UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAFACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

Lab. Cálculo por Elementos Finitos – MC516-CTRACCIÓN CON DEFORMACIÓN TÉRMICA

Alumno Código CARDENAS LLICÁN, Joél Jesús 20101029I

Docente: Ing. Ronald CuevaCiclo: 2015-II

1

SEGUNDA PRÁCTICA(TRACCIÓN CON DEFORMACIÓN TÉRMICA)

ENUNCIADO DEL PROBLEMADe la siguiente placa triangular de espesor constante, t=150mm. Calcular:Los esfuerzos en cada elemento finito y la reacción en el apoyo, con un incremento de temperatura de 120°C. Utilizar n elementos finitos.

Sabiendo que:P =30000 NT (espesor) = 150 mmE = 3.0x105 N/mm2γ = 8.0 gr-f/cm3 = 7,848x10-5 N/mm3α = 11x10-6 °C-1

2

SOLUCIÓN:1. MODELADO DEL CUERPO REAL Consideramos seis elementos finitos de longitud de 125, 125, 125, 125, 250 y 250 mm desde la base hasta la punta.El ancho de cada elemento lo calculamos tomando el punto medio de cada elemento finito:

b1=(1200+1050 )2

=1125 mm

b2=(1050+900 )2

=975 mm

b3 =( 900+750)2

=825 mm

b4=(750+600 )2

=675 mm

b5=(600+300 )2

=450 mm

b6 =(300+0)2

=150 mm

Luego:

3

Conectividad:

eNODOS GDL le (mm) Ae (mm2)(1)

Primer nodo(2)

Segundo nodo 1 21 1 2 Q1 Q2 125 1687502 2 3 Q2 Q3 125 1462503 3 4 Q3 Q4 125 1237504 4 5 Q4 Q5 125 1012505 5 6 Q5 Q6 250 675006 6 7 Q6 Q7 250 22500

2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES .- (GDL) (VECTOR DESPLAZAMIENTO)En el siguiente gráfico se muestran los vectores desplazamientos nodales globales

4

El vector de desplazamiento será:

Q∫¿ =¿ [0 ¿ ] [Q 2¿ ] [Q3¿ ] [Q4 ¿ ] [Q5¿ ] [Q6 ¿ ]¿

¿¿¿¿

Donde Q1= 0 debido a que la placa esta empotrada y los demás desplazamientos son incógnitas donde procederemos a calcularlos.3. VECTOR CARGA

5

Analizando las fuerzas en cada elemento finito:F1

1=−γ∗( A∗l )1

2−(E∗A∗α∗∆T )1+R1=−66825827,72+R1

F21=

−γ∗( A∗l )12

+(E∗A∗α∗∆T )1=66824172,28

F22=

−γ∗( A∗l )22

− (E∗A∗α∗∆T )2=−57915717,36

F32=

−γ∗( A∗l )22

+(E∗A∗α∗∆T )2=57914282,64

F33=

−γ∗( A∗l )32

−(E∗A∗α∗∆T )3=−49005606,99

F43=

−γ∗(A∗l )32

+ (E∗A∗α∗∆T )3=49004393,01

6

F44=

−γ∗(A∗l )42

− (E∗A∗α∗∆T )4=−40095496,63

F54=

−γ∗(A∗l )42

+(E∗A∗α∗∆T )4−P=40064503,37

F55=

−γ∗( A∗l )52

−(E∗A∗α∗∆T )5=−26730662,18

F65=

−γ∗( A∗l )52

+(E∗A∗α∗∆T )5=26729337,83

F66=

−γ∗( A∗l )62

−(E∗A∗α∗∆T )6=−8910220,725

F76=

−γ∗( A∗l )62

+ (E∗A∗α∗∆T )6=8909779,275

Ahora analizamos las fuerzas para todo el cuerpo:F1=F1

1=−66825827,7+R1

F2=F21+F2

2=8908454,93

F3=F32+F3

3=8908675,65

F4=F43+F4

4=8908896,38

F5=F54+F5

5=13333841,2

F6=F65+F6

6=17819117,1

F7=F76=8909779,28 Entonces, el vector carga se expresaría de la siguiente manera

F=[F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

]=[−66825827,7+R1

8908454,938908675,658908896,3813333841,217819117,18909779,28

]1. MATRIZ DE RIGIDEZ

7

A continuación pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que está determinada por la siguiente ecuación:

