2. Funciones numéricas.

Este módulo pretende desarrollar la capacidad de interpretar y usar información presentada enuna variedad de formas familiares, matemáticas y no matemáticas. Como hemos mencionadoanteriormente, el cálculo diferencial e integral estudia los procesos en los que hay cantidadesnuméricas que cambian a medida que otras cantidades también lo hacen. La herramientafundamental para ello serán las funciones numéricas.

El aprendizaje de las funciones numéricas requiere:• Conocer las distintas formas de representación de las funciones numéricas.• Leer e interpretar la información que tiene cada una de ellas.• Traducir la información de una forma de representación en otra.• Identificar las fortalezas y las debilidades de cada forma de representación.

Funciones numéricas

Representaciónverbal

Representacióngráfica

Representaciónen tabla.

Representaciónalgebraica

Figura 1: Las 4 formas usadas usual-mente para representar a las funcio-nes numéricas.

En este módulo formalizaremos la definición de función numérica en la matemática detallandosus elementos más fundamentales: variable independiente, variable dependiente, regla deasignación, dominio, codominio e imagen. También algunas de sus propiedades principalescomo crecimiento, decrecimiento, valores máximos y valores mínimos.

1 Definición y elementos fundamentales de las funciones numéricas.Hemos visto ya algunos ejemplos en donde construimos modelos matemáticos definiendofunciones que relacionen dos cantidades mensurables.• La fórmula que relaciona la temperatura en grados ◦F en función de la temperatura engrados ◦C.• El perímetro de una circunferencia como función de su diámetro.• Los modelos lineales construidos según el método de mínimos cuadrados.

� Definición 1.1 — Definición de función.

Una función es una ley de asignación que a cada elemento x de un conjunto A le hacecorresponder exactamente un elemento y de un conjunto B.

Se escribe: f : A→ B

A B

x y

f

f

y = f (x)

x

f

f (x)

Materiaprima

Aquí se realizala operación

Resultado

Figura 2:Representación de una fun-ción como una máquina que recibemateria prima, opera y luego devuel-ve un resultado.

• En este caso, f es el nombre de la función.• El conjunto A se denomina dominio de la función. Corresponde a los valores de lavariable independiente.

A = Dominio de f = Dom( f )

• El conjunto B se denomina codominio de la función. Corresponde a los valores de lavariable dependiente.• Así, x es la variable independiente, mientras que y es la variable dependiente.• En nuestro curso, los conjuntos A y B siempre se referirán a conjuntos numéricos.

2 Capítulo 2. Funciones numéricas.

C Cuando escribimos y = f (x) decimos que y es el valor de la función f cuando laevaluamos en x.

y = f (x)

y es f evaluada en x

y es f de x

y es la imagen de x mediante la función f

Que f sea una función significa que no puede existir un elemento de A sin su correspondienteelemento en B, y que a cada elemento de A no le puede corresponder más de un elemento deB como resultado.

C Una de las dificultades en la simbolización matemática es que muchas veces se usanlos mismos símbolos pero para cosas distintas. El uso de los paréntesis es un ejemplo.

Uso de paréntesisEl uso de paréntesis en la notación de función es muy especial para las funciones. Hay quetener especial cuidado y no confundirlo con una multiplicación. Cuando escribimos

f (x)

no debe entenderse como si fuera

f .(x) ni f × (x)

.El símbolo dentro de los paréntesis es siempre la variable independiente, un miembro deldominio, y f (x) es un valor de la variable dependiente, un miembro del codominio.

Algunos ejemplos:

Conjunto ∅Conjunto vacío. Sin elementos.

Conjunto (a, b){x ∈ R : a < x < b }

Conjunto [a, b]{x ∈ R : a ≤ x ≤ b }

Conjunto (a, b]{x ∈ R : a < x ≤ b }

Conjunto (a,+∞){x ∈ R : a < x }

Conjunto (−∞, b]{x ∈ R : x ≤ b }

Conjunto (−∞,+∞)Todos los números reales. R.

Tabla 1:Repaso de algunos ejemplosde notación de intervalos para losconjuntos numéricos.

� Ejemplo 1.1La Figura 3 muestra el gráfico de un electrocardiograma (EGG). El EGG mide elpotencial eléctrico V (medido en milivolts) en una cierta dirección (hacia el electrodopositivo de un cable) correspondiente a una parte particular del corazón como unafunción del tiempo (en segundos). Para un valor del tiempo t dado, el gráfico nosproporciona un valor correspondiente de V .

