MATEMTICAS BSICASUNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLNAPLICACIONES DE LA TRIGONOMETRA, LEY DE SENOS Y COSENOSAplicaciones de Trigonometra de Tringulos RectngulosUn tringulo tiene seis elementos: tres ngulos y tres lados. Resolver un tringulo signica hallar lamedida de todos sus elementos a partir de la informacin que se tenga acerca del tringulo.EjemploResolver el tringulo ABC de la guraSoluci nSabemos que+ 68

+ 90

= 180

; entonces= 22

: Adems, sen68

=y100 ==y = 100 sen 68

- 92:72.De manera anloga, cos 68

=x100 ==x = 100 cos 68

- 37:46:En muchas aplicaciones como navegacin, levantamiento de planos, astronoma, se deben resolver tringulosVeremos, primero, algo de terminologa y, luego, algunos ejemplos.Si un observador est mirando un objeto, entonces, la lnea del ojo del observador al objeto se llama lnea devisin. Si el objeto que est siendo observado est arriba de la horizontal, entonces el ngulo entre la lneade visin y la horizontal se llama ngulo de elevacin. Si el objeto est abajo de la horizontal, entoncesel ngulo entre la lnea de visin y la horizontal se llama ngulo de depresin.Ejemplo (Altura de un edicio)1Se encuentra que el ngulo de elevacin hasta la parte superior del Empire State en Nueva York es 11odesdeel suelo a una distancia de 1 milla a partir de la base del edicio. Usar esta informacin para hallar la alturadel edicio.SolucinSea h la altura del edicio. De la gura se observa que tan(11o) = h1 == h = tan(11o) - 0:1944 millas= 1026 pies. (1 milla= 5280 pies). Luego, la altura del edicio es 1026 pies.Ejemplo (Altura de una cubierta de nubes)Para medir la altura de una cubierta de nubes en un aeropuerto, un trabajador dirige un reector haciaarriba a un ngulo de 75odesde la horizontal. Un observador a 600 m mide el ngulo de elevacin hasta elpunto de luz y encuentra que es de 45o. Determinar la altura h de la cubierta de nubes.SolucinPara hallar h, sea x la distancia desde el reector hasta el punto Pdonde la lnea de h corta el suelo.Observemos que, por un lado,h = (600 x) tan 45o= 600 x (1)x +h = 600:Del otro tringulo,h = xtan75o==3:7x h = 0: (2)De (1): x = 600 h y, reemplazando en (2), 3:7 (600 h) h = 0 == h = (3:7) (600)4:7- 472:34. As,h - 472:34 m. Luego, la altura de la cubierta de nubes es aproximadamente 472:34 m:Ley de Seno y Ley de CosenoPara resolver algunos problemas de aplicacin hallamos uno o ms elementos de un tringulo rectngulo,y para ello usamos la denicin de las funciones trigonomtricas de un ngulo agudo y el Teorema dePitgoras, que slo es vlido para tringulos rectngulos.Se presentan adems problemas en los cuales se deben hallar uno o ms elementos de un tringulo acutn-gulo o obtusngulo, en los que no se puede usar de manera directa el Teorema de Pitgoras ni la denicinde las funciones trigonomtricas.2Vamos a estudiar dos nuevas herramientas, llamadas Ley de Seno y Ley de coseno, que expresan ciertasrelaciones entre las medidas de los lados y los ngulos de un tringulo cualquiera.Ley de SenoEn cualquier tringulo ABCsenAa= senBb= senCc:Es decir, en todo tringulo, la razn entre el seno de un ngulo y la medida del lado opuesto es constante.PruebaSea ABC un tringulo cualquiera. Sea h la altura sobre el lado BC y D el pie de dicha altura, es decir,el punto de interseccin de la altura con el lado BC:Como el BDA es rectngulo,senB = hc; o equivalentemente, h = c senB:Adems, como el ADC es rectngulo,senC = hb; oh = b senC;y asc senB = h = b senC:Luego,senBb= senCc: (1)Tracemos la altura H sobre el lado BA y sea E el pie de dicha alturaComo AEC es rectngulo3sen(180

