28632 mat int-notas-de-aula

Notas de aula - Matematica Integrada (cursode 60 horas-aula)

Professor Flavio Guardiano de Souza

(Com base no livro de Bussab & Morettin [1] e Magalhaes &Lima [2])

Sumario

1 Introducao a Estatıstica 21.1 Populacao e amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Probabilidade 72.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Probabilidade Condicional e Independencia . . . . . . . . . . . 112.3 O Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Variaveis aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.1 Variavel aleatoria discreta . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.2 Variavel aleatoria contınua . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 Esperanca e Variancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6 Alguns modelos discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.7 Alguns modelos contınuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Inferencia Estatıstica – Estimacao 423.1 Parametros, estimadores e estimativas . . . . . . . . . . . . . 433.2 Distribuicoes amostrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3 Teorema central do limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Esclarecimento

Estas notas de aula nao representam material de autoria do professor.Tratam-se, em quase sua totalidade, de copia de partes dos livros citadosnas referencias bibliograficas e de escritos diversos de posse do professor oucolhidos da internet.

1

Notas de aula - Matematica Integrada

O que este material tenta fazer e selecionar os topicos a serem lecionadosnum curso introdutorio de Probabilidade e Estatıstica de 60 horas ministradopara uma turma do curso de Licenciatura em Matematica. Evidentemente,estas notas nao substituem os livros, sendo fortemente recomendavel que oaluno adquira pelo menos uma das obras citadas ou outras do genero, ou queva a biblioteca e tome emprestado pelo menos um livro para o acompanha-mento da disciplina durante o semestre.

Para a consolidacao dos topicos estudados, exercıcios sao apresentados aolongo do texto, selecionados dentre varios outros constantes da bibliografiacitada. Ciencia exata so e aprendida fazendo-se muitos exercıcios. Ao alunoe “obrigatorio” que se facam pelo menos estes sugeridos para um bom apro-veitamento do curso; obviamente que quanto mais exercıcios extras puderemser feitos, melhor, e os livros os contem em um numero bastante expressivo.

Dado que a bibliografia utilizada se refere a obras e autores consagrados,possıveis erros encontrados nestas notas serao muito provavelmente frutos deerros de digitacao ou de compreensao do professor.

Este material ainda esta sendo escrito e encontra-se em constante revisao.Apontamentos de erros, crıticas ou sugestoes serao bem-vindas e poderao serenviadas para o e-mail

[email protected].

1 Introducao a Estatıstica

A disciplina Matematica Integrada na Unip consiste em uma especie de“coringa”, uma disciplina que de tempos em tempos tem o seu enfoque alte-rado. Neste semestre foi proposta a abordagem da Estatıstica, em que seraotratados topicos referentes a probabilidade e inferencia.

A palavra “estatıstica” e originaria do latim status e tem a mesma origemetimologica de “estado”. Com efeito, a necessidade de governos coletaremdados censitarios de suas populacoes foi um dos fenomenos que impulsionouo desenvolvimento deste ramo da ciencia.

Dados tem sido coletados atraves de toda a historia. Nas civilizacoesegıpcia, grega e romana, dados primarios eram coletados com propositos detaxacoes e finalidades militares. Na Idade Media, igrejas registravam dadose informacoes sobre nascimentos, mortes e casamentos. No Brasil, o IBGErealiza seu censo a cada 10 anos. Atualmente, empresas investem grandessomas de dinheiro em sistemas de informacao para se manterem competitivasno mercado. As dificuldades em armazenar e analisar grandes conjuntos dedados tem sido um consideravel gargalo para as companhias e o conceito deBig data (“megadados”, em portugues) ganha relevancia a cada dia.

2


Evidentemente nao e preciso ser um profissional da area para ter quelidar com estatıstica. Diariamente somos expostos a grande quantidade deinformacao numerica, como a apresentada no quadro que segue.

Resorts tem taxa de ocupacao maior com a CopaA presenca de turistas e, principalmente, de delegac~oes de

selec~oes fez com que a taxa de ocupac~ao dos resorts do paıs

subisse cerca de 9% em junho na comparac~ao com o mesmo mes de

2013.

Dados da Resorts Brasil (associac~ao do setor) apontam que o

ındice passou de 39,5%, no ano passado, para 43%, neste ano.

(Blog “Mercado aberto”, texto de Maria Cristina Frias, de 22/7/2014, hospedado em

http://www.folha.uol.com.br/)

Sobre a informacao do quadro acima, se o ındice de ocupacao dos resortspassou de 39,5% para 43% (43% − 39, 5% = 3, 5%), por que a reportagemfala em aumento de 9%?

Veja agora a notıcia do quadro a seguir. Voce sabe o que significa dizerque “a margem de erro e de dois pontos percentuais para mais ou paramenos”? O que significa o termo “margem de erro”? Um candidato com1% de intencao de voto nessa pesquisa poderia teoricamente estar com umpercentual negativo?

3


Ibope: Dilma tem 38%, e Aecio 22% das intencoes de votoPesquisa Ibope divulgada nesta terca-feira (22) mostra a

presidente Dilma Rousseff (PT) na frente da disputa, com 38% dos

votos. Ela e seguida pelo tucano Aecio Neves, com 22%, e por

Eduardo Campos (PSB), com 8%. O candidato Pastor Everaldo (PSC)

tem 3% das intenc~oes de voto. Eduardo Jorge (PV), Luciana Genro

(PSOL) e Ze Maria (PSTU) possuem 1% cada. Os demais candidatos

n~ao pontuaram.

Os votos brancos e nulos correspondem a 16% do total; 9%

n~ao souberam responder. A margem de erro e de dois pontos

percentuais para mais ou para menos. O nıvel de confianca e

de 95%, o que significa que o Ibope tem 95% de certeza de que os

numeros est~ao dentro da margem de erro.

(http://eleicoes.uol.com.br/2014/noticias/2014/07/22/

ibope-dilma-tem-38-e-aecio-22-das-intencoes-de-voto.htm, acesso em

23/7/2014.)

Outra area que contribuiu sobremaneira no desenvolvimento da Estatısticamoderna e o calculo de probabilidades. E ate possıvel desenvolver raciocınioestatıstico dissociado da probabilidade, mas isso limitaria a Estatıstica a in-terpretacoes numericas e analises descritivas. A Probabilidade e quem da aEstatıstica seu carater cientıfico, firmando bases para que observacoes base-adas em amostras possam ser estendidas a populacao de que fazem parte.No quadro acima e citada uma pesquisa de intencao de votos em que foramcalculadas simples proporcoes para aferir o desempenho dos candidatos aPresidencia da Republica. Mas para se chegar ao nıvel de confianca citadono texto, um calculo de probabilidade precisou ser feito. Essa probabilidadeassociada a margem de erro da a entender que a pesquisa foi feita observandorigores cientıficos, sugerindo, por exemplo, que a abordagem dos eleitores naofoi feita “de qualquer maneira”, mas sim sob alguma metodologia preconi-zada pela teoria. Voce saberia explicar o que significam os 95% de certeza aque o texto se refere?

Grosso modo, podemos dividir a Estatıstica em tres grandes areas, queem geral estao conjuntamente presentes em estudos complexos que envolvemo tratamento estatıstico dos dados.

Estatıstica descritiva Em geral, utilizada na etapa inicial da analise,quando tomamos contato com os dados pela primeira vez. Objetivando tirarconclusoes de modo informal e direto, a maneira mais simples seria a ob-servacao dos valores colhidos. Entretanto, ao depararmos com uma grandemassa de dados, percebemos, imediatamente, que a tarefa pode nao ser sim-ples. Para tentar depreender dos dados informacoes a respeito do fenomeno

4


sob estudo, e preciso aplicar alguma tecnica que nos permita resumir a in-formacao daquele particular conjunto de valores. Em outras palavras, aEstatıstica descritiva pode ser definida como um conjunto de tecnicas desti-nadas a descrever e resumir os dados, a fim de que possamos tirar conclusoesa respeito das caracterısticas de interesse.

Probabilidade Pode ser pensada como teoria matematica utilizada parase estudar a incerteza oriunda de fenomenos de carater aleatorio. Sua historiae relativamente recente e teve inıcio com os jogos de cartas, dados e de roleta;esse e o motivo da grande existencia de exemplos de jogos de azar no estudoda probabilidade.

Inferencia Estatıstica Estudo de tecnicas que possibilitam a extrapolacao,a um grande conjunto de dados, das informacoes e conclusoes obtidas a par-tir de subconjuntos de valores, usualmente de dimensao muito menor. Deveser notado que se tivermos acesso a todos os elementos que desejamos estu-dar, nao e necessario o uso das tecnicas de Inferencia Estatıstica; entretanto,elas sao indispensaveis quando existe a impossibilidade de acesso a todo oconjunto de dados, por razoes de natureza economica, etica ou fısica.

1.1 Populacao e amostra

Definicao 1.1. O conjunto de valores de uma caracterıstica (numerica) as-sociada a uma colecao de indivıduos ou objetos de interesse e dito ser umapopulacao.

Veja que com essa definicao, uma populacao nao e o conjunto de pessoas,indivıduos ou objetos em si, mas as quantidades de interesse associadas aessa colecao. Por exemplo, se queremos avaliar a renda media dos moradoresde uma regiao, a populacao de interesse nao seriam pessoas, mas o conjuntoformado por todos os numeros referentes a renda de todas aquelas pessoas.Ou, o vetor contendo o tempo de vida de todas as lampadas fabricadas numperıodo de tempo, e nao as lampadas, seria definida como a populacao.

Algumas vezes podemos acessar toda a populacao para se estudar carac-terısticas de interesse, mas em muitas situacoes tal procedimento nao podeser realizado. Em geral, razoes economicas sao as mais determinantes des-sas situacoes. Por exemplo, uma empresa usualmente nao dispoe de verbasuficiente para saber o que pensam todos os consumidores de seus produtos.Ha ainda razoes eticas, quando, por exemplo, experimentos de laboratorioenvolvem o uso de seres vivos. Alem disso existem casos em que a impos-sibilidade de se acessar toda a populacao de interesse e incontornavel. Naanalise do sangue de uma pessoa ou em um experimento para determinar o

5


tempo de funcionamento das lampadas produzidas por uma industria, naopodemos observar toda a populacao de interesse.

Tendo em vista as dificuldades de varias naturezas para se observar todosos elementos da populacao, tomam-se alguns deles para formar um grupo aser estudado.

Definicao 1.2. Qualquer subconjunto da populacao, em geral com dimensaosensivelmente menor, e denominado amostra.

A selecao da amostra pode ser feita de varias maneiras, dependendo,entre outros fatores, do grau de conhecimento que temos da populacao, dosrecursos disponıveis etc. Ressalta-se que, em princıpio, a selecao da amostratenta fornecer um subconjunto de valores o mais parecido possıvel com apopulacao que lhe da origem. A amostragem mais estudada e a amostracasual simples, ou amostra aleatoria simples, em que seleciona-se ao acaso,com ou sem reposicao, os itens da populacao que farao parte da amostra.

Eventualmente, se se tiver informacoes adicionais a respeito da populacaode interesse, outros esquemas de amostragem mais sofisticados podem serutilizados. Por exemplo, se numa cidade tivermos mais mulheres do que ho-mens, pode-se selecionar um certo numero de indivıduos entre as mulheres eoutro numero entre os homens. Este procedimento e conhecido como amos-tragem estratificada. A Teoria da Amostragem estuda com profundidade osdiferentes esquemas amostrais existentes. O importante aqui e ter em menteque quanto mais complexa for a amostragem, maiores cuidados deverao sertomados nas analises estatısticas utilizadas; em contrapartida, o uso de es-quemas amostrais mais elaborados pode levar a uma diminuicao no tamanhoda amostra necessario para uma dada precisao.

Questoes para discussao Para as situacoes descritas a seguir, identifiquea populacao e a amostra correspondente. Discuta a validade do processo deinferencia estatıstica para cada um dos casos.

a. Para avaliar a eficacia de uma campanha de vacinacao no Estado de SaoPaulo, 200 maes de recem-nascidos durante o primeiro semestre de umdado ano em uma dada maternidade em Sao Paulo foram perguntadas arespeito da ultima vez em que vacinaram seus filhos.

b. Para verificar a audiencia de um programa de TV, 563 indivıduos foramentrevistados por telefone com relacao ao canal em que estavam sintoni-zados.

c. A fim de avaliar a intencao de voto dos brasileiros para presidente, 122pessoas foram entrevistadas em Brasılia.