K IJ=( AEL )1[

1 −1 0−100000

100000

000000

0 0 0 0000000

000000

000000

000000]+( AEL )

2[0 0 0000000

1−10000

−110000

0 0 0 0000000

000000

000000

000000]

+( AEL )3[

0 0 0000000

000000

01

−1000

0 0 0 00

−11000

000000

000000

000000]+( AEL )

4 [0 0 0000000

000000

000000

0 0 0 0001

−100

00

−1100

000000

000000]

+( AEL )5[

0 0 0000000

000000

000000

0 0 0 0000000

0001

−10

000

−110

000000]+( AEL )

6[0 0 0000000

000000

000000

0 0 0 0000000

000000

00001

−1

0000

−11

]Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad obtenemos:

8

K IJ=( 168750∗3∗105

125 )1[

1 −1 0−100000

100000

000000

0 0 0 0000000

000000

000000

000000]+( 146250∗3∗105

125 )2[

0 0 0000000

1−10000

−110000

0 0 0 0000000

000000

000000

000000]

( 123750∗3∗105

125 )3[

0 0 0000000

000000

01

−1000

0 0 0 00

−11000

000000

000000

000000]+(101250∗3∗105

125 )4 [

0 0 0000000

000000

000000

0 0 0 0001

−100

00

−1100

000000

000000]

+(67500∗3∗105

250 )5[

0 0 0000000

000000

000000

0 0 0 0000000

0001

−10

000

−110

000000]+( 22500∗3∗105

250 )6[

0 0 0000000

000000

000000

0 0 0 0000000

000000

00001

−1

0000

−11

]Finalmente:

K IJ=3∗105[1350 −1350 0

−135000000

2520−1170

0000

−11702160−990

000

0 0 0 00

−9901800−810

00

00

−8101080−270

0

000

−270360−90

0000

−9090

]2. ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO

9

La ecuación de rigidez está determinada por la siguiente ecuación:F i = K

i∫ Q∫¿¿

Lo que con nuestros valores calculados tenemos:

[−66825827,7+R1

8908454,938908675,658908896,3813333841,217819117,18909779,28

]=3∗105 [1350 −1350 0

−135000000

2520−1170

0000

−11702160−990

000

0 0 0 00

−9901800−810

00

00

−8101080−270

0

000

−270360−90

0000

−9090

]

Para obtener los desplazamientos tomamos la siguiente submatriz:

[8908454.938908675,658908896.3813333841,217819117,18909779,28

] = 3x 105 x ¿ [ 2520 −1170 0 0 0 0 ¿ ] [−1170 2160 −990 0 0 0 ¿ ] [ 0 −990 1800 −810 0 0 ¿ ] [ 0 0 −810 1080 −270 0 ¿ ] [ 0 0 0 −270 360 −90 ¿ ]¿¿

¿

10

Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:Q2 = 16491 .053 x10 (̂ -5) mm

Q3 =32981 .1697 x10 (̂-5 ) mm

Q4 =49469 .9353 x10 (̂-5 )mm

Q5 =65956 .6586x10 (̂-5 ) mm

Q6 =98955.2961 x10 (̂-5 ) mm

Q7 =131954 .4786 x10 (̂-5 ) mm

Y para obtener la reacción en el empotramiento tómanos la siguiente submatriz:

[−66825827 ,7 +R1 ] =3 x 105 x [ 1350 −1350 0 0 0 0 0 ]¿ [ 0¿ ] [Q2 ¿ ] [Q3 ¿ ] [Q4 ¿ ] [Q5 ¿ ] [Q6 ¿ ]¿¿

¿Resolviendo obtenemos:

R1= 37063 . 05 N

3. ESFUERZOS Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuación:

σ e=( El )e

[−1 1 ] ¿ [ Qi ¿ ] ¿¿

¿

11

Donde:(Eα )e ΔT= (3*105*11*10-6)*150=396 Nmm2

Donde obtenemos lo siguiente:σ 1 = ( 3 x 105

125 )1

[−1 1 ] ¿ [ 0 ¿ ] ¿¿

¿

σ 2 = ( 3 x 105

125 )2

[−1 1 ] ¿ [ 0 .1649105 ¿ ]¿¿

¿

σ 3 = ( 3 x 105

125 )3

[−1 1 ] ¿ [ 0 . 3298116 ¿ ]¿¿

¿

σ 4 = ( 3 x 105

125 )3

[−1 1 ] ¿ [ 0 . 4946993 ¿ ]¿¿

¿

σ 5 = ( 3 x 105

250 )3

[−1 1 ] ¿ [ 0 . 6595665 ¿ ]¿¿

¿

σ 6 = ( 3 x 105

250 )3

[−1 1 ] ¿ [ 0. 9895529 ¿ ]¿¿

¿

4. RESULTADOS Finalmente, los resultados son mostrados en la siguiente tabla:

R1 = 37063 . 5 N

σ1 =−0 . 2148N

mm2

σ 2= -0 . 23736N

mm2

12

σ 3 = -0 .26952N

mm2

σ 4 =−0 . 31872N

mm2

σ5 = -0 .01632N

mm2

σ 6 = -0 .00984N

mm25. DIAGRAMA DE FLUJO INICIO

INGRESO DE DATOSCONSTANTES : E, f, t, ∆TVECTORES: L, A, P

CALCULO DE VECTORES

F= [

AL1γ2

+R1

AL2γ2

+ AL1γ

2AL3 γ

2+ AL

2 γ2

+PA

AL3 γ2

] ; K=

[EA1

L1−EA1

L10 0

−EA1

L1

EA2

L2+EA1

L1−EA2

L20

0 −EA2

L2

EA3

L3+EA2

L2−EA3

L3

0 0 −EA3

L3

EA3

L3

]TRAFORMACION DE ECUACION MATRICIAL

13

[AL1 γ

2AL2γ

2+ AL

1γ2

AL3 γ2

+ AL2 γ

2+PA

AL3 γ2

]=[−1 −

EA1

L10 0

0EA2

L2+EA1

L1−EA2

L20

0 −EA2

L2

EA3

L3+EA2

L2−EA3

L3

0 0 − EA3

L3

EA3

L3

] [R1

Q2

Q3

Q4

Q5

Q6

]IMPRESIÓN DE RESULTADOS

R1 , Q2 , Q3 , Q4 , Q5 ,Q6 , Esf 1 , Esf 2 , Esf 3 , Esf 4 , Esf 5

FIN

6. DIGITACIÓN EN MATLAB clc%constantesformat long;E = 300000;f=8*9.81*(10^-6);t=150;dt=120;x=11*(10^-6); %condicion de contornocontorno=[1]; n=input ('Ingrese el Nº de elementos finitos de la primera parte (n) :');m=input ('Ingrese el Nº de elementos finitos de la segunda parte (m) :'); %calculo de numero de nodosnnodos=[1:n+m+1];%calculo del vector LL=[(500/n).*ones(1,n),(500/m).*ones(1,m)]%calculo del vector HHN1=[1200-300/n:-600/n:600+300/n];HN2=[600-300/m:-600/m:0+300/m];

