MAT330 Clculo I 1 DESARROLLOPRUEBA N2MAT330 F4 1.Eldesplazamientode unapartcula( ) d t enmetros,transcurridos t segundosde supartida, estdadapor:1 ) () 2 (2 =+ t te t d .Encuentrelarapidezinstantneadelapartculaaun segundo de haber partido. SOLUCIN: La rapidez instantnea, es la derivada de la funcin distancia: 1 ) () 2 (2 =+ t te t d Funcin compuesta: se debe aplicar regla de la cadena. ( )' + = =+1 ) 2 ( ) ( ) (2 ) 2 (2 t t e t d t vt t ) 2 (2 ) ( ) () 2 (2+ = =+t e t d t vt t ( ) ( ) 34 80 2 1 2 (1) 1) 1 2 (12, ~ + = = +e d v Respuesta: La rapidez instantnea de la partcula transcurridos 1 segundo es aprox.segm3 80, . 2.Un automvil se mueve de manera horizontal, de tal manera, que su posicin en el instante t desde el punto de partida, est especificada por: 3 23 18 ) ( t t t d + =La distancia se mide en km. y el tiempo en horas. Cul es la aceleracin instantnea cuando han transcurrido 3 horas? SOLUCIN: La velocidad o rapidez instantnea, es la derivada de la funcin distancia: 29 36 ) ( ) ( t t t d t v + = = La aceleracin es la 2 derivada de la funcin distancia: t t d t a 18 36 ) ( ) ( + = ' ' = ( ) 90 3 18 36 (3) 3 = + = ' ' = d a Respuesta: La aceleracin instantnea del automvil a las 3 horas es de: 290hkm MAT330 Clculo I 2 3.Un fabricante de cmaras digitales estima que cuando se producenq unidades la utilidad total es500 35 09 , 0 0045 , 0 ) (2 3 + + = q q q q U miles de pesos. Cul es la utilidad marginal cuando el nivel de produccin es de 15 unidades? SOLUCIN: La utilidad marginal es la derivada de la funcin Utilidad: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )''+'+' = = 500 35 09 0 0045 02 3q q q q U q UM , , ( ) ( ) 35 18 0 0135 0 0 35 18 0 0135 02 2+ + = + + = = q q q q q U q UM , , , , Si x = 15 entonces: ( ) ( ) ( ) ( ) 6625 34 35 15 18 0 15 0135 0 15 152, , , = + + = = U UM 5 , 662 . 34 1000 6625 , 34 = Respuesta: La utilidad marginal cuando el nivel de produccin es de 15 unids. es: 34.663 pesos. 4.Elingreso,eneuros,cuandosedemandax lavadorasenunatiendadeelectrodomsticos viene dado por:. Determine la funcin de ingreso marginal. SOLUCIN: El Ingreso marginal es la derivada de la funcin Ingreso: Derivada de una multiplicacin de funciones: ' ' )' ( g f g f g f + = La raz cuadrada que aparece ac es una func. compuesta. Para derivar se debe aplicar regla de la cadena. ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x I x IM ' + + '+ = ' = 20 89.980 20 89.980 ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x I x M I ' + + '+ = ' =||.|

\|20 89.980 20 89.98021 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 20 89.980 20 89.980 20 89.9802121 + + '+ + = ' =x x x x x I x IM ( ) ( ) ( ) ( ) 1 20 89.980 20 20 89.9802121 + + + = ' =x x x x I x IM ( ) xxxx I 20 89.98020 89.98010+ ++= ' MAT330 Clculo I 3 5.El Costo de almacenaje (en dlares) dexcomputadores es:( ) 420500 . 1873 + + =xx x C . a) Qu tamao de pedido minimiza el costo total de almacenaje? SOLUCIN:Ejercicio de Mnimo Relativo de funciones 1 Encontrar puntos crticos con f : ( ) ( ) ( ) ( )'+' +'= => + + = |.|

\| 420 187.500 3 420 .500 187 31 1x x x ' C x x x C ( )22 1 1500 . 1873 500 . 187 3 0 500 . 187 ) 1 ( 3xx x x C = = + + = ' ( ) 0 = ' x C 220500 1873 xx = / . ) (2 1250 , 2503 2) 500 . 187 ( 3 420 02420 500 . 18723descarta se x xxac a b bx x = = => = => = => = 2 Determinar concavidad con f : ( ) ( ) ( )( )( )33 1 22 2000 . 375000 . 375 500 . 187 ) 2 ( 0500 . 187 3 500 . 187 3xx Cx x x ' ' Cx x ' ' C x x ' C= ' ' = =' '= => = |.|