6


d. O diretor de uma empresa com 5.000 funcionarios quer saber qual a opiniaode seus subordinados sobre alteracao no horario de entrada e de saıda doexpediente; para isso, em um determinado dia, foram entrevistados os 300primeiros que passaram pela portaria para o inıcio da jornada.

2 Probabilidade

2.1 Introducao

A teoria da probabilidade e a base sobre a qual a estatıstica e desenvol-vida, fornecendo um meio para modelar populacoes, experimentos ou prati-camente qualquer outra coisa que possa ser considerada como um fenomenoaleatorio, definido como uma situacao ou acontecimento que nao pode serprevisto com certeza.

Chamamos espaco amostral ao conjunto de todos os resultados possıveisde um certo fenomeno aleatorio. Ele sera representado pela letra grega Ω(omega). Os subconjuntos de Ω sao denominados eventos e representadospelas letras latinas maiusculas A, B, ... O conjunto vazio, como ja tradicional,sera denotado por ∅. Temos entao que Ω e o evento certo e que ∅ e o eventoimpossıvel.

A uniao de dois eventosA eB, denotada porA∪B, representa a ocorrenciade pelo menos um dos eventos A ou B. A interseccao do evento A com oeventos B, denotada por A ∩B, e a ocorrencia simultanea de A e B.

Dois eventos A e B sao disjuntos ou mutuamente exclusivos quando naotem elementos em comum, isto e, A ∩B = ∅.

Dizemos que A e B sao complementares se sua uniao e o espaco amostrale sua interseccao e vazia. O complementar de A sera representado por Ac etemos A ∪ Ac = Ω e A ∩ Ac = ∅.

Se A e um subconjunto de B, dizemos que A esta contido em B (ou,equivalentemente, B contem A), e escrevemos A ⊆ B (ou B ⊇ A). SeA ⊆ B e B ⊆ A entao temos A = B. Podemos usar A ⊂ B para indicar queo conjunto A e subconjunto de B, mas A 6= B.

Consideremos probabilidade como sendo uma funcao P (·) que atribui va-lores numericos aos eventos do espaco amostral, conforme a definicao a seguir.

Definicao 2.1. Uma funcao P (·) e denominada probabilidade se satisfaz ascondicoes:

i) 0 ≤ P (A) ≤ 1, ∀A ⊆ Ω;

ii) P (Ω) = 1;

7


iii) Se A1, A2, ..., An sao disjuntos dois a dois entao P (n⋃j=1

Aj) =n∑j=1

P (Aj).

Mas como atribuir probabilidades aos eventos do espaco amostral? Haduas maneiras principais de responder essa questao.

A primeira delas consiste na atribuicao de probabilidades baseando-seem caracterısticas teoricas da realizacao do fenomeno. Por exemplo, aolancarmos um dado comum e observarmos a face voltada para cima temos oespaco amostral Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Admitindo que o dado foi construıdode forma homogenea e com medidas rigorosamente simetricas, nao temosnenhuma razao para priorizar essa ou aquela face, de maneira que podemosconsiderar P (1) = P (2) = P (3) = P (4) = P (5) = P (6) = 1/6.

Uma outra maneira de obter probabilidades e por meio das frequencias deocorrencias. Observando as diversas repeticoes do fenomeno em que ocorre avariavel de interesse, podemos anotar o numero de ocorrencias de cada valordessa variavel. Para um numero grande de realizacoes, a frequencia relativapoderia ser usada como probabilidade. Por exemplo, desejando estabelecer asprobabilidades de cada face de um dado sem fazer nenhuma suposicao inicialsobre sua construcao, usamos a experiencia de sucessivas ocorrencias. Vamosassumir que a medida que o numero de repeticoes nas mesmas condicoesvai aumentando, as frequencias relativas de estabilizam em um numero quechamaremos de probabilidade. Em ciencias biologicas e humanas essa e aforma mais comum de atribuir probabilidades.

De modo geral, diremos que estamos fazendo um sorteio aleatorio ou aoacaso em uma populacao se a escolha desse ou daquele elemento so dependeda probabilidade a ele atribuıda, seja por meio da frequencia relativa ou dealguma suposicao teorica.

Exemplo 2.2. Nem sempre o espaco amostral e obtido com precisao. Sejao experimento “selecionar ao acaso um habitante do Rio de Janeiro e medirsua altura em metros”. Quais os resultados possıveis deste experimento? Po-demos fazer Ω = (0,+∞), que evidentemente contem resultados impossıveis.Outros candidatos para Ω seriam os intervalos limitados (0, 3) e (1/10, 3);ou entao Ω = R, a propria reta real. O importante e perceber que o espacoamostral pode nao ser unico, mas deve conter todo resultado possıvel de umexperimento.

Exemplo 2.3. Para a variavel numero de filhos em uma pesquisa, o espacoamostral podera ser Ω = 0, 1, 2, 3, 4, 5+, onde 5+ quer dizer “cinco filhosou mais”.

Exemplo 2.4. Uma fabrica produz determinado artigo. Da linha de producao

8


sao retirados tres artigos, e cada um e classificado como bom (B) ou defei-tuoso (D). Um espaco amostral do experimento e

Ω = BBB,BBD,BDB,DBB,DDB,DBD,BDD,DDD.

Se A designar o evento que consiste em obter dois artigos defeituosos,entao A = DDB,DBD,BDD.

Exemplo 2.5. Considere o experimento que consiste em retirar uma lampadade um lote e medir seu “tempo de vida” antes de se queimar. Um espacoamostral conveniente e Ω = t ∈ R : t ≥ 0, isto e, o conjunto de todosos numeros reais nao negativos. Se A indicar o evento “o tempo de vida dalampada e inferior a 20 horas”, entao A = t : 0 ≤ t ≤ 20. Esse e umexemplo de um espaco amostral contınuo, contrastado com os dos exemplosanteriores, que sao discretos.

A probabilidade da uniao de eventos e calculada por meio da regra daadicao de probabilidades, enunciada abaixo.

Sejam A e B eventos de Ω. EntaoP (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).

Observe que se A e B forem disjuntos a expressao acima se reduz a somadas probabilidades dos eventos A e B, pois a interseccao e vazia e a corres-pondente probabilidade e nula. A regra da adicao das probabilidades podeser expandida. Para obter P (A ∪B ∪ C), podemos fazer D = B ∪ C e, comalgum algebrismo, chegar a P (A ∪B ∪ C) == P (A) +P (B) +P (C)−P (A∩B)−P (A∩C)−P (B ∩C) +P (A∩B ∩C).

Exemplo 2.6. Seja o experimento do lancamento de um dado comum, coma observacao da face que cai voltada para cima. Sejam os eventos A = “aface voltada para cima e um numero par” e B = “a face voltada para cimae um numero menor que 5”. Temos Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, A = 2, 4, 6 eB = 1, 2, 3, 4. Se o dado for equilibrado, temos P (A) = 3/6 e P (B) = 4/6.Para calcular P (A ∪B), podemos fazer de duas formas.

• A ∪B = 1, 2, 3, 4, 6 ⇒ P (A ∪B) = 5/6.

• A∩B = 2, 4 ⇒ P (A∩B) = 2/6 e P (A∪B) = 3/6+4/6−2/6 = 5/6(aplicacao da regra da adicao).

Como consequencia da regra da adicao, obtemos que, para qualquerevento A ⊆ Ω,

P (A) = 1− P (Ac).

9


Exercıcios

1 – Para cada um dos casos abaixo, escreva o espaco amostral correspon-dente e conte seus elementos.

a. Uma moeda e lancada duas vezes e observam-se as faces voltadas paracima.

b. Um dado e lancado duas vezes e a ocorrencia da face par ou ımpar eobservada.

c. Uma urna contem 10 bolas azuis e 10 vermelhas com dimensoes rigoro-samente iguais. Tres bolas sao selecionadas ao acaso com reposicao e ascores sao anotadas.

d. Dois dados sao lancados simultaneamente e estamos interessados na somadas faces observadas.

e. Em uma cidade, famılias com 3 criancas sao selecionadas ao acaso, anotando-se o sexo de cada uma.

f. Uma maquina produz 20 pecas por hora; escolhe-se um instante qualquere observa-se o numero de pecas defeituosas na proxima hora.

g. Uma moeda e lancada consecutivamente ate o aparecimento da primeiracara.

2 – Sendo A e B dois eventos em um mesmo espaco amostral, “traduza”para a linguagem da Teoria dos Conjuntos as seguintes situacoes.

a. Pelo menos um dos eventos ocorre.

b. O evento A ocorre mas B nao.

c. Nenhum deles ocorre.

d. Exatamente um dos eventos ocorre.

3 – Uma universidade tem 10 mil alunos, dos quais 4 mil sao consideradosesportistas. Temos ainda que 500 alunos sao do curso de biologia diurno, 700de biologia noturno e 200 sao esportistas e de biologia noturno. Um aluno eescolhido ao acaso e pergunta-se a probabilidade de ...

a. ser esportista.

10


b. ser esportista e aluno de biologia noturno.

c. nao ser de biologia.

d. ser esportista ou aluno de biologia.

e. nao ser esportista nem aluno de biologia.

4 – Sejam A e B dois eventos em um dado espaco amostral tais queP (A) = 0, 2, P (B) = p, P (A ∪ B) = 0, 5 e P (A ∩ B) = 0, 1. Determine ovalor de p.

5 – Dois processadores tipo A e B sao colocados em teste por 50 mil horas.A probabilidade de que um erro de calculo aconteca em um processador dotipo A e de 1/30; no tipo B, 1/80; e em ambos, 1/1000. Qual a probabilidadede que ...

a. pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro?

b. nenhum processador tenha apresentado erro?

c. apenas o processador A tenha apresentado erro?

2.2 Probabilidade Condicional e Independencia

Considere a tabela 1, com dados referentes a alunos matriculados emquatro cursos em uma universidade em um dado ano.

Tabela 1: Distribuicao de alunos segundo o sexo e a escolha do curso

Curso Sexo Homens (H) Mulheres (F ) TotalMatematica Pura (M) 70 40 110Matematica Aplicada (A) 15 15 30Estatıstica (E) 10 20 30Computacao (C) 20 10 30Total 115 85 200

Indiquemos porM o evento que ocorre quando, escolhendo-se ao acaso umaluno do conjunto desses quatro cursos, ele for um estudante de MatematicaPura. A, E, C, H e F tem significados analogos. Desta maneira, percebaque, por exemplo,

• P (A) = 30/200;

11


• P (H) = 115/200;

• P (A∩H) = 15/200, sendo A∩H o evento “ocorrer A e H”, ou seja, umaluno sorteado ao acaso e estudante de matematica aplicada e homem;

• P (A∪H) = P (A) +P (H)−P (A∩H) = 30/200 + 115/200−15/200 =130/200 (A ∪H =“o aluno sorteado ou e da Matematica Aplicada oue homem, ou ambos”);

• P (A ∩ C) = 0 (A e C sao eventos disjuntos, isto e, A ∩ C = ∅).

Agora, suponha sabermos que um estudante sorteado esta matriculadono curso de Estatıstica. Qual a probabilidade de que esse estudante sejamulher?

Perceba que o fato de sabermos que o aluno e do curso de Estatısticalimitou o nosso espaco amostral a esse novo universo de apenas 30 estudantes.Para respondermos a questao, basta que olhemos agora apenas para linhareferente aos estudantes do curso de Estatıstica e vermos que sao 20 mulheresdentre 30 alunos, ou seja, a probabilidade pedida e 20/30. Escrevemos

P (mulher|Estatıstica) = P (F |E) =20

30=

2

3.

Definicao 2.7. Para dois eventos quaisquer A e B, sendo P (B) > 0, defini-mos a probabilidade condicional de A dado B, P (A|B), como sendo

P (A|B) =P (A ∩B)

P (B).