A) = Hb ==H = b sen(180

A) = b senAya que 180

A es el ngulo de referencia del ngulo A: Adems,H = a senBy asb senA = H = a senB:EntoncessenAa= senBb: (2)De (1) y (2) tenemos que:senAa= senBb= senCc:ObservacionesSi en un tringulo conocemos un lado y dos ngulos o dos lados y el ngulo opuesto a uno de esos lados,podemos usar la Ley de Seno para resolver el tringulo. En el primer caso, conocidos un lado y dos ngulos, el tercer ngulo se calcula usando el hecho de quela suma de los ngulos interiores de un tringulo es 180

: Para hallar cada uno de los otros dos lados,aplicamos la Ley de Seno usando la proporcin entre la razn que involucra el lado conocido y la quela que involucra el lado que queremos hallar. En este caso existe un nico tringulo que cumple lascondiciones dadas. En el segundo, si se conocen dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos, se usa la Ley de Seno parahallar el ngulo opuesto a uno de los lados conocidos, luego se halla el tercer ngulo y nalmente eltercer lado se calcula usando nuevamente la Ley de Seno.En este caso puede ocurrir que dos tringulos, un tringulo o ningn tringulo cumplan las condicionesdadas, razn por la cual se conoce como el caso ambiguo.Existen cuatro posibilidades, como se muestra en la gura:(a) (b) (c) (d)En el caso (a), no existe un tringulo con las condiciones dadas, porque la longitud del lado a es menor quela requerida para formar un tringulo que las cumpla. En (b), se obtiene un tringulo rectngulo que seresuelve ms facilmente usando el Teorema de Pitgoras y la denicin de las funciones trigonomtricas. En(c), existen dos tringulos que cumplen las condiciones y por tanto hay dos soluciones posibles y, en (d), lasolucin es nica.EjemploEl campanario de la Torre de Pisa en Italia, forma un ngulo de 5:6ocon la recta vertical trazada desde C:Una turista se ubica a 105 m de la base de la torre, al lado en el que la torre forma un ngulo agudo con4la horizontal. El ngulo de elevacin medido por la turista es de 29:2ohasta la parte superior de la torre.Encontrar la longitud de la torre.SolucinSea a la longitud, en metros, de la Torre.]C = 90o5:6o= 84:4o; porque 5:6oes el ngulo formado por la torre con la vertical.]B = 180o29:2o84:4o= 66:4o.Usando la Ley de Seno tenemos que:senAa=senB105a =105 senAsenBa =105 sen (29:2o)sen(66:4o)= 55:9 mLuego, la longitud de la torre es aproximadamente 56 m:EjemploResolver el tringulo ABC si A = 45o, a = 7_2 y b = 7.SolucinPrimero, dibujamos un tringulo con la informacin suministrada. Eldibujo es tentativo ya que, an, no se conocen los otros ngulos.Encontremos el ngulo ]B usando la Ley de Seno:senAa= senBb==senB = b senAa= 7 sen 45o7_2= 12:Hay dos posibles ngulos B entre 0oy 180otales que senB = 12 : ]B =30oy ]B = 150o, pero B = 150ono es solucin ya que 150o+45o> 180o.Luego, ]B = 30oy, as, ]C = 180o45o30o= 105o.Aplicando nuevamente Ley de Seno, podemos hallar la longitud del lado c:senBb= senCc==c = b senCsenB= 7 sen (105o)sen(30o) - 13:5:EjemploResolver el tringulo ABC, si A = 42o, a = 70 y b = 122.Solucin5Como en el ejemplo anterior, hacemos un bosquejo con la informacin dada.Calculemos el ngulo B usando Ley de Seno:senAa= senBb==senB = b senAa= 122 sen(42o)70- 1:17:Como sen _ 1 para todo ngulo ; ya que es la razn entre el cateto opuesto yla hipotenusa en un tringulo rectngulo y la longitud de la hipotenusa siempre esmayor que la de cualesquiera de los catetos, entonces ningn tringulo satisface lascondiciones del problema.EjemploResolver el tringulo ABC si A = 43:1o, a = 186:2 y b = 248:6:SolucinTracemos un bosquejo del tringulo con los datos del problema:Usemos Ley de Seno para calcular el ngulo B :senAa= senBb==senB = b senAa= 248:6 sen(43:1o)186:2- 0:9192Existen dos ngulos que cumplen esta condicin,B - 65:82

