

Alta densidad

Convencional

Fig. 8.10 Esquema de espesadores convencionales, de alta densidad y de alta capacidad. El




149

F

A B C

A

C D

Fig. 8.11 Esquema de un espesador C:.convencional. A: agua clara; B: suspensión; C: sedime

Fig. 8.12 A: agua clara; sedimento.

El espesador de alta capacidad tiene como parte distintiva una bandeja de alimentación muy



150


Fig. 8.13 Esquemas de un espesador de alta capacidad.

Fig. 8.13 Esquema de un Espesador de alta densidad



Capítulo 8 Espesamiento 8.3 VARIABLES DE ESPESAMIENTO.

151

El espesamiento consiste en una secuencia de dos fenómenos, la sedimentación y la consolid

Sedimentación La sedimentación de partículas individuales o suspensiones de partículas fue

Sedimentación

Consolidación

Fig. 8.13 Modelo físico de la sedimentación y consolidación.

Consolidación La sedimentación finaliza cuando las partículas individuales, llegan al fond



152


La consolidación es un campo muy importante en la Geotécnica, disciplina que estudia el co

8.3.1 Proceso dinámico de sedimentación Se puede decir que las propiedades principales de

z, t f , t

q(t)pe z, t e

Las variables que describen la sedimentación constituyen un proceso dinámico de sedimentac

v s 0 t z

bg

(8.1) (8.2)

q 0 , con q v s 1 v r z




153 (8.3)

e m g d z 1 p e e g z zEn las discontinuidades cumplen las condiciones de salto:

(8.4)

v s e I vs v s ( v s e I ) (pe f g(L z) e )e I

(8.5) (8.6)

Se establecen ecuaciones constitutivas para e y md:m d m d (, v r ) e e (, v r )

(8.7) (8.8)

donde vr es la velocidad relativa sólido-fluido. 8.3.2 Ecuaciones constitutivas El movimiemd v r

(8.9)

Por otra parte, la experiencia ha demostrado que el esfuerzo efectivo del sólido se puedee e

(8.10)

con la propiedad:constante <c 'e c 0

(8.11)

donde 'e de d .

8.3.3 Ecuación de espesamiento Reemplazando estas dos últimas expresiones en la ecuación (



154 e vr g z 1


Obteniendo vr desde (8.2), podemos escribir: vs q e g 1 1 z

Despejando vs y multiplicándolo por resulta:2 1 g 1 e vs q 1 g z 2

Diferenciando e con respecto a , podemos escribir:vs q 2 1 g 'e 1 g z 2

(8.12)

Definamos el parámetro fbk en la forma:

f bk 2 1 g2

(8.13)

de modo que la expresión (8.12) se puede escribir en la forma: ' vs q f bk 1 e g z

(8.14)

Reemplacemos (8.14) en (8.1) y obtendremos:

' f e q f bk bk t z z g z

(8.15)

Definiendo un coeficiente de dispersión la forma: en0 f bk 'e g c

(8.16)

entonces la ecuación diferencial que representa el proceso de espesamiento es: q f bk t z z z

(8.17)




155

La ecuación (8.17) es una ecuación diferencial parabólica degenerada. Recibe este nombre p q f bk 0 t z f k 0 t z

(8.18)

donde la función f k es la función densidad de flujo de sólidos de Kynch. Podemos re

8.3.4 Espesamiento batch Con el objetivo de tener una mejor descripción del proceso de sed



156

Manual de Filtración & Separación concentración en la columna. El movimiento sería neces

La figura 8.14 muestra la curva de sedimentación con las interfaces agua-suspensión y susp

Fig. 8.14 Curva de sedimentación para un relave de cobre mostrando las interfaces agua-sus

Para el espesamiento batch la ecuación (8.17) se reduce a: f bk t z z z

(8.19)

Del comentario a) se deduce la condición inicial y la condición de contorno para z=L y val z, 0 0 , para 0 z L L, t 0 , para t 0

(8.20) (8.21)



Capítulo 8 Espesamientof bk 0, para 0 t z z 0

157 (8.22)

En la sección 8.4 se muestra como determinar los parámetros f bk y e . Las fi0 0.00E+00 -5.00E-07 Densidad de flujo de sólidos m/s -1.00E-06 -1.50E-06 -2.00E-06 -2.50E

0.000E+00 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400 0.450 0.500 de/d 2.000E+05 1.500E+05 1.000E+05 5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.60.7

3.500E+05

Fracción volumétrica de sólidos

Función densidad de flujo de sólidos

Esfuerzo efectivo del sólido

Fig 8.15 Parámetros de espesamiento para una suspensión floculada de carbonato de calcio.

Densidad de flujo de sólidos

Coeficiente de difusión

Fig 8.16 Parámetros de espesamiento para un relave de cobre, Bürger and Concha 1998).



158


Perfil de concentraciones

Perfil de presiones de poro en exceso

Fig. 8.17 Simulaciones de la sedimentación de un relave de cobre a patir de la solución de

8.3.5

Simulación y comparación con datos de la literatura.

El poder de simulación del modelo fenomenológico de sedimentación desarrollado en esta sec

Simulación

Experimental

Fig.8.18 Comparación de una simulación con los resultados experimentales de Been and Sills




159

a)

b)

Fig. 8.19 Simulación y datos experimentales de a) Tiller et al 1980, b) Bergström 1992.

a) Perfil de concentración

b) Perfil de presiones de poros en exceso

Fig. 8.20 Comparación de la simulación y datos experimentales de Been y Sills (1981) exper

a) Curva de sedimentación

b) Perfil de concentración para t=22.000 s.

Figura 8.21 Comparación de la simulación y datos experimentales de Holdich and Butt's (199



160


Fig. 8.22 Comparación de simulaciones y datos experimentales de suspensiones de caolín pub




161

La comparación de simulaciones de sedimentación batch con datos experimentales mostrada en

8.3.6

Espesamiento continuo

Para analizar el espesamiento continuo es conveniente estudiar por separado el estado esta

Ecuaciones de campo en el estado estacionario Las ecuaciones que representan el estado est ' f 0, con f vs q f bk 1 e z g z

(8.23)

q 0 zpe e g z z

(8.24) (8.25)

En las discontinuidades cumple la condición de salto:0

(8.26)

Se observa que en el estado estacionario tanto la densidad de flujo de sólidos f como la v



162


alimentado mediante una fuente superficial en z=L. Ver figura 8.23. Si Q F 0 es el caudafF Q F F S

El flujo de alimentación entra al espesador se mezcla y diluye con el flujo de agua claraf L fF Q F F S

La densidad de flujo de sólidos en la alimentación puede ser controlada externamente a trafD Q D D S

El sedimento sale por la descarga en z=0 sin mezclarse con otra fuente, por lo que allí taf 0 fD Q D D , con 0 D S

Si la concentración de la descarga es menor que la de alimentación, se dice que el EIC seqD QD S

por lo que también podemos escribir:f 0 f D q D D , con 0 D



Capítulo 8 Espesamiento (3) Rebalse

163

En una operación normal, el rebalse no contiene partículas sólidas. Esto significa que elQ R Q F QD Q F D F F QD D D F

La velocidad volumétrica del agua en la zona I será:

qR

QR SQ F F SQR

De estas expresiones se pueden establecer las condiciones de contorno como:f L fF

(8.27)

Zona I

QF, FZona II

Zona III Zona IV

QD,DFig. 8.23 Espesador Ideal Continuo (EIC). Zona I agua, Zona II suspensión a concentración

f 0 fD

Q D D q D D , con 0 D S

(8.28)

La solución en el estado estacionarios será, entonces:f z fF fD

(8.29)



164q(z) q D fF D


espesador la suspensión floculada se diluirá a la concentración L para la cual

Si la concentración de alimentación es menor que la crítica F c , al entrar al

f L f k L y, por lo tanto la suspensión floculada a concentraciones

a la crítica se comporta exactamente igual a una suspensión ideal y la concentración en q D L f bk L f F

(8.31)

El espesador tendrá una zona superior (zona II en figura 8.23) con la concentración constag z d ' q D f bk f F dz e f bk

(8.32)Integrando con la condición de borde 0 D f F q D se obtiene el perfil de concenz

D

d g q D f bk f F

'e f bk

(8.33)

La figura 8.24 b) muestra tres estados estacionarios calculados mediante la ecuación (8.33g z d ' q D f bk f F 0 dz e f bk

y como, se debe cumplir que:q D f bk f F




165

Si denominamos función densidad de flujo de sólidos extendida de Kynch a la función dada pf k q D f bk , para L D f k f F , para L D

(8.34) (8.35)

La figura 8.24 muestra tres estados estacionarios válidos para un flujo volumétrico de des7

0 0.0E+00

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.66

Densidad de flujo de sólidos m/s

5


-5.0E-06

4

-1.0E-05

3

2

-1.5E-05

1

0

-2.0E-05 Fracción volumétrica de sólidos

0

0.1

0.2

0.3

0.4



0.5


a) Densidad de flujo de sólidos

b) Perfil de concentraciones

Fig. 8.24 Tres estado estacionarios para una velocidad volumétrica q (flujo volumétrico de

Estas figuras confirman que, en el estado estacionario, se establece una concentración con

acerca a la curva f f k en la figura a), el nivel de sedimento aumenta en la figur



166


-2.00E-06 0 Densidad de flujo de sólidos en m/s

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

-7.00E-06

-1.20E-05

-1.70E-05

-2.20E-05


Fig. 8.25 Dos estados estacionarios válidos y uno inválido para tres flujos volumétricos d

6

5

fF=-2.42E-5 m/s

4 Altura en m

3

2fF=-1.50E-5 m/s fF=-1.00E-5 m/s

1

0 0 0.1 0.2 Fracción volumétrica de sólidos 0.3 0.4

Fig. 8.26 Perfil de concentraciones para los estados estacionarios de la figura 8.25.



Capítulo 8 Espesamiento 8.4 8.4.1 PARÁMETROS DE ESPESAMIENTO Parámetros de sedimentación

167

La cuantificación de la sedimentación se hace a través de la concentración de la suspensióTabla N° 8.1 Datos de velocidad de sedimentación de carbonato de calcioFI=0,265 Tiempo en s 0 1692 2304 3204 6804 10404 15804 23004 37404 51804 66204 80604 95004

Altura en m

FI=0,103 Tiempo en s 0 1080 1368 1692 1980 2556 3132 6120 9720 15120 22320 36720 51120 655Altura en m



0,338 0,336 0,335 0,331 0,329 0,326 0,319 0,312 0,301 0,291 0,277 0,274 0,264 0,257 0,252

0,338 0,292 0,284 0,274 0,265 0,247 0,230 0,172 0,162 0,150 0,139 0,127 0,122 0,118 0,117

0,338 0,210 0,186 0,162 0,144 0,112 0,096 0,079 0,073 0,064 0,061 0,057 0,056 0,056 0,054

0,338 0,128 0,076 0,051 0,044 0,041 0,037 0,030 0,029 0,029 0,028 0,028 0,027 0,027 0,027

0.40 0.35FI=0,265

0.30 0.25 Altura m 0.20 0.15 0.10FI=0.044

FI=0,103

0.05FI=0,017

0.00

0

50000

100000

150000

200000

250000

Tiempo s

Fig. 8.27 Curva de sedimentación de carbonato de calcio a diferentes concentraciones



168


La velocidad inicial de sedimentación de cada concentración aparece en detalle en las figu0.150

0.330FI=0.103

0.310

Serie1

=0.20

Altura en metros

Altura en metros

0.100

Serie1 =0.017

0.290 0.270 0.250 0.230

0.050 y = -1.43E-04x + 1.89E-01 2 R = 9.45E-01 0.000 0 500 1000 1500 Tiempo en segundos

0.210 0.190 0

y = -3.07E-05x + 3.26E-01 2 R = 1.00E+00

1000

2000 Tiempo en segundos

3000

4000

Fig. 8.28 Velocidades iniciales de sedimentación, a) y b).

0.250

0.350Serie1 =0.044

0.200 Altura en metros

0.340 Altura en metros

Serie =0.265 1

0.150

0.330

0.100

y = -7.97E-05x + 2.94E-01 2 R = 9.93E-01



0.320

0.050

0.310

y = -1.44E-06x + 3.38E-01 R2 = 9.01E-01

0.000 0 500 1000 1500 2000 2500 Tiempo en segundos

0.300 0 2000 4000 6000 8000 10000 Tiempo en segundos

Fig. 8.28 Velocidades iniciales de sedimentación, c) y d).1.50E-04 0.00E+00 -5.00E-07 Densidad de flujo de sólidos m/s -1.00E-06 -1.50E-06 -2.00E-06

1.00E-04 Velocidad*(-1)

5.00E-05

y = 1.72E-04x1.56E+01 R2 = 9.99E-01

a) Correlación de Richardson y Zaki

b) Curva de densidad de flujo

Fig. 8.29 Parámetros de sedimentación: Velocidad de sedimentación versus porosidad y densi




169

Graficando las velocidades iniciales de sedimentación en función de la porosidad se puedev s () 1.72 *10 4 (1 )15.6 f k () 1.72 *10 4 (1 )15.6

8.4.2 Parámetros de consolidación La consolidación se produce debido al peso que soportanAltura m 0.000 0.075 0.110 0.150 0.190 0.250 0.450 0.650 0.850 Presión pe Pa 1775 1773 175

La figura 8.30 muestran los perfiles de la tabla N° 8.2.0.9 0.8 0.7Altura en metros

1

Tiempo 9000 s

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3

Tiempo 9000 s9000 s Tiempo

0.6 Altura en m 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 Presión de

0.2 0.1 0 0

y = -56.206x3 + 10.788x2 - 0.5786x + 0.9502 R2 = 0.9947 0.1 0.2 0.3 Fracción volumétrica d

a) Presión de poros en exceso

b) Perfil de concentraciones

Fig. 8.30 Perfiles de presión de poros en exceso y de concentración



170


De esta información el gradiente del esfuerzo efectivo de sólidos se obtiene en la forma:dpe g dz d dz' e

(8.36)t constante

El resultado obtenido de la correlación es:'e 44exp 22

(8.37)

y, por lo tanto el esfuerzo efectivo de sólidos para este caso será:e 2exp 22

(8.38)Como la expresión (8.36) se basa en la diferenciación gráfica, y ésta no es muy precisa, ee p e z g z z

integrando para un tiempo t constante se obtiene:

e z

0

d

pe z

0

d g dz zc

como e z c 0 y pe z c 0 , integrando resulta:3.500E+05 3.000E+05 y = 4.40E+01e 2.500E+05 2.000E+05 1.500E+05 1.000E+05 5.000E+04 0.000E2.20E+01x

de/d

0.250

0.300

0.350

0.400

0.450

0.500




Fig. 8.30 Esfuerzo efectivo del sólido en función de la concentración




171z

e z pe z g d , para t=constantezc

(8.39)

Finalmente si se aplica la expresión (8.39) para un tiempo muy largo, cuando la consolidace z g d , para t=z zc

(8.40)

Talvez el método más cómodo para determinar el esfuerzo efectivo del sólido sea el basado

8.5 CAPACIDAD Y DISEÑO DE ESPESADORES El diseño de un nuevo espesador o la capacidad de un

8.5.1

Métodos de diseño basados en balances macroscópicos

Los primeros métodos propuestos para calcular la capacidad de un espesador continuo están

a)

Método de Mishler

Consideremos un espesador en el estado estacionario con un flujo másico de sólidos en la a

FDFDF = DDD + O

(8.41) (8.42)



172


Despejando el flujo másico de agua O y transformándolo en flujo volumétrico QO se obtiene:QO F DF DD f

(8.43)

Según Mishler (1912) el caudal de agua QO en un espesador continuo debe ser igual al produS F DF DD f R

(8.44)

F DF Ovs vs vs

D DDFig. 8.31 Balance macroscópico de masa según Mishler (1912) y Coe and Clevenger (1916).

Mishler usó las unidades de toneladas cortas/día para F, pies/min para R y lb/pie3 para fS 0.0222 F DF DD f R , en pie 2

(8.45)

El método de diseño de Mishler consiste en medir en el laboratorio la velocidad de asentam



Capítulo 8 Espesamiento Ejemplo 1

173

Diseñar con el método de Mishler un espesador para procesar 1200 tpd de carbonato de calciAU

DF DD f R

(1.0286 0.9158) 1.0700 m 2 tpd 6 1.22 10 3600 24

S 1.0700 1200 1283.9 m 2

La tabla que sigue muestra los resultados usando el método de Mishler.