Usando a definicao 2.7 e os dados da tabela 1, P (F |E) =P (F ∩ E)

P (E)=

20/200

30/200=

2

3.

Observe que P (F ) = P (mulher) = 85/200 = 17/40; com a informacaode que E ocorreu (o aluno e do curso de Estatıstica), temos que P (F |E) =2/3; logo, a informacao de que E ocorreu aumentou a probabilidade de Focorrer. Intuitivamente, percebemos que ha um relacao de dependencia entreos eventos F e E no que diz respeito as suas probabilidades de ocorrencia.

Definicao 2.8. Dois eventos A e B sao independentes se a informacao daocorrencia ou nao de B nao altera a probabilidade de ocorrencia de A, istoe:

P (A|B) = P (A), P (B) > 0,

12


ou ainda, de forma equivalente,

P (A ∩B) = P (A)P (B).

Se A e B nao sao independentes, entao eles serao dependentes.

Verifique que se A independente de B entao B e independente de A.Verifique tambem que o evento vazio e independente de qualquer evento.Em verdade, eventos de probabilidade 0 ou 1 sao independentes de qualqueroutro.

Nao confunda eventos independentes com eventos disjuntos. Se doiseventos sao disjuntos (e tem cada um probabilidades nao nulas), entao aocorrencia de um implica a nao ocorrencia do outro, ou seja, eles serao de-pendentes. Matematizando, supondo P (A) > 0, P (B) > 0 e A ∩ B = ∅,

temos P (A|B) =P (A ∩B)

P (B)=

0

P (B)= 0, isto e, A e B nao sao independen-

tes.

2.3 O Teorema de Bayes

Definicao 2.9. (particao do espaco amostral). Os eventos C1, C2, ..., Ckformam uma particao do espaco amostral se eles nao tem interseccao entresi e se sua uniao e igual ao espaco amostral. Isto e,

Ci ∩ Cj = ∅ para i 6= j ek⋃i=1

Ci = Ω.

A figura 1 apresenta um exemplo de uma particao com 6 eventos.

Figura 1: particao do espaco amostral com k = 6

13


Exemplo 2.10. Um fabricante de sorvetes recebe de uma fazenda C1 20%de todo o leite que utiliza; de uma outra fazenda C2 ele recebe 30% do leite;e de uma terceira fazenda C3 ele recebe 50% do leite utilizado.

Um orgao de fiscalizacao inspecionou as fazendas de surpresa, e observouque 20% do leite produzido por C1 estava adulterado por adicao de agua,enquanto que para as fazendas C2 e C3 essa proporcao era de 5% e 2%respectivamente. Na industria de sorvetes os galoes de leite sao armazenadosem um refrigerador sem identificacao das fazendas. Para um galao escolhidoao acaso, vamos analisar o leite para decidir sobre sua adulteracao ou nao.

Se denotarmos por A o evento “o leite esta adulterado”, temos P (A|C1) =0, 20, P (A|C2) = 0, 05 e P (A|C3) = 0, 02. Veja que C1, C2 e C3 formam umaparticao do espaco amostral. O evento A pode ser escrito em termos deinterseccoes de A com os eventos C1, C2 e C3, conforme ilustra a figura 2.

Figura 2: A = (A ∩ C1) ∪ (A ∩ C2) ∪ (A ∩ C3)

Podemos ainda estar interessados em saber qual a probabilidade de quea amostra adulterada tenha sido obtida do leite fornecido pela fazenda C1,isto e, P (C1|A), o que implica em se inverter a probabilidade condicionalconhecida P (A|C1). Situacoes como essa sao tıpicas para o uso do resultadoapresentado a seguir.

Teorema 2.11 (Teorema de Bayes). Suponha que os eventos C1, C2, ...,Ck formem uma particao de Ω e que suas probabilidades sejam conhecidas.Suponha ainda que para um evento A se conhecam as probabilidades P (A|Ci)para todo i = 1, 2, ..., k. Entao, para qualquer j,

P (Cj|A) =P (A|Cj)P (Cj)∑ki=1 P (A|Ci)P (Ci)

, j = 1, 2, ..., k.

Exemplo 2.12. Voltando a situacao do fabricante de sorvetes (exemplo2.10), podemos agora calcular a probabilidade desejada.

14


P (C1|A) =P (C1 ∩ A)

P (A)=

P (A|C1)P (C1)

P (A|C1)P (C1) + P (A|C2)P (C2) + P (A|C3)P (C3)

=0, 2× 0, 2

0, 2× 0, 2 + 0, 3× 0, 5 + 0, 02× 0, 2= 0, 615.

Exercıcios em sala

I – Considere dois eventos A e B, mutuamente exclusivos, com P (A) =0, 3 e P (B) = 0, 5. Calcule.

a. P (A ∩B).

b. P (A ∪B).

c. P (A|B).

d. P (Ac).

e. P (A ∪B)c.

II – Se P (A ∪ B) = 0, 8, P (A) = 0, 5 e P (B) = x, determine x no casode:

a. A e B serem mutuamente exclusivos;

b. A e B serem independentes.

III – Um time ganha com probabilidade 0, 7 se chove e com 0, 8 se naochove. Em setembro a probabilidade de chuva e 0, 3. Se o time ganhou umapartida em setembro, qual a probabilidade de ter chovido nesse dia?

IV – Mostre que se A e B sao independentes, entao Ac e Bc tambem saoindependentes.P (Ac)P (Bc) = [1 − P (A)] × [1 − P (B)] = 1 − P (B) − P (A) + P (A)P (B) = 1 − P (B) −P (A) + P (A ∩B) (porque A e B sao independentes). Assim, P (Ac)P (Bc) = 1− [P (A) +

P (B)− P (A ∩B)] = 1− P (A ∪B) = P [(A ∪B)c] = P [(A)c ∩ (B)c].

15


Exercıcios

6 – Uma moeda e viciada de modo que a probabilidade de sair cara e 4vezes maior que a de sair coroa. Para dois lancamentos independentes dessamoeda, determinar

a. o espaco amostral;

b. a probabilidade de sair somente uma cara;

c. a probabilidade de sair pelo menos uma cara;

d. a probabilidade de dois resultados iguais.

7 – As preferencias de homens e mulheres para cada genero de filmealugado em uma locadora estao apresentadas na tabela a seguir.

Sexo Filme Comedia Romance PolicialHomens 136 92 248Mulheres 102 195 62

Sorteando-se ao acaso uma dessas locacoes de vıdeo, pergunta-se a pro-babilidade de:

a. uma mulher ter alugado um filme policial;

b. o filme alugado ser uma comedia;

c. um homem ter alugado ou o filme ser um romance;

d. o filme ser policial dado que foi alugado por um homem.

8 – Um medico desconfia que um paciente tem tumor no abdomen, poisisto ocorreu em 70% dos casos similares que tratou. Se o paciente de fatotiver o tumor, o exame ultra-som o detectara com probabilidade 0, 9. Entre-tanto, se ele nao tiver o tumor, o exame pode, erroneamente, indicar presencado tumor (falso-positivo) com probabilidade 0, 1. Se o exame detectou umtumor, qual e a probabilidade de o paciente te-lo de fato?

9 – Uma turma de Matematica teve a seguinte distribuicao das notasfinais: 4 do sexo masculino e 6 do sexo feminino foram reprovados; 8 do sexomasculino e 14 do feminino foram aprovados. Para um aluno sorteado dessaturma, denote por M se o aluno escolhido for do sexo masculino e por A seo aluno foi aprovado. Calcule:

16


a. P (A ∪M c);

b. P (Ac ∩M c);

c. P (A|M);

d. P (M c|A);

e. P (M |A).

2.4 Variaveis aleatorias

Como visto no estudo das probabilidades, o conjunto de todos os possıveisresultados de um experimento aleatorio e o espaco amostral. Os elementosdesse conjunto podem ser numericos ou nao. Por exemplo, se o experimentofor escolher um aluno e registrar sua altura, teremos um conjunto numerico;porem, se indagarmos o time de futebol preferido do aluno, teremos umconjunto nao numerico. Como em muitas situacoes experimentais precisamosatribuir um numero real x a todo elemento do espaco amostral, vamos definiro conceito de variavel aleatoria.

Definicao 2.13. Seja Ω o espaco amostral associado a um experimentoaleatorio. Uma funcao X que associe a cada elemento ω ∈ Ω um numero realX(ω) e denominada variavel aleatoria.

Observe que variavel aleatoria e uma funcao cujo domınio e o conjuntoΩ, e o contradomınio e o conjunto R dos numeros reais. Variaveis aleatoriassao denotadas com letras latinas maiusculas e os seus valores pelas letrasminusculas correspondentes. Assim, a variavel aleatoria X pode assumir osvalores x1, x2, ...

Ao definirmos uma variavel aleatoria, acabamos definindo tambem umnovo espaco amostral, formado por todos os valores possıveis da variavel.

Exemplo 2.14. Seja X a variavel que representa o numero de caras obtidasno lancamento de duas moedas. Entao Ω = hh, ht, th, tt, h = cara, t =coroa. A variavel X podera assumir os valores 0, 1 e 2. Assim:

• X = 0 corresponde ao resultado do evento tt (nenhuma cara);

• X = 1 corresponde ao resultado ht ou th (uma cara);

• X = 2 corresponde ao resultado hh (duas caras).

Exemplo 2.15. Y = numero de clientes que entram em um supermercadoentre 10h00 e 12h00. Y e um variavel aleatoria com valores 0, 1, 2, 3, ...

17


Exemplo 2.16. Z = altura de alunos de uma escola primaria, em metros.Os valores z assumidos por esta variavel pertencem a um intervalo real.

Exemplo 2.17. Claro esta que um mesmo experimento pode gerar diver-sas variaveis aleatorias. Considere jogar um dado comum e observar a facevoltada para cima.

a) X = 1, 2, 3, 4, 5, 6 se X e o valor da face voltada para cima.

b) Y = 0 se a face voltada para cima e par e Y = 1 se a face e ımpar.

2.4.1 Variavel aleatoria discreta

Definicao 2.18. Seja X uma variavel aleatoria. Se o numero de valorespossıveis de X for finito ou infinito numeravel, denominaremos X de variavelaleatoria discreta.

As variaveis dos exemplos 2.14, 2.15 e 2.17 sao discretas.

Definicao 2.19. A funcao que atribui a cada valor da variavel aleatoriadiscreta sua probabilidade e denominada funcao discreta de probabilidade,ou simplesmente funcao de probabilidade.

X x1 x2 x3 ...pi p1 p2 p3 ...

com pi = P (X = xi), i = 1, 2, 3, ...

Uma funcao de probabilidade satisfaz 0 ≤ pi ≤ 1 e∑i

pi = 1.

Exemplo 2.20. Considere o experimento de lancar uma moeda e observarse ocorre cara (H) ou coroa (T ). Temos Ω = HH,HT, TH, TT. Podemosagora, a partir do espaco amostral, descrever a variavel N definida como“numero de caras em dois lancamentos dessa moeda”. Considerando inde-pendencia entre os lancamentos e moeda nao viciada, obtemos a funcao deprobabilidade da variavel aleatoria N , descrita abaixo.

N 0 1 2pi 1/4 1/2 1/4

18


Exemplo 2.21. Uma populacao de 1000 criancas foi analisada para se de-terminar a efetividade de uma vacina contra um tipo de alergia. As criancasrecebiam uma dose da vacina e apos um mes passavam por um novo teste.Caso ainda tivessem alguma reacao alergica, recebiam outra dose. Ao fim decinco doses todas as criancas foram imunizadas. O quadro abaixo descreve oresultado do experimento.

Numero de doses 1 2 3 4 5 TotalFrequencia 245 288 256 145 66 1000

Supondo uma crianca sorteada ao acaso, qual a probabilidade dela ter sidoimunizada apos receber duas doses da vacina? Com a ideia de atribuir pro-babilidade por meio da frequencia relativa, a probabilidade desejada e de288/1000 = 0, 288. A funcao de probabilidade da variavel X, “numero dedoses recebidas”, fica sendo o seguinte.

x 1 2 3 4 5P (X = x) 0,245 0,288 0,256 0,145 0,066

Veja que P (X ≤ 2) = P (X = 1) + P (X = 2) = 0, 533 = 53, 3% e aprobabilidade da crianca sorteada ter recebido ate 2 vacinas.

