29820214 Series Trigonometricas y Funciones Trigonometricas

WWW.EDICIONESRUBINOS.COM (LIMA- PERU) TRIGONOMETRIA PREUNIVERSITARIA

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SERIES TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASSERIES TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

SERIES TRIGONOMÉTRICASSe llama serie a toda sumatoria de senos o cosenos conángulos en progresión aritmética; siendo las principalesseries las siguientes :

1. Serie de Senos :S = Senx1 + Senx2 + .......... + Senxn

2. Serie de CosenosS = Cosx1 + Cosx2 + .......... + Cosxn

donde :n : Número de términosr : Razónx1 : 1er ánguloxn : Último ángulo

3. Serie especial de Cosenos

PRODUCTOS ESPECIALES

Aplicaciones

1. Simplificar la serie :S = Senx + Sen3x + Sen5x + Sen7x + Sen9x

S =

S = Sen25xCscx

2. Simplificar la serie :S = Cosx + Cos3x + Cos5x + Cos7x + Cos9x

S =

S = Sen10x.Cscx

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE VARIABLE REAL

Una función trigonométrica es aquella función donde suspares ordenados son de la forma (x; y) tal que y = F.T(x)(regla de correspondencia)

Es decir :F = {(x; y) / x ; y ; y = F.T(x)}

Ejemplo : Si : y = Senx

DOMINIO DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Es el conjunto que tiene como elementos a los valores dela variable “x” (en radianes), de tal manera que la funciónexista.

Ejemplos : Hallar el dominio de las siguientes funciones:

i. y = Senxii. y = Ctgxiii. y = Secx - Cscx

Resolución :i. y = Senx

Ubicamos los “x” en C.T.Se observa que existe losSenx x

DomF = o también - < x < +

ii. y = Ctgx

Sabemos que y = es fracción existe si el

denominador :Senx 0 x 0; π; 2π; .......

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es decir x nπ / n Z DomF = - nπ / n Z

iii. y = Secx - Cscx

Sabemos que y = esta función existe si

Cosx 0 Senx 0

es decir : x ; ...........; x 0; π; 2π; ...........

Ordenando : x 0; ; ..................

x 0 ; ; ............. x / n Z

DomF = - / n Z

A continuación se indica el dominio de las funcionestrigonométricas elementales:

1) y = Senx Dominio : o - < x < +2) y = Cosx Dominio : o - < x < +

3) y = Tgx Dominio : - (2n + 1) / n Z

4) y = Ctgx Dominio : - nπ / n Z

5) y = Secx Dominio : - (2n + 1) / n Z

6) y = Cscx Dominio : - nπ / n Z

RANGO DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICAEs el conjunto que tiene como elementos a los valores dela variable “y” tal que y = F.T(x)

NOTA : Los criterios que se tiene para calcular el rangode una función trigonométrica es dependiendode la forma y tomando en cuenta los criterios delas funciones reales.

Ejemplos : Hallar el rango de las siguientes funciones :

i. y = Senxii. y = 2Senx + 3iii. y = 3Senx + 4Cosx + 1

Resolución :i) y = Senx

Sabemos que la extensión de : -1 Senx 1 ; x -1 y 1 RanF = [-1; 1]

ii) y = 2Senx + 3Se sabe que : -1 Senx 1 xFormando la función : -2 2Senx 2

1 2Senx + 3 5 1 y 5 RanF = [1; 5]

iii) y = 3Senx + 4CosxSe sabe que :

- ; x

Propiedad de ángulos compuestos

-5 3Senx + 4Cosx 5 -4 3Senx + 4Cosx + 1 6 -4 y 6 RanF = [-4; 6]

En el cuadro adjunto se muestra el rango de algunasfunciones elementales:

Si n es par positivo

0 Sennx 10 Cosnx 10 Tgnx < +0 Ctgnx < +1 Secnx < +1 Cscnx < +

Si n es impar positivo

-1 Sennx 1-1 Cosnx 1- < Tgnx < +- < Ctgnx < +

Secnx -1 Secnx 1Cscnx -1 Cscnx 1



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PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS

01. Simplificar la expresión :

= Sen2x + Sen4x + Sen6x + ...+ Sen20xA) Sen11xSen10xCscx B) Sen11xSen10xSecxC) Sen12xSen9xCscx D) Sen12xSen9xSecxE) Sen13xSen11xCscx

02. Calcular :

4 ;

A) -Sec B) -Csc C) -Tg

D) -Ctg E)

03. Calcular :

S =

A) B) C)

D) D)

04. Calcular la suma de los “n” primeros términossabiendo que “n” es impar

A) B)

C) D)

E)

05. Calcular :

A) 3/4 B) 3/8 C) 3/16D) 6/7 E) 8/7

06. Calcular el dominio de

F(x) =

A) B) C)

D) E)

07. Calcular el dominio de :

G(x) = ; n Ζ

A) B) C)

D) E)

08. Calcular el dominio :

H(x) = ; k Ζ

A) B)

C) D)

E)

09. Determinar el dominio :

F(x) = ; n Ζ

A) B)

C) D)

E)

10. Determinar el dominio:

F(x) = ; k Ζ

A) B)

C) D)

E)

11. Si H(x) =

determinar el valor de verdad:

( ) DomH :( ) RanH : [ -2 ; 2 ]

( ) a

A) VVV B) VFV C) VVFD) FVF E) FFV



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12. Dada la función :G(x) =

determinar su dominio.( k Ζ )

A) B) C)

D) E)

13. Determinar el dominio de G :

G(x) = ; n Ζ

A)

B)

C)

D)

E)

14. Si H =

F(x) =

¿cuáles son los elementos de la función H que nopertenecen al dominio de F?.

A) B)

C) D)

E)

15. Sabiendo que el dominio de la función F es [-2;2],hallar su rango : F(x) =A) [ -1; 1 ] B) [ -2; 1 ] C) [ -1; 2 ]D) [ -2; 2 ] E) [ -4; 4 ]

16. Hallar el rango de :

F(x) =

A) B) C)

D) E)

17. Determinar el rango de :

F(x) =

A) B) C)

D) E)

18. Hallar el rango de la función :

G(x) =

A) B) C)D) E)

19. Si , determinar el rango de la función F

definida por la regla :F(x) =

A) B) C)D) E)

20. Determinar el rango de F:

F(x) =

A) B) C)D) E)

TAREATAREA

01. Calcular la suma de los “n” primeros términos de lasiguiente serie:

S =

A) B) C)

D) E)

02. Sabiendo que , calcular :

A) B) C)

D) E)

03. Calcular :

R =

A) B) C)

D) E)



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04. Determinar si es verdadero (V) o falso (F):

( ) Si F(x) = RanF =[-1; 1]

( ) Si G(x) = SenxCosx RanG =

( ) Si H(x) = Senx - Cosx RanH =

A) VVV B) VVF C) FFVD) FVF E) VFV

05. Si H(x) = ,determinarsu dominio. ( k Ζ )

A) B)

C) D)

E)

06. Determinar el dominio de :

G(x) = ; k Ζ

A) B)

C) D)

E)

07. Si G(x) = ,determinarel rango de G.A) [ -1; + B) [ -2; + C) [ 2; +D) [1; + E) [ -1; 2

08. Hallar el rango de G :

G(x) =

A) [ 0; 2 B) 0 ;2 C) [ 0 ;2 ]D) [ -1; 2 ] E) 0 ;2 ]

09. Determinar el rango :

G(x) =

A) - ; 0 B) 0 ; + C) [ 0 ; +D) -1; 0 E) - ; 0 ]

10. Si x , determinar el rango de la

función : F(x) =

A) [ -1; + B) - ; 1 ] C) [ 1; +D) - ; -1 E) [ -1; 1


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