0.280

Dk 1.0286

DD 0.9158

vs m/s -1.22E-06

AU m /tpd 1.0702

F tpd 1200

S m

2

1283.9

b)

Método de Coe y Clevenger

concentraciones Dk [-] antes de salir del espesador a concentración DD , por lo tanto el bFD

Coe y Clevenger (1916) realizan el mismo balance de masa que Mishler, figura 8.31 pero ind

(8.46) (8.47)

FDk = DDD + O

Despejando el flujo másico de agua O y transformándolo en flujo volumétrico QO se obtiene:QO F Dk DD f

(8.48)



174S F Dk DD f R


Como la concentración de la zona II no se conoce de antemano, es necesario realizar ensayo R D F min 62.35 Dk S Dk - DD 2 , en lb hora pie

(8.50)

Definiendo el Área Unitaria (AUo) como el recíproco del flujo por unidad de área, tenemos: D - DD AU o max 0.01604 k Dk R Dk 2 en pie lb / hora

(8.51)

Taggart (1927) y Dalstrohm y Fitch (1985) usaron f 62.4l lb pie 3 , la velocidad R en p D - DD AUo max 1.33 k Dk -R Dk 2 en pie ton corta / dia

(8.52)

Ejemplo 2 Diseñar con el método de Coe y Clevenger un espesador para procesar 1200 tpd deConcentración % sólidos en peso 49.3 47.4 22.3 10.3 4.1 Velocidad de sedimentación vs m/s

La relación entre dilución y concentración P en % de sólidos en peso está dada por: D (1



Capítulo 8 Espesamiento 0.280 0.265 0.103 0.044 0.017 Dk 1.0286 1.1094 3.4835 8.6909 23.1294 DD 0.9158 0.9158 0.2

175F tpd 1200 1200 1200 1200 1200 S m2

1283.9 1867.7 1161.6 1354.9 2157.5

AU D k

Dk DD (23,1294 0.9158) 1.798 m 2 f R Dk 1.22 10 6 3600 24

tpd

De acuerdo al método de Coe y Clevenger, se debe elegir el área mayor encontrada, que para s I k F en TPD m 2 min 86.4 k 1 1 S k D 1 1 1 2 AU o max 1.1574 *102 en m TPD k s I k k D

(8.53)

(8.54)

Para Coe y Clevenger (1912) la altura del espesador no tiene importancia si la descarga ti



176


Fig. 8.32 Cálculo de la altura de un espesador según Coe y Clevenger (1914).

zi

Ft i , i 1,2..., n i iS t i i f i

1 AUo

La altura total será:

z c i z i1 AUo

, i 1, 2..., ni i i f

t i

(8.55)

En estas expresiones i i1 i . A esta altura zc Coe y Clevenger recomiendan agregar

Ejemplo 3 Para los datos del problema 2, calcular la altura del espesador necesaria. El Ár




177

0.350 =0,103 0.340

Altura m

0.330

0.320

0.310

0.300 0 4000 8000 12000 16000 20000 24000 28000 32000 36000 40000

Tiempo s

52.4 0.297 2.6 (100 52.4) 52.4

Aplicando la ecuación (8.55) obtenemos:Zi cm 0.338 0.331 0.328 0.324 0.319 0.315 0.311 0.308 0.305 0.302 0.300 i 0.105 0.1

La altura del sedimento debe ser de 1.94 m. Si se le agrega 1.5 m para la alimentación y a

8.5.2

Métodos de diseño basados en el proceso de sedimentación de Kynch

El establecimiento de la teoría de Kynch en 1952 indujo a varios investigadores, tales com



178


espesadores. El método utilizado universalmente hasta entonces era el método de Coe y Clev f 0 t z

(8.56)

y de la condición de salto: ,

f ,

con

(8.57)

El requisito para obtener la solución es conocer la funcionalidad de f f y las con I 0, f f 0 0 f vs Z T

(8.58)

y las rectas que unen el punto (0,0) con los puntos (zk,tk) son las características de ' pW0 0 L

(8.59)

Durante la sedimentación este volumen de sólidos por unidad de área debe atravesar una secW0

v ftk k s k 0

' bk

k dt




179

Fig. 8.33 Curva de sedimentación.

Z z k k T tk

tk

De la figura 8.33 se observa que: Z T Z z k t k , por lo que al reemplazar en la eW0 k Z

(8.60)

Combinando las ecuaciones (8.59) y (8.60), resulta que la concentración k queda dada por k 0 L Z

(8.61)

Este análisis se puede repetir para varias tangentes como en la figura 8.34. De la teoría



180


Fig. 8.34 Método de Kynch para determinar la concentración y velocidad de sedimentación de

Ejemplo 4 Diseñar con el método de Kynch un espesador para procesar 1200 tpd de carbonato

0,4 0,35 0,3

10.3% en peso

10.3% en volumen

Altura en m

0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

Tiempo en s

Trazado de tangentes a la curva de sedimentación según el método de Kynch.




181

De acuerdo a la teoría de Kynch, la altura correspondiente a una concentración determinadaZk L 0 k

Zk m 0,338 0,300 0,250 0,200 0,150 0,140

Tk s 2850 3500 4400 5650 8500 10000

0 0,044 0,044 0,044 0,044 0,044 0,044

k 0,0440 0,0496 0,0595 0,0744 0,0991 0,1062

vs m/s -1,186E-04 -8,571E-05 -5,682E-05 -3,540E-05 -1,765E-05 -1,400E-05

AU m /tpd 0,7596 0,9130 1,1034 1,3314 1,7887 2,03232

F tpd 1200 1200 1200 1200 1200 1200

S m2

911,5 1095,6 1324,1 1597,7 2146,4 2438,8

De acuerdo con este método, el área de espesador es de S=2438.8 m2. Es posible escribir esk 0 L Z y D 0 L Z D , reemplazando en la ecuación (8.54), resulta (ver figura 8.35

T ZD 2 AU o max 1.1574 *102 1 en m tpd Z Z s 0 L

(8.62)

Método de Talmage y Fitch Talmage y Fitch (1955) se basaron en la figura 8.35 para escribiZ Z ZD T tu

(8.63)

donde ZD es la tangente a la curva de sedimentación para la concentración de descarga D y



182


Fig. 8.35 Construcción de Talmage y Fitch I (1955)

AU o 1.1574 *102

tU s 0 L

en m 2 tpd

(8.65)

El método de diseño de Talmage y Fitch consiste, entonces, en: 1. Realizar una prueba de s

2. 3. 4. 5.

Como el método de Talmage y Fitch está destinado a todo tipo de pulpas, incompresibles o c




183

Fig. 8.36 Construcción de Talmage y Fitch II (1955) y Oltman (Fitch and Stevenson 1976).

Método de Oltman Con la experiencia, Fitch y Stevenson (1976) encontraron que el área obte

Ejemplo 4 Diseñar con el método de Talmage y Fitch y el de Oltmann un espesador para proce



184


0,4

0,35

10.3% en peso

0,3

Altura en m

0,25

0,2

0,15

0,1

Zc=0,0647

0,05

ZD=0,04860 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

Tiempo en s

Construcción de Oltman

b)

Métodos de diseño basados en el proceso de Kynch continuo

En el capítulo 5 se estudió la teoría de Kynch para un proceso de sedimentación continuo.1 F 1 1 1 s I ** y AU0 M ** ** S 1 1 s I M M M ** M

(8.66)donde M y ** son la concentración del punto máximo de la curva de densidad de M flujo co

Método de Yoshioka y Hasset Yoshioka (1957) propuso un método de diseño de espesadores basf k q f bk y f k D f F qD

(8.67)



Capítulo 8 Espesamiento de aquí se puede escribir:f bk f F q

185

(8.68)

La ecuación (8.68) representa una recta en el gráfico f bk versus , donde la pendief bk f F q

(8.69)

La figura 8.39 muestra este gráfico.

M D

Fig. 8.37 Método de diseño de Yoshioka y Hassett.

El método de diseño se puede resumir de la siguiente forma. Para una concentración de D

Ejemplo 5 Diseñar con el método de Yohioka y Hassett un espesador para procesar 1200 tpd d



1865,00E-06


Densidad de flujo de sólidosX(-1) m/s

4,00E-06

3,00E-06

-fF=2,59E-06

2,00E-06

1,00E-06

0,00E+00 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4

Fracción volumétrica de sólidosConstrucción de Yoshioka.

La capacidad será S

F 1200 2145m 2 6 f F s 3600 24 2.59 10 2.5 3600 24

Hassett (1958) se dio cuenta de un problema de interpretación en la concentración de desca

Método de Wilhelm y Naide Wilhelm y Nadie (1979) también parten de la sección 5.2.4 del caf k q f bk qD

Diferenciando esta expresión con respecto a para M , resulta:' q f bk M

(8.70)




187

' ' y reemplazando en la expresión anterior tenemos f bk M f bk f bk

la que, aplicada a la concentración M , da como resultado:

' ' f bk M M f bk M f bk M D

(8.71)

Ahora, si suponemos que la velocidad de sedimentación del sólido se puede expresar en la fv s a b

(8.72)

la densidad de flujo de sólidos f bk se puede escribir como f bk a1 b y s' f bk M a(1 b)Mb

(8.73)Reemplazando (8.73) en (8.71) y despejando M resulta:M b 1 D b

(8.74)

' Reemplazando ahora M de (8.74) y f bk M de (8.73) en (8.70) resulta:

b 1 ' b q f bk M a(1 b) D b

b

(8.75)

Como en el estado estacionario f F qD , utilizando (8.75) llegamos al resultado: b 1 f F ab(1 b) b1 b

1 b D

(8.76)

y el área unitaria AU0:1 b 1 AU0 s ab b

b 1 b D1(8.77)

La expresión f bk a1 b representa a la función densidad de flujo de sólidos sol



1881,00E+02


Velocidad de sedimentación x(-1) m/s

1,00E+01

1,00E+00

1,00E-01

1,00E-02

1,00E-03

1,00E-04 0,001

0,010,1

1

Porosidad

a) Velocidad de sedimentación2,00E+00 AU=1,815

Area Unitaria AU en m /tpd

1,50E+00

2

1,00E+00

5,00E-01

0,00E+00 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6


b) Área unitaria Fig. 8.38 Diseño de espesadores según Wilhelm y Nadie (1979).Ejemplo 6 Diseñar con el método de Wilhelm y Nadie un espesador para procesar 1200 tpd de



Capítulo 8 Espesamiento1,00E+02

189

Velocidad de sedimentación x(-1) m/s

1,00E+01

y = 7,20E+00x

-1,16E-01

y = 1,17E+00x 1,00E+00

-5,88E-01 -1,36E+00

y = 1,25E-01x

y = 3,87E-03x 1,00E-01-2,99E+00

y = 1,18E-04x-5,21E+00

1,00E-02

y = 2,02E-06x

-8,58E+00

1,00E-03

y = 2,85E-08x-1,34E+01

1,00E-04 0,001

0,01

0,1

1

Porosidad

Velocidad de sedimentación.2.50E+03 S=2180 m 2 2.00E+03

Area en m

1.50E+03

2

1.00E+03

5.00E+02

0.00E+00 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6




Área Unitaria

El método de Wilhelm y Nadie da un valor de S 2180 m2 para el Área Unitaria.

8.5.3

Métodos de diseño basados en el modelo fenomenológico

En la sección 8.3.6 sobre espesamiento continuo, hemos mostrado que, para que en un espesa



190

Manual de Filtración & Separaciónf F q D f bk , para L D

(8.78)

donde fF es la densidad de flujo de sólidos de la alimentación y f k es la curva defF fF f bk , para L D D

Dividiendo por y ordenando se obtiene:fF f bk , para L D 11 D

(8.79)

Capacidad Por definición s f F F S y I f bk , donde F es la capaciF s I , para L D en unidades ML2 T 1 S 1 1 D

(8.80)

Área Unitaria Usando el concepto de área unitaria AU S F : AU 1 1 1 s I

Como esta expresión debe ser válida para todo L D , y f bk I y no1 1 1 AU max L D D sI 1 1

(8.82)

Comparando esta expresión para el área unitaria con (8.54), derivada por Coe y Clevenger (AU AU 0 F0 (Coe & Clevenger) S

(8.83)




191

Notar que el área unitaria básica AU0 depende, para cada concentración, de la concentracióAU0 ; D 1 s f bk D 1

(8.84)

La figura 8.41 muestra la función AU0 , D , para una concentración de descargaD 0.34

y

una12.59

función

densidad

de

flujo

de

sólidos

batch

f bk 6.05*10 1 , en m s . Notar que, aunque la función tiene un máximo l

Fig. 8.41 Diseño de un espesador según la teoría fenomenológica, con la función AU0 ; 0

Altura Dijimos en los párrafos anteriores, que el Área Unitaria es independiente de la comzc

c

D

d g z f F q D f bk

'e f bk

(8.85)

donde D es la concentración de descarga y c la concentración crítica. La altura total de



192H c h zc


Los valores de c y h son arbitrarios. La altura de agua clara varía generalmente entre 0.5 F , con 0< 1 F0

(8.87)

Como F F0

AU

AU 0 AU0

(8.88)

Adorjan relacionó el factor de carga al factor de seguridad empleado por otros investigado

Ejemplo 7 Usando el modelo fenomenológico, diseñar un espesador para procesar 1200 tpd de

f bk () 1.72 104 (1 )15.6 m se 2.0exp 22 Pa

Reemplazando la densidad del sólido, la concentración de descarga y la función densidad deAU 0 ; D 1 1 ; con L D 4 15.6 2.5 3600 24 1.72x10

Graficando el área unitaria básica AU0 y la densidad de flujo de sólidos de alimentación f



Capítulo 8 Espesamiento10 9 8

193

Area Unitaria Básica m2/tpd

7 6 5 4 3 2 1 AU0=1.75 m 2/tpd

AU0=1.26m /tpd

2

L=0.3010 0 0,1 0,2 0,3 0,4


Área Unitaria Básica versus concentración.

0 0,00E+00 0,1 0,2 0,3 0,4-1,00E-06 fF=-2,65E-6 m/s


-2,00E-06

L=0,0301

-3,00E-06

-4,00E-06

-5,00E-06

-6,00E-06

fF=-3.73E-6 m/s

-7,00E-06

-8,00E-06


Densidad de flujo de sólidos versus concentración.

El máximo valor del Área Unitaria obtenida entre las concentración conjugada y la de desca



1940 0,00E+00 q=-8,66E-6 m/s -1,00E-06 0,1 0,2 0,3

Manual de Filtración & Separación0,4 0,5 0,6


D=0.306Serie1 Serie5

fF=-2.65E-6 -2,00E-06

-3,00E-06

-4,00E-06

-5,00E-06

Fracción volumétrica de sólidosCapacidad máxima según el método fenomenológico

6

5

fF=-2.65E-6 m/s; q=-8.66E-6 m/s

4

Altura en m

3

2

1

0 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35


Perfil de concentraciones para el espesador diseñado.

Debemos comprobar dos hechos para concluir que el espesador está bien diseñado. En primer




195

A continuación se hace una comparación de todos los métodos de diseño analizados en el Man

Es interesante comparar los resultados de los diversos métodos de diseño de espesadores. E

8.6

ESTRATEGIAS DE OPERACIÓN

8.6.1 Estado estacionario En la sección 8.3 indicamos las condiciones que se deben cumplirf F qD

(8.89)



196


donde f F Q F F S es la densidad de flujo de alimentación, definida como el flujo de sóz() 'e ()f bk ()d D g q q f () D bk

(8.90)

8.6.2 Concentración de la descarga: efecto del flujo de alimentación y de la altura del se




197

Fig. 8.42 Rango admisible de concentraciones de descarga para una velocidad volumétrica de

Ejemplo 8. Supongamos que tenemos una pulpa cuyos parámetros de espesamiento son:

f bk () 6.05 104 (1 )12.59 m / s

y

0 e () 2 5.35 exp 17.9 N / m

para c =0.23 para c 0.23

Alimentemos un espesador de 60 m de diámetro y 6 m de altura con los siguientes flujos másFF (tph) 3600 s (ton / m3 ) f F (m / s) S(m 2 ) Q D (m3 / h) 3600 S(m 2 ) q f P / (s (100 P) f P

f F q DS D2 4El nivel del sedimento se obtiene resolviendo la ecuación (8.90):



198zc


0.23

96.123exp 17.9 6.05 104 (1 )11.59 d 1.5 g qD q 6.05 104 (1

D

La tabla y figura 8.40 muestran los resultados obtenidos utilizando las ecuaciones anterio

F tph203.5 178.1 152.7

fF m/s

-8.0E-06 -7.0E-06 6.0E-06QD m3/h203.54 203.54 203.54

q m/s-2.0E-05 -2.0E-05 -2.0E-05

0.40 0.35 0.30

% sol peso6.3E+01 5.7E+01 5.2E+01

zcoo 0.93 0.35

En la tabla se muestra los resultados. Con la mayor alimentación el espesador se rebalsa y

0.0 0.00E+00

0.1

0.2

0.30.4

0.5


-1.00E-05


Fig. 8.43 Efecto del flujo de alimentación en la concentración de descarga para un mismo v



Capítulo 8 Espesamiento6

199

5

4 Altura en m

3

2

1

0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Fracción volumétrica de sólidos

Perfil de concentraciones para los datos de la figura anterior.

8.6.3Dilución de la alimentación.

En todo espesador convencional la alimentación se diluye al entrar al espesador, como hemoqL f bk L f F

(8.91)

Como se puede observar en la figura, la concentración en z=L, denominada concentración con



200


diámetro alimentado con una pulpa de concentración PF=27.1% de sólidos en peso, para FF=180.0 0.00E+00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6


-5.00E-06

D L F

-1.00E-05

-1.50E-05


Fig. 8.44 Dilución de la alimentación.6

5

4 Altura en m

3L=0.01709

2

1

0 0 0.1 0.2 Fracción volumétrica de sólidos 0.3 0.4

Fig. 8.45 Dilución de la alimentación.

La ecuación a resolver es:qL f bk L f F




201

qL 6.05 104 L (1 L )11.59 f FfF FF 183 7.2 *106 m / s 3600 * s *S 3600 * 2.5* 2827

q

Q D 203.5 2.0 *105 m / s 3600 *S 3600 * 2827

El resultado es: L 0.01709 , esto es: 4.17% de sólidos en peso. Como en la mayoría de l

Dilución por Rebalse Debido a la mayor densidad de la pulpa de la alimentación con respectz11 z 2 2 z33 ,con z3 z1 z 2z1 (z agua z 2 )

donde es la densidad de pulpa. Esto permite derivar parte del agua de rebalse a la pulpa



202


Fig. 8.46 Dilución de la alimentación por rebalse del agua de rebalse, (Folleto Supaflow d

Fig. 8.47 Diseño de ventanas en el feedwell para diluir la alimentación, (Catálogo Supaflo

Dilución por Jet Cuando se inyecta un flujo a alta velocidad en un flujo estanco, el chorr




203

depende del diámetro del chorro y de su velocidad. Este hecho se aprovecha para diluir el

Fig. 8.48 Dilución mediante jet Eductor, (Catálogo Supaflow de Outokumpu Group C.).

