29_identidades trigonometricas

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MATEMÁTICAS BÁSICASUNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Identidades Trigonométricas

Una identidad es una ecuación que es válida para todos los valores de las variables para los cuales estánde…nidas las expresiones involucradas en ella.

Ejemplo

La ecuación x3 1 = (x 1)(x2 + x + 1) es una identidad porque es válida para todo x 2 R:

La ecuación1

x 1 1

x + 1=

2

x2 1es una identidad para x 6= 1; porque para esos valores están de…nidas

las expresiones que aparecen en la igualdad.

La ecuación x2 1 = 0 no es una identidad, porque sólo es válida para x = 1:

Si una identidad contiene expresiones trigonométricas, se denomina identidad trigonométrica..

Veremos inicialmente unas identidades trigonométricas básicas, llamadas identidades trigonométricasfundamentales, que nos permiten expresar una función trigonométrica en términos de las otras, simpli…carexpresiones trigonométricas y resolver ecuaciones trigonométricas.

Identidades Trigonométricas Fundamentales

Identidades Recíprocas

Se deducen directamente de la de…nición de las funciones trigonométricas:

sen t =1

csc t; csc t =

1

sen t

cos t =1

sec t; sec t =

1

cos t

tan t =1

cot t; cot t =

1

tan t

tan t = sen tcos t

; cot t = cos tsen t

Identidades Pitagóricas

sen 2t + cos2 t = 1

1 + tan2 t = sec2 t

1 + cot2 t = csc2 t

Prueba:

En la circunferencia unitaria consideremos un ángulo en posición estándar cuya medida en radianes est y sea P = (x; y) el punto en el que el lado terminal del ángulo t interseca la circunferencia unitaria.

1



Como sen t = y y cos t = x; por el Teorema de Pitágoras

sen 2t + cos2 t = 1 (1)

Si en (1), dividimos ambos lados de la ecuación por cos2 t , cos t 6= 0; obtenemos

sen 2t

cos2 t+

cos2 t

cos2 t=

1

cos2 t

tan2 t + 1 = sec2 t:

Si en (1), dividimos ambos lados de la ecuación por sen2 t , sen t 6= 0; obtenemos

sen 2t

sen2 t+

cos2 t

sen2 t=

1

sen2 t

1 + cot2 t = csc2 t:

Simpli…cación de Expresiones Trigonométricas

Para simpli…car expresiones trigonométricas utilizamos las mismas técnicas empleadas para simpli…car ex-presiones algebraicas y las identidades trigonométricas fundamentales.

Ejemplo

Simpli…car las siguientes expresiones trigonométricas:

1. cos3 x + sen 2x cos x

2.1 + cot A

csc A

3.sen y

cos y+

cos y

1 + sen y:

Solución

1. cos3

x + sen2

x cos x = cos2

x cos x + sen2

x cos x =

cos2

x + sen2

x

cos x = 1 cos x = cos x:

2.1 + cot A

csc A=

1 +cos A

sen A1

sen A

=

sen A + cos A

sen A1

sen A

=sen A (sen A + cos A)

sen A= sen A + cos A:

Observación: En algunas casos es útil escribir la expresión a simpli…car en términos de las funciones senoy coseno, como se hizo en el ejemplo anterior.

3.sen y

cos y+

cos y

1 + sen y=

sen y (1 + sen y) + cos y cos y

cos y (1 + sen y)=

sen y + sen 2y + cos2 y

cos y (1 + sen y)

= sen y + 1cos y (1 + sen y)

= 1cos y

= sec y:

2



Demostración de Identidades Trigonométricas

Además de las identidades trigonométricas fundamentales, hay otras identidades importantes que se usan enotros cursos de matemáticas y de física.Dada una ecuación es fácil probar que no es una identidad, hallando al menos un valor de la variable (ovariables) para el cual no se satisfaga la ecuación.

Ejemplo

Demostrar que la ecuación sen x + cos x = 1 no es una identidad trigonométrica.

Solución

Para demostrar que, sen x + cos x = 1 no es una identidad, basta encontrar un valor de x para el cual no secumpla la ecuación.

Consideremos x =

4: sen

4=

p 2

2y cos

4=

p 2

2. Luego,

sen

4+ cos

4=

p 2

2+

p 2

2=p

2 6= 1:

Como sen x y cos x están de…nidas para todo x 2 R y x = 4 no satisface la ecuación, entonces sen x+cos x = 1no es una identidad.

Ejemplo

Demostrar que la ecuación tan x + 1 = 2 no es una identidad.

