UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIN

FACULTAD DE INGENIERIA

2do. Examen Final de Estadstica 19 / julio / 03 duracin: 125 minutos

Tema 1: De un grupo de 100 estudiantes se sabe que: 32 estudian matemticas; 20 estudian fsica; 45

estudian biologa; 15 estudian matemticas y biologa; 7 estudian matemticas y fsica; 10 estudian

fsica y biologa; 30 no estudian ninguna de las tres materias.

Si se selecciona un estudiante al azar, hallar la probabilidad de que sea:

a) estudiante de una sola y solo una materia b) estudiante de las tres materias.

Tema 2: Suponga que el manuscrito para un libro de texto tiene en total 50 errores de mecanografa en el

total de las 500 pginas que conforman el material, y que los errores estn distribuidos en forma aleatoria

en todo el texto. Cul es la probabilidad de que:

a- un capitulo que cubre 30 pginas tenga dos o ms errores? b- un capitulo que tiene 50 paginas tenga dos o ms errores? c- una pgina elegida al azar no tenga error?

Tema 3: Un artculo publicado en la revista The Enginer ( junio 1999), notific los resultados de una

investigacin sobre los errores en el cableado en aeroplanos comerciales que pueden producir

informacin falsa a la tripulacin. Es posible que tales tipos de errores de cableado hayan sido

responsables del desastre de la British Airways en enero de 1989 al provocar que el piloto apagara el

motor equivocado. De 1600 aeroplanos seleccionados al azar, se encontr que el 8% tenan errores en el

cableado que podan mostrar informacin falsa a la tripulacin.

a) Encontrar un intervalo de confianza del 99% para la proporcin de aeroplanos que tienen este tipo de cableado. Interpretar la respuesta.

b) Suponiendo que se utiliza este ejemplo para proporcionar una estimacin preliminar de p, de qu tamao debe se la muestra para producir una estimacin de p que difiera, con una confianza de 99%

del verdadero valor a lo ms en 1%?. Interpretar.

c) De que tamao debe ser la muestra si se desea tener una confianza de al menos 99% de que la proporcin muestral difiera de la proporcin verdadera a lo ms en 1%, sin importar cual sea el valor

verdadero de p ? Interpretar.

Tema 4: El Ingeniero Pedro Ferreira propone a sus alumnos 10 cuestiones verdadero-falso. Para

comprobar la hiptesis de que los estudiantes contestan al azar, adopta la siguiente regla de desicin:

Si al menos 7 respuestas son acertadas, el estudiante no ha contestado al azar Si hay menos de 7 correctas, ha contestado al azar.

Hallar la probabilidad de rechazar la hiptesis cuando sea correcta.

Hallar la probabilidad de aceptar la hiptesis p = 0,5 cuando en realidad p = 0,7.

Tema 5: Las cantidades Y de una sustancia no transformada en 6 reacciones qumicas similares despus

de X minutos son:

a) dibujar el diagrama de dispersin b) ajustar una curva exponencial y graficar. c) estimar la cantidad de sustancia no transformada despus

de un periodo de 4 minutos.

X

(minutos)

Y

(miligramos)

1 23,5

2 16,9

2 17,5

3 14,0

5 9,8

5 8,9

De un grupo de 100 estudiantes se sabe que: 32 estudian matemticas; 20 estudian fsica; 45 estudian

biologa; 15 estudian matemticas y biologa; 7 estudian matemticas y fsica; 10 estudian fsica y

biologa; 30 no estudian ninguna de las tres materias.

Si se selecciona un estudiante al azar, hallar la probabilidad de que sea:

c) estudiante de una sola y solo una materia d) estudiante de las tres materias.

Solucin:

Sean los eventos:

M: estudiante de matemtica ; F: estudiante de fsica ; B: estudiante de biologa

Entonces:

)B.F.M(p)B.F(p)B.M(p)F.M(p)B(p)F(p)M(p)BFM(p

donde: 100

45)B(p;

100

20)F(p;

100

32)M(p;

100

70)BFM(p

100

10)B.F(p;

100

15)B.M(p;

100

7)F.M(p

con estos nmeros:

)B.F.M(p100

10

100

15

100

7

100

45

100

20

100

32

100

70

100

5)B.F.M(p;)B.F.M(p

100

65

100

70

Respuesta: si se selecciona un estudiante al azar, la probabilidad de que sea estudiante de las tres materias

es del 5%.

Del diagrama podemos concluir:

100

15

100

5

100

7

100

15

100

32)B.F.M(p ;

100

8

100

5

100

10

100

7

100

20)B.M.F(p

100

25

100

5

100

10

100

15

100

45)F.M.B(p

La probabilidad de que un estudiante elegido al azar sea estudiante de una y slo una materia est dada

por:

100

48

100

25

100

8

100

15)F.M.B(p)B.M.F(p)B.F.M(p

Respuesta: la probabilidad de que un estudiante elegido al azar sea estudiante de una y slo una materia

es del 48%.