Fig. 8.49 Diseño de un sistema de dilución mediante Jet, E-Duc (Catálogo EIMCO Process Equ

8.6.4

Inventario de material en el espesador

Se denomina inventario del espesador el tonelaje de pulpa almacenado en su interior. Este



204 M E gS L z c L


D

c

'e ((z))f bk ((z)) f F q(z) f bk ((z))

(8.92)

Ejemplo 10 Supongamos que tenemos una pulpa cuyos parámetros de espesamiento son:f bk () 6.05 104 (1 )12.59 m / s

y

0 para c = 0.23 e () 5.35 exp 17.9 m / s para c = 0.23Alimentemos un espesador de 60 m de diámetro y 6 m de altura con un flujo másico de sólidoFF (tph) 178.1 3600 2.5 f F 2827 f F 7.0 106 m / s FF (tph) 196.0 3600q f F 7.0 106 7.7 10 6 2.0 105 m / s D 0.350 0.39

M E gS

zi 0

zi L

zi i

Las concentraciones conjugadas resultan ser L 0.01316 y 0.01476 . El resultado se muest

F tph 178.1 196.0

fF m/s -7.00E-06 -7.70E-06

QD m3/h 203.54 203.54

q m/s -2.00E-05 2.00E-05

0.35 0.39zc 0.93 3.91

Inventario t 2437.4 9175.4



Capítulo 8 Espesamiento0.0 0.0E+00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

205


-1.0E-05


Densidad de flujo versus concentración7 6 5 Altura en m 4 3 2 1 0 0 0.1 0.2 Fracción volumétrica de sólidos 0.3 0.4

Perfil de concentraciones

8.6.5

Capacidad máxima

De acuerdo a la sección 8.5.3, el área unitaria básica de un espesador se puede obtener deG , D m2 1 s f bk () D kg s 1

Invirtiendo esta expresión y expresándola en t/h, obtenemos el tonelaje unitario TU:



206TU , D

Manual de Filtración & Separación3600s f bk () tph m 2 1 D

(8.93)

El tonelaje unitario máximo que puede ser tratado por un espesador se obtiene del valor míFmax S TU min , D ; L D

(8.94)

Ejemplo 11 Para los datos de los ejemplos anteriores, determinar la capacidad máxima FmaxD D 57.4 0.350 2.5 (100 57.4) 57.4 61.0 0.385 2.5 (100 61.0) 61.0

TU ,0.350

3600 2.5 6.05 104 (1 )12.59 1 D

tph m 2

Usando esta expresión podemos construir las curvas de la figura 8.41. La figura 8.41 muest

8.6.6 Estados estacionarios posibles Hemos visto que la alimentación generalmente se diluy



Capítulo 8 Espesamiento3.00E-01

207

2.50E-01

Tonelaje Unitario TU tph/m2

2.00E-01

1.50E-01

D=0.3.5

1.00E-01

Tumin=7.0E-2 tph/m 2

D=0.3.855.00E-02

L

0.00E+00 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 Fracción volumétrica de sólidos

Tonelaje Unitaria TU máximo capaz de ser procesado.

Ejemplo 12 Considere un espesador cuyos parámetros de espesamiento son los dados en el eje



2080,000 0,00E+00 0,100 0,200 0,300 0,400

Manual de Filtración & Separación0,500 0,600 0,700

-5,00E-06 Densidad de flujo de sólidos fk

q1=5E-6

-1,00E-05

q2=1.5E-5

-1,50E-05

-2,00E-05

q3=3E-5

F=0.1

D=0.38

-2,50E-05 Fracción volumétrica de sólidos

Dos estados estacionarios posibles con q1 y q2 y uno imposible con q3 .

7

6

5

F1=289.9 tph

Altura m

4 F1=145.0 tph 3

2

1 F1=48.3 tph 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Fracción volumétrica de sólidosFig. 8.43 Perfiles de concentración para los dos estados estacionarios con capacidades de



Capítulo 8 Espesamiento 8.6.7 Efecto del floculante sobre la capacidad de un espesador

209

Consideremos un caso en que se realizan pruebas de sedimentación de caliza, de densidad =

0 0,00E+00

0,1

0,2

0,3

-5,00E-05


0 gr/ton

-1,00E-04

3 gr/ton 4.5 gr/ton

-1,50E-04

12 gr/ton 6 gr/ton-2,00E-04

fbk)=uoo(x)**(1-)

31

9 gr/ton-2,50E-04

Fracción volumética de sólidos

Fig. 8.43 Densidad de flujo de sólidos versus fracción volumétrica de sólidos, representan

Con estas correlaciones se puede estimar la capacidad de un espesador continuo para obtene-2

q m/s -5.89E-5 -1.12E-4 -1.80E-5

fF m/s 1.12E-5 2.12E-5 3.42E-5

F/S tph/m2 0.101 0.191 0.308



210


donde F / S f F s 3600 en tph/m2. La figura 10 muestra la capacidad máxima de espes

0 0,00E+00 -5,00E-06 -1,00E-05 Densidad de flujo de sólidos -1,50E-05

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

fF=1.12E-05

fF=2.12E-05 -2,00E-05 -2,50E-05 -3,00E-05 -3,50E-05 fF=3.42E-05

Serie1 3 gr/ton-4,00E-05 -4,50E-05 -5,00E-05 Fracción volumétrica de sólidos

Serie2 9 gr/ton Serie3 0 gr/ton

Fig8.44 Capacidad máxima de espesamiento para una descarga con =0.190 y dosis de 0, 3 y 9

El hecho que un cambio de dosificación de floculante influya en los parámetros de espesami

8.7 INVESTIGACIÓN, DESARROLLO Y TRANSFERENCIA TECNOLÓGICA Aunque el campo de la separación




211

floculación no han sido suficientemente asimilados en el procesamiento de minerales y la s

8.7.1 Efecto de los floculantes en el espesamiento El campo de la fisicoquímica nos ha ent



212


8.7.2 Reología de sedimentos y descarga de un espesador Relacionado con el punto anterior

8.7.3 Efecto de surfactantes y floculantes hidrófobos en la filtración Tal como lo hemos i



Capítulo 8 Espesamiento 8.7.4 Flujo en lecho poroso compresible

213

Los fundamentos de la filtración que hemos presentado en este Manual están basados en la t

8.7.5 Modelación de la alimentación En la sección sobre operación de espesadores hemos men



214


mezcla del floculante y a la dispersión del sólido que trae el flujo de alimentación. El d

8.7.6 Espesadores de alta capacidad y alta densidad Los espesadores de alta capacidad tuvi




215

favorecer la descarga y rastras especialmente diseñadas, permite tener un nivel más alto d

8.7.7 Optimización de los ciclos de filtración En general, la mayoría de las plantas de pr

8.7.9 Recuperación de agua en sistemas de separación sólido-líquido Cada día se hace más n



216 8.7.10 Dinámica y control de proceso


La mayor parte de los espesadores tienen, desde su diseño y construcción, asociados instru

REFERENCIAS Adamson, W.H. Jr. and Glasson, P.S., MIT Thesis 1925. Ardillon, “Les mines du




217

Bustos, M.C. and Concha, F., On the construction of global weak solutions in the Kynch the



218


Bürger, R., Concha F. And Tiller, F.M., Applications of the phenomenological theory to sev




219

Dixon D.C., Momentum-balance aspects of free-settling theory: I. Continuous steadystate th



220


Laskowski, J.S. and Castro, S.H., 1999. Aggregation of inherently hydrophobic solids using




221

Thacker, W.C. and Lavelle, J.W., Two-phase flow analysis of hindered settling, The Physics



CAPÍTULO 9 FILTRACIÓN9.1 DEFINICIÓN, EQUIPOS Y OPERACIÓN

Filtración es el proceso de separación sólido-fluido mediante el cual el sólido es separad

9.1.1 Filtración con formación de queque La filtración con formación de queque se caracter



Capítulo 9 Filtración

223

mientras que el sólido permanece en la suspensión aumentando su concentración con el tiempPULPA p>p0

QUEQUE MEDIO FILTRANTE

FILTRADO

p=p0

Fig. 9.1 Filtración con formación de queque

FILTRADO

CONCENTRADO

ALIMENTACIONFILTRADOFig. 9.2 Filtración sin formación de queque

9.1.3 Filtración profunda. Para la filtración de partículas muy finas en suspensiones dilu



224


por uno nuevo. Dos ejemplos de filtración profunda son los filtros de arena para piscinasSUSPENSIÓN Medio Filtrante

FILTRADOFig. 9.3 Filtración profunda

Las condiciones en que se realiza una filtración depende de muchos factores, entre los cua

9.1.4 Variables de Operación Las principales variables en un proceso de filtración pueden



Capítulo 9 FiltraciónGranulometría del sólido Distribución de tamaño QF (t) F (t)VARIABLES

225S P

PERTURBACIONES

DISEÑO

ENTRADA S

QP (t) SALIDA S (1- P) (t))

OPERACIÓN

VARIABLES DE CONTROL

PARAMETROSt1 ,t2 , t3 Agitación

, K(), (e),f, f , P P

Fig. 9.4 Variables en filtración.

Variables de entrada Variables de salida Variables de diseño Variables de control

: Flujo QF(t) y concentración F(t).de entrada de suspensión, : Flujo de descarga QP(t) y

Parámetros

Perturbaciones

: Granulometría del sólido.

La mayoría de los equipos de filtración, sean continuos o discontinuos, trabajan en ciclos



226

Manual de Filtración & Separación implica calcular la cantidad mínima de agua necesaria pa

9.2

Equipos para la filtración

Los equipos que utilizan presión en vez de vacío, deben usar mecanismos mucho más complica

9.2.1 Filtros a vacío Hay cuatro tipos de filtros a vacío: el filtro de tambor, el filtro




227

humedades menores, del orden de 8 a 10%. A continuación describiremos brevemente cada uno

Filtros de tambor El filtro de tambor consiste en un tambor rotatorio con su parte inferio

Fig. 9.5 Filtro de tambor.

Filtros de discos El filtro de discos consiste en un eje central que soporta un número det



228


Vista del filtro

Detalle de un sector de un disco

Fig. 9.6 Filtro de discos.

Una variante de estos filtros de discos, son los filtros cerámicos. Los filtros cerámicos

Fig. 9.7 Filtro de discos cerámicos.




229

Existen dos tipos de placas cerámicas disponibles. El primer material posee poros de 1,5 m

Fig. 9.8 Placa de filtro cerámico.

Los sólidos contenidos en la pulpa se acumulan en la superficie del disco y el desaguado c

Filtros de bandeja El filtro de bandeja consiste en una serie de bandejas abiertas ubicada



230


Fig. 9.9 Filtro de bandeja horizontal.

Filtros de banda horizontal El filtro de banda horizontal semeja una correa transportadora

Fig.9.10 Filtro de banda horizontal.

9.2.2 Equipos de filtración a presión La filtración en equipos tradicionales, tales como f




231

uso de secadores antes de obtener un producto final. Es así como los filtros de presión so

Filtro prensa de placas verticales En los filtros de presión de placas verticales la separ

Fig. 9.11 Filtro de placas verticales.

Las placas se comprimen entre sí mediante un arreglo de cierre de un pistón hidráulico en



232


Fig. 9.12 Esquema de un filtro-prensa.

El mecanismo de acción de un filtro-prensa se puede describir de la siguiente forma: El ca



Capítulo 9 FiltraciónLAVADOR DE TELAS SOPORTE DE TELAS CABEZA MOVIBLE CONDUCTOR DE CABEZA MÓVIL CONDUCTOR DEL S

233

SACUDIDOR MECÁNICO DE TELAS ENLACE DE PLACAS

PLACAS CONDUCTOR HIDRÁULICO

CILINDROS DE CERRADO HIDRAULICO CANAL DE DESAGÜE

Fig. 9.13 Esquema de un filtro de placas verticales.

Las etapas consecutivas del proceso de filtración no comprenden la utilización de compresi



234


ALIMENTACIÓN

DESCARGA DE FILTRADO

Fig. 9.14 Etapa de alimentación.

DESCARGA DE FLUIDO DESPLAZADO

AIRE DE SOPLADO

Fig. 9.15 Etapa de soplado.

Descarga: Una vez terminadas las etapas de filtración y compresión, se abre las compuertas




235

PLACAS TELAS FILTRANTES QUEQUE COMPUERTAS DE DESCARGA

Fig. 9.16 Etapa de descarga del queque.

La figura 9.14 muestra la fotografía de un filtro prensa de placas verticales.

Fig. 9.17 Filtro prensa de placas verticales.

Filtro prensa de placas horizontales Recientemente se ha desarrollado un tipo de filtro a



236


Este tipo de filtro prensa consiste básicamente en una cámara filtrante horizontal situado

Fig. 9.18 Filtro prensa de placas horizontales.

La secuencia operacional para la filtración por presión en placas horizontales, es como si




237

Fig. 9.19 Cerrado y sellado de las cámaras.

Alimentación: La pulpa es bombeada a presión hacia la cámara del filtro a una determinada

Fig. 9.20 Etapa de alimentación.

Limpieza: En forma opcional se limpia el residuo de pulpa que queda retenido: La etapa pro

Fig. 9.21 Etapa de formación de queque y expresión por compresión



238

Manual de Filtración & Separación Retracción del diafragma: Una vez terminada la expresi

Fig. 9.22 Etapa de soplado del queque.

Lavado del queque: La solución de lavado es alimentada por bombeo dentro de la cámara del

Fig. 9.23 Etapa de lavado del queque.

Segunda compresión: Se presiona al diafragma nuevamente para forzar la solución de lavado

Fig. 9.24a Etapa de segunda compresión.




239

Fig. 9.24b Etapa de segunda compresión.

Segunda soplado y retracción del diafragma: Después de la segunda expresión, se sopla el

Fig.9.25 Segunda soplado y retracción del diafragma.

Descarga del queque: Los sellos se retraen y se descarga el queque accionando la correa de

Fig. 9.26 Descarga del queque seco.

Lavado de la correa: Antes de comenzar un nuevo ciclo, se realiza un lavado a la correa y,



240

Manual de Filtración & Separación cámara con la puerta desviatoria cerrada para evitar que

La figura 9.27 muestra un ejemplo de filtro prensa de placa horizontal.

Fig. 9.27 Filtro prensa Larox.

Filtro prensa de discos El filtro prensa de disco, consiste en una sola cámara, situada so




241

Cerrado de las cámaras.

Alimentación al filtro.

Filtración.

Descarga del queque.

Fig. 9.28 Esquema de detalle en ciclos de un filtro a presión semi-continuo.

Filtro de vela Un tipo de filtro que puede ser clasificado como de filtración sin formació



242


Fig. 9.29 Filtros de vela a presión.

9.2.3 Filtros hiperbáricos Los filtros de vacío tienen como gradiente de presión limitante

Fig. 9.30 Filtro hiperbárico.



Capítulo 9 Filtración 9.3 MEDIOS FILTRANTES

243

Un medio filtrante puede ser definido como cualquier material permeable sobre el cual, o e

9.2.1 Telas Las telas filtrantes más comunes son hechas de material textil, de fibra natur

Tabla 9.1. Resumen generalizado de medios filtrantes clasificados de acuerdo a su rigidez

Pantallas de alambre . bobinados de alambre. Anillos apilados. Hojas metálicas Perforadas.



244(continuación) Principales tipos Hojas plásticas Membranas Medios tejidos Medios no tejido


Subdivisiones Monofilamentos tejidos Hojas porosas Poliméricas Cerámicas Metálicas Fibras

Partícula más pequeña retenida (m) (aprox.) < 0.1 < 0.1 0.2 5 10 <10 10 5y7 10 1 <1

poliuretanos (polímeros micro porosos regulados) que han dado muy buen resultado. BásicameTabla 9.2. Propiedades del medio filtrante orientadas a la máquina (Purchas 1980) Propieda




245

Tabla 9.3. Propiedades específicas de filtración en medios filtrantes (Purchas y Hardman 1Concentracion de particulas en el filtrado Concentracion de particulas en la suspension a

Una eficiencia de retención del 100 % corresponde al punto de corte de la tela (cut–off).

Capacidad ensuciamiento. Tendencia a obturación

Descarga del queque

Tabla 9.4. Propiedades orientadas a la aplicación del medio filtrante (Purchas, 1980) Apli

Estabilidad Dinámica

Características absorbentes



246 (continuación)


Aplicación orientadas a las propiedades del medio filtrante. Compatibilidad del medio filt

Disponibilidad Capacidad de reutilización

Costo

Los principales daños que puede sufrir la tela pueden deberse a deformación estructural, eTabla 8.5. Atributos químicos y térmicos de fibras, Hardman 1994) Resistencia a: Temperatu




247

Cabe señalar que a la tela se le realiza procesos finales de estabilización que aseguran u

En conclusión, podemos ver que existe una infinidad de medios filtrantes dependiendo de la

9.4

TEORÍA DE FILTRACIÓN

Dependiendo del tipo de material a filtrar y de la magnitud del gradiente de presión el qu



248


presión aplicado es pequeño y nuevamente el material puede ser considerado incompresible e

iii) La superficie de filtración es plana. iv) La velocidad de percolación del filtrado a

9.4.1 Formación del queque. Formalmente, el proceso de filtración queda descrito por las s( z, t ) 0

(9.1) (9.2)

q (z, t) q (t)



Capítulo 9 Filtraciónp e q k 0

249 (9.3)

donde 0 es constante y q es una función del tiempo solamente.pem pe p0

p2

p1

Filtrado

Suspensión queque

Medio filtrante

k

z l

lm

Fig. 9.14 Filtración con queque plano, donde

p1 pe pem 0 y p 2 pem p0 0 .