2.4.2 Variavel aleatoria contınua

Definicao 2.22. Seja X uma variavel aleatoria. Se os valores possıveis deX e um intervalo real ou uma colecao de intervalos, denominaremos X devariavel aleatoria contınua.

A variavel do exemplo 2.16 e contınua. Renda, salario, tempo de duracaode um equipamento, comprimento de uma peca, area atingida por uma pragaagrıcola etc. sao outros exemplos de quantidades que podem ser modeladaspor variaveis aleatorias contınuas.

Definicao 2.23. Dizemos que f(x) e uma funcao contınua de probabili-dade, ou uma funcao densidade de probabilidade para uma variavel aleatoriacontınua X se satisfaz duas condicoes:

(i) f(x) ≥ 0 para tido x ∈ (−∞;∞);

(ii) a area definida por f(x) e igual a 1, isto e,

∫ ∞−∞

f(x)dx = 1.

19


Para calcular probabilidades, temos que, para a ≤ b, P (a ≤ X ≤ b) =∫ b

a

f(x)dx, que e a area sob a funcao f definida no intervalo [a, b].

Pela forma com que sao atribuıdas probabilidades para o caso contınuo,tem-se area 0 sob qualquer valor individual, isto e, P (X = k) = 0 paraqualquer k. Portanto, em se tratando de variavel aleatoria contınua, a pro-babilidade de ocorrencia de um valor isolado e sempre 0 e, consequentemente,P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X < b).

Exemplo 2.24. Num teste educacional com criancas, o tempo para a rea-lizacao de uma bateria de questoes de raciocınio logico e medido e anotadopara ser comparado com um modelo teorico, que considera T = tempo deteste, em minutos, como uma variavel aleatoria contınua com funcao densi-dade de probabilidade dada por

f(t) =

(t− 4)/40 se 8 ≤ t < 10;

3/20 se 10 ≤ t ≤ 15;0 caso contrario.

Figura 3: grafico de f(t)

Note que f(t) se anula para t < 8 ou t > 15. Veja tambem que a funcaof(t) e um funcao densidade de probabilidade, pois:

(i) f(t) ≥ 0 para todo t ∈ R;

(ii)

∫ ∞−∞

f(t)dt =

∫ 10

8

(t− 4)

40dt+

∫ 15

10

3

20dt =

1

4+

3

4= 1.

Segundo o modelo teorico, a probabilidade de uma crianca fazer o teste entre9 e 12 minutos e a area sob f(t) no intervalo [9, 12], o que neste caso pode

20


ser feito geometricamente pelo calculo das areas do trapezio e retangulos

formados; ou entao fazemos P (9 ≤ T ≤ 12) =

∫ 12

9

f(t)dt =

∫ 10

9

t− 4

40dt +∫ 12

10

3

20dt =

11

80+

3

10=

11

16.

Exercıcios

10 – Uma moeda viciada tem probabilidade de cara igual a 0,4. Para doislancamentos independentes dessa moeda obtenha a funcao de probabilidadeda variavel numero de caras. Faca um grafico dessa funcao.

11– Faca X a variavel soma dos pontos obtidos no lancamento de doisdados. Determine

a) a distribuicao de probabilidade de X;

b) P (3 ≤ X < 10);

c) P (3 ≤ X ≤ 10);

d) P (X > 20);

e) probabilidade de se obter pelo menos soma 3.

12 – Uma variavel aleatoria tem a distribuicao de probabilidade dada pelaformula P (X = x) = k/x, para x = 1, 3, 5, 7.

a) Determine k.

b) Calcule P (2 ≤ X ≤ 6).

c) Calcule P (X ≤ 5).

13 – Um homem de vendas calcula que cada contato resulta em vendascom probabilidade de 20%. Certo dia, ele contata 5 possıveis clientes. Cons-trua a tabela da distribuicao de probabilidade para a variavel Y = numerode clientes que assinam um contrato de venda.

14 – Verifique se as funcoes abaixo sao funcoes densidade de probabili-dade.

a) f(x) =

3x se 0 ≤ x ≤ 2;0 caso contrario.

21


b) f(t) =

−1/π se 0 < t < π;

0 caso contrario.

c) f(x) =

2e2x se x ≤ 0;

0 caso contrario.

15 – O tempo, em minutos, de digitacao de um texto por secretariasexperientes e uma variavel aleatoria contınua com densidade

f(x) =

1/4 se 0 ≤ x < 2;1/8 se 2 ≤ x < 6;0 caso contrario.

Determine

a) P (X > 3).

b) P (1 < X ≤ 4).

c) P (X < 3|X ≥ 1).

d) P (X ≥ 1|X < 3).

e) Um numero b tal que P (X > b) = 0, 6.

2.5 Esperanca e Variancia

Definicao 2.25. O valor esperado (ou media ou ainda esperanca) de umavariavel aleatoria X, denotado por E(X), e definido como

E(X) =

∫ ∞−∞

xf(x)dx se X e contınua;∑x

xP (X = x) se X e discreta.

Uma notacao alternativa e representar E(X) por µX ou simplesmente µ,se nao houver possibilidade de confusao. A media de uma variavel aleatoria euma medida-resumo de tendencia central que representa o “ponto de equilıbrio”da distribuicao de seus valores, sendo muito usada para resumir as informacoese tambem em virtude de suas propriedades matematicas.

Evidentemente que caracterizar uma variavel por uma unica medida podelevar a interpretacoes equivocadas, de maneira que o uso de outras medidasde tendencia central (mediana, moda, media harmonica, media geometrica,media aparada), de posicao (quartis, decis etc.), de variacao (variancia,desvio-padrao, desvio-medio, amplitude etc.) sao amplamente usadas, comsuas adequacoes dependendo de cada caso. Num curso de estatıstica descri-tiva, essas medidas sao estudadas mais detalhadamente; aqui, trabalharemosapenas com as de maior interesse teorico para os objetivos do curso no se-mestre.

22


Definicao 2.26. A variancia de uma variavel aleatoria X, denotado porV ar(X), ou por σ2

X , e definida como V ar(X) = E[(X − µX)2], ou, de outraforma:

V ar(X) = σ2X =

∫ ∞−∞

(x− µx)2f(x)dx se X e contınua;∑x

(x− µX)2P (X = x) se X e discreta.

Onde µX = E(X) definida anteriormente.O desvio-padrao da variavel X, denotado por σX , e a raiz quadrada positiva

da variancia, ou seja, σX =√σ2X .

Exemplo 2.27. Um gerente de loja construiu a seguinte distribuicao deprobabilidade para a venda de fogoes em uma semana.

x (vendas) 0 1 2 3 4P (X = x) 0,20 0,30 0,30 0,15 0,05

A media de vendas, ou o numero esperado de vendas semanal, sera E(X) =4∑

x=0

P (X = x) = 0× 0, 20 + 1× 0, 30 + 2× 0, 30 + 3× 0, 15 + 4× 0, 05 = 1, 55

fogoes.

Quanto a variancia: σ2X =

4∑x=0

(x− µX)2P (X = x) = (0− 1, 55)2 · 0, 20 +

(1−1, 55)2 ·0, 30 + (2−1, 55)2 ·0, 30 + (3−1, 55)2 ·0, 15 + (4−1, 55)2 ·0, 05 =1, 2475 “fogoes ao quadrado” (sendo a variancia e uma medida quadratica,sua unidade de medida e o quadrado da unidade original).

O desvio-padrao sera σ =√

1, 2475 = 1, 12 fogoes.

Exemplo 2.28. Considere a variavel tempo para a realizacao de um teste doExemplo 2.24 e vamos calcular o tempo esperado e seu desvio-padrao.

Temos E(T ) =

∫ ∞−∞

tf(t)dt =

∫ 10

8

t× (t− 4)

40dt+

∫ 15

10

t× 3

20dt = 2, 267+

9, 375 ≈ 11, 64 segundos.

Tambem, σ2T =

∫ 10

8

(t− 11, 64)2 × (t− 4)

40dt+

∫ 15

10

(t− 11, 64)2 × 3

20dt =

1, 7377 + 2, 1172 = 3, 8549⇔ σT =√

3, 8549 = 1, 96 segundos.

Exemplo 2.29 (media e variancia para dados brutos). Se em vez de uma dis-tribuicao de probabilidade tivermos simplesmente os valores disponıveis x1,x2,..., xn, podemos atribuir probabilidade de ocorrencia igual a 1/n para cada

23


um dos valores e fazer E(X) = µ =1

nx1+

1

nx2+...+

1

nxn =

x1 + x2 + ...+ xnn

,

que e a media aritmetica simples entre os valores, tambem denotada por x.

Do mesmo modo calculamos V ar(X) = σ2 =(x1 − µ)2

n+

(x2 − µ)2

n+ ...+

(xn − µ)2

n=

∑ni=1(xi − x)2

n, que e a maneira usual de se ensinar variancia

em cursos de estatıstica descritiva.

Propriedades Qualquer funcao de variavel aleatoria tambem e uma va-riavel aleatoria. Variaveis aleatorias distintas tambem podem ser somadas,multiplicadas etc. sendo a resultante tambem uma variavel aleatoria. Maisadiante veremos alguns exemplos de casos assim. Sejam X, Y variaveisaleatorias e k uma constante real. Entao:

(i) E(k) = k

(ii) E(kX) = kE(X).

(iii) E(k ±X) = k ± E(X).

(iv) E(X ± Y ) = E(X)± E(Y ).

(v) E(XY ) = E(X)E(Y ) se X e Y forem independentes.

(vi) V ar(k) = 0.

(vii) V ar(k ±X) = V ar(X).

(viii) V ar(kX) = k2V ar(X).

(ix) V ar(X ± Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) se X e Y forem independentes.

Um uso imediato das propriedades (i), (ii) e (iii) permite obter uma formaalternativa – e mais frequentemente usada – para o calculo da variancia deuma variavel. Sabendo que E(X) = µ e uma constante, temos V ar(X) =E[(X − µ)2] = E[X2 − 2µX + µ2] = E(X2)− 2µE(X) + E(µ2) = E(X2)−2µ2 + µ2 = E(X2)− µ2,

onde E(X2) =

∫ ∞−∞

x2f(x)dx se X e contınua;∑x

x2P (X = x) se X e discreta.

Ou seja, para calcularmos a variancia de X, podemos primeiramente calcularE(X2) e depois subtrair o quadrado da sua media.

24


Exemplo 2.30. A variancia da variavel do Exemplo 2.27 poderia ter sidocalculada assim:E(X2) = 02 × 0, 20 + 12 × 0, 30 + 22 × 0, 30 + 32 × 0, 15 + 42 × 0, 05 = 3, 65.σ2 = E(X2)− µ2 = 3, 65− 1, 552 = 1, 2475.

Exemplo 2.31. Uma maquina produz parafusos com peso unitario medio10g e desvio-padrao 2g. Se 1.000 desses parafusos forem acondicionados emum recipiente que pese 5kg, qual o peso medio e o desvio-padrao do conjunto?Solucao. X = peso de um parafuso, E(X) = 10g, V ar(X) = 4g2. c = 5.000ge o peso do recipiente.Entao Y = 1.000X+c e a variavel peso do conjunto caixa-parafusos e, entao,E(Y ) = E(1000X + c) = 1000E(X) + c = 1000× 10g + 5.000g = 15.000g eV ar(Y ) = V ar(1000X+ c) = 10002V ar(X) = 106×4g2 ⇔ σY = 2.000g.

Exercıcios

16 – Uma variavel aleatoria discreta pode assumir cinco valores, conformequadro que segue.

x 1 2 3 5 8P (X = x) 0,20 0,25 P (X = 3) 0,30 0,10

a) Encontre o valor de P (X = 3).

b) Calcule P (X = 3|X ≥ 2).

c) Encontre a media da distribuicao.

d) Calcule a variancia e o desvio-padrao.