\| ( )( )=> > = = ' ' C 0 0,024250375.0002503 250 x en relativo mnimo un hayq' Indica = Respuesta: Con 250 computadores se obtiene mnimo costo de almacenaje. b) Cul es el mnimo costo total de almacenaje? SOLUCIN: Se debe evaluar la funcin de Costo Total para x=250: ( ) ( )( )920 1 420250500 187250 3 250 ..= + + = C Respuesta: El costo total mnimo es de 1.920 dlares. MAT330 Clculo I 4 6.Un estudio realizado arroj que el rendimiento de un deportista se comporta de acuerdo a la siguienteexpresin:( ) 15 08 , 1 009 , 02+ + = x x x P ,donde( ) x P ,medidoenporcentaje, representa el rendimiento generado cuando se entrena una cantidad dexminutos antes de la competencia. a) Cuntashorassedebeentrenarantesdelacompetenciaparaobtenermximo rendimiento? SOLUCIN:Ejercicio de Mximo Relativo de funciones 1) Encontrar puntos crticos con f : ( ) ( ) ( ) ( )'+'+' = ' 15 1,08 009 02x x x P , ( ) 08 , 1 018 , 0 0 08 , 1 018 , 0 + = + + = ' x x x P ( ) 0 = ' x P 60018 , 008 , 1018 , 0 08 , 1 0 08 , 1 018 , 0= => == => = + xxxx 2 Determinar concavidad para saber si hay mximo o mnimo, con f : ( ) ( ) 018 0 08 1 018 0 , , , = ' ' + = ' x P x x P ( ) => < =' ' P 0 0,018 60 60 x en relativo mximo un hayq' Indica = Respuesta: Para obtener el mximo rendimiento se debe entrenar 60 minutos = 1 hr. b) Cunto es el mximo rendimiento? SOLUCIN: Se debe evaluar la funcin para x=60: ( ) ( ) ( ) 4 47 15 60 08 1 60 009 0 602, , , = + + = P Respuesta: El rendimiento mximo es de un 47,4%. MAT330 Clculo I 5 7.Sedesea colocar unacasaen lnearectaa unadistanciadex kmde unaplantaindustrial, cuyasemisionesdepartculascontaminantesqueafectanaviviendascercanases: ( ) x x x x C 420 51 22 3+ = , ppm (partculas por milln). Por una disposicin gubernamental no sepueden ubicar casasa menosde 9kmde laplantayporrazonesgeogrficasla casa no puede quedar a ms de 12 km de la planta. De acuerdo a esta informacin. A qu distancia delaplantasedeberubicarlacasaparaminimizarlacontaminacinprovenientedesdela planta industrial? SOLUCIN:Ejercicio de Mnimo Absoluto de funciones en un Intervalo especfico x: distancia a la planta (km)->[ 9 , 12 ] C: contaminacin (ppm) 1) Encontrar puntos crticos con f : ( ) ( ) ( ) ( ) 420 102 6 420 51 22 2 3+ ='+''= ' x x x x x x C ( ) 0 = ' x C 10 , 76 2) 420 ( 6 4 ) 102 ( ) 102 (240 420 102 62 1222= = => = => = => = + x x xac a b bx x x ] 12 , 9 [ 10] 12 , 9 [ 721e =e = [ 0 , 10 ] ao 2000 = ao 0 A: cantidad de personas (cientos) 1) Encontrar puntos crticos con f : ( ) ( ) ( ) ( ) 504 114 6 504 57 22 2 3+ ='+''= ' x x x x x x A ( ) 0 = ' x A 12 , 76 2) 504 ( 6 4 ) 114 ( ) 114 (240 504 114 62 1222= = => = => = => = + x x xac a b bx x x Intervalo al pertenece no que ya descarta se xx < e =e =] 10 , 0 [ 12] 10 , 0 [ 721 2) Evaluar la funcin en los lmites del Intervalo y en el punto crtico: 0 = x 10 = x 7 = x ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 00 504 0 57 0 2 023= + =AA ( ) ( ) ( ) ( )( ) 340 1 1010 504 10 57 10 2 1023. = + =AA ( ) ( ) ( ) ( )( ) 421 1 77 504 7 57 7 2 723. = + =AA Respuesta: En el ao 2007 (7 aos desde su fundacin, ao 2000) la asociacin tuvo el mayor nmero de participantes. b) Cuntos eran los miembros en ese ao? Respuesta: La cantidad de integrantes de la fundacin el ao 2007 eran 142.100 personas. Valor MayorMAT330 Clculo I 7 9.Seesperaquedentrodet aos,lapoblacindeavispasqueinvadenlazonacentralde nuestro pas ser 23 5) (2++=ttt P en miles. A qu razn cambiar la poblacin con respecto al tiempo dentro de3 aos? SOLUCIN: La derivada representa tasa o razn de cambio: se debe derivar entonces, la funcin poblacin: ( Derivada de una divisin de funciones:2'' 'gg f g fgf +=||.|

\| ). ( )( ) ( ) ( )( )22 222 3 5 2 3 5+'+ + + '+=tt t t tdtdP ( ) ( )( ) ( ) ( )2222 22223 20 523 5 20 1021 3 5 2 10+ +=+ +=+ + + =tt ttt t ttt t tdtdP Ahora, se debe evaluar f en x=3: ( )( ) ( )( )08 4251022 33 3 20 3 5322, = =+ + =dtdP Respuesta: La poblacin de avispas, dentro de 3 aos, crecer a una razn de 4.080 avispas por ao. 10. La utilidad (en millones de pesos) de una empresa, analizada con respecto a los aos) (tde funcionamiento est dada por) 3 log( ) (3+ = t t U . Utilizandoderivadasanaliceelcrecimientoodecrecimiento(baja)delasutilidadesdela empresa en el segundo ao de funcionamiento. SOLUCIN: Para analizar crecimiento o decrecimiento de una funcin, se debe derivar. Si el resultado, al evaluar en un puntodeterminadoespositivo,indicafuncincreciente.Sielresultadoesnegativo,indicafuncin decreciente. ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 10 33310 31310 31322333ln ln ln += +='+ += 'ttttttt U 2 ao de funcionamiento; t=2: ( )( )( ) ( ) ( ) ( )47 010 111210 3 22 3232,ln ln~= += ' U Respuesta: La pendiente de la tangente a la curva en t=2 es un valor mayor que cero. Esto indica que lafuncin en ese punto es creciente, porlotanto,lasutilidadesdela empresa en el2 ao son crecientes.