Las condiciones de contorno son:p e ( m ) p 0 p e ((t)) p e

(9.4) (9.5)

donde p e es el valor de la presión en exceso a la hidrostática en la interfaz entre el qu



250


la presión a la que es sometida la suspensión depende de las características de la bomba.

Presión

Flujo

Fig. 9.15 Curvas características de una bomba centrífuga.

Cuando la bomba inicia su acción hay poca resistencia en el filtro por lo que hay una baja

a)

Filtración a presión constante

Como indicamos en los párrafos anteriores, durante la fase avanzada de la filtración en eq

p e pe p0 p1 p 2 0(9.6)




251

Cada una de estas caídas de presión es constante y positiva, por lo que integrando la ecuap e dp e dz k , se obtiene: p e q k k k

p0

p em

dp e

m

0

q(t)dz k

p0 pem p 2

( m )q(t) km

m q(t) km

(9.7)

donde km y m son la permeabilidad y espesor del medio filtrante respectivamente y q(t) e

pe

pem

dp e

( t )0

q(t)dz k

pe p em

(t)q(t) k 0

p1

(t)q(t) k 0

(9.8)



donde k 0 y t son la permeabilidad y espesor del queque respectivamente. Reemp (t) p e m q(t) k m k 0

(9.9)

El caudal de filtrado Q(t) se puede expresar en términos de la velocidad de percolación qQ(t) q(t)S dVf (t) dt

(9.10)

donde S es el área de filtración. Reemplazando (9.10) en la ecuación anterior obtenemos:



252

Manual de Filtración & Separación (t) dVf (t) p eS m k m k 0 dt

(9.11)

Tiempo de filtración Para llegar a una ecuación práctica que relacione el espesor ( t ) ,Fracción volumétrica de sólidos en la suspensión 0 : 0 volumen del sólido Volumen de

El volumen de líquido es igual al volumen de filtrado producido mas el líquido retenido en0

Vf (t) S(t)0 m 0 , t

m 0 , t s

s

(9.12)Por otra parte, la masa del queque es igual al volumen del queque por la densidad del sólim 0 , t s 1 0 S

bgb

g

(9.13)

Reemplazando (9.13) en la ecuación anterior y despejando ( t ) o m 0 , t obtenemos:(t) 0 Vf (t) 1 0 0 S

(9.14)

m 0 , t

0 1 0 1 0 0

s Vf (t)

(9.15)

Las expresiones (9.14) y (9.15) dan las relaciones entre grosor del queque, masa de éste y

p eS

F GH k

m m

0 dVf Vf ( t ) S(1 0 0 )k 0 dt

bg

I JK

(9.16)




253

La única variable en esta expresión es el volumen de filtrado. Integrando entre 0 y t y en

Sp e d 0t

Vf

0

m d km

Vf

0

0 1 d 2S (1 0 0 )k 0

Sp e 0 1 t m Vf Vf2 km 2S (1 0 0 )k 0

(9.17)

Espesor del queque Reemplacemos Vf de (9.14) en (9.17) para dar, después de algunos arregl

2 2k 0 k 0 0 m pe t0 2 km 1 0 0

(9.18)

Cuya solución es:12 2 0 2pe m (t) k 0 t m km k m k

(9.19)

Usando las relaciones entre ( t ), Vf ( t ) y m 0 , t en esta última ecuación podemos e12 2 0 2pe m m 0 , t sS 1 0 k 0 t m

bg(9.20)

1 0 0 Vf (t) Sk 0 0

12 2 0 2pe m t m km k m k 0 1 0

(9.21)

Las expresiones (9.19), (9.20) y (9.21) representan el grosor del queque, su masa y el vol

F 2 I F 1 IJ ckb gh V ( t ) SG J G H K H K

12 12 f 0 0 0 0

12



p1 2 t1 2 e

(9.22)



254


F 2I mb , t g b1 gSG J H K F 2 I F IJ ( t ) G J G H K H1 K0 s 012 0 0 0

12

FG IJ ckb gh H1 K12 0 0 0 0

12

p1 2 t1 2 e

(9.23)

12ckb gh0

12

p1 2 t1 2 e

(9.24)

Es importante fijarse que cada uno de estos parámetros, volumen de filtrado, masa del queq3500

3000

2500

2000

1500

1000 Modelo 500 Da tos experim entales

0 0 20 40 60 80 1 00 120

tiem po de fo rmación de que que (s.)

Fig. 9.16 Modelación etapa de formación de queque en la etapa de prensado en un filtro a p

En la figura 9.16 se observa que el volumen de filtrado aumenta inicialmente en forma prop (t) pe m q(t) k m k 0

(9.25)




255

Como se ha supuesto que el queque es incompresible, su porosidad permanecerá constante durpe m q(t) km

Como q es igual a q 1 S Vf t , la ecuación anterior se aproxima a:pe m Vf k m St

de donde concluimos que:Vf Spe m t km

Esto significa que inicialmente el volumen de filtrado es una función lineal del tiempo. L2 1 2 0 ms m m 2 pe t sS 1 0 k

(9.26)

Ejemplo 1 (Massarani 1978) Calcular el área necesaria de un filtro prensa para filtrar 10.



256

Manual de Filtración & Separación0 m 1 t Vf k Vf Spe m 2S (1 0 0 )k 0

La figura que sigue muestra los valores necesarios para calcular Rm y k():

R m 7.1 103 500 (106 40 /14.5) / 0.01 1.06 109 cm 10 q 5 0.0198 2.6 (100 5) 5 60.2 0.368 2.6 (100 60.2) 60.2

(de la suspensión) (del queque)

0 1 0.368 0.632

1 0.01 14.5 k 0 6 6 10 500 40 10

0.0198 1 10 2 4.12 10 cm 2 500 1 0.0198 0.632

0.03

0.025

0.02

t/Vf

0.015

0.01

t/Vf = 1E-06Vf + 0.0071 R = 0.99772

0.005

0 0 5000 10000 15000 20000

Vf

Cálculo de las permeabilidades del queque y medio filtrante

Cálculo del área de filtración De la ecuación (9.25) se puede calcular el área en función



Capítulo 9 Filtración (t) Q S m k m k 0 p e

257

103 3 Q 10000 2777 cm s 3.6 103 2777 14.5 2 S 0.01 1.06 109 3.2 4.12 109 88842 cm 40 106

S 8.88 m 2

b)

Filtración a volumen constante

La filtración a volumen constante se lleva a cabo en las etapas iniciales de equipos en qu (t) p e (t) m q k m k 0

Q pe (t)S m k m k( 0 ) S donde Q es el flujo volumétrico constante d(t)

Sk( 0 ) k( ) pe (t) m 0 Q kmSs 1 0 k( 0 ) Q pe (t) m s 1 0 k( 0 ) km

(9.27)

m s (t)

(9.28)

Por otra parte el valor del flujo de filtrado se obtiene de datos de la bomba.

Ejemplo 2 (Wakeman y Tarleton 1999) Se realizó una experiencia en el laboratorio con un fi



258


0.01 poises . La producción de filtrado en el tiempo se muestra en la tabla que sigue.Tiempo t en s 0 170 275 340 390 Volumen en cm3 0 141 200 230 252 Tiempo t en s 457 527 589

Calcule el tiempo necesario para obtener un espesor de queque de 4.5 cm Fracción volumétrio o f 1320 1000 0.195 s f 2640 1000 4.5 cm

Espesor del queque deseado:

Existe una relación directa entre la masa de sólido depositada en el queque, la concentrac0 (t) 1 Vf (t) 1 0 0 S

Por lo tanto

(t) 0.195 1 0.01307 Vf (t) 1 0.195 0.473 202.5

de donde se puede construir la tabla:t s 0 170 275 340 390 457 527 589 660 V cm3 0 141 200 230 252 285 320 341 370 l cm 0 1.8 2



Capítulo 9 Filtración El espesor del queque de 4.5 cm se obtiene en 589 s.

259

9.4.2 Secado o soplado del queque Durante el período de formación del queque se elimina la



260


k 0s p e z k 0 ,s k 0 ,s q (0 ,s) q ( 0 ,s 1) k 0

(9.29)

k 0s pg g z k 0 ,s k g 0 ,s q g ( 0 ,s) q g ( 0 ,s 0) k 0

(9.30)

De esta forma se puede utilizar la ecuación de Darcy para el flujo en queque nosaturado us

q (s)

k 0 ,s k 0

p e

(9.31)

q g (s)

k g 0 ,s k 0 g

p g

(9.32)

La permeabilidad relativa debe ser determinada experimentalmente. La figura 9.17 muestra lk i ( 0 ,s) f i s,s con i ,a

(9.33)

donde s es la saturación y s es la saturación residual y el índice i se refiere al fluido



Capítulo 9 Filtración0.6

261

0.5

Permeabilidad relativa kl y ka

líquido aire 0.4

0.3

0.2

0.1

0.0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

SaturaciónFig. 9.17 Curvas de permeabilidad relativa para el escurrimiento de agua y aire en un queq

Tiempo de soplado Consideremos la ecuación de soplado (9.31) integrémosla para obtener:

Durante el período de soplado, el grosor del queque permanece constante y es igual a

t

0

p e d

R1 0

s

m

d k( 0 )k ( 0 , )

pe t R m 1 s 0 k 0

f , s 0

1

d

(9.35)

La ecuación (9.35) da el tiempo necesario para llegar a una saturación s bajo un gradiente



262


Flujo de aire Como en filtración a presión, el gradiente de presión es mucho mayor al grad p e Rm qg g k( 0 )k g ( 0 ,s)

de donde el flujo de aire Qg Sq g resulta ser:

Sp e Qg R m k(0 )f g (0 ,s) g

1

(9.36)

donde a y b, n y m son los parámetros que describen la permeabilidad relativa del aire. Enh 100 f 0s f 0s s 1 0 y s s 1 0 h f 0 100 h

(9.37)

Una vez integrada la ecuación (9.36), podemos reemplazar la saturación por la humedad y di

9.5

PARÁMETROS DE FILTRACIÓN Y SU MEDICIÓN

En la figura 9.13 hemos esquematizado las diversas variables que influyen en el proceso de




263

proceso de filtración es necesario establecer las dependencias de los parámetros de las pr

2.5.1 Medición de los parámetros de filtración Numerosas empresas han desarrollado instrum

Fig. 1 Pantalla inicial del software del FILTRATEST.



264


Flujómetro

Acondicionador de señales ROTA

Cable Ribbon PR50-50F Bloque conector CB-50LP DAQCard-700

Interfase RS-232 Computador Laptop Balanza electrónica

Fig. 2 Esquema de conexiones del FILTRATEST y periféricos.

a)

Porosidad del queque

La porosidad del queque está determinada principalmente por el tamaño, distribución de tam

Empaquetamiento Número de coordinación 3 4 5 Cúbico Orto-rómbico Tetragonal Romohedral 6 7




265

Se puede observar que, dependiendo del empaque, la porosidad puede variar desde 0.26 a 0.7

Ejemplo 3 Para determinar la porosidad de un queque en un filtro Larox PF, se tomó una mue

Ejemplo 4 Durante una prueba de filtración en un equipo de laboratorio se utilizó 138.7 g Vfq Vsq Vfq 72.2) 138.7 20.60 0.50 (100 72.2) 72.2) 138.7 20.60

(100 72.2)

Para queques compresibles, por ejemplo para relaves floculados, la porosidad del queque es



266


relaciones propuestas son del tipo potencial o exponencial, de las cuales se da tres ejemp 1 p s

(9.38)1

p 1 s 1

(9.39) (9.40)

1 ln p s

Ejemplo 5 Un relave de flotación fue filtrado en un filtro de banda a vacío (0.75 bares) o 0.484p 0.0611

La simulación con esta ecuación da: (3.75) 0.484(3.75) 0.0611 0.446(6) 0.484(6) 0.0611presión de sólido (bar) 0.8 1.0 1.5 2.0 2.7 3.0 3.5 4.0 4.7 5.0 5.5 6.0 2.90 2.87 2.81 2.7

0.434

Altura del queque (cm.)




267

0.50

Porosidad

0.45

= 0.4843p2

-0.0611

R = 0.9907

0.40 0 1 2 3 4 Presión (bar) 5 6 7

Compresibilidad del queque.b)

Permeabilidad del queque y Resistencia Específica del Medio Filtrante

El medio filtrante es un componente esencial en los equipos de filtración. Es un medio por

Determinación experimental Para determinar la permeabilidad k del queque y la resistt R 0 m 2 Vf (t) Vf (t) Spe 2S pe 1 0 0 k 0

(9.41)

donde R m m k m , m y km son el espesor y la permeabilidad del medio filtrante, info



268

Manual de Filtración & Separación Graficando t Vf (t) versus Vf (t) , se puede calcular la

medio filtrante R m y la permeabilidad del queque k 0 . Si b=tg es la pendiente de lFig. 3 Determinación de las resistencias específicas del medio filtrante y del queque. Tie

Calcule las resistencias específicas del medio filtrante y del queque.

Fracción volumétrica de la alimentación:o o f 1320 1000 0.195 s f 2640 1000 ms mf 1.34 msms 1 0.746 ms m f 1.34

Razón masa del queque húmedo y seco % sólido en peso del queque:X



Capítulo 9 Filtración Fracción de sólidos en peso del queque: f X 0.746 0.527 s 1 1 0.527 0.473

269

Graficando t/V versus V se obtiene la figura que sigue, de la cual resultan los parámetros2.0

t/V en s/cm

3

1.0

t/V = 0.0025V + 0.8895 2 R = 0.9831a=0.8895 b=0.0025 0.0 0.0 100.0 200.0 300.03

400.0

Volumen cm

Cálculo de las permeabilidades del queque y medio filtrante.

Resistencia específica del medio filtrante:Rm a pS 7.0 105 45 0.88946 2.80 109 cm 1 0.01

k

0 1 1 0.01 0.195 8.44 1010 cm 2 2 2 5 b 2S p 1 0 0.00246 2 45 7 10

Resistencia específica del queque:

0.784 5.33 109 cm 1 k 8.44 1010



270 Ejemplo 7


Determinar la resistencia específica del medio filtrante y la permeabilidad del queque queParámetros Densidad del sólido, g/cm3 3

Filtro Larox PF 3.87 1.0 78.0 0.0012 Análisis granulométrico 20 9.1 2 4 3.6

Densidad del filtrado, g/cm

Concentración de pulpa de alimentación, % de sólidos en peso Viscosidad del filtrado, kg/m

Tamaño de la malla

Tamaño promedio x m

Masa retenida g 2.32 0.77 1.87 7.75 16.22 27.15 23.73 18.27 98.15

f3(x) 0.024 0.008 0.019 0.079 0.165 0.277 0.242 0.186 1.000

35/48 48/65 65/100 100/150 150/200 200/270 270/400 -400 SUMA

365 252 178 126 89 63 45 31

Se realizó un ensayo de laboratorio en el equipo FILTRATEST (ver más adelante en esta secc



Capítulo 9 FiltraciónDatos de la experiencia de laboratorio Espesor del queque, mm Peso del queque húmedo, g Pe2

27136 168.28 156.78 39.76 19.63

14 12 Volumen filtrado (cm )3

10 8 6 4 2 0 0 10 20 30 40 50V=-0.078517+(112.29+11.617*t) R =0.9922 0.5

tiempo de formación de queque t en (s.)

Volumen de filtrado versus tiempo para los datos del ejemplo 4.

Agua final en queque: Humedad final: Porosidad del queque: Saturación en t1: Agua en quequ

168.28 156.78 11.50 gh final 100 11.50 11.50 156.78 6.83% 1s 10.43 19.63 3.6 30.16 g

156.78

3.87

19.63 3.6

0.43

h t1 100 0.43 1 19.63 6.3 17.92%201.48 156.78 44.70 g

44.70 30.16 14.54 .g44.70 11.50 33.20 .g



272


Concentración alimentación: 0 77.81/(3.87 (100 77.81) 77.81) 0.48 Si se grafica

6 5 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8

3

t/Vf (s/cm )

3

y = 0.031x + 2.3536 R = 0.0885 y = 0.0861x + 1.8243 R =12 2

10

12

14

Volumen filtrado (cm )

t/Vf versus Vf para los datos experimentales.