17 – Uma variavel contınua X tem densidade de probabilidade dada por

f(x) =

1

6x+ k , se 0 < x < 3;

0 , caso contrario.

a) Qual o valor de k?

b) Calcule a media dessa variavel.

c) Calcule a variancia.

d) Calcule a mediana dessa variavel, sabendo que a mediana e um numerom tal que P (X ≤ m) = 0, 5.

18 – Atletas de uma equipe de atletismo universitario tiveram medidospeso e altura conforme quadro a seguir.

25


Atleta Peso (kg) Altura (m)1 76 1,952 77 1,713 72 1,684 68 1,525 75 1,856 71 1,667 70 1,808 69 1,709 70 1,6410 72 1,7811 70 1,67

a) Calcule a media das alturas e dos pesos.

b) Calcule o desvio-padrao das alturas e dos pesos.

c) Em termos de desvio-padrao, qual variavel tem maior variabilidade: pesoou altura? Faz sentido essa comparacao?

d) O coeficiente de variacao, que pode ser expresso em porcentagem, e a razaoentre o desvio-padrao de uma variavel e sua media. Calcule o coeficientede variacao das variaveis peso e altura e diga qual das variaveis tem maiorvariabilidade. Essa comparacao faz sentido?

19 – Sejam X e Y variaveis aleatorias independentes com µX = 10, σ2X =

8, µY = −5 e σ2Y = 3. Calcule.

Calcule.

a) E(2X).

b) E(Y/3)

c) E(X + 8)

d) E(Y − 3

4

)e) E(X + Y ).

f) E(X − 5Y ).

g) E(10Y + 8X

2

).

h) E(X − µX).

i) V ar(2X)

j) V ar(Y/3).

k) V ar(X + 8).

l) V ar(3Y + 4).

m) V ar(X − Y ).

n) V ar(3X − 2Y

5

)

o) E(X − µX

σX

)

p) V ar(X − µX

σX

)

q) E(Y − µY

σY

)

r) V ar(Y − µY

σY

)

26


20 – Uma pequena cirurgia dentaria pode ser realizada por tres metodosdiferentes cujos tempos de recuperacao (em dias) sao modelados pelas variaveisX1, X2 e X3, com as seguintes funcoes de probabilidade.

k 0 4 5 6 10P (X1 = k) 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2

k 1 5 9P (X2 = k) 1/3 1/3 1/3

k 4 5 6P (X3 = k) 0,4 0,4 0,3

O que pode ser dito sobre os tempos de recuperacao dos tres tratamentos?

2.6 Alguns modelos discretos

Modelo Bernoulli

Dizemos que uma variavel X segue o modelo Bernoulli se atribui 0 ou 1a ocorrencia de fracasso ou sucesso, respectivamente. Com p representandoa probabilidade de sucesso, 0 ≤ p ≤ 1, sua funcao discreta de probabilidadee dada por

x 0 1P (X = x) 1− p p

ou entao, P (X = x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.Notacao: X ∼ bernoulli(p) (leia: “X segue o modelo de Bernoulli com

probabilidade p de sucesso”).Denominamos sucesso a ocorrencia do evento de interesse e fracasso a nao

ocorrencia, sem que haja conotacoes negativa ou positiva nessas expressoes.

Exemplo 2.32. a) Uma moeda e lancada.: o resultado ou e cara (“sucesso”)ou nao e cara (“fracasso”).

b) Uma peca e escolhida ao acaso em um lote: a peca e defeituosa (“sucesso”)ou nao (“fracasso”).

c) Um eleitor e escolhido numa populacao e deseja-se verificar se ele vota ounao no candidato A.

Se X ∼ binomial(p), segue que

E(X) = 1× p+ 0× (1− p) = p.

Para a variancia, temos E(X2) = 12 × p+ 02 × (1− p) = p, de forma que

V ar(X) = E(X2)− E2(X) = p− p2 = p(1− p).A repeticao de ensaios de Bernoulli independentes da origem a mais im-

portante variavel aleatoria discreta, denominada modelo Binomial.

27


Modelo Binomial

Considere a repeticao de n ensaios de Bernoulli independentes e todoscom a mesma probabilidade de sucesso p. A variavel aleatoria que conta onumero total de sucessos e denominada Binomial com parametros n e p esua funcao de probabilidade e dada por

P (X = k) =

(n

k

)pk(1− p)n−k, k = 0, 1, 2, ..., n,

em que

(n

k

)=

n!

k!(n− k!)e o coeficiente binomial. Notacao: X ∼ b(n, p).

Figura 4: exemplos de distribuicao Binomial

Exemplo 2.33. Se 15% dos brasileiros torcem pelo Flamengo, ao sortearmosao acaso 10 brasileiros, qual a probabilidade de nao haver flamenguista nogrupo sorteado?Solucao. Podemos pensar no experimento que consiste em sortear um bra-sileiro ao acaso e verificar o time para o qual torce. Definimos a variavel

aleatoria Y como segue: Y =

1 se flamenguista;0 caso contrario.

Note que Y ∼ bernoulli(p = 0, 15). Repetindo o sorteio 10 vezes nas mesmascondicoes teremos 10 ensaios de Bernoulli Y1, Y2, ..., Y10 cada um assumindo ovalor 1 com 15% de probabilidade (e consequentemente o valor 0 com proba-

bilidade 85%). Se fizermos X =10∑i=1

Yi entao X representara o numero de fla-

menguistas no grupo de 10 pessoas. Teremos entao X ∼ b(n = 10; p = 0, 15)

28


e a probabilidade desejada e

P (X = 0) =

(10

0

)× 0, 150 × 0, 8510−0 = 0, 8510 = 19, 7%.

Exemplo 2.34. X ∼ b(15; 0, 4). Calcule:

a) P (X ≥ 14).

b) P (X > 0).

c) P (X ≥ 14|X > 0).

Solucao.

a) P (X ≥ 14) = P (X = 14)+P (X = 15) =

(15

14

)0, 4140, 61+

(15

15

)0, 4150, 60 =

15× 0, 414 × 0, 6 + 0, 415 = 2, 523× 10−5.

b) P (X > 0) = 1− P (X = 0) = 1− 0, 615 = 0, 9995.

c) P (X ≥ 14|X > 0) =P (X ≥ 14 ∪X > 0)

P (X > 0)=P (X ≥ 14)

P (X > 0)=

2, 523× 10−5

1− 0, 615=

2, 525× 10−5 .

Exemplo 2.35. Uma certa doenca pode ser curada por um procedimentocirurgico em 80% dos casos. Dentre os que tem essa doenca, sorteamos 8pacientes que serao submetidos a cirurgia. Qual a probabilidade de que aomenos 2 nao sejam curados?Solucao.Ja que a questao fala em probabilidade de nao cura, podemos definir avariavel X como “numero de doentes nao curados dentre os 8 que se submete-ram a cirurgia”, concluir que X ∼ b(8; 0, 20) e fazer P (X ≥ 2) = 1−P (X <2) = 1− [P (X = 0) + P (X = 1)] = 1− [0, 88 + 8 · 0, 2 · 0, 87] = 0, 497, que ea probabilidade desejada.

Sendo X ∼ b(n, p) entao, como visto, X = X1 + X2 + ... + Xn, comXi ∼ bernoulli(p), i = 1, 2, ..., n independentes, entao a media e a varianciade uma variavel binomial serao:

• E(X) = E(X1 + X2 + ... + Xn) = E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn) =p+ p+ ...+ p = np.

• V ar(X) = V ar(X1 + X2 + ... + Xn) = V ar(X1) + V ar(X2) + ... +V ar(Xn) = p(1− p) + p(1− p) + ...+ p(1− p) = np(1− p).

29


Modelo Geometrico

Uma variavel aleatoria discretaX tem distribuicao Geometrica de parametrop, 0 < p < 1, se sua funcao de probabilidade e da forma

P (X = k) = p(1− p)k, k = 0, 1, 2, ...

Notacao: X ∼ G(p).Sendo p a probabilidade de sucesso, a distribuicao Geometrica pode ser

pensada como o numero de fracassos que precedem o primeiro sucesso emensaios de Bernoulli independentes.

A expressao P (X = k) e uma funcao de probabilidade, pois e positiva e

sua soma e∞∑k=0

P (X = k) =∞∑k=0

p(1− p)k =p

1− (1− p)= 1.

O nome da distribuicao se deve a forma como seu grafico se apresenta.Fazendo os valores que a variavel assume no eixo das abcissas e as respectivasprobabilidades na ordenada, a funcao tem o aspecto da figura que segue.

Figura 5: exemplo de distribuicao Geometrica

Exemplo 2.36. Uma linha de producao esta sendo analisada para controlede qualidade das pecas produzidas.A producao e interrompida para regula-gem toda vez que uma peca defeituosa e observada. Se 0,01 e a probabilidadede uma peca ser fabricada com defeito, estude o comportamento da variavelQ = quantidade de pecas boas produzidas antes da primeira defeituosa.

Para a aplicacao do modelo Geometrico, admitamos que cada peca fa-bricada tem a mesma probabilidade de ser defeituosa independentemente daqualidade das demais. Sendo sucesso a ocorrencia de uma peca defeituosa,temos

P (Q = k) = 0, 01× 0, 99k, k = 0, 1, 2, ...

30


q 0 1 2 50 150 300 450P (Q = q) 0,0100 0,0099 0,0098 0,0060 0,0022 0,0005 0,0001

Figura 6: distribuicao Geometrica para a fabricacao de pecas

Utilizando um software para o auxılio nos calculos, temos que P (Q ≤300) = 0, 951, isto e, em apenas 4,9% das vezes a producao atingira 300pecas sem precisar ser interrompida para manutencao.

Se X ∼ G(p) e possıvel mostrar que µ = E(X) =∞∑k=0

kP (X = k) =

∞∑k=0

k×p(1−p)k =1− pp

, que e o valor esperado de uma variavel com funcao

de probabilidade Geometrica de parametro p.

E possıvel mostrar tambem que V ar(X) =∞∑k=0

(x−µ)2p(1− p)x =1− pp2

.

Exemplo 2.37. Voltando ao Exemplo 2.36, temos E(Q) =1− pp

=0, 99

0, 01=

99, ou seja, podemos afirma que em media 99 pecas boas serao produzidasantes de se observar a 1a peca defeituosa no processo de producao.

Modelo Poisson

Uma variavel aleatoria X tem distribuicao de Poisson com parametroλ > 0 se sua funcao de probabilidade e dada por

P (X = k) =e−λ · λk

k!.

31


O modelo Poisson tem sido muito usado em experimentos fısicos e biologicose, λ e a frequencia media ou esperada de ocorrencias num determinado in-tervalo de tempo (taxa de ocorrencia).

Notacao: X ∼ P (λ).

Figura 7: exemplos de distribuicao Poisson

Nao e difıcil observar que para qualquer k, P (X = k) > 0; tambem e

possıvel mostrar que∞∑k=0

P (X = k) = 1 (ou seja, a Poisson e de fato uma

funcao de probabilidade). Tambem mostra-se que, para a Poisson, E(X) =V ar(X) = λ, ou seja, a media tem o mesmo valor que a variancia, que eigual ao parametro.

Exemplo 2.38. Estudos mostram que um radar localizado numa determi-nada via flagra 6,5 carros por hora acima da velocidade permitida em diasuteis. Se o modelo Poisson com λ = 6, 5 e adequado para a quantidade decarros infratores em 1 hora, calcule a probabilidade de, num perıodo de 1hora de um dia util, o radar flagrar no maximo 3 carros acima da velocidadepermitida.

Solucao. X = numero de carros infratores por hora. X ∼ P (6, 5) ⇔P (X = x) = 6, 5xe−6,5/x!. A probabilidade desejada e P (X ≤ 3) = P (X =

0)+P (X = 1)+P (X = 2)+P (X = 3) =6, 50e−6,5

0!+

6, 51e−6,5

1!+

6, 52e−6,5

2!+

6, 53e−6,5

3!= e−6,5(1 + 6, 5 +

6, 52

2+

6, 53

6) = 0, 112.

Exemplo 2.39. Engenheiros de uma companhia telefonica estudam se o mo-delo de Poisson pode ser ajustado ao numero N de chamadas interestaduais

32


que chegam por hora a uma central telefonica durante o perıodo noturno. Osdados coletados, referentes a 650 perıodos de uma hora, estao apresentadosa seguir.