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h=[HN1,HN2]%calculo del vector PP=zeros(1,n+m+1);P(n+1)=-30000;%calculo del vector hA=t.*h;%Calculo del vector fuerza masicapesoe=-f*0.5.*A.*L;pesoglobal=[pesoe,0]+[0,pesoe];%calculo del vector fuerza por deformacion termicadtele=(x*dt*E).*A;dtglobal=-[dtele,0]+[0,dtele];%calculo de vector fuerza totalF=pesoglobal+P+dtglobal;%Calculo de la matriz de rigidezkele=E.*A./L;disp('La matriz de Rigidez es : ')kglobal=diag([kele,0]+[0,kele])-diag(kele,1)-diag(kele,-1)%resolucion de la ecuacion matricial [F]=[K].[Q]%introduccion de las condiciones de contornoncon=setdiff(nnodos,contorno);KM=kglobal(ncon,ncon);FM=F(ncon);QM=inv(KM)*(FM)';%calculo de los dezplazamientosQ=zeros(size(nnodos,2),1);Q(ncon)=QM; R=kglobal*Q-F'; %Matriz de Reaccionesdisp('La matriz de desplazamiento en mm es :' );disp(Q)disp('La fuerza (N) punto de apoyo es : ')disp(R(1))%calculo de esfuerzosdisp('La matriz de Esfuerzos en N/mm2 es : ' )esf=(E.*diff(Q))./L'-E*x*dt

Resultados obtenidos en Matlab: Ingrese el Nº de elementos finitos de la primera parte (n) :4

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Ingrese el Nº de elementos finitos de la segunda parte (m) :2L = 125 125 125 125 250 250h = Columns 1 through 5 1125 975 825 675 450 Column 6 150La matriz de Rigidez es : kglobal = Columns 1 through 5 405000000 -405000000 0 0 0 -405000000 756000000 -351000000 0 0 0 -351000000 648000000 -297000000 0 0 0 -297000000 540000000 -243000000 0 0 0 -243000000 324000000 0 0 0 0 -81000000 0 0 0 0 0 Columns 6 through 7 0 0 0 0 0 0 0 0 -81000000 0 108000000 -27000000 -27000000 27000000La matriz de desplazamiento en mm es : 0 0.164910529675926 0.329811696609687

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0.494699352985949 0.659566585779159 0.989552960779159 1.319544785779159La fuerza (N) punto de apoyo es : 3.706319999998808e+004La matriz de Esfuerzos en N/mm2 es : esf = -0.214728777777680 -0.237199358974294 -0.269624696969800 -0.318641296295937 -0.016349999999932 -0.009810000000016

17

7. CONCLUSIONES A medida que se toma mayor número de elementos finitos mejor será el resultado encontrado el error va a ser mínimo conforme tomamos más elementos finitos. El aumento de temperatura hace cambiar notablemente el valor deformación por ende de los esfuerzos en 1000 veces más, por tanto es muy necesario hacer un estudio con análisis con elementos finitos a una pieza mecánica si este va a trabajar a constantes cambios de temperatura. Al comparar la reacción hallada analíticamente con que la que el Matlab se encuentra un error, aunque es pequeño, podría influir en luego en errores futuros, este error es muy probablemente producido por error en los cálculos y el uso de aproximaciones decimales. Cuando solo había tracción en el cuerpo, se podía notar fácilmente que los desplazamientos eran negativos, ya que la tracción estaba en contra del sistema de referencia, pero ahora al haber un incremento de temperatura, los desplazamientos son positivos, esto significa que el efecto de temperatura gana en desplazamiento al efecto de tracción en el cuerpo y en cada elemento. Aun así, los esfuerzos son negativos, debido a que de todos modos el efecto de tracción produce un esfuerzo en contra del eje de referencia.

18

Se nota que con o sin variación de temperatura obtuvimos un valor de reacción igual a 37063,2 N.

19

8. BIBLIOGRAFÍA CHANDRUPATLA, T. “Introducción al Estudio de los Elementos Finitos en Ingeniería”, Prentice Hall, 1999 ZIENKIEWCTZ, O. “The Finite Element Method”, New Cord, Mec Graw – Hill, 1977. ZIENKIEWCTZ, O. and MORGAN K. “Finite Elements and Approximation”, New Cork, Wiley, 1982. LIVESLEY, R. “Finite Element: An Introduction for Engineers”, Cambridge, Great Britain, Cambridge University Press, 1983.

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