yB0 = 180

65:82

- 114:18

:Luego los dos tringulos son solucin del problema.TareaCalcular en los dos casos la longitud del lado c, para terminar el ejemplo anterior.ObservacinPara resolver el tringulo cuando se conocen dos lados y el ngulo entre ellos, o los tres lados, no podemos usarde manera directa la Ley de Seno. En estos casos, se aplica la Ley de Coseno que veremos a continuacin.Ley de CosenoEn cualquier tringulo ABC6a2= b2+c22bc cos Ab2= a2+c22ac cos Bc2= a2+b22ab cos C:Es decir, en cualquier tringulo, el cuadrado de la longitud de cualquiera de los lados es igual a la suma delos cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos el doble producto de la longitud de estos doslados y del coseno del ngulo entre ellos.PruebaDibujemos el ABC en el plano cartesiano xy con el ]A en posicin estndarTanto si el ngulo A es agudo, como si es obtuso, las coordenadas del vrtice B son (c; 0) y, las coordenadasdel vrtice C son (b cos A; b senA) (Por qu?)Como a = d(B; C);entonces:a2= [d(B; C)]2a2= (b cos Ac)2+ (b senA0)2a2= b2cos2A2bc cos A+c2+b22senAa2= b2(cos2A+2senA) 2bc cos A+c2a2= b2+c22bc cos Aporque cos2A+2senA = 1:Ms adelante veremos que para cualquier ngulo A se cumple que sen2A+ cos2A = 1:En forma similar se prueba el resultado para los otros dos lados b y c:ObservacinSi alguno de los ngulos del tringulo es recto, por ejemplo A = 90o, entonces cos A = 0 y la Ley de Cosenoes equivalente al Teorema de Pitgoras, a2= b2+c2.EjemploUn automvil viaja por una carretera en direccin Este durante 1 h; luego viaja durante 30 minutos por otracarretera que se dirige al Noreste. Si el automvil se desplaza a una velocidad constante de 40 millas/hora,qu tan lejos est de su posicin de partida al terminar el recorrido?Solucin7Sea d la distancia, en millas, que separa al automvil del punto de partida. Como:distancia recorrida hacia el Este = 40 millas/hora1 hora = 40 millasdistancia recorrida hacia el Noreste = 40 millas/hora 12 hora = 20 millas,entonces, aplicando Ley de Cosenod2= 202+ 4022 (20) (40) cos (135o)d2= 2000 1600

_22!- 3131:37d- _3131:37 - 55:96Luego, al cabo de hora y media el automvil est, aproximadamente, a 55:96 millas de su punto de partida.EjemploLos lados de un tringulo son a = 20, b = 25, c = 22. Encontrar los ngulos del tringulo.SolucinAplicando Ley de Coseno,a2= b2+c22bc cos Aentonces,cos A = (20)2(25)2(22)22 (25) (22)- 0:644:Luego, ]A = 49:87o.Similarmentecos B = b2a2c22ac= (25)2(20)2(22)22 (20) (22)- 0:294 ==]B - 72:88ocos C = c2a2b22ac= (22)2(20)2(25)22 (20) (25)- 0:541 ==]C - 57:25o:8