Chamadas 0 1 2 3 4 5 6 7 ≥ 8Freq obs 9 38 71 115 125 106 79 50 57

Da tabela temos que, por exemplo, em 125 perıodos de uma hora ocorreram4 chamadas.

Os engenheiros sugerem utilizar uma taxa media de ocorrencia de 4,5chamadas por hora no perıodo estudado. Seguindo o modelo indicado, afrequencia esperada de ocorrencias com k chamadas e obtida multiplicando650 (o total das observacoes) pela probabilidade de k chamadas. Assim, parak = 2 temos frequencia esperada para duas chamadas = 650 × P (N = 2) =

650× e−4,54, 52

2!= 73, 1. De modo analogo obtemos os demais valores.

Chamadas 0 1 2 3 4 5 6 7 ≥ 8Freq obs 9 38 71 115 125 106 79 50 57Freq esp 7,2 32,5 73,1 109,7 123,4 111,0 83,3 53,6 56,4

A tabela acima parece indicar que o modelo P (4, 5) fornece um bom ajustepara a variavel aleatoria de interesse, pela proximidade das frequencias ob-servadas e esperadas. Conclusoes mais objetivas, no entanto, podem serfeitas por meio de testes estatısticos, assunto que pertence a Inferencia Es-tatıstica.

Exercıcios

21 – Uma moeda equilibrada e lancada sucessivamente, de modo inde-pendente, ate que ocorra a primeira cara. Seja X a variavel aleatoria queconta o numero de lancamentos anteriores a ocorrencia de cara. Determine:

a) P (X ≤ 2);

b) P (X > 1);

c) Media e desvio-padrao de X.

22 – A variavel Y tem distribuicao de probabilidade Poisson com parametroλ = 2, 35. Obtenha:

a) P (Y < 2);

b) P (X > 0);

33


c) P (Y = 1|Y < 3).

23 – A aplicacao de fundo anti-corrosivo em chapas de aco de 1m2 e feitamecanicamente e pode produzir defeitos (pequenas bolhas na pintura) deacordo com uma variavel Poisson de parametro λ = 1 defeito por metro qua-drado. Uma chapa e sorteada ao acaso para inspecao. Qual a probabilidadede:

a) encontrarmos pelo menos um defeito?

b) encontrarmos de 2 a 4 defeitos?

24 – Um time de futebol tem probabilidade 0,60 de vitoria sempre quejoga. Se o time atuar 4 vezes, determine a probabilidade de que venca:

a) Todas as quatro partidas.

b) Exatamente duas partidas.

c) Pelo menos uma partida.

d) No maximo tres partidas.

25 – 25% dos universitarios praticam esportes. Escolhendo-se ao acaso15 desses estudantes, determine a probabilidade de, havendo mais de 5 es-portistas no grupo, obtermos menos que 8 que praticam esporte.

2.7 Alguns modelos contınuos

Modelo Uniforme

Uma variavel aleatoria X tem distribuicao Uniforme Contınua no inter-valo [a, b], a < b, se sua funcao densidade de probabilidade e dada por

f(x) =

1/(b− a) se a ≤ x ≤ b;

0 caso contrario.

Notacao: X ∼ U(a, b).Na figura abaixo temos o grafico de uma Uniforme (-5,12), cuja densidade

e igual 1/(12− (−5)) = 1/17 se −5 ≤ x ≤ 12 e 0 nos demais casos.

34


Figura 8: exemplo de distribuicao Uniforme

O modelo Uniforme pressupoe que os valores possıveis para a variavelaleatoria tem todos a mesma probabilidade de ocorrencia. A media e avariancia para o modelo Uniforme Contınuo sao:

µ = E(X) =

∫ b

a

x1

(b− a)dx =

a+ b

2.

σ2 = V ar(X) = E(X2)− µ2 =

∫ b

a

x2 1

(b− a)dx− (a+ b)2

4=

(b− a)2

12.

Exemplo 2.40. Admite-se que uma pane pode ocorrer em qualquer pontode uma rede eletrica de 10km. Definimos X = local, em km, da ocorrenciade uma pane na rede eletrica em relacao a uma origem pre-fixada. TemosX ∼ U(0, 10).

A probabilidade da pane ocorrer nos primeiros 500 metros e P (X ≤

0, 5) =

∫ 0,5

0

1

10− 0dx =

1

10x∣∣∣0,50

= 0, 05.

A probabilidade da pane ocorrer nos tres quilometros centrais da rede e

P (3, 5 ≤ X ≤ 6, 5) =

∫ 6,5

3,5

1

10dx = 3/10.

A media de X, ou seja, em que ponto da central ocorrera a pane, em

media, e µ =0 + 10

2= 5km, com desvio-parao σ =

√(10− 0)2

12= 2, 9km.

35


Modelo Exponencial

Uma variavel aleatoria X assumindo valores nao negativos segue o modeloExponencial com parametro α > 0 se sua densidade e

f(x) =

αe−αx , x ≥ 0;

0 , caso contrario.

Notacao: X ∼ Exp(α).

Exercıcio: mostrar que

∫ ∞0

αe−αxdx = 1 e que, se X ∼ Exp(α), entao

E(X) = 1/α e V ar(X) = 1/α2, ou seja, a media e igual ao desvio-padrao.A distribuicao Exponencial tem sido muito usada em fısica, engenharia,

computacao, biologia etc. Variaveis como a vida util de equipamentos, tempode falha, tempo de sobrevivencia de especies, entre outras, sao algumas quan-tidades que tem sido modeladas com bons resultados pela Exponencial.

Figura 9: exemplos de distribuicao Exponencial

Para calcular probabilidades, fazemos P (a < X < b) =

∫ ∞0

αe−αxdx =

−e−αx∣∣∣ba

= e−αa − e−αb. A inclusao ou nao dos extremos nao afeta o calculo

efetuado.

Exemplo 2.41. O intervalo de tempo, em minutos, entre emissoes conse-cutivas de uma fonte radioativa e uma variavel aleatoria com distribuicaoExponencial de parametro α = 0, 2.

Vamos calcular a probabilidade de haver uma emissao em um intervalo

inferior a 2 minutos. Temos P (X ≤ 2) =

∫ 2

0

0, 2e−0,2xdx = e−0,2·0− e−0,2·2 =

1− e−0,4 = 0, 33.

36


Calculemos agora a probabilidade de o intervalo ser superior ou igual a7 minutos sabendo que ele e superior a 5 minutos. P (X ≥ 7|X > 5) =P (X ≥ 7, X > 5)

P (X > 5)=P (X ≥ 7)

P (X > 5)=e−1,4

e−1= 0, 67.

O tempo medio entre uma emissao e outra e de 1/0, 2 = 5 minutos, ao

passo que o desvio padrao e igual a√

1/0, 22 = 5 minutos.

Modelo Normal

De todos os modelos teoricos, contınuos ou discretos, o mais importantee o modelo Normal. Suas origens remontam a Gauss em seus trabalhos sobreerros de observacoes astronomicas, por volta de 1810. Por isso a distribuicaoNormal de probabilidade tambem e conhecida pelo nome de Gaussiana.

Dizemos que uma variavel aleatoria contınua X tem distribuicao Normalcom parametros µ e σ2 se sua funcao densidade e dada por

f(x) =1√

2πσ2× e−

12

(x−µσ

)2 , x ∈ R.

Notacao: X ∼ N(µ, σ2)Os parametros µ e σ2 representam respectivamente a media e a variancia

da distribuicao. Ou seja, X ∼ N(µ, σ2)⇔ E(X) = µ e V ar(X) = σ2.Algumas caracterıstica das funcao densidade Normal:

• f(x) e simetrica em relacao a µ;

• f(x)→ 0 quando x→ ±∞;

• o valor maximo de f(x) se da para x = µ;

• f(x) tem dois pontos de inflexao: em x− σ e em x+ σ.

Figura 10: grafico de uma distribuicao Normal com media µ e variancia σ2

37


No calculo de probabilidades, devemos resolver a integral da funcao den-

sidade no intervalo de interesse , isto e, P (a ≤ X ≤ b) =

∫ b

a

e−12

(x−µσ

)2

√2πσ2

dx

Entretanto, a integral acima so pode ser resolvida de modo aproximadoe por metodos numericos. Por essa razao, as probabilidades para o modeloNormal sao calculadas com o auxılio de tabelas ou softwares.

Por exemplo, se X ∼ N(µ, σ2), o LibreOffice Calc (similar livre aoMS Excel), calcula P (X < x) pela digitacao em sua barra de formula“=DIST.NORM(x;µ;σ)”, em que x, µ e σ devem ser substituıdos pelos res-pectivos valores numericos. A digitacao da formula “=DIST.NORM(5;8;3)”retorna o valor 0,1586552539, que e o valor de P (X < 5) se X e normal commedia 8 e desvio-padrao 3 (perceba que o LibreOffice trabalha com o valordo desvio-padrao em vez da variancia; saber como cada software trabalhacom seus parametros e um cuidado fundamental).

Sobre o calculo de probabilidade Normal com o uso de tabelas, esse re-curso esta cada vez mais raro em trabalhos praticos, pois ja existem, alemdos computadores, calculadoras e dispositivos portateis que realizam essaoperacao. No entanto, em provas convencionais e de concursos em geral, afamiliaridade com as tabelas ainda e uma exigencia. Para evitar a confeccaodesnecessaria de tabelas para cada para de valores (µ, σ2), utiliza-se umatransformacao que sempre conduz ao calculo de probabilidades com umavariavel Normal de media 0 e variancia 1:

X ∼ N(µ, σ2)⇔ Z =X − µσ

∼ N(0, 1).

Uma variavel Z com distribuicao Normal de media 0 e variancia 1 e denomi-nada distribuicao Normal Padrao ou Normal Reduzida.

Assim, P (a ≤ X ≤ b) = P (a− µσ≤ X − µ

σ≤ b− µ

σ) = P (

a− µσ≤ Z ≤

b− µσ

), sendo X ∼ N(µ, σ2) e Z ∼ N(0, 1).

Os valores para P (0 ≤ Z ≤ z = ZC), z > 0, estao apresentados na Figura11, extraıda do livro de Bussab & Morettin [1]. Com a simetria da densidadeNormal podemos calcular valores de probabilidades em quaisquer intervalos.Note que a simetria tambem implica que a probabilidade de Z estar acima(ou abaixo) de 0 e igual a 0,5. Como probabilidade e sempre um numeroentre 0 e 1, o corpo da tabela contem apenas a parte decimal.

Exemplo 2.42. Se X ∼ N(2, 9) entao:

• P (2 < X < 5) = P (2− 2√

9< X <

5− 2√9

) = P (0 < Z < 1)tabela

=

0, 34134.

38


Figura 11: probabilidades para a distribuicao Normal Padrao

39


• P (X < 1, 1) = P (X − 2√

9<

1, 1− 2√9

) = P (Z < −0, 3)simetria

= P (Z >

0, 3) = 0, 5− P (0 < Z < 0, 3)tabela

= 0, 5− 0, 11791 = 0, 38209.

• P (1 ≤ X < 7) = P (1− 2

3≤ Z <

7− 2

3) = P (−0, 17 ≤ Z < 1, 67) =

P (0 < Z ≤ 0, 17) + P (0 < Z < 1, 67)tabela

= 0, 06749 + 0, 37900 =0, 44649.

• o valor de x tal que P (X > x) = 0, 35 e obtido fazendo P (Z >x− 2

3) =

0, 35tabela⇔ x− 2

3= 0, 39 ⇔ x = 3, 17. (O valor 0,39 foi obtido ao se

procurar na tabela do Normal Padrao o valor mais proximo que retorneuma area de 0,15, haja vista P (0 < Z < 0, 39) = 0, 15 ⇔ P (Z >0, 39) = 0, 35.)

Aproximacao Normal para o modelo Binomial A distribuicao Normalmodela bem muitos fenomenos praticos com valores muito frequentes emtorno da media e cuja frequencia de reduz simetricamente a medida que seafasta dessa media.

Uma outra razao da importancia da Normal se refere a sua utilizacaocomo aproximacao de outras distribuicoes. Veremos como utiliza-la paraaproximar o modelo Binomial.