Del gráfico se puede observar que la dispersión de datos no permite obtener una buena corry b tg 0.0861(s / cm3 )

Usando las expresiones (9.42) se obtiene los siguientes parámetros para la experiencia enRm a peS 2 105 19.63 1.8243 5.97 108 cm 1 0.012

k 0

0 1 2 tg 2S pe 1 0



Capítulo 9 Filtración 1 0.012 0.42 4.32 109 cm 2 2 5 0.0861 2 (19.63) 2 10 1 0.48 0.43

273

Efecto del tamaño de partículas La ecuación de Kozeny-Carman para la permeabilidad de un mk 0 36 1

2 3d e 2 2

Esta ecuación permite observar que la permeabilidad de un queque de filtración depende dir

Ejemplo 8 Para los datos del ejemplo 7, predecir la permeabilidad de un queque de filtracid e 0.69 x12 0.69 54.18 37.39 m

Según Coulson y Richardson (1968), 5 , entonces:k 0 36 1 2 3d e 2

2

0.433 (37.39 104 )2 (0.5)236 5 (1 0.43)2

4.75 109 cm 2

El cálculo da un valor bastante aproximado al experimental. El tamaño promedio volumétricox12 1 1.85E 2 54.18 m



274


Tamaño de Tamaño promedio la malla x m 35/48 48/65 65/100 100/150 150/200 200/270 270/400

Masa retenida g 2.32 0.77 1.87 7.75 16.22 27.15 23.73 18.27 98.15

f3(x) 0.024 0.008 0.019 0.079 0.165 0.277 0.242 0.186 1.000

xf3(x) 8.89 1.98 3.39 9.95 14.71 17.43 10.88 5.77 72.99

f3(x)/x 6.67E-5 3.11E-5 1.07E4 6.27E-4 1.86E-3 4.39E-3 5.37E-3 6.00E-3 1.85E-2

c)

Saturación residual y curva de capilaridad

La presión de entrada y saturación residual son dos parámetros importantes para la determi

Ejemplo 9. Calcular la presión de entrada y la saturación residual para los siguientes datpe 0.00 0.20 0.40 0.45 0.47 0.50

Vf filtrado V líquido en queque Porosidad Saturación 16.47 17.07 22.84 24.32 26.17 27.09 2



Capítulo 9 Filtración (continuación)pe 0.55 0.60 0.65 0.70 0.80 0.90 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 Vf filtrado V líquido en queque

275

Los datos de la tabla se pueden graficar como se muestra en la figura siguiente. De la figpentrada 0.37 bares s 0.39

De la curva de capilaridad se observa que basta con soplar a 2 bares para eliminar el aguah 100 f s 1 0.43 0.39 100 7.07 % f s s 1 1 0.43 0.39 3.87

La saturación residual depende de varios factores, principalmente de la porosidad del queq

Correlación para la saturación residual Según Wakeman, ver Capítulo 6 ecuaciones (6.74) y



2763.50 3.00 Presión de soplado, bares 2.50 2.00 1.50 1.00 0.50 0.00 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70


0.80

0.90

1.00

1.10

Saturación, s

Curva de capilaridad para los datos del ejemplo 6.0.49 s 0.155 1 0.031N cap

N cap

1 av

2 3 x12 pe av 2

donde N cap es el número de capilaridad, av y son la porosidad promedio y el espesor d

Ejemplo 11 Determinar la saturación residual para el queque del ejemplo 10. La informaciónav 0.43 , x12 54.18 m , p 2 106 dinas cm , L 3.6 cm y 72 dinas cmN cap 2 3 x12 p av 2

2

1 av

L

(0.43)3 54.18 104 2 1062

1 0.43

2

3.6 72

0.0544

0.49 s 0.155 1 0.031 N cap 0.155 1 0.031 (0.055) 0.49 0.175




277

El valor obtenido mediante la correlación de Wakeman es aproximadamente la mitad del exper

Permeabilidad relativa Definimos con anterioridad la permeabilidad relativa en el tiempo t

t t2 t3 s s s 0 Formación 36.69 0 Expresión 75.00 38.31 0 120.57 Soplado 195.57 Total Etap

El primer paso en el cálculo es realizar el balance de masa: Soplado: Volumen de filtradoVf soplado 1.99 cm 3

M solido queque 43.27 4.41 47.68 g



278


Etapa de formación de queque Vf t/ Vf tiempo t Vf Tiempo t s g Vf (sim) cm3 s g Vf (sim) c

t/ Vf 6.099 5.992 6.034 5.922 6.077 6.132 6.192 6.325 6.337

Volumen de sólido en queque:

Vsolido queque 47.68 / 4.5 9.62 cm 3

Volumen de líquido en queque final: Vliquido queque 50.98 47.68 3.30 cm3 Volumen deVliquido queque 3.3 1.99 5.29 cm3

4.0

3.0

Presión capilar bar2.0

1.0

soo=0.535 0.0 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1

Saturación

Curva de capilaridad



Capítulo 9 Filtración Volumen total de queque: Espesor del queque: Porosidad del queque:Vqueque 5.29 9.62 14.91 cm3

279

Vqueque S

14.91 2.276 cm 6.55 5.29 0.355 114.91

Vliquido queque Vqueque

Líquido total: Vtotalliquido Vliq queque final Vf finalsoplado 3.30 12.34 h 100 M liquido queque M solido queque M liquido queque s 100 3.30 7.09% 40 Vsolido 9.62 0.381 Vliq total Vsolido 9.62 15.64

Saturación final: Prensado: Volumen de sólido en queque: Volumen de filtrado en prensado:

Vliq queque Vliq quequesaturado

Vsolido queque 9.62 cm3 Vf prensado 4.56 cm3

Volumen de líquido en queque después de prensar:Vliquido queque 5.29 cm3

Volumen total de queque después de prensar: Vqueque 5.29 9.62 14.91 cm 3 Espesor del Vqueque S 14.91 2.276 cm 6.55

Porosidad del queque después de prensar:

Vliquido queque Vqueque

5.29 0.355 5.29 9.62

Formación del queque Volumen de sólido en queque:Vsolido queque 9.62 cm3

Volumen de filtrado en formación del queque:

Vf formacion 5.79 cm3



280 Volumen de líquido en queque saturado:


Vliquido queque 15.64 5.79 9.85 cm3

Volumen queque: Espesor del queque:

Vqueque 9.62 9.85 19.47 cm 3

Vqueque S

19.47 2.972 cm 6.55

Porosidad del queque antes del prensado: La tabla que sigue resumen los resultados.

FORMACIÓN Densidad s=4.5 Area (cm2)=6.55 p (bar)=6.00E+06 espesor(cm)=2.972 filtrado(PaVliquido queque Vqueque

9.85 0.506 19.47

SOPLADO Densidad s=4.5

cgs

Area (cm2)=6.55 p (bar)=6.00E+06 espesor(cm)=2.276 aire(Pa-s)=1.87E-04 X0=73.45 0=0.381

Permeabilidad del queque Para calcular la permeabilidad del queque, se procede a modelar e



Capítulo 9 Filtración7

281

63

Vf=exp(a+b/t )

0.5

Volumen de filtrado Vf cm

5 a=3.265809415 4 b=-9.18533905

3

2 Datos experimentales Correlación 1

0 0 5 10 15 20 25 30 35 40

Tiempo s

Correlación del volumen de filtrado con el tiempo en la formación del queque.

Del modelo se grafica t/Vf versus Vf resultando en la figura siguiente, de donde se obtienk() 0 1 1 0.01 0.381 2 2 6 b 2S p 1 0 0. 2422 (6.55) 6 10 1 0.38

2.69619 1010 cm 2

50 45 40 35 Datos Serie2 Lineal (Serie2)

t/Vf s/cm

30 25 20 15 10 5 00 1 2

3

t/Vf = 0.2422Vf + 4.9604 R = 0.98042

3

4

5

6

7

8

9

10

Volumen de filtrado cm



3

Cálculo de las permeabilidades del queque y medio filtrante.



282Rm a

Manual de Filtración & SeparaciónpS 6 106 6.55 4.9604 1.95 1010 cm 1 0.01

Permeabilidad relativa Las tres primeras columnas de la tabla que sigue muestra los datos

2.50 Datos experimentales simulación Volumen de filtrado en soplado cm3 2.00

1.50

Vf=a+bt1.002

c

R =0.990

0.50a=-0.048167781 b=0.5437304 c=0.27787257

0.00 0 20 40 60 80 100 120 140 Tiempo de soplado s

Correlación del volumen de filtrado en el soplado.

De esta correlación se puede calcular el flujo de filtrado en el tiempo como la derivada d

0.100

Flujo de filtrado en el soplado cm /s

Qf=cbt

(c-1)

3

b=0.54373044 c=0.27787257

0.050

Simulado

0.000 0 50 100 150

Tiempo de soplado s

Correlación del flujo de filtrado en el soplado.



Capítulo 9 Filtraciónt2 Vf (soplado) Vf (sim) Qaire Q aire (sim) Qfiltrado

283kelcm2 5.22818E-11 3.17496E-11 2.37047E-11 1.92638E-11 1.63881E-11 1.43699E-11 1.28583E-11 1.

keacm2 1.36768E-10 1.38396E-10 1.39350E-10 1.40027E-10 1.40555E-10 1.40983E-10 1.41346E-10 1.

krl1.000 0.194 0.118 0.088 0.071 0.061 0.053 0.048 0.043 0.040 0.037 0.034 0.032 0.031 0.029

kra0 0.507 0.513 0.517 0.519 0.521 0.523 0.524 0.525 0.526 0.527 0.528 0.529 0.530 0.530 0.53

sats 0.909 0.856 0.843 0.832 0.813 0.803 0.794 0.794 0.784 0.775 0.775 0.762 0.749 0.749 0.73

Sat reducida(s-soo/(1-soo) 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.

s0 2.04 4.07 6.1 8.13 10.17 12.2 14.23 16.26 18.29 20.33 22.36 24.39 26.42 28.46 30.49 32.5

cm30.00 0.48 0.76 0.83 0.89 0.99 1.04 1.09 1.09 1.14 1.19 1.19 1.26 1.33 1.33 1.38 1.38 1.43

cm30.00 0.61 0.75 0.85 0.93 0.99 1.04 1.09 1.13 1.17 1.21 1.24 1.27 1.30 1.33 1.36 1.38 1.41

cm3/s

0.00 18.67 15.69 14.07 13.42 12.93 12.93 13.03 13.07 13.07 13.10 12.89 13.03 13.00 12.89 1

cm3/s0.00 12.60 12.75 12.84 12.90 12.95 12.99 13.03 13.05 13.08 13.10 13.12 13.14 13.16 13.18 1

cm3/s0.0903 0.0548 0.0409 0.0333 0.0283 0.0248 0.0222 0.0202 0.0185 0.0172 0.0160 0.0150 0.0142

La permeabilidad efectiva del líquido y del aire se determina de: Q (t) k a Q a (t) k efect (t) p S

y se muestran en la tabla anterior y la figura siguiente.



28420.00 18.00 16.00


Flujo de aire cm /s

14.00 12.00 10.00 8.00 6.00 b=0.21718605 4.00 2.00 0.00 0 20 40 60 80 100 120 140 Datos ex

3

Qa=a+blntR =0.991 a=12.4489722

Tiempo de soplado s

Correlación del flujo de aire en el soplado.1.6E-10

2Permeabilidad del líquido kl y del aire ka cm

1.4E-10

1.2E-10

1.0E-10

8.0E-11

6.0E-11 líquido aire

4.0E-11

2.0E-11

0.0E+00 0.600

0.650

0.700

0.750

0.800

0.850

0.900

0.950

Saturación s

Permeabilidades efectivas del líquido y del aire.

La saturación se calcula de:s Vliquido total Vf total (t) Vliquido total (Vf formacion Vf exp resion



Capítulo 9 Filtración Finalmente las permeabilidades relativas se obtienen de las siguient

285

y el resultado se incluye en la misma tabla anterior. Una vez determinados estos valores,sr s s 1 s

El resultado se entrega en la tabla anterior. Las funciones que representan a las permeabik s r exp 4.466256 4.4661532 s r2 k a sr 0.6

0.55207243 0.55208459 s r 1 0.91554001 s r 0.07642878s 2 r

0.5

Permeabilidad relativa kl y ka

líquido aire 0.4

0.3

0.2

0.1

0.0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Saturación

Permeabilidades relativas del líquido y del aire.



2861.0


Permeabilidad reducida del líquido k l y del aire k a

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4

ka=(a+csr)/(1+bsr+dsr )a=0.55207243 b=-0.91554001 c=-0.55208459 d=-0.076422878

2

líquido aire correlación líquido aire

kl=exp(a+bsr )0.3

2a=-4.4662560.2

b=4.46615320.1 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Saturación residual sr=(s-soo)/(1-soo)

Correlación para las permeabilidades relativas.

9.6

FILTROS CONTINUOS A VACÍO

La filtración a vacío ha sido y sigue siendo un proceso importante en las empresas mineras




287

Para todos estos tipos de filtro de vacío de que utilizan telas como medio filtrante una d

9.6.1 Modelo de un Filtro Rotatorio Consideremos un filtro rotatorio a vacío, como por eje

tF I tR I N T rev

(9.43) (9.44)

t D (1 I) t R

1 I T / rev N

Supongamos que el filtro está sumergido en la suspensión hasta una altura h, ver figura 9.

h

Fig. 9.16 Filtro rotatorio a vacío



288


La fracción I del tiempo correspondiente a la formación de queque, debe ser igual a la fraI , 360 tF 1 360 N T rev y 1 t D 1 360 N

(9.45)

a)

Formación del queque

La relación entre el volumen de filtrado producido y el tiempo de formación de queque estáVf2 (t f ) 2Sk()R m 1 0 2S2 k()pe 1 0 Vf (t f ) tF 0 0 0 2S2 k

Sustituyendo (9.43) y (9.45) se obtiene, por revolución del filtro:Vf2 (N) 2Sk R m

ordenandoS2 Vf (N)N 2S2 k()R m (1 0 ) Vf (N)N 2S2 k() p e 1 0 0 2

(1 0 ) Vf (N)N 2k()p e 1 0 N Vf (N)N 0 2k()R m N S2

Velocidad de percolación Es fácil ver que el término (Vf S) N corresponde al volumen de fiq f (t) Vf N 3 2 L LT S

(9.46)

Remplazando en la expresión anterior, se obtiene una ecuación algebraica de segundo grado

q f2 (t) 2k()R m N (1 0 ) k()Npe 1 0 q f (N) 0 0 0 180

(9.47)

cuya solución es:



Capítulo 9 Filtración12 (1 0 ) 2 p e 0 -1 q f (t) Nk() R m R m LT 0 k() (1

289 (9.48)

Flujo másico El flujo másico de queque está relacionado con el volumen de filtrado mediantm s (t) s 0 (1 ) Sq (t) 1 0 f

(9.49)

Reemplazando en (9.48) obtenemos el flujo másico:12 pe 0 2 -1 ms (t) s (1 )Sk()N R m R m MT k() (1 0

(9.50)

Si la resistencia del medio filtrante puede ser despreciada, las ecuaciones (9.48) y (9.50 k() p e (1 0 ) N q f (t) 0 180 12

LT-112

(9.51)

k()pe 0 N ms (t) s (1 )S (1 0 ) 180

MT-1

(9.52)

Las ecuaciones (9.48) a (9.52) permiten calcular la capacidad de un filtro a vacío rotator 1 (1 0 ) q(t) 0

12

k()

12

N p e 180

12(9.53)

Propiedades de la suspensión

Propiedades del queque

Variables de operación



290 1 0 (1 ) 2 ms (t) sS (1 0 ) 12


k()

12

N p e 180

12

(9.54)

Espesor del queque La relación entre el flujo de sólidos en el queque y el espesor de éste(t) m s (t f ) s (1 )SN L rev

(9.55)

Reemplazando en (9.50) y (9.54), dependiendo si se desprecia o no la resistencia del medio12 p e 0 2 (t) k() R m Rm k() (1 0 ) 180N

(9.56)

1 0 12 (t) k() p e 180N (1 0 )

12

12

(9.57)

b)

Cambio de condiciones de operación Consideremos un filtro rotatorio operando en las condic

una capacidad y espesor del queque de (ms1 , 1 ) y en las condiciones de operación

( pe 2 , N 2 ) , con espesor del queque de (ms2 , 2 ) . El espesor del queque por

revolución es:(N)

ms 1 s (1 )S N

y por lo tanto: 2 (N 2 ) m s2 N1 1 (N1 ) m s1 N 2

Si exigimos que en ambas condiciones de operación 1 y 2, los espesores del queque permanezm s2 N 2 m s1 N1

(9.58)

Por otra parte, el cuociente de masa producida se puede obtener de (9.54):



Capítulo 9 Filtraciónms1 pe1N1 ms2 pe2 N 2 12

29112

(9.59)

reemplazando (9.58) en (9.59) da como resultado:m s1 pe1 m s2 p e2

(9.60)

Las expresiones (9.58) a (9.60) permiten calcular la capacidad de un filtro rotatorio ante

c)

Deshumedecimiento del queque

El deshumedecimiento del queque se produce por succión de aire desde el ambiente mediante 1 t D 1 T rev 360 N

La humedad final del queque depende de cantidad de material a tratar en este tiempo y de l 1 0 R m 1 s 1 k 0 360 N pe

k , s

1

d

que relaciona la velocidad de rotación con la saturación final. El flujo de aire durante e1

Spe Qg g

R m k()k g (,s)

(9.61)

En estas ecuaciones k i ( 0 ,s) f i s,s , con i ,a son las formas funcionalesEjemplo 13 Un filtro rotatorio, cuya velocidad es de N=0.03 Hz, produce 27 m3/h de filtrad



292


Como la masa de filtrado es proporcional a la masa de sólido en el queque (ver ecuación (9Q2 N 2 Q1 N1 12

de donde resulta:Q N 2 N1 2 Q1 2

54 (0.03 60) 7.2 rpm 27

2

Ejemplo14 Un filtro rotatorio de tambor de 3 m2 de área funciona a una presión interna de 120

S 3 m2N 0.5 rpm 0.400

k() 5 1013 m 2 s 2000 kg m3f 1000 kg m3 103 Ns m 2g 1.85 10 5 Ns m 2

20% en peso 2.3 cm

Permeabilidad relativa del líquido k s r exp 4.466256 4.4661532 s r2 Perm

k a sr 0.55207243 0.55208459 s r 1 0.91554001 s r 0.07642878s r2



Capítulo 9 Filtración Saturación residual Humedad final Producto Saturación final: SaturacRm 0.1 mm m 2 k()s s 1 h 2 1 0.4 18 0.659 f 100 h 1 0.4 100 18 s s 0.659 0.535