Figura 3: Electrocardiograma

�

1 Definición y elementos fundamentales de las funciones numéricas. 3

1.1 Dominio natural de una función numérica.El dominio de una función está determinado por motivos de 3 categorías:

Motivos relacionados con el contexto.El sistema real en estudio impone restricciones sobre las variables.• Si l representa una longitud, el área o el volumen de un objeto entonces no puede sercero ni tomar valores negativos.• Si P representa la población de la Argentina entonces debe ser un número natural; laparte decimal no puede ser distinta de cero.• Hay una temperatura teórica que es la más baja posible. Dependiendo del sistemade medición utilizado corresponde a 0 grados Kelvin, −273.15 grados centígrados o−459.67 grados Farenheit. De modo que, si T es la temperatura de un sistema en gradoscentígrados entonces debe cumplirse que

−273.15 < T

Motivos relacionados con limitaciones matemáticas.Momentáneamente tomaremos como restricciones matemáticas dos operaciones que no sepueden realizar en los números reales.• No está permitida la división por cero. Expresiones como

10

x0

00

no están definidas ni se aceptan como válidas.• No está permitido calcular raíces cuadradas o raíces de orden par a números negativos.Por ejemplo, las siguientes expresiones no son válidas

√−1 4√

−33 +√−2

8

Motivos arbitrarios que decide cada persona.Cada persona puede imponer una restricción sobre el dominio de una función por algúnmotivo que considere importante o por puro antojo. La decisión de estudiar la altura de niños yniñas para edades entre 4 y 16 años es una decisión del investigador. O sin motivo alguno, sepuede decidir estudiar la función

S(r) = π r2 en el intervalo (2, 5].

� Definición 1.2 — Dominio natural de una función numérica.

Dada una función f representada por medio de una expresión matemática, llamamosdominio natural de f al mayor conjunto de números reales tales que la fórmula permitacalcular un resultado real. Si el codominio no está indicado, asumimos que es R.

La palabra natural en esta definición no debe confundirse con los números naturales.Aunque se usa la misma palabra no deben confundirse.

� Ejemplo 1.2El dominio natural de f (x) = x3 son todos los reales ya que no hay dificultades encalcular x3. Algunos de sus valores son:

f (0) = 0 f (−2) = (−2)3 = −8 f(12

)=

(12

)3=

18

4 Capítulo 2. Funciones numéricas.

�

� Ejemplo 1.3El dominio natural de g(x) =

√x es el intervalo [0,+∞). Algunos de sus valores son:

g(0) = 0 g(9) =√

9 = 3

�

� Ejemplo 1.4Para determinar el dominio natural de las funciones

f (x) =1

x2 − xg(x) =

√x + 2

debemos considerar las restricciones matemáticas asociadas a la división y a la raízcuadrada.En el caso de f (x) se trata de un cociente cuyo denominador es x2 − x por lo quedebemos estudiar ¿cuándo se anula el denominador?

x2 − x = 0x(x − 2) = 0 → soluciones x1 = 0 y x2 = 2

Por lo que x1 = 0 y x2 = 2 no pueden estar en el dominio natural de f ; y entonces seconcluye que

Dom( f ) = R − {0, 2} = (−∞, 0) ∪ (0, 2) ∪ (2,+∞).

En el caso de g(x) se trata de la raíz cuadrada (índice par) por lo que debemos estudiarel radicando para ver que no sea negativo.

radicando ≥ 0 ← (no ser negativo)x + 2 ≥ 0

x ≥ −2 → soluciones x ≥ −2

Por lo que se concluye que

Dom(g) = {x ∈ R : x ≥ −2} = [−2,+∞).

�

n√radicando

� Ejemplo 1.5Para determinar el dominio natural de la función

f (x) =1

3x − 4+√

4x + 1

debemos considerar las restricciones matemáticas asociadas a la división (para elprimer término) y a la raíz cuadrada (para el segundo término).

En el caso del primer término estudiamos el denominador de la fracción:

2 Imagen de una función numérica. 5

3x − 4 = 03x = 4

x =43

→ solución x =43

Por lo que x = 43 no puede estar en el dominio natural de f (recordemoslo).

En el caso del segundo estudiamos el radicando:

radicando ≥ 0 ← (no ser negativo)4x + 1 ≥ 0

4x ≥ −1

x ≥ −14

→ soluciones x ≥ −14

El dominio de f estará compuesto por todos los números mayores o iguales a − 14 pero

excluyendo x = 43

Dom( f ) =[− 1

4,+∞)−

{ 43}=

[− 1

4,43

)∪

(43,+∞

).

�

2 Imagen de una función numérica.La variable dependiente de una función no siempre toma todos los valores del codominiodeclarado. Por ejemplo, la función f : [0,+∞) → R dada por f (x) =

√x no toma nunca

valores negativos.

� Definición 2.1 — Imagen de una función numérica.Se llama imagen de una función al conjunto de todos los valores efectivamente alcanzadospor la función. Dada una función f : A → B, se llama imagen de f al conjunto deelementos de B que son el resultado de f (x) para algún elemento x de A. Se suele notarIm( f ) o f (A). En notación de conjuntos, se define

Im( f ) = { f (x) : x ∈ A}

C Calcular la imagen de una función no es una tarea trivial. Por ejemplo, para f (x) = x2

tenemos que Im( f ) = [0,+∞) porque los resultados de x2 pueden ser arbitrariamentegrandes pero no pueden ser negativos. Sin embargo, calcular la imagen de la funcióng(x) = x4 − 3x2 + x ya no es una tarea tan sencilla (más adelante, aprenderemosherramientas que nos permitirán hallarla).