Seja X uma variavel aleatoria discreta com parametros n e p (X ∼ b(n, p),sendo n o numero de ensaios de Bernoulli independentes e p a probabilidadede sucesso em cada um desses ensaios). Temos E(X) = np e V ar(X) =np(1− p).

O Teorema Central do Limite, a ser visto mais adiante, fornece a justifi-cativa teorica para fazer calculo de probabilidades de uma variavel Binomialusando a distribuicao Normal. Como regra pratica, podemos considerar quese np(1 − p) ≥ 5, entao o calculo da Binomial podera ser feito usando adistribuicao Normal de media np e variancia np(1− p).

Exemplo 2.43. Estudo do sindicato dos bancarios indica que cerca de 30%dos funcionarios tem problemas de estresse. Numa amostra de 200 bancarios,qual a probabilidade de pelo menos 50 com essa doenca?Solucao. Admitindo que cada funcionario sorteado para compor a mostratenha a mesma probabilidade de estar estressado e assumindo independenciaentre as observacoes, o modelo Binomial e o adequado para a variavel queconta o numero total de bancarios, dentre os 200, com o problema. SendoX essa variavel, temos X ∼ b(200; 0, 0) e a probabilidade desejada sera

40


P (X ≥ 50) =200∑k=50

(200

k

)0, 3k × 0, 7200−k. A obtencao desse resultado sera

bastante trabalhoso mesmo com o auxılio de uma calculadora. Utilizandoum computador, a conta acima retorna P (X ≥ 50) = 0, 949.

Como temos np(1− p) = 200× 0, 3× 0, 7 = 42 >> 5, , podemos calcularP (X > 50) usando a distribuicao Normal de media np = 200 × 0, 3 = 60e variancia np(1 − p) = 42, ou seja, Y ∼ N(60, 42). Assim, P (X ≥ 50) ≈P (Y ≥ 50) = P (

Y − 60√42≥ 50− 60√

42) = P (Z ≥ −1, 54), Z ∼ N(0, 1). Usando

a simetria da Normal e a tabela 11, temos P (Z > −1, 54) = 0, 5 + P (0 <Z < 1, 54) = 0, 5 + 0, 43822 = 0, 93822, que, lembremos, e uma aproximacaopara P (X ≥ 50) = 0, 949, ou seja, a solucao dada pela aproximacao Normalparece bastante razoavel.

Exercıcios

26 – O valor esperado de uma variavel aleatoria com distribuicao Uni-forma Contınua e 1 e a variancia e igual a 1/12. Encontre a probabilidadeda variavel assumir valores menores que 3/4.

27 – O tempo de vida de um vırus exposto ao meio ambiente segue uma

distribuicao Exponencial com parametro λ =1

20segundo.

a) Qual o tempo medio de vida do vırus?

b) Qual o desvio-padrao do tempo de vida?

c) Qual a probabilidade do vırus viver menos de 12 segundos?

d) Sabendo que o vırus viveu mais que 10 segundos, qual a probabilidade deque viva mais que 15 segundos?

28 – Sejam X ∼ N(4, 1), Y ∼ N(90, 100), W ∼ N(−5, 10). Obtenha:

a) P (X ≤ 4).

b) P (5 ≤ X ≤ 7).

c) P (Y > 80).

d) P (|Y − 90| ≤ 10).

e) P (W ≤ 0).

f) P (W > −6).

g) P (X + W > 0), sabendo queX +W e Normal.

h) P (W − X < −4), sabendo queW −X e Normal.

41


29 – A durabilidade de um pneu e descrita por uma variavel Normalde media 60.000 km e desvio-padrao 8.300 km. Se a garantia valer pelosprimeiros 48.000 km, qual a proporcao de pneus que serao trocados pelagarantia? Qual deveria ser a garantia, em km, de forma a assegurar que ofabricante trocaria sob garantia no maximo 2% de pneus?

30 – Y tem distribuicao Binomial com n = 100 e p = 0, 4. Use a apro-ximacao Normal para calcular:

a) P (30 < Y ≤ 80).

b) P (Y < 80).

c) P (Y > 30|Y < 80).

31 – Um time de futebol vai disputar o campeonato brasileiro da 1a di-visao, fazendo 38 jogos. Considere a variavel aleatoria Xi = numero de pontosna i-esima partida definida como abaixo e considere os Xi independentes.

Xi =

3 com probabilidade 0,31 com probabilidade 0,20 com probabilidade 0,5

, i = 1, 2, ..., 38.

a) Calcule E(Xi) e V ar(Xi).

b) DefinaX =38∑i=1

Xi e calcule E(X) e V ar(X). Qual a interpretacao pratica

da variavel X?

c) A variavel X e discreta (trata-se de uma Trinomial), mas suponha que Xpode ser aproximada por uma distribuicao Normal com mesma media evariancia. Se ao final do campeonato o time que somar menos de 45 pontose rebaixado, qual a probabilidade do time em questao ser rebaixado?

d) Com as mesmas suposicoes do item anterior, qual a probabilidade do timeem questao somar mais que 65 pontos ao final do campeonato e conquistar,com isso, uma vaga na Libertadores?

3 Inferencia Estatıstica – Estimacao

Em linhas gerais, a Inferencia Estatıstica objetiva estudar uma ou maiscaracterısticas (numericas) da populacao por meio de evidencias fornecidaspela amostra. Porem, o uso inadequado de um procedimento amostral podelevar a um vies de interpretacao dos resultados. O uso de amostras que

42


produzam resultados confiaveis se constitui num campo proprio de estudodentro da Estatıstica – a Teoria da Amostragem. Neste texto, e suficienteentender que para que as informacoes da amostra possam ser estendidasa populacao e essencial que a aleatoriedade esteja presente no processo deselecao da amostra. A aleatorizacao justifica o uso da Probabilidade naInferencia.

3.1 Parametros, estimadores e estimativas

Definicao 3.1. As quantidades da populacao, em geral desconhecidas e so-bre as quais temos interesse sao denominadas parametros e sao usualmenterepresentadas por letras gregas tais como θ, µ, σ etc.

Definicao 3.2. A combinacao das caracterısticas numericas da amostra,construıda com a finalidade de representar, ou estimar, um parametro po-pulacional de interesse denominamos estimador. Em geral, estimadores saodenominados por sımbolos com um acento circunflexo em cima: θ, µ, σ etc.

Definicao 3.3. Estimativa e o valor numerico assumido por um estimador.

A notacao usual para a media de uma populacao e µ acrescido de um subs-crito se houver possibilidade de confusao sobre a que populacao ou variavelnos referimos. Tambem e usual considerar σ para indicar o desvio-padraoda populacao. Outros parametros ja nao tem uma uniformidade de notacaoentre os diversos autores.

Um estimador, digamos θ, e ma funcao das variaveis aleatorias constituin-tes da amostra, isto e, θ = f(X1, X2, ..., Xn); logo, um estimador tambem euma variavel aleatoria.

A correspondente distribuicao de probabilidade forma a base das argu-mentacoes probabilısticas utilizadas na extrapolacao da informacao da amos-tra para os parametros da populacao.

Exemplo 3.4. Estamos interessados na media das alturas de jovens comidade entre 15 e 18 anos nascidos na regiao Sudeste do Brasil. Vamos coletaruma amostra e usa-la para tirar conclusoes.

Suponha que a amostra seja composta pelas alturas de 10 jovens escolhi-dos ao acaso dentre a populacao mencionada. O parametro de interesse e aaltura media desses jovens, representada por µ. A amostra X1, X2, ..., X10

sera obtida e com base nela vamos dizer algo a respeito de µ. Que funcoesde valores amostrais devemos usar para essa tarefa, isto e, que estimadordevemos usar? A seguir sao apresentadas algumas opcoes.

43


• f1(X1, ..., X10) = µ1 =min(X1, ..., X10) +max(X1, ..., X10)

2(media

aritmetica entre o menor e o maior valor amostral);

• f2(X1, ..., X10) = µ2 = X1 (o primeiro valor sorteado na amostra);

• f3(X1, ..., X10) = µ3 =X1 + ...+X10

10(a media aritmetica entre todos

os 10 valores da amostra).

Apresentamos a seguir os valores observados na amostra e as respectivasestimativas obtidas com os estimadores definidos acima.

Amostra (em metros): 1,65 1,57 1,72 1,66 1,71 1,74 1,81 1,681,60 1,77.

Estimativas:

• µ1 =1, 57 + 1, 81

2= 1, 69m;

• µ2 = 1, 65m;

• µ3 =1, 65 + 1, 57 + ...+ 1, 77

10= 1, 69m;

Esses numeros, calculados para uma amostra particular, nao sao muitodistintos uns dos outros. Mas parece razoavel que nao devemos escolher umestimador olhando apenas se a estimativa correspondente parece adequada.Como decidir qual estimador usar, ou qual deles e o “melhor”? E sempre bomlembrar que nao sabemos o verdadeiro valor da altura media da populacao.

Exemplo 3.5. Para detectar o apoio a um projeto governamental de reformaagraria, foram entrevistas 400 pessoas em varias capitais. A amostra contemas 400 respostas que consistem de sim (para aqueles que concordam com oprojeto) e nao (para os que discordam).

Formalizando o problema, caracterizamos a populacao de interesse comoas opinioes de todos os habitantes adultos do paıs. A informacao desejada e aproporcao de pessoas que concordam com o projeto, ou seja, o parametro deinteresse e p = proporcao de brasileiros adultos que concordam com o projeto.

A amostra pode ser pensada como o vetor de variaveis aleatorias X1, X2,..., X400, cada uma delas seguindo o modelo de Bernoulli com probabilidadep de sucesso:

Xi =

1 se a iesima resposta e sim;0 se a iesima resposta e nao.

, i = 1, 2, ..., 400.

44


E intuitivo considerar o estimador “proporcao amostral dos que concordam”para o verdadeiro valor de p na populacao:

p =numero de entrevistados que concordam com o projeto

numero total de entrevistados, ou seja,

p =X1 +X2 + ...+X400

400= X, em que X denota a media aritmetica amos-

tral.

Exemplo 3.6. Uma amostra de pacientes que sofrem certo tipo de cancer foicoletada para que se tenha uma ideia da variabilidade da area atingida peladoenca. Para 12 pacientes sorteados mediram-se os tamanhos dos tumoresobservados. Os dados, em cm2 foram os seguintes:3,52 6,12 4,50 4,45 5,88 4,08 5,91 4,50 4,86 5,48 5,10.

Tendo em vista que o que se deseja estudar e a variabilidade, vamos consi-derar como parametro de interesse a variancia σ2. Para o estimador considere

duas opcoes: σ21 =

1

12

12∑i=1

(Xi − X)2 e σ22 =

(mınimo−maximo

2

)2

.

A primeira opcao e a variancia do conjunto de dados observados, enquantoque o segundo estimador proposto e o quadrado da semi-amplitude dos va-lores amostrais. Calculemos suas estimativas.

• σ21 =

1

12[(3, 52− 4, 84)2 + ...+ (3, 10− 4, 84)2] = 0, 67(cm2)2.

• σ22 =

(6, 12− 3, 52

2

)2

= 1, 69(cm2)2.

Esses numeros dao ideia da dispersao de valores que podem ser encontradosno tamanho dos tumores, e sao estimativas de σ2, a variancia populacionaldas areas dos tumores.

Como visto, mais de uma funcao da amostra pode ser proposta para esti-mar o parametro de interesse. Para facilitar a escolha entre tais estimadores,e importante verificar e possuem algumas das propriedades definidas a seguir.

Definicao 3.7 (vıcio). O vıcio do estimador θ e definido como b(θ) = E(θ)−θ. Dizemos que θ e um estimador nao viciado para θ se E(θ) = θ ou,equivalentemente, se b(θ) = 0.

Definicao 3.8 (consistencia). Um estimador θ e consistente se, a medidaque o tamanho da amostra aumenta, seu valor esperado converge para oparametro de interesse e sua variancia converge para 0 (zero). Ou seja, θ econsistente se estao satisfeitos:

45


(i) limn→∞

E(θ) = θ;

(ii) limn→∞

V ar(θ) = 0.