M

F

B

B.F.M

Suponga que el manuscrito para un libro de texto tiene en total 50 errores de mecanografa en el total de

las 500 pginas que conforman el material, y que los errores estn distribuidos en forma aleatoria en todo

el texto. Cul es la probabilidad de que:

d- un capitulo que cubre 30 pginas tenga dos o ms errores? e- un capitulo que tiene 50 paginas tenga dos o ms errores? f- una pgina elegida al azar no tenga error?

Solucin

= n.p = 50x30/500=3

- P(X 2) = 1 [P(X=0)+P(X=1)] = 8008,01991,01!1

3

!0

31

3130

ee

Respuesta: la probabilidad de que un capitulo que cubre 30 pginas tenga dos o ms errores es del

80, 085%.

= n.p = 50x50/500=5

- P(X 2) = 1 [P(X=0)+P(X=1)] = 9596,004042,01!1

5

!0

51

5150

ee

Respuesta: la probabilidad de que un capitulo que tiene 50 paginas tenga dos o ms errores es del

95,96%.

= n.p = 50/500=0,1

- P(X = 0) = 9048,0!0

1,0 1,00

e

Respuesta: la probabilidad de que una pgina elegida al azar no tenga error es del 90,48%.

489992,008,001,0

58,2;;

22

Npq

e

zN

N

pqze cc

166415,05,001,0

58,2N;pq

e

zN;

N

pqze

22

cc

Un artculo publicado en la revista The Enginer ( junio 1999), notific los resultados de una

investigacin sobre los errores en el cableado en aeroplanos comerciales que pueden producir

informacin falsa a la tripulacin. Es posible que tales tipos de errores de cableado hayan sido

responsables del desastre de la British Airways en enero de 1989 al provocar que el piloto apagara el

motor equivocado. De 1600 aeroplanos seleccionados al azar, se encontr que el 8% tenan errores en el

cableado que podan mostrar informacin falsa a la tripulacin.

d) Encontrar un intervalo de confianza del 99% para la proporcin de aeroplanos que tienen este tipo de cableado. Interpretar la respuesta.

e) Suponiendo que se utiliza este ejemplo para proporcionar una estimacin preliminar de p, de qu tamao debe se la muestra para producir una estimacin de p que difiera, con una confianza de 99%

del verdadero valor a lo ms en 1%?. Interpretar.

f) De que tamao debe ser la muestra si se desea tener una confianza de al menos 99% de que la proporcin muestral difiera de la proporcin verdadera a lo ms en 1%, sin importar cual sea el valor

verdadero de p ? Interpretar.

Solucin:

a) N = 1600 aeroplanos ; p(error) = 0.08 ; p/ 99% de confianza: zc = 2,58

Respuesta: Con un 99% de confianza, podemos afirmar que la proporcin de aeroplanos que tienen este

tipo de error se encuentran entre el 6,3% y 9,7%.

b)

Respuesta: El tamao de la muestra debe ser de al menos 4899 aeroplanos, para que la proporcin

muestral no difiera del verdadero a lo ms en 1%.

c) Si no conocemos el valor de p tomamos p = 0,5 y q = 0,5 ya que estos son los valores que pueden

producir el mayor error posible:

Respuesta: Si no conocemos el valor de p, y tomamos p = 0,5, entonces el tamao de la muestra debe

ser de al menos 16641 aeroplanos. Esto es aproximadamente 3 veces mayor que si conocemos el valor

de p.

017,008,0;1600

92,008,058,208,0;

N

pqzp c

El Ingeniero Pedro Ferreira propone a sus alumnos 10 cuestiones verdadero-falso. Para comprobar la

hiptesis de que los estudiantes contestan al azar, adopta la siguiente regla de desicin:

Si al menos 7 respuestas son acertadas, el estudiante no ha contestado al azar Si hay menos de 7 correctas, ha contestado al azar.

Hallar la probabilidad de rechazar la hiptesis cuando sea correcta.

Hallar la probabilidad de aceptar la hiptesis p = 0,5 cuando en realidad p = 0,7.

Solucin:

Sea p la probabilidad de que una cuestin sea acertada correctamente. La probabilidad de lograr X

correctas de las 10 es X10XX10 qpC)X(p . Bajo la hiptesis p = 0,5 ( o sea, el estudiante responde al

azar),

1719,05,05,0C5,05,0C5,05,0C5,05,0C

)10(p)9(p)8(p)7(p)correctasmaso7(p

10101010

10

91099

10

81088

10

71077

10

Respuesta: la probabilidad de concluir de que no contestaban al azar cuando realmente lo hacan es del

17,19%.

Bajo la hiptesis p = 0,7

3504,03,07,0C3,07,0C3,07,0C3,07,0C1)correctasmaso7(p1)correctas7demenos(p

10101010

10

91099

10

81088

10

71077

10

Respuesta: la probabilidad de aceptar la hiptesis p = 0,5 cuando en realidad p = 0,7 es del 35,04%.