293s 0.535 .

h 18%

sr

tR

1 60 120 s N 0.5 120 120 40 s 360

tF

120 t D 1 120 80 s 360

1 103 1 2 107 cm 1 13 2 5 10 10

La capacidad del filtro está dada por (9.20):12 0 2 2pe m , t sSN 1 k R m t Rm k 1

Espesor del queque De la ecuación (9.55) tenemos: ms 733 2.44 cm s 1 SN 2 (1 0.4) 3 104 8.33 103



294 El flujo de filtrado es:Qf


m s 1 0 1 2686.80 cm3 s 1 s 0 2.69 103 m3 s

Humedad del queque La ecuación (9.34) relaciona el flujo de filtrado con la permeabilidad p e Rm q k( 0 )k ( 0 ,s)

Despejando la permeabilidad relativa del líquido se obtiene:k ,s pe q R m k

2.44 7.1 105 3 104 2 107 5 10 9 3 0.01 2.69 10 0.632

Como la ecuación constitutiva de la permeabilidad relativa del filtrado está dada por:k s r exp 4.466256 4.4661532 s r2

Despejando la saturación reducida sr resulta:

ln k ,s (4.466256 sr 4.4661532 0.5

ln(0.632) 4.466256 4.4661532

0.5

0.947

La saturación final será:s s s r (1 s ) 0.535 0.947 (1 0.535) 0.975

y finalmente la humedad es:

h 100 f s 1 0.4 0.975 100 24.5 % 1 0.4 0.975 2 (1 0.4) f s s 1

Flujo de aire La permeabilidad relativa del aire está dada por:



Capítulo 9 Filtraciónk a sr 0.55207243 0.55208459 s r 1 0.91554001 s r 0.07642878s2 r 0.55207

295

El flujo de aire a través del queque está dado por:

Sp e N Qg R m k()k a (,s r ) a 3 104 7.1105 8.339.7 FILTROS A PRESIÓN1

1

Tal como se indicó en la sección 9.1.5 los filtros a presión funcionan en forma semi-conti



296ETAPA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 FUNCIÓN Cierre de las placas

Manual de Filtración & SeparaciónTIEMPO s 50 85 13 50 80 5 30 100 10 1 18 72 514

Alimentación (llenado de cámaras) Lavado del tubo de alimentación. Lavado de mangueras de

Ejemplo 14 Con los datos del ejemplo 12 y para una temperatura de 20 °C, viscosidad del líp e 6 106 N m 2

3.0 cm 0 0.520R m 9.80 109 cm 1

k() 1.55 1010 cm2 S 144 m 2



Capítulo 9 Filtración Etapa de expresión:p e 7.5 106 N m 2

297

Reducción de la porosidad de 0 0.520 a Etapa de soplado:p e 6 106 N m 2

0.362

0.362

Correlación de las permeabilidades relativas reducidask exp 4.466256 4.4661532 s 2 r ka 0.55207243 0.55208459 s r 1 0.91554

s 0.535

Como el volumen del sólido es constante en el queque antes y después del prensado, podemosVs V1 (1 1 ) V2 (1 2 )

y como V S , resulta: 2 1

1 1 1 0.520 3.0 2.26 cm 1 2 1 0.362

Tiempo de soplado: Para la humedad deseada de 8.5%, la saturación es de:s s 1 0 h 4.5 1 0.362 8.5 0.737 1 0.362 100 8.5 f 0 100 h s s 0.737

sr

De la expresión (9.35) y la función de permeabilidad relativa del líquido con a 4.46625



298ts 0 p e 1 s R m 1 s k 0


d 2 s r exp a b 1 1

0 pe

1 s 1 R m 1 s 2 k 0 2b exp a b

0.01 2.26 0.362 2.26 (1 0.535) 9.80 109 (1 0.737) 6 6 10 1.55 1

2 exp 4.466256 4.4661532 2 4.4661532 0.43

91.7 sFlujo de aire: El flujo de aire se calcula con la ecuación (9.36):1

Sp e Qg R m g k( 0 )f g ( 0 ,s)

Sp e R 1.24 106 cm3 s 1.24 m3 s Q gs g m a cs r

1

Consumo de aire:Va Qa t 3 1.24 91.7 113.8 m3

Capacidad del filtro: El tiempo de un ciclo es de:t t a lim. formacion t prensado t soplado t muerto 85 80 92 249 506 s

Esto significa que por cada ciclo de 506 s, se forma queque por sólo 85 s. Masa por ciclo:



Capítulo 9 Filtración 2 0 m 0 , t s 1 0 S 1 0 0 12 12

299

k

0 0.5

12

p1 2 t1 2 e

2 4.5 (1 0.506) 144 104 0.01 0.5

0.381 0.5 10 0.5 6 0.5 1.55 10 6 10 85 1 0.381 0.506

2.356 107 g ciclo 2.356 107 3600 / 506 t ciclo 167.6 tph

9.8

REFERENCIAS

Concha, F., Reología de Suspensiones, Monografía, Universidad de Concepción, 1990. Droguet



300


Tiller, F.M. and Yeh, C.S., The role of porosity in Filtration. Part XI, Filtration follow



CAPÍTULO 10AGREGACIÓN DE PARTÍCULAS POR FLOCULACIÓN10.1 INTRODUCCIÓN El procesamiento de una mena para transformarla en un material valioso,



302 10.1.1 Coagulación


Se denomina coagulación al proceso de agregación de partículas de una suspensión basado en

Fig. 10.1 Distribución de potencial alrededor de una partícula con carga eléctrica en un e

La interacción entre partículas en una dispersión se debe a dos tipos de fuerzas. Una fuerVA d1d 2 H d1 d 2 12h

(10.1)

donde d1 y d2 son los diámetros de las partículas, h es la distancia entre partículas, H e



CAPÍTULO 11 Floculación

303

La estabilidad de los coloides, que les permite no sedimentar en un campo gravitacional, sVE 1 exp h d1d 2 2 2 21 2 ln 1 2 ln 1 exp 2h

donde es la constante dieléctrica del líquido, 1 y 2 son los potenciales superficiales

12

,donde q, z y c son la carga, la valencia y la concentración de los iones en solución, 0 e

Fig. 10.2 Esquema de la distribución de iones y potenciales alrededor de una partícula inm

Fig. 10.3 Energía potencial de repulsión versusdistancia para dos partículas de una suspensión.



304


Se sabe que la coagulación de partículas coloidales, con tamaños menores a 0.1m, está dom

Fig. 10.4 Energía potencial total versus distancia entre dos partículas mostrando cuatro t

En el caso A, las partículas no experiencian fuerza repulsiva y caen directamente en el mí




305

las fuerzas atractivas y, por lo tanto, su agregación formando coágulos. La condiciones dedn 4 Ec kT k c n 2 , donde k c dt 3

(10.3)

La eficiencia de colisión, con valores de 0 a 1, depende de la estabilidad del coloide o sn n0 1 1 n0kct

(10.4)

donde n0 es la concentración inicial de partículas. 10.1.2 Floculación La agregación de pa



306


La más importante, denominada floculación por puente, se produce por adsorción de una cant

Fig. 10.5 Floculación por puente de hidrógeno. A) Floculación de varias partículas; b) re-

Si dos o más polímeros lineales se adsorben sobre las partículas, se forma una red de tipo



CAPÍTULO 11 Floculación 10.2

307

FLOCULANTES POLIMÉRICOS: PROPIEDADES Y PREPARACIÓN

10.2.1 Propiedades Los floculante poliméricos son reactivos orgánicos con moléculas de cad

Fig. 10.6 Diversos tipos de floculantes derivados de la poliacrilamida.

La figura 1) muestra la poliacrilamida pura que exhibe propiedades neutras en solución. La



308


solución que la afectan, tales como el pH y la fuerza iónica. Otros ejemplos de polímeros

La tabla 10.1 muestra floculantes poliméricos del tipo de la figura 10.6, sus propiedades

Tabla 10.1 Tipo de floculantes poliméricos basados en poliacrilamida (Stockhausen 2000) Ti




309

Las características más importantes de los floculantes poliméricos son su peso molecular,

10.2.2 Preparación Las empresas proveedoras de floculantes ofrecen estos productos en dive



310


preparar una solución madre con una concentración entre 0.5 y 1% de floculante en peso. Padn k( )k Ec , ,d n 2 dt

(10.5)16 E c d 3 3

donde

k() (1 ) y k E c , ,d

(10.6)

donde es la cobertura de superficie por floculante, d es el diámetro del flóculo y k es



CAPÍTULO 11 Floculacióndn 4 d 3 E c n 2 dt 3

311 (10.7)

Para valores constantes de , d y Ec , integrando (10.7) se puede obtener la el númeron n0 1 4n 0 E c d 3 3 t

(10.8)

Utilizando la relación entre el número de partículas restantes n y concentración de estas 0 1 0 E c t

(10.9)

Definamos el grado de floculación mediante la expresión: G f 100 0 0

(10.10)

entonces

G f 100

0 E c t 0 E c t

(10.11)

Suponiendo que la eficiencia de floculación es del 100%, el grado de floculación depende s100,0 90,0 80,0

=100 s-1

Grado de Floculación %

70,0 60,0 50,0 40,0 30,0 20,0 10,0 0,0 0 5 10

=50 s

-1

=10 s-1

=1 s-1

15 20 25 30Tiempo en segundos

Grado de floculación en el tiempo para varias velocidades de cizalle.



312


Se puede observar que la intensidad de agitación del fluido, cuantificado a través de la v

10.4 HIDRODINÁMICA DE LA FLOCULACIÓN

Los parámetros y Ec dependen de las condiciones hidrodinámicas en que efectúa la flocu10.4.1 Floculación en una cañería En un tubo circular, donde Q es el caudal y D es el diám Q D3

(10.12)

Por ejemplo, una tubería de 12” con una velocidad de 2 m/s, la velocidad de cizalle es d

10.4.2 Floculación en un feedwell Köck y Concha (1999) presentaron la modelación de un fee

Ejemplo 1. Calcular el grado de floculación en función del tiempo para un espesador con un




313

El flujo es: Q 2450 / 3600 0.681 m3 s y la concentración volumétrica de sólidos es: 0G f 100100.0 90.0 80.0 Grado de floculación en % 70.0 60.0 50.0 40.0 30.0 20.0 10.0 0.0 0 10 20 3

0 E c t 0.130 * * 0.85 * t 100 E c t 0 0.130 * * 0.85 * t

Grado de floculación versus tiempo para una eficiencia de floculación de 85% y diversos va

En el ejemplo se observa la importancia de la agitación en el grado de floculación. La tab

Grado de floculación en % Tiempo s 0 5 10 15 20 50

=50 s0 89.8 94.6 96.3 97.3 99.0

-1 =20 s-10 80.5 89.2 92.5 94.3 97.6

=10 s-10 63.8 77.9 84.1 87.6 90.4

=1 s-10 15.0 26.0 34.4 41.3 67.4



314


Mientras con una buena agitación de 20 s 1 a 50 s 1 se llega a valores sobre

10.5 REFERENCIAS La Mer, V.K. and Healy, T.W., 1963. Adsorption-Flocculation reactions of



CAPÍTULO 11 AGREGACIÓN DE PARTÍCULAS EN PROCESAMIENTO DE MINERALES

Janusz S. Laskowski University of British Columbia Vancouver, B.C., Canada.

RESUMEN Debido a la fineza con que generalmente se debe moler para obtener la liberación d

315



316 11.1 INTRODUCCION


La separación de especies valiosas del material desechable en las rocas solamente se puede

Mena

Agua reciclada conminución separación clarificación Agregación selectiva desaguado

Agregación no selectiva

Fig. 1 Diagrama de flujo simplificado de una planta de procesamiento de minerales

La reducción de tamaño es necesaria para liberar las especies valiosas y la separación es



CAPÍTULO 11. Agregación en Procesamiento de Minerales

317

ser beneficiosa para ambos procesos. La figura 1 muestra la relación de los procesos de ag

11.2 AGREGACIÓN EN PROCESAMIENTO DE MINERALES Existen muchos métodos para aumentar el tama

11.2.1 Floculación Es aceptado universalmente que el mecanismo de acción para agregar part



318


experiencia que los floculante no son muy efectivos con suspensiones estables, por lo queTipo de aditivo Mojabilidad del sólido Propiedades resultantes Crecimiento de tamaño Sólid

Si Hidrófobo Coagulación hidrófoba

Mecanismo

El caso más típico de uso de floculantes en procesamiento de minerales es la separación só




319

sedimentación de los relaves de Syncrude (en su mayoría minerales de arcilla, tales como c

120 100 Percol 727, ppm 80 60

7 6 5 4 3 2 1

isr, m/h

7

40 20 0 0 2 4 6 pH 8 10

8

12

14

Fig. 2 Efecto de la dosificación de Percol 727 y del pH en la velocidad inicial de sedimen

La figura 3 muestra la concentración de sólido remanente en suspensión después de que se c



320


120 100 Percol 727, ppm 800.3 0.5 0.8 1

Solid %

1.3 1.5

601.8

40 20 0 0 2 4 6 pH 8 10

2.0 2.3 2.5

12

14

Fig. 3 Concentración de sólido remanente en suspensión en la solución sobrenadante después

100 90

9 1

isr, m/hMg2+, 0.008 mol/dm3

80

370 Percol 727, ppm

560 50 40

7

11

13

30 20 10 0 0 2 4 6 pH 81510 12 14

Fig. 4 Efecto de la dosificación de Percol 727 y del pH en la velocidad inicial de sedimen

Los resultados obtenidos con la adición de Mg2+ no son muy diferentes que aquellos sin est




321

altas se encuentran en el rango alcalino. La figura 5muestra la diferencia más significati

140 120

Solid %

Mg2+, 0.008 mol/dm3

1

Percol 727, ppm

100 80 60 40 20 0 0 2 4 6 8 10

0.5

0.3

12

14

pH

Fig. 5 Efecto de la dosificación de Percol 727 y del pH en la concentración de sólidos de

11.2.2 Floculantes poliméricos en circuitos de flotación Aún cuando la flotación como proc



322


estas aplicaciones es necesario primero tener información sobre las propiedades superficiaTabla 2 Análisis de dos muestras de carbón bituminoso Muestra Ceniza Contenido de humedaddmmf

FD-4 8.4 0.71 19.74 78.3

FD-13 9.4 2.84 22.43 74.4

,%

Sin embargo, la acidez total de las muestras desmineralizadas fue de 0.04 meq/g para la mu



CAPÍTULO 11. Agregación en Procesamiento de Minerales120 100 80

323FD-4

FD-4

Flocculation, %60

Flocculation, %

80 60 40 20 0 0 100 80 100 200 300 400 500 600 700

F-1029D40

FD-13 PAM

FD-1320

a0 0 100 80 100 200 300 400 500 600

b700

PAM Dosage, g/t

F1029-D Dosage, g/t

Flocculation, %

FD-460 40 20 0

Flocculation, %

FD-4

60

PEO FD-13

0 100 200 300 400 500 600UBC-140 20

c700

FD-130 0 100 200 300 400 500

d600 700

PEO Dosage, g/t



UBC-1 Dosage, g/t

Fig. 6 Efecto de la dosificación de floculante en la agregación de muestras ultrafinas de

Los resultados de la figura 6 están en perfecto acuerdo con los resultados obtenidos con P



324


Pikkat-Ordynskyi & Ostryi (1972) y Williams & Unlu (1978) informaron que floculantes comer70 60

AnthracitePAM & PAA

Flocculation, %

50 40 30 20 10 0 0 300

Separan NP10, m.wt. 106 Magnafloc 905N, m.wt. 107 Methocel F 4M, m.wt.90,000600 900 1200 1500 1800

PAM Dosage, g/t

Fig. 7 Efecto de (PAM) y (PAA) e hidroxilpropil celulosa (Methocel) en el ángulo de contac100

Contact Angle, degrees

Hematite80 60

10-3 mol/dm3 NaCl 10-3 mol/dm3 SDS pH 4.1

Receding40 20

Advancing0 0 1 2 3 4 5

PAM Concentration, mg/dm 3

Fig. 8 Efecto de la concentración de PAM sobre la mojabilidad de discos comprimidos de hem



CAPÍTULO 11. Agregación en Procesamiento de Minerales100

3250

Mo recovery, %

80

2 5 10 30

60

40 20 40 60

Mean particle size, mm

Fig. 9 Efecto del tamaño de partícula y dosificación del floculante Nalco 9809 en la flota

Como todos estos resultados provienen de diferentes fuentes y laboratorios, se puede concl



326Mo recovery and grade, %100 80 60


%R, 12m %G, 8m %G, 12m

40 20 0 0 50 100 150 200

%R, 8mpH=11250 300 350

Agglomerant dosage, g/l

Fig. 10 Efecto de la dosificación del aglomerante UBC-1 sobre la flotación de partículas f

Mo recovery and grade, %

100

%R, with UBC-180

%R, no UBC-160

%G, with UBC-1

%G, no UBC-1

40 5 6 7 8 9 10 11 12

pH

Fig. 11 Efecto del pH sobre la flotación de partículas finas de molibdenita de 8 a 12 m e

11.2.3 Aglomeración por aceite Otro proceso de agregación que no solamente aumenta el tama




327

mejorar la adhesión de partículas hidrófobas a las burbujas (flotación por emulsión), parag/t only for hydrophobic agglomeration using UBC-1 200 400 600 800 1000 g/t only for hydro