Note que na definicao de consistencia o estimador pode ser viciado, bas-tando que esse vıcio tenda a zero a medida que cresce o tamanho da amostra;na definicao do vıcio, o resultado deve valer para qualquer n.

Definicao 3.9. (erro quadratico medio) O erro quadratico medio (EQM) deum estimador θ do parametro θ e dado por EQM(θ) = V ar(θ) − b2(θ), emque b(θ) e o vıcio do estimador θ conforme definicao 3.7.

Podemos considerar que um bom estimador e aquele que seja nao viciado(ou pelo menos que tenha vıcio pequeno), que seja consistente e que tenhapequeno erro medio quadratico.

Exemplo 3.10. Suponha que e sabido que uma certa caracterıstica popula-cional X tem media µ e variancia σ2. Uma amostra aleatoria de tamanho n,representada por X1, X2, ..., Xn e obtida para estimar o parametro µ.

Vamos assumir que os Xi, i = 1, 2, ..., n, sao variaveis aleatorias indepen-dentes com a mesma distribuicao de X, o que significa que E(Xi) = µ eV ar(Xi) = σ2, i = 1, 2, ..., n.

Considere o estimador µ1 = X.

E(µ1) = E(X) = E(X1 + ...+Xn

n

)=

1

n[E(X1)+...+E(Xn)] =

1

n[µ+ ...+ µ︸︷︷︸

n vezes

] =

1

n×n× µ = µ. Ou seja, o estimador µ1 e nao viciado para µ.

V ar(µ1) = V ar(∑n

i=1Xi

n

)indep.

=1

n2

n∑i=1

V ar(Xi) =1

n2

n∑i=1

σ2 =1

n2×n×

σ2 =σ2

n. Veja que lim

n→∞

σ2

n= 0

Com os calculos da esperanca e da variancia do estimador µ1 = X, veri-fique pelas definicoes 3.7 e 3.8 que este estimador e nao viciado e consistentepara µ.

Ainda, EQM(µ1) = V ar(µ1)− b2(µ1) =σ2

n.

Se a variavel X em questao tiver distribuicao Normal, os resultados apre-sentados acima para X permanecem validos. Se um outro estimador paraµ e proposto, qual seja, µ2 = mediana(X1, ..., Xn), e possıvel mostrar que

E(µ2) = µ e V ar(µ2) =π

2× σ2

n, ou seja, µ2 tambem e nao viciado e consiste

para µ. Porem, EQM(µ2) =π

2× σ2

n> EQM(X) =

σ2

n, de maneira que,

46


sob a otica das 3 propriedades vistas para os estimadores (e considerandopopulacao Normal), a media aritmetica e melhor estimador que a medianapara a media da populacao.

Exemplo 3.11. Supondo uma amostra X1, ..., Xn obtida de uma populacaode media µ e variancia σ2, um estimador “natural” da variancia foi apre-

sentado anteriormente: σ2 =

∑ni=1(Xi − X)2

n. Utilizando as propriedades

do operador Esperanca e algum algebrismo, e possıvel mostrar que E(σ2) =(n− 1)σ2

n, ou seja, o estimador σ2 proposto e viciado para σ2.

Sendo assim, podemos propor um outro estimador para σ2, qual seja,

S2 =n

n− 1σ2; calculado seu valor medio, temos E(S2) =

n

n− 1E(σ2) =

n

n− 1× n− 1

nσ2 = σ2, obtendo, assim, um estimador nao viciado para a

variancia populacional.

Mas veja que S2 =n

n− 1σ2 =

n

n− 1×∑n

i=1(Xi − X)2

n=

∑ni=1(Xi − X)2

n− 1.

E por isso que ao se trabalhar com uma amostra para estimar σ2 e frequenteusar o estimador S2 no lugar de σ2. Note porem que se n, o tamanho daamostra, for grande, o uso de S2 ou σ2 e indiferente. O vıcio de σ2 tende azero quando o tamanho da amostra tende ao infinito, ou seja, no limite, esseestimador da variancia e tambem nao viciado – mas so no limite.

O estimador S2, nao viciado para σ2, e em regra denominado varianciaamostral.

Exercıcios

32 – Foram sorteadas 15 famılias num certo bairro e observado o numerode criancas de cada famılia matriculadas em escolas da rede oficial de ensino.Os dados foram: 1, 2, 1, 0, 2, 0, 2, 3, 4, 1, 1, 2, 0, 0, 2. Considerando queas 15 observacoes sao independentes e oriundas de uma mesma populacao,sejam os seguintes estimadores para µ, a media populacional:

• µ1 =X1 +X2

2;

• µ2 = X.

a) Obtenha as estimativas correspondentes aos estimadores propostos paraµ.

b) Qual o melhor estimador para µ e por que?

47


c) Determine estimativas para a variancia do numero de criancas por famıliaem escolas. Utilize os dois estimadores vistos para a variancia.

33 – Um pesquisador deseja estimar a producao media de um processoquımico com base na observacao da producao de tres realizacoes X1, X2, X3

de um experimento. Considere dois estimadores da media: θ1 = (X1 +X2 +X3)/3 (media amostral) e θ2 = (X1 + 2X2 +X3)/4 (uma media ponderada).Qual deve ser o estimador preferido

a) quanto a nao tendenciosidade?

b) quanto a variabilidade?

34 – SejaX uma variavel com distribuicao de media µ e variancia σ2. Umaamostra aleatoria X1, X2, ..., Xn dessa populacao foi coletada. Considere o

estimador µ =X1 +Xn

n.

a) Calcule E(µ) e verifique se o estimador proposto e ou nao viciado para amedia.

b) Calcule a variancia desse estimador.

c) Calcule os limites da esperanca e da variancia desse estimador quando otamanho da amostra tende ao infinito. µ e consistente para a media deX?

d) Calcule EQM(µ).

3.2 Distribuicoes amostrais

Vimos que estimadores sao funcoes de variaveis aleatorias e, portanto,sao tambem variaveis aleatorias. Entao podemos associar uma distribuicaode probabilidade a um estimador, como nos exemplos simples a seguir.

Exemplo 3.12. Um jogo consiste em lancar uma moeda honesta 3 vezes.Para cada lancamento, se sair cara voce ganha 1 ponto e se sair coroa voceperde 1 ponto. Podemos modelar a situacao da seguinte forma.

Xi =

+1 com prob. = 0,5;−1 com prob. = 0,5.

, i = 1, 2, 3.

Temos o vetor aleatorio (X1, X2, X3) contendo 3 variaveis aleatorias inde-pendentes e com a mesma distribuicao de probabilidade. A media de cadavariavel e

E(Xi) = 1× 0, 5 + (−1)× 0, 5 = 0

48


e a variancia e

V ar(Xi) = E(X2i )− E2(Xi) = [12 × 0, 5 + (−1)2 × 0, 5]− 02 = 1.

Imagine agora que vamos observar uma amostra do vetor (X1, X2, X3) aoacaso. A tabela a seguir apresenta todas as amostras possıveis com as res-pectivas probabilidades e valores de X e S2.

(X1, X2, X3) Prob. X S2

(−1,−1,−1) 1/8 -1 0(−1,−1,+1) 1/8 -1/3 4/3(−1,−1,−1) 1/8 -1/3 4/3(−1,+1,−1) 1/8 1/3 4/3(−1,+1,+1) 1/8 -1/3 4/3(+1,−1,−1) 1/8 1/3 4/3(+1,−1,+1) 1/8 1/3 4/3(+1,+1,+1) 1/8 1 0

Os valores acima foram obtidos por meio de calculos usuais. Por exem-

plo, para a amostra (−1,+1,−1) temos X =−1 + 1− 1

3= −1

3e S2 =

[−1− (−1/3)]2 + [1− (−1/3)]2 + [−1− (−1/3)]2

3− 1=

4

3.

Temos condicoes agora de estabelecer a distribuicao dos estimadores X eS2.

X -1 -1/3 1/3 1p 1/8 3/8 3/8 1/8

S2 0 4/3p 1/4 3/4

Pensemos em X como estimador para E(Xi) = µ e em S2 como estimadorpara V ar(Xi) = σ2. Como visto, sabemos que µ = 0 e que σ2 = 1. Olhandoagora as distribuicoes dos estimadores X e S2 temos

E(X) = (−1)× 1

8+ (−1

3)× 1

8+

1

3× 1

8+ 1× 1

8= 0 e

E(S2) = 0× 1

4+

4

3× 3

4= 1.

Dessa forma, ambos os estimadores sao nao viciados para os respectivosparametros estimados.

No exemplo 3.12 pudemos enumerar todas as possıveis amostras e assimobter a funcao de probabilidade dos estimadores de interesse. Mas isso nemsempre e possıvel. Por exemplo, se o vetor (X1, X2, X3) tiver cada Xi com

49


distribuicao Uniforme Contınua entre -1 e 1, isto e, Xi ∼ U(−1, 1), comoobter todas as amostras possıveis? Sem entrar em detalhes, o importante eressaltar que a obtencao da distribuicao de probabilidade dos estimadores eum problema essencial na Estatıstica.

Neste texto, vamos nos concentrar em discutir a distribuicao de X, amedia aritmetica dos valores da amostra, em algumas situacoes.

Consideremos inicialmente o caso de uma populacao Normal, isto e, avariavel de interesse e X ∼ N(µ, σ2). Assim, (X1, X2, ..., Xn) representauma amostra aleatoria cujos elementos sao independentes e identicamentedistribuıdos com funcao densidade de probabilidade Normal de media µ evariancia σ2, ou seja,

Xi ∼ N(µ, σ2), i = 1, 2, ..., n, Xi independente de Xj ∀ i 6= j.

Teorema 3.13. Se X1, X1, ..., Xn formam uma sequencia de variaveis aleatoriasNormais com media µi e variancia σ2

i , i = 1, 2, ..., n independentes e a1, a2, .., an

sao constantes quaisquer, entao W =n∑i=1

aiXi tera distribuicao Normal com

parametros µW =n∑i=1

aiµi e σ2W =

n∑i=1

a2iσ

2i .

Voltando ao caso Xi ∼ N(µ, σ2), i = 1, 2, ..., n independentes e identi-camente distribuıdos, a distribuicao amostral de X segue diretamente doteorema 3.13 fazendo µi = µ, σ2

i = σ2 e ai = 1/n para i = 1, 2, ..., n.Assim, X ∼ N(µX , σ

2X), sendo

µX =n∑i=1

(1

n× µ) = n× 1

n× µ = µ e

σ2X =

n∑i=1

(1

n2× σ2) = n× 1

n2× σ2 =

σ2

n.

Logo, para uma colecao de variaveis aleatorias independentes com uma mesmadistribuicao de probabilidade Normal de media µ e variancia σ2, a mediaamostral X tambem tera distribuicao Normal de media µ, mas de varianciaσ2/n.

Exemplo 3.14. Considere uma amostra independente de tamanho n de umavariavel N(10, 16). Isto e, X1, ..., Xn sao independentes e todas com distri-buicao Normal de media 10 e variancia 16. Segue que X ∼ N(10, 16/n). Sen = 1 estamos falando de uma unica observacao oriunda de uma populacao

50


Normal de de media 10 e variancia 16. A medida que n aumenta, a mediapermanece 10, mas a variancia de X vai diminuindo, ou seja, a funcao den-sidade de X vai se concentrando ao redor da media 10; isso indica maiorprobabilidade de amostras grandes fornecerem estimativas proximas a mediapopulacional.

3.3 Teorema central do limite

51


Referencias

[1] Bussab, Wilton de Oliveira & Morettin, Pedro Alberto. Estatısticabasica. 8a edicao, Sao Paulo: Saraiva, 2013.

[2] Magalhaes, Marcos Nascimento & Lima, Antonio Carlos Pedroso de.Nocoes de Probabilidade e Estatıstica. 3a edicao, Sao Paulo: IME-USP, 2001.

[3] Martins, Gilberto de Andrade. Estatıstica Geral e Aplicada. 2a

edicao, Sao Paulo: Atlas, 2002.

52

28632 mat int-notas-de-aula

Documents

Transcript of 28632 mat int-notas-de-aula