Solución

Consideremos x =

6:

tan

6

=sen

6

cos

6

=

1

2

p 32

=1

p 3y tan

6

+ 1 =1

p 3+ 1

6= 2:

Luego, tan x + 1 = 2 no es una identidad.

¿Cómo probar que una Ecuación es una Identidad?

Para probar que una ecuación es una identidad trigonométrica, debemos elegir un lado de la ecuación ytransformarlo, usando identidades conocidas y operaciones algebraicas, hasta obtener el otro lado de laecuación.Algunas sugerencias para realizar este trabajo son:

Escoger el lado "más complicado" de la ecuación para transformarlo.

Realizar operaciones algebraicas como sumar o restar fracciones, o expresar una fracción como unasuma de fracciones, o factorizar numerador o denominador de una fracción, entre otras.

Tener en cuenta la expresión del lado de la ecuación al cual se quiere llegar ya que ésta le puede sugerirel paso siguiente.

En algunos casos, es útil expresar el lado de la ecuación a transformar en términos de seno y coseno,usando las identidades fundamentales.

3



Otro método para probar que una ecuación es una identidad, es transformar ambos lados por separado hastaobtener en cada lado la misma expresión. En este caso no necesariamente realizamos las mismas operacionesen ambos lados, sino que trabajamos independientemente en cada lado hasta obtener el mismo resultado enambos lados.

Ejemplo

Probar las siguientes identidades trigonométricas:

1. 1 + sec2

x1 + tan2 x

= 1 + cos2 x

2. 2tan x sec x =1

1 sen x 1

1 + sen x

3.1 + cos x

cos x=

tan2 x

sec x 1:

Solución

1. Transformemos el lado izquierdo de la ecuación:

1 + sec2 x

1 + tan2

x=

1 + sec2 x

sec2 x=

1

sec2 x+

sec2 x

sec2 x= cos2 +1 = 1 + cos2 x:

Luego,1 + sec2 x

1 + tan2 x= 1 + cos2 x es una identidad trigonométrica.

2. Escojamos el lado derecho:

1

1 sen x 1

1 + sen x=

1 + sen x (1 sen x)

(1 sen x) (1 + sen x)=

2sen x

12 sen 2x=

2sen x

cos2 x= 2

sen x

cos x 1

cos x= 2tan x sec x:

Luego, la ecuación dada es una identidad trigonométrica.

3. Trabajemos con ambos lados separadamente:

Lado izquierdo:

1 + cos x

cos x =

1

cos x +

cos x

cos x = secx

+ 1

Lado derecho:tan2 x

sec x 1=

sec2 x 1

sec x 1=

(sec x + 1) (sec x 1)

sec x 1= sec x + 1:

Como al transformar cada lado de la ecuación se obtiene la misma expresión, la ecuación dada es unaidentidad.

Otras identidades trigonométricas importantes

Existen otras identidades trigonométricas importantes que involucran más de un ángulo o múltiplos de unángulo.

Fórmulas de Adición y Sustracción

1. sen(s + t) = sen s cos t + cos s sen t

cos(s + t) = cos s cos t sin s sin t:

tan(s + t) =tan s + tan t

1 tan s tan t

4



Prueba

Las fórmulas para seno y coseno de la suma de ángulos se deducen de la siguiente grá…ca

tan(s + t) =sen(s + t)

cos(s + t)=

sen s cos t + cos s sen t

cos s cos t sin s sin t=

sen s cos t

cos s cos t+

cos s sen t

cos s cos tcos s cos t

cos s cos t sin s sin t

cos s cos t

=tan s + tan t

1 tan s tan t

2. sen(s t) = sen s cos t cos s sen t

cos(s t) = cos s cos t + sin s sin t:

tan(s t) =tan s tan t

1 + tan s tan t

Prueba

Las fórmulas para seno y coseno de la diferencia de ángulos se obtienen escribiendo sen(s t) =sen(s + (t)) y cos(s t) = cos(s + (t)) y teniendo en cuenta que sen(t) = sen t y cos(t) =cos t:

TareaUsar el hecho de que s t = s + (t) para probar la fórmula de la tangente de la diferencia

Ejemplo

Calcular el valor exacto de las siguientes expresiones, sin emplear calculadora:

1. cos(20o)cos(70o) sen (20o)sen(70o)

2. tan7

12:

Solución

1. cos(20o)cos(70o)

sen (20o)sen(70o) = cos(20o + 70o) = cos (90o) = 0:

2. tan7

12= tan

3

12+

4

12

= tan

4+

3

=

tan

4+ tan

3

1 tan

4tan

3

=1 +

p 3

1 1 p 3 =1 +

p 3

1 p 3

:

5



Ejemplo

Demostrar las siguientes identidades trigonométricas:

1. sec

2 x

= csc x

2. 1 tan x tan y =cos(x + y)

cos x cos y:

Solución

1. Transformemos el izquierdo:

sec

2 x

=1

cos

2 x =

1

cos

2cos x + sen

2sen x

=1

0 cos x + 1 sen x=

1

sen x= csc x:

2. Transformemos el lado derecho:cos(x + y)

cos x cos y=

cos x cos y sen x sen y

cos x cos y=

cos x cos y

cos x cos y sen x sen y

cos x cos y= 1 sen x sen y

cos x cos y= 1 sen x

cos x sen y

cos y

= 1 tan x tan y:

Expresiones de la forma A sen x + B sen x

Las expresiones de la forma A sen x+B sen x siempre pueden escribirse en la forma k sen(x + ) ó k cos(x + ).Veamos:

Ejemplo

Expresar1

2sen x +

p 3

2cos x en la forma k cos(x + ).

Solución

k cos(x + ) = k [cos x cos sen x sen ] = k cos x cos k sen x sen = (k sen )sen x + (k cos )cos x:

Para que se cumpla la igualdad es necesario que

k sen =1

2y que k cos =

p 3

2:

Elevando al cuadrado ambas expresiones:

k2 sen 2 =1

4y k2 cos2 =

3

4:

Ahora, sumando:

k2

sen

2+

k2

cos

2 =

1

4 +

3

4

k2

sen 2 + cos2

=4

4= 1

k2 1 = 1

k = 1:

6



De esta forma:

k sen =1

2: 1sen =

1

2: sen = 1

2

k cos =

p 3

2: 1 cos =

p 3

2: cos =

p 3

2

Como sen < 0 y cos > 0, se encuentra en el IV cuadrante. Por lo tanto, =

6.

Así,1

2sen x +

p 3

2cos x = 1cos

x +

6

= cos

x

6

Fórmulas para el Ángulo Doble y para el Semiángulo ó Ángulo Medio

Fórmulas para el Ángulo Doble

A partir de las fórmulas de adición y sustracción, es fácil probar las siguientes fórmulas para el ángulo doble:

sen2x = 2sen x cos x

cos2x = cos2 x sen 2x

tan2x =2tan x

1 tan2 x

En efecto, sen2x = sen(x + x) = sen x cos x + sen x cos x = 2 sen x cos x

Tarea

Demostrar las fórmulas para el coseno y la tangente del ángulo doble.

Ejemplo

Probar las siguientes identidades:

1. sen2 x = 1 cos2x2

2. cos2 x =1 + cos 2x

2

7



Solución

1. cos2x = cos2 x sen 2x

cos2x = 1 sen 2x sen 2x

cos2x = 1 2sen 2x

2sin2 x = 1 cos2x

sen 2x =1 cos2x

2

2. cos2x = cos2 x

sen 2x

cos2x = cos2 x 1 cos2 x

cos2x = 2cos2 x 1

cos2 x =1 + cos 2x

2

Fórmulas para el Semiángulo o Ángulo Medio

senu

2=

r 1 cos u

2

cosu

2=

r 1 + cos u

2

tanu

2=

1

cos u

sin uó, tan

u

2=

sen u

1 + cos u

En las dos primeras fórmulas la elección del signo + ó depende del cuadrante en el que se encuentreu

2.

Las demostraciones de estas fórmulas se obtienen a partir de los resultados del ejemplo anterior, haciendo

x =u

2.

En efecto, usando el resultado del numeral 2. del ejemplo anterior, haciendo x =u

2; tenemos:

2

senu

2=

1 cos u

2

Luego:

senu

2=

r 1 cos u

2

Ejemplo

Calcular el valor exacto de cos22:5o.

Solución

cos (22:5o) = cos

45o

2

=

r 1 + cos 45o

2

Como 22:5o está en el primer cuadrante, elegimos el signo +:

cos(22:5o) = r 1 + cos 45o

2

=

v uut

1 +

p 2

2

2

=

v uut

2 +p

2

2

2

= s 2 +p

2

4

= p 2 +p

2

2Tarea

Probar las siguientes identidades:

sen u cos u =1

2[sen(u + v) + sen (u v)]

sen u sen u =1

2[cos (u v) cos(u + v)]

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