Ash Content of Agglomerates, %

Combustible Recovery, %

20

0

1200

100 98

01200

Kero-DDS Emulsion Kero-DDA Emulsion UBC-1

15

96 94 92 90

10

UBC-1 Kero-DDA Emulsion Kerosene only Kero-DDS Emulsion

Kerosene only

5

0

0

5

10

15

20

25

30

0

5

10

15



20

25

30

Oil Dosage, %

Oil Dosage, %

Fig. 12. Comparación del tratamiento de muestras de carbón FD-4 ultrafinas por aglomeració

La recuperación de material combustible es alta en ambos casos, sin embargo la dosificació



328 11.3 DISCUSIÓN


En este trabajo se muestra la existencia de varios grupos de aditivos aglomerantes caracte




329

Finalmente es conveniente recalcar que en las plantas de procesamiento de minerales se uti

11.4 REFERENCIAS Alonso, E.A. and Laskowski, J.S., 1999. Selection of polymers used as sli



330


Hogg, R., 1999. Polymer adsorption and flocculation. In J.S. Laskowski (ed.), Polymers in




331

Rogers, D.W. and Poling, G.W., 1978. Composition and performance characteristics of some c



CAPÍTULO 12 TECNICAS DE FLOCULACION Y METODOLOGIAS PARA LA OPTIMIZACION DE ESPESADORES

JB Farrow, PD Fawell, RRM Johnston, TB Nguyen, M Rudman, K Simic and JD Swift AJ Parker Co

RESUMEN El Centro de Investigación Cooperativa A.J. Parker para la Hidrometalurgia ha desa

332



CAPÍTULO 12 Técnicas de Floculación 12.1 INTRODUCCION

333

El espesamiento es una de las etapas claves en muchos procesos hidrometalúrgicos. Es una o



334


comportamiento con el de otros espesadores de la planta en los que se cambiaron las condic

12.2 CARACTERIZACIÓN DE LA FLOCULACION A pesar del extensivo uso de floculantes de alto pe



CAPÍTULO 12 Técnicas de Floculación

335

pesos moleculares. La utilización de dispersión de láser en multi-ángulo (MALLS) como dete

1.5 3 1.0 DRI Señal (Volts) 0.5 Floculante No. 1 DRI 2 Señal (Volts) 1

Floculante No. 2

0

106

107 Mw de MALLS

108

0

Fig. 1 Distribución del peso molecular de dos floculantes comerciales noiónicos medidos po

La elución puede complicarse por la presencia de polímero aglomerado, hecho encontrado en



336


12.3 CARACTERIZACIÓN DE SUSPENSIONES FLOCULADAS La efectividad de la mayoría de los espesa

Alto

Agregado denso pequeño

densidad Agregado

Agregado poroso grande

Bajo Pequeño Tamaño agregado Grande

Fig.2 Esquema del tamaño y densidad de flóculos producido por floculación de una suspensió

Medición de la distribución de tamaño de flóculos Se ensayó una serie de métodos de determ




337

Laser beam

Beam splitter Optics rotating at a fixed high velocity

Probe at 45° angle to turbulent, well-mixed flow

Sapphire window

Fig. 3 Medición de la distribución de tamaño flóculos mediante la técnica FNRM.

Se enfoca un rayo láser a través de una ventana de zafiro y se barre a una velocidad const16 14 12 10Cuentas 200 rpm 100 rpm 75 rpm 50 rpm

8 6 (%) 4 2 0

1 10 100 1000 Largo de cuerda (µm) Sin flocularFig. 4 Comparación de la distribución de la distribución de tamaño de las partículas sin f



338


Esta técnica también se usó en forma exitosa en espesadores industriales para la determina

12.3.1 Medición de la velocidad de sedimentación de flóculos La claridad del rebalse es un

4 3 2 1 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160Tamaño (µm)

Velocidad de

sedimentación individual (m/h)

Fig.5 Distribución de la velocidad de sedimentación con el tamaño individual de flóculos e




339

Mediciones mostraron más tarde que la causa de la alta presencia de sólidos en el rebalse

Fig. 6 Flujo estacionario en un espesador mostrando un significativo flujo radial desde el

12.4 ROL DE LA HIDRODINÁMICA EN LA FLOCULACION Como ya se ha mencionado en reiteradas opor



340


la suspensión. Los diferentes floculantes tienen requerimientos diferentes de intensidad dHeating fluid Variable drive Insulated flocculant tank

Thermostat jacket

Rotating inner cylinder

Port 4 Port 3 Port 2 Port 1 Heating fluid

Heating fluid

Stirrer

Feed V

Nephelometer probe Heating fluid Thermostatted feed tank Analysis columnBy-pass To waste

V

P

Fig. 7 Esquema de una cámara de cizalle para la determinación del efecto de las condicione

características de adsorción en la superficie de minerales. La intensidad de la mezcla dur

0.5

Initial 0.4 solids settling 0.3 flux (t m-2 h-1)0.2 0.1 0 0 100 200

Flocculant A Flocculant B

300

400

Rotation speed (rpm)

Fig. 8a Información entregada por la cámara de cizalle sobre el comportamiento de floculan



CAPÍTULO 12 Técnicas de Floculación800 Flocculant A 600 Flocculant B

341

Turbidity (NTU)400

200

0 0 100 200 300 400

Rotation speed (rpm)

Fig. 8b Información entregada por la cámara de cizalle sobre el comportamiento de floculan

También se desarrolló un reactor de tubo lineal para investigar la cinética floculación, p

150

Largo de cuerda 100 promedio (µm) Cizalle alto Curva b Curva a50

Cizalle bajo

0 0 10 20 30 40 50 60Tiempo de reacción (s)Fig. 9 Velocidad de crecimiento y ruptura de flóculos en un reactor tubular lineal en cond



342


Bajo condiciones de cizalle alto (curva a), el tamaño promedio de los agregados crece rápi

12.5 ENTENDIENDO EL COMPORTAMIENTO DE ESPESADORES Dentro del proyecto AMIRA para el mejora



CAPÍTULO 12 Técnicas de FloculaciónPlan view

343

Feed entry

Side Elevation

Fig. 10. Predicción con CFD de la distribución de velocidad de cizalle en un feedwell indu

El modelo también es una poderosa herramienta para localizar el punto de adición de flocul



344


Fig. 11 Predicción con CFD de la distribución de concentración de sólidos en cinco planos

Fig. 12 Predicción con CFD del perfil de adsorción de floculante en cinco planos dentro de




345

La aplicación de estas técnicas de modelación con CFD han dado como resultado mejoramiento

12.6 DISEÑO Y OPERACIÓN DE RASTRAS A pesar que el diseño de las rastras y su operación es



346


Fig.13 Predicción con CFD del fluido moviéndose a lo largo de las superficies de las palet

12.7 CONCLUSIONES El apoyo de varias compañías mineras, empresas manufactureras de espesad

12.8 AGRADECIMIENTOS Se agradece el financiamiento otorgado por las empresas: Alcoa of Aus




347

Río Tinto, SNF, Supaflo Technologies, Western Mining, Westralian Sands, Worsley Alumina al

12.9 REFERENCIAS J.B. Farrow and J.D. Swift, Int. J. Min. Process., 46, 1996, 263-275. R.B



CAPÍTULO 13 POLÍMETROS HIDRÓFOBOS DEL TIPO LÁTEX PARA LA SEPARACIÓN SÓLIDO-LÍQUIDO DE CONC

S.H. Castro Departamento de Ingeniería Metalúrgica Universidad de Concepción. Fax: 41-2434

RESUMEN En el presente trabajo se muestran avances con un nuevo tipo de reactivos, denomin

348



CAPÍTULO 12. Polímeros hidrófobos tipo Látex

349

13.1 INTRODUCCIÓN En minería las operaciones de separación sólido / líquido son muy import



350


pone en destacar la importancia que las características hidrófilicas/hidrofóbicas de los f

13.2 RESULTADOS EXPERIMENTALES Para conocer las características de agregación del aglomera

a). 10.000x sin MIBC

b). 10.000x. con MIBC (Stocker, 1995)

Fig. 13.1 Foto micrografías al microscopio electrónico del látex UBC-1 en ausencia y prese

En la figura 13.1 se muestra microfotografías de la dispersión del látex hidrófobo UBC-1 e




351

13.2.1 Efecto de floculantes y aglomerantes hidrófobos sobre la flotación de molibdenita.

Fig. 13.2 Efecto de un floculante convencional sobre la flotación de diferentes fracciones

Este efecto es bien conocido en la práctica industrial, razón por lo cual se evita el uso



352


Fig.13.3. Efecto de un floculante y un aglomerante hidrófobo sobre la floculación de dispe

En la figura 13.4 se muestra el efecto del UBC-1 sobre la flotación de partículas finas de

Fig.13.4. Efecto promotor del látex UBC-1 sobre la flotación de fracciones finas de molibd




353

13.2.2 Efecto de aglomerantes hidrófobos sobre la floculación de calcopirita y pirita. En

Fig. 13.5. Influencia del látex SKS-300X sobre la floculación de calcopirita y pirita. (Vi

13.2.3 Efecto del látex UBC-1 sobre la filtración de otros materiales hidrófobos. En las f



354


Fig. 13.6 Efecto del UBC-1 sobre la velocidad de filtración de una muestra hidrofóbica de

Fig. 13.7 Efecto del UBC-1 sobre la humedad del queque filtrado para el mismo carbón mostr

13.3 CONCLUSIONES 1. Los aglomerantes hidrófobos son específicos, en el sentido de que agr

2.

13.4 REFERENCIAS Attia, Y.A., Yu, S. and Vecci, S. 1987. Selective Flocculation Cleaning o




355

Laskowski, J.S., Yu, Z. and Zhan, Y. 1995. Hydrophobic Agglomeration of Fine Coal. Proc. 1



CAPÍTULO 14 CFD COMO HERRAMIENTA PARA EL DISEÑO DE ESPESADORES

Rodolfo Köck y Fernando Concha Laboratorio de Mecánica de Fluidos Computacional & Experime

RESUMEN Tradicionalmente el diseño de espesadores consiste en el cálculo del área necesari

356



CAPÍTULO 14 CFD como herramienta para el diseño de Espesadores

357

14.1 INTRODUCCIÓN El diseño de espesadores es un tema bastante antiguo que comienza cuando

14.2 MODELACIÓN MATEMÁTICA La modelación matemática del flujo en un espesador se basa en l



358


energía cinética y es la razón de disipación. El balance de energía turbulenta está dado Velocidad de cambio de la energía Flujo por convección Flujo po

Esta relación representa a un sistema de dos ecuaciones diferenciales, una para la energía

Variación en la Fuerza de Fuerza de Fuerza de cantidad de movimiento arraLa fuerza de arrastre por unidad de masa puede ser expresada en función de la geometría de

14.3 SIMULACIÓN DE LA ALIMENTACIÓN A UN ESPESADOR El feedwell de un espesador tiene múltip

14.3.1 Dilución de la alimentación Desde hace mucho tiempo los operadores de espesadores s




359

De acuerdo a la teoría de sedimentación, ver sección 8.3.6 del capítulo 8, la suspensión e

f F q L f bk ( L )

donde fF es la densidad de flujo de alimentación, que es conocida, q es el flujo volumétri

Fig. 14.1 Curva de densidad de flujo de Kynch indicando L 0.00983, c 0.23 y D 0.

De la figura 14.1 se desprende que existe una concentración definida de sólidos L a la cu



360


Existen muchas formas de diluir la alimentación y ellas son generalmente objeto de patente

Fig. 14.2 Sistema de alimentación E-duc de Eimco.

Fig. 14.3 Sistema Supaflo de Outokumpu.




361

Fig. 14.4 Esquema de dilución del Supaflo.

14.3.2 Alimentación mediante una Tobera El sistema E-duc de Eimco diluye la alimentación p

Q1 Q2 Q2

F

L

Q3

q DFig. 14.5 Esquema de operación de dilución E-duc.



362


Consideremos un flujo de alimentación de 50% de sólidos en peso. Las características del p

Flujo de entrada, m3/hr Concentración entrada Diámetro boquilla entrada, mm

2450 0.33 520

Diámetro tubería salida, mm Diámetro tubería entrada, mm Conicidad de boquilla

988 760 30

El problema fue resuelto con FLUENT utilizando un modelo monofásico en base a agua que ind

pared

pared pared pared presión salida Velocidad entrada Presión salida

Figura 14.6. Esquema del modelo 3d de una tobera de dilución. Los resultados fueron los si

Flujo másico entrada 682 kg/s

Flujo másico de dilución 747 kg/s

Flujo másico diluido 1430 kg/s

Para el caso de un fluido bifásico, con una concentración de alimentación de F=0.33, dens



CAPÍTULO 14 CFD como herramienta para el diseño de Espesadores Concentración final L 0.07

363

Reducción en concentración 48 %

La altura de elevación requerida para lograr el mencionado comportamiento de la tobera se

Fig. 14.7. Contornos de presión en tobera de dilución (cuadrante superior).

Fig. 14.8. Contornos de magnitud de la velocidad en tobera de dilución (corte vertical).



364


Fig. 14.9. Distribución de concentraciones en tobera.

Fig. 14.10. Distribución de la granulometría de la pulpa en interior del ducto de mezcla.

Fig. 14.11. Contornos de intensidad de turbulencia.



CAPÍTULO 14 CFD como herramienta para el diseño de Espesadores 14.3.3 Alimentación en feed

365

El feedwell corresponde a la cámara de pre-dilución y homogeneización de la pulpa de maner

Fig. 14.12 Plano esquemático del feedwell convencional simulado.

Las simulaciones bifásicas fueron desarrolladas para dos tipos de espesador, contemplando

Fig. 14.13. Granulometría de la pulpa en feedwell convencional de 1 entrada.



366


Estas simulaciones permiten caracterizar el flujo de la pulpa y la distribución de partícu

Fig. 14.14. Granulometría de la pulpa en feedwell convencional de 2 entradas.

Fig. 14.15. Fracción volumétrica de la pulpa a la salida de un feedwell convencional.




367

Fig. 14.16. Fracción volumétrica de la pulpa a la salida de un feedwell de alta capacidad.

14.4 SIMULACIÓN DE LA INYECCIÓN DE FLOCULANTES Uno de los costos significativos asociados

Fig. 14.17. Inyección en tobera.

Fig. 14.18. Inyección en feedwell.



368


14.4.1 Inyección en tobera de dilución. De las figuras anteriores es posible observar queCañería de inyección de floculante Ducto de mezcla

65 2

1

Tobera de alimentación

Puntos de inyección

3 4

Fig. 14.19. Ubicaciones posibles para la inyección de floculante en tobera de dilución.

El recorrido de las partículas será afectado por a las componentes variables de la velocidFig. 14.20. Inyección del floculante en el punto 1.

Fig. 14.21. Inyección del floculante en el punto 2.




369



Fig. 14.24. Inyección del floculante en el 5.

Fig. 14.25. Inyección del floculante en punto el punto 6.

Al comparar los casos de inyección en la tobera de dilución se advierte que las alternativ

14.4.2 Inyección en feedwell. Respecto de la inyección de floculante directamente en el fe



370


en la modelación también es arbitraria y se muestra en la figura 14.26. El feedwell modela

Ducto de inyección de pulpa

1 2Feedwell

Ducto de inyección de floculante

Fig.14.26. Posiciones de inyección de floculante al interior del feedwell.

De las figuras 14.13, 14.14 y 14.27 se puede ver claramente que las partículas de menor ta

Fig. 14.27. Distribución de la granulometría de la pulpa al interior del feedwell.

De lo anterior se desprende que el floculante inyectado al interior del feedwell debe subi




371

Fig. 14-28. Distribución del floculante inyectado en los puntos 1 y 2.

Fig. 14.29. Distribución del floculante inyectado en el punto 2.

14.5 SIMULACIÓN DE LAS RASTRAS Las rastras son unas estructuras de acero que se “arrastran



372


press outlet wall

wall

.Fig. 14.30 Esquema de rastras de un espesador.

El diseño de estos implementos tiene un gran grado de inseguridad por cuanto se desconocen




373

Fig. 14.31 Contornos de velocidad de deformación y líneas de flujo de la pulpa.

Fig. 14.32. Contornos de presión sobre la estructura y vectores de velocidad.

14.6 CONCLUSIONES Las simulaciones llevadas a cabo dejan claramente en manifiesto que es p

14.7 REFERENCIAS Adorjan, L.A., Determination of thickener dimensions from sediment compre



374


Griebel, M Dornseifer, T. and Neunhoeffer T., Numerical Simulation in Fluid Dynamics, SIAM



CAPÍTULO 15 CONCEPTOS MODERNOS DE FILTROS ROTATORIOS

Ingenieurgesellschaft für Mechanische Verfahrenstechnik mbH. Gottesauer Str. 28, 76131 Kar

RESUMEN Los filtros rotatorios de vacío fueron el tipo de filtros utilizados tradicionalme

375



376


15.1 FILTRO DE DISCO DE ALTO RENDIMIENTO “BOOZER” Boozer es un Filtro Rotatorio de Discos

BOKELA Disc Filter, Type "BOOZER"

Fig. 1 Vista frontal y lateral de Filtro de Discos Boozer.



CAPÍTULO 15 Conceptos Modernos de Filtros Rotatorios 15.1.1 Características notables del B

377

Las excelentes características hidráulicas del Boozer dan como resultado un filtro de gran

15.1.2 Datos Técnicos El Filtro de Discos Boozer se caracteriza por los siguientes detalleITEM Número de discos Área de filtración Diámetro de los discos Número de segmentos por di

15.1.3 Descripción y Funcionamiento de los componentes importantes a) Discos y Segmentos C



378


una baja pérdida de carga y una descarga de queque efectiva. A pesar del gran tamaño del s

Fig. 2 Alternativas de sujeción de los segmentos: palanca y bayoneta.

Fig. 3. Detalle de la sujeción tipo bayoneta.

b)

Cañerías de colección de Filtrado y Tambor Central

Cada segmento del filtro montado sobre el tambor central está conectado a una cañería de c



CAPÍTULO 15 Conceptos Modernos de Filtros Rotatorios c) Tambor Central

379

El tambor rotatorio central tiene un diámetro de 1100 mm y se encuentra en la batea del fi

Fig 4. Tambor central con los huecos para los segmentos.

Fig. 5. Sujeción de los segmentos al tambor central.



380


d)

Batea del Filtro

La suspensión a filtrar se alimenta a la batea del filtro. El Boozer se manufactura en dos

Fig. 6. Diseño de la batea del filtro con sus versiones común e individual

En el modelo de batea común, un agitador homogeniza la suspensión evitando la sedimentació

e)

Cabeza de Control

La cabeza de control es la conexión entre las cañerías colectoras de filtrado dentro del t



CAPÍTULO 15 Conceptos Modernos de Filtros Rotatorios

381

formación del queque, el deshumedecimiento y la descarga del queque, se realicen como etap

Fig. 7. Cabeza de control del Boozer.

La cabeza de control está diseñada para separar la mezcla de filtrado y aire que llega, en

15.1.4 Operación del Filtro de Discos Boozer Durante una vuelta del filtro de disco, cada



382


producto sólido y de filtrado. El gran número de segmentos asegura la formación de un queq

Fig. 8 Descarga eficiente del Filtro de Discos Boozer asegura un 100% de desprendimiento d



CAPÍTULO 16 LAVADO CON FILTRO DE BANDA HORIZONTAL

C.E. Williams Delkor (South America) Ltd. Av. C. Colon 4733 Las Condes, Santiago, Chile

16.1 DESCRIPCIÓN DEL EQUIPO Y SUS APLICACIONES El filtro de banda es un equipo muy sencill



384


efectuados para mejorar su funcionalidad y aumentar su eficiencia. Estos adelantos en la t

Fig. 1 Planta con filtros de banda horizontales más grande del mundo con 26 filtros de 80

En el campo de la separación sólido-líquido siempre ha existido la necesidad de lavar el q



CAPÍTULO 17. Lavado con Filtro de Banda Horizontal

385

100.00

80.00 Eficiencia de lavado (%)

60.00

40.00

20.00

0.00 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50

Cuociente de desplazamiento

CCD

FBH

Fig. 2 Comparación de la eficiencia de lavado de queque en un filtro de banda horizontal y

16.2 ESTUDIO DE CASOS En Chile existen numerosas empresas que utilizan filtros de banda hoUbicación Mantos de Oro: La Coipa Meridian: El Peñón Escondida: Coloso Tamaño de filtros 32

Proceso

12 de 100 m2 Lavado de relaves de oro para remover cianuro. Lavado de relaves de oro para

SQM Salar: Ácido Bórico

1 de 6 m2 2 de 4 m2



386


Tabla 2 Aplicaciones de lavado para recuperar soluciónUbicación Mantos de Oro: La Coipa Meridian: El Peñón Escondida: Coloso 1 x 63 m2 3 de 54 m2

Proceso Recuperación de solución de oro. Recuperación de soluciones de Oro.

Lavado de concentrado de cobre para recuperar el amoníaco y recircularlo al proceso de lix

16.3 Aplicaciones de lavado de queque para remover impurezas. 16.3.1 Mantos de Oro: La Coi

Fig. 3 Tres de los doce filtros de banda Delkor de La Coipa de 100 m2 cada uno.




387

En este caso, los relaves son lavados con agua industrial y con solución estéril del proce

16.3.2 Compañía Minera Escondida: Coloso La Compañía Minera Escondida tiene instalados 3 f

Fig. 4 Vista de la Planta de filtros de banda Delkor de Minera Escondida en Coloso.

Cada filtro es alimentado con 30-35 tph de concentrado de cobre. Los filtros tienen 2 etap



388


16.3.3 SQM Salar: Ácido Bórico SQM Salar posee 3 filtros de banda Delkor instalados en la

Fig. 5 Proceso de filtración y lavado en contracorriente con filtros de banda Delkor en SM

16.3.4 Compañía Minera Meridian: El Peñón La planta El Peñón de la Compañía Minera Meridia




389

Fig. 6 Filtros de banda horizontal Delkor de 54 m2 cada uno en la Planta El Peñón de Miner



390


16.4 Aplicaciones de lavado de queque para recuperar soluciones 16.4.1 Mantos de Oro: La C2

16.4.3 Compañía Minera Meridian: El Peñón Cada uno de los tres filtros de banda horizontal

16.5 CONCLUSIONES La principal ventaja que ofrece el filtro de banda horizontal es la alta

Produce menor volumen de filtrado Logra más altas concentraciones de filtrado




391

Reduce los costos de tratamiento de la solución de filtrado. Alta eficiencia de lavado con



CAPÍTULO 17 SISTEMAS DE FILTRACIÓN PARA LA DEPOSITACIÓN DE RELAVES

D.N. Minson y C.E. Williams Delkor (South America) Ltd. Av. C. Colon 4733 Las Condes, Sant

17.1 INTRODUCCIÓN 17.1.1 Consideraciones en la construcción de un Depósito de Relaves Una

Por otra parte, después de la construcción de la planta es necesario considerar todos los

392



Capítulo 17 Sistemas de Filtración para la Depositación de Relaves Eliminación d

393

17.1.2 Comparación de Costos Las tablas 1.1 y 1.21 comparan los costos de depósitos de relITEM Costos de capital Excavación; relleno; drenaje; tuberías; etc. Total Costos de Operac

393



394

Manual de Filtración & Separación Tabla 2. Costos de un depósito de relaves secoITEM Costos de capital Planta de filtros, espesadores, transportadora; etc. Total Costos d

17.2 DETERMINACIÓN DEL SISTEMA DE DEPOSITACIÓN SECA El primer factor a considerar es la mo

17.2.1 Compactación de los relaves En aquellos lugares en que existen problemas topográfic



Capítulo 17 Sistemas de Filtración para la Depositación de Relaves

395

efecto del sol y del viento, además de la ayuda de maquinarias de movimiento de tierra, peEquipos % de sólidos en peso Espesadores Espesadores de alta densidad Espesadores de alta

75-83 80-87

900.000 2.000.000

17.2.2 Recuperación de agua Los equipos de sedimentación y filtración tienen la ventaja de

395



396


Tabla 4. Comparación del uso de agua versus tipo de equipo utilizado1Equipo Cantidad de agua utilizada m3/ton ROM 1-1.3 0.6 0.4 Inversión de capital US$ 330.00

Espesadores Espesadores de alta densidad Espesadores de alta densidad (finos) y Filtros (g

0.25 0.18

900.000 2.000.000

Nota: No considera agua recuperada desde el embalse. 17.3 TIPOS DE EQUIPOS Como una regla

17.3.1 Filtro prensa de doble banda El filtro prensa de dos bandas tiene, como su nombre l




397

Fig. 1. Filtro Prensa de doble banda Delkor, de 2m de ancho, utilizada para sedimentos com

17.3.2 Filtro Prensa Convencional El filtro prensa es conocido principalmente para filtrac

Fig. 2 Filtro de Prensa de cámara de 1500x1500, para finos de carbón.

17.3.3 Filtro de Discos Los filtros de discos a vacío son muy conocidos en el ambiente min

397



398


17.3.4 Filtro de Bandas Este filtro utiliza una banda horizontal accionada por una polea.

Fig. 3 Filtro de banda horizontal Delkor

17.3.5 Espesador de Alta densidad El espesador de alta densidad (HD) es similar en su cons




399

Fig. 4 Esquema de un Espesador Delkor de Alta Densidad para rellenado subterráneo.

Tabla 5 Comparación del costo de capital y operacional para diferentes sistemas de desagua

Equipo Humedad % en peso Filtro Prensa de doble Banda Filtro Prensa Espesador HD Filtro de

En la tabla se muestra que el filtro de banda horizontal es la alternativa más económica g

17.4 INSTALACIONES EXISTENTES Existen varias instalaciones de deposición de relaves que ut

399



400

Manual de Filtración & Separación Tabla 6 Instalaciones de desaguado de relaves utilizandoPlanta Mantos Blancos La Coipa ZCCM Gecamines El Peñón País Chile Chile Zambia Zaire Chile

17.4.1Mantos Blancos En Mantos Blancos se ha filtrado los relaves desde el comienzo de los

Fig. 5 Diagrama de flujo del tratamiento de los relaves de Mantos Blancos.

Los relaves de flotación son clasificados en hidrociclones separando los finos de los grue




401

La tabla 7 resume los costos operacionales de Mantos Blancos. Es de interés observar el coOperación Tipo de relaves Queque de filtración Costo de operación Humedad final del depósi

El consumo de agua incluye 0.03 m3/ton ROM perdida con el concentrado de flotación de óxid

401



402


Después del espesamiento, la mayoría las soluciones conteniendo el oro y el cianuro son la

Fig. 6 Diagrama de flujo de la operación de la Coipa.

En La Coipa, los relaves se transportan hacia abajo y se desparraman usando un apilador tr

Fig. 7 Tres filtros de banda Delkor de 100 m2 de los relaves de flotación en La Coipa.




403

La tabla 8 muestra un resumen de la operación. No hay detalles de los costos de operación,Operación Tipo de relaves Queque de filtración Costo de operación Requerimiento de agua de

El consumo de floculante de diseño era de 20 a 30 g/ton ROM. Sin embargo, éste se ha reduc

17.4.4 ZCCM y Gecamines Las plantas ZCCM y Gecamines, en Zambia y Zaire respectivamente, u

17.5 ESTUDIO DE CASOS Delkor participó recientemente de un estudio, junto a una importante

403



404

Manual de Filtración & Separación Fase 3. Trabajo de investigación sobre la separación de

Fases 1 y 2: Diseño del Espesador y Filtro La base del diseño fue el esquema típico para r

El diseño de los filtros de banda se basó en los resultados de la investigación de la fase

El alto contenido de mica de los relaves relativamente gruesos, produjo descargas de los e

Fase 3: Trabajo de Separación de gruesos y finos El diagrama de flujo consideraba la separ




405

Los ensayos de filtración produjeron un queque con 17.5% de humedad, los que combinados coHumedad combinada del relave Costo de operación US$/ton ROM

de

alternativas25% 0.15 28% 0.07

de

21% 0.15

17.6 CONCLUSIONES El uso combinado de hidrociclones, espesadores de alta capacidad y filtr

405



406 17.8 REFERENCIAS


[1] Desarrollos Ltda., Ingenieros Consultores E.H Smith, Comunicación privada. [2] Rosas,



CAPÍTULO 18 FILTRACIÓN HI-BAR® CON VAPOR A PRESIÓN

BOKELA Ingenieurgesellschaft für Mechanische Verfahrenstechnik mbH Gottesauer Str. 28, D-7

RESUMEN La filtración con vapor a presión, o tecnología de filtración Hi-Bar® con vapor, e

407



40818.1.

Manual de Filtración & Separación FUNDAMENTOS DE LA FILTRACIÓN CON VAPOR A PRESIÓN

18.1.1 Filtración convencional con vapor En trabajos previos de filtración con vapor el ob

mc f L , h 2 p, t 2 cdonde L es la viscosidad del filtrado, hc es el espesor del queque, p es la caída de pre



CAPÍTULO 21. Filtración Hi-Bar con vapor a presión

409

fenómeno previene la formación de las ramificaciones denominadas “fingering” [2]

Fig. 1: Modelo de “frente de condensación” Mientras el “frente de condensado” se mueve a



410


18.2 TECNOLOGÍA DE FILTRACIÓN HI-BAR® En su versión estándar la filtración Hi-Bar® utilizaFiltros de Discos Hi-Bar® Area de Filtración [m²] 15 30 45 60 90 120 Numero de Discos [-]



CAPÍTULO 21. Filtración Hi-Bar con vapor a presión 18.2.1 Concepto de la filtración Hi-Bar

411

Para tomar una decisión con respecto al uso de vapor en la filtración Hi-Bar® , se estudia

Fig. 2: Filtro de discos Hi-Bar® con cabinas de vapor El diseño de la cabina se caracteriz



412


En caso de ser necesario, la cabina de vapor puede cubrir al queque completamente hasta el

Fig. 3 Diagrama de flujo para filtración Hi-Bar® con vapor a presión debido al aumento de




413

La filtración Hi-Bar® con vapor a presión utiliza la energía del vapor para un muy rápido

Benefits of the Hi-Bar Steam Pressure Filtration

optimal mechanical dewatering no gas consumption washing out

extraction diminishing of crack building careful drying

Fig. 4 Beneficios de la filtración Hi-Bar® con vapor a presión Se evita las quebraduras de



414Se evita la emisión de gases


Si se desea evitar la emisión de gases durante la filtración, la zona de vapor se debe ext




415

Los ensayos pilotos se llevan a cabo para verificar los resultados de los ensayos de labor



416


Tabla 2 Comparación de resultados de desaguado con filtración a presión y filtración Hi-Ba

Desaguado de finos de carbón con filtración Hi-Bar con vapor a presión Comparación de tecn

Technical data Area filtrante Capacidad de sólido Diferencia de presión Contenido de humed

* SPF = filtration con vapor a presión

18.5.2 Desaguado de concentrados de minerales de hierro La hematita se beneficia mediante




417

centrífugas tiene un tamaño de 30% menos 71 m. El objetivo de la planta es obtener una huFiltration of FGD-gypsum with the Hi-Bar steam pressure filtration Comparison of filter teVacuum Filter Hi-Bar SPF

18 0,7 11 100 1,5

10 1,5 80 3 50 0,3



418


18.6 ECONOMÍA DE LA FILTRACIÓN HI-BAR® CON VAPOR A PRESIÓN La economía de la filtración HiFactibilidad del desaguado de concentrados de carbón mediante SPF

Comparción de costos de energía en US$Energy costs Concentrado de carbón 1 Presión Hi-Bar Filtros discos SPF (DM/a) (DM/a) (DM/a

air compression steam production thermal dryer total energy costs relation of energy costs

* SPF= Filtración Hi-Bar con vapor a presión

La superioridad económica de la filtración Hi-Bar® con vapor a presión demostrada con esto

18.7 CONCLUSIÓN La filtración Hi-Bar® con vapor a presión combina un proceso de desaguado




419

hacen de la filtración Hi-Bar® con vapor a presión un proceso muy atractivo para la indust



CAPÍTULO 19 APÉNDICES

APÉNDICE 1 CONVERSIÓN DE MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN Definiciones: Densidad del sólido Densid

p

f p f X D

f p f f X p 1 X f X f f p D p f p f

X

1 1 D

420



APÉNDICES p 1 X f X p f 1 D p D f f 1 p 1 X X f p p

421

f

D



422


APÉNDICE 2 UNIDADES DE MEDIDA Y DIMENSIONESNOMBRE SÍMBOLO

Longitud

l

Masa

m

Densidad

Tiempo Velocidadt v

mks m 1 10-2 0.305 kg 1 10-3 0.454 kg/m3 1 10-3 16.00 s m/s 1 10-2 0.305 m/s2 1 10-2 0.305

UNIDAD cgs cm 102 1 30.5 g 103 1 454 g/cm3 103 1 16x103 s cm/s 102 1 30.5 cm/s2 102 1 30.52

DIMENSIÓN otra pie 3.28 3.28x10-2 1 lbm 2.205 2.205x10-3 1 lbm/pie3 6.249x10-2 6.249x10-5

M

ML-3

T LT-1

Aceleración

a

LT-2

Fuerza

FMLT-2

Presión

p

ML-1T-2

422



APÉNDICESNOMBRE Torque SÍMBOLO Tq mks N-m 1 10-7 1.355 Pa-s N-s/m2 1 0.1 4.724x10-4 m2/s 1 10-4 9.2

423 DIMENSIÓN otra lb f-pie 0.738 7.38x10-8 1 Poundal-s lbf-s/pie2 2.1168x10 3 2.1168x10 2

Viscosidad dinámica

ML-1T-1

Viscosidad cinemática

L2T-1



APÉNDICE 2

UNIDADES DE MEDIDA Y DIMENSIONESNOMBRE SÍMBOLO

Longitud

l

Masa

m

Densidad

Tiempo Velocidad

t vmks m 1 10-2 0.305 kg 1 10-3 0.454 kg/m3 1 10-3 16.00 s m/s 1 10-2 0.305 m/s2 1 10-2 0.305

UNIDAD cgs cm 102 1 30.5 g 103 1 454 g/cm3 103 1 16x103 s cm/s 102 1 30.5 cm/s2 102 1 30.52

DIMENSIÓN otra pie 3.28 3.28x10-2 1 lbm 2.205 2.205x10-3 1 lbm/pie3 6.249x10-2 6.249x10-5

M

ML-3

T LT-1

Aceleración

a

LT-2

Fuerza

F

MLT-2Presión

p

ML-1T-2

422



Unidades de Medida y Dimensiones

423

NOMBRE Torque

SÍMBOLO Tq mks N-m 1 10-7 1.355 Pa-s N-s/m2 1 0.1 4.724x10-4 m /s 1 10-4 9.295x10-2

2

Viscosidad dinámica

Viscosidad cinemática

UNIDAD cgs dina-cm 107 1 1.355x107 Poise dina-s/cm2 10 1 4.724x10-3 Stokes cm2/s 104 1 9.2

DIMENSIÓN otra lb f-pie 0.738 7.38x10-8 1 Poundal-s lbf-s/pie2 2.1168x10 3 2.1168x10 2 1 p2

ML2T-2

ML-1T-1

L2T-1

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