3 Gráfica de una función numérica.Si f es una función con Dom( f ) = A entonces la gráfica de f está compuesta por puntos delplano coordenado de la forma

(x, f (x)) .

Los pares ordenados son pares de entrada-salida. En otras palabras, la gráfica de f está formadapor todos los puntos (x, y) del plano coordenado tales que y = f (x) para x ∈ Dom( f ).

6 Capítulo 2. Funciones numéricas.

Por ejemplo, si consideramos la función f : R→ R dada por f (x) = 2x − 1 entonces el punto(3, 5) pertenece a la gráfica porque x = 3 pertenece al dominio de la función y f (3) = 5. Sinembargo, el punto (2, 5) no lo está porque f (2) , 5.La gráfica de una función también nos permite tener información del dominio (sobre el ejehorizontal) y la imagen (sobre el eje vertical) como indica la Figura 4.

(a) El punto (x, f (x)) ubicado en la gráfica de lafunción.

(b) Dominio e imagen de una función representadosen los ejes cartesianos.

Figura 4: Gráfica de la función, dominio e imagen

Actividad 2.1 En la Figura 5 se muestra la gráfica de una función g.a) Determinen los valores de g(1) y g(5).b) Determinen el dominio y la imagen de g.

�

Figura 5: Gráfica de la función g.

Ya vieron anteriormente como hallar la ecuación de una recta conociendo dos puntos por dondepasa, un punto y la pendiente ó la pendiente y la ordenada al origen, llegando a representar susgráficas o reconocerlas por su aspecto. En base a lo que saben sobre gráficas de rectas, realicenlas siguientes actividades.

Actividad 2.2 Tracen una gráfica y encuentren el dominio e imagen de cada función

a) f (x) = 5x + 1 b) g(x) = x − 1 con x ≥ 2�

Actividad 2.3 Determinen el dominio natural de las siguientes funciones. Escríbanlo enpalabras y con la notación de intervalos.

a) f (x) =√

2x − 1 b) g(x) =1

x2 + x

c) h(x) =x2 + 1x3 + 1

d) r(x) =3√

x2 − 2

e) m(x) =3 + 1

x

x + 1f) R(x) =

√4 − 3x

g) q(x) =1x+√

4 − 3x h) w(x) =1x+

x3x − 4 + x2

�

4 Prueba de la recta vertical.Una curva en el plano xy es la gráfica de una función de x si y sólo si ninguna recta vertical seinterseca con la curva más de una vez.

5 Funciones definidas por partes. 7

En la Figura 6 se puede ver que si cada recta vertical x = a interseca a la curva sólo una vez,en el punto (a, b), entonces se tiene que f (a) = b. Pero si una recta x = a se interseca con lacurva dos veces, en (a, b) y (a, c), entonces la curva no puede representar la gráfica de unafunción, porque no puede asignar dos valores diferentes a a.

Figura 6: Dos ejemplos que representan la regla de la recta vertical.

� Ejemplo 4.1La curva de ecuación x = y2 − 2 que aparece en la Figura 7(a), no es la gráfica deuna función de x porque como podemos ver, existen muchas rectas verticales queintersecan dos veces a esa curva. Sin embargo, sí contiene las gráficas de dos funcionesde x, f (x) = +

√x + 2 y g(x) = −

√x + 2 (parte superior e inferior de la curva) como

se representa en las Figuras 7(b) y 7(c) . �

(a) x = y2 − 2 (b) y =√

x + 2 (c) y = −√

x + 2

Figura 7: Gráficas de la curva x = y2 − 2 y las dos funciones f (x) = +√

x + 2 y g(x) = −√

x + 2

5 Funciones definidas por partes.Hay funciones que se definen empleando distintas fórmulas en diferentes partes de sus dominios.

Actividad 2.4 Calculen f (0), f (1) y f (3) y realicen la gráfica de f para

f (x) =

2 − x si x ≤ 1

x + 3 si x > 1

�

8 Capítulo 2. Funciones numéricas.

Actividad 2.5 Encuentren una fórmula para la función f cuya gráfica se da en la Figura 8.Indiquen su dominio e imagen. �

0 1 2 3 4 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 8: Gráfica de la función f .

Actividad 2.6 Decididan cual de las siguientes ecuaciones define a y como función de x

a) x + y = 1 b) x2 + y2 = 4 c) y4 + x = 2�

6 Funciones crecientes y decrecientes.En la Figura 9 se muestra el gráfico de una función f que se eleva y luego comienza a descender.Expresaremos en forma algebraica el comportamiento creciente o decreciente de la funciónconsiderando el sentido u orientación que tienen los ejes cartesianos.

• El eje x tiene una orientación de izquierda a derecha. La relación x1 < x2 equivale a quex1 está ubicado a la izquierda de x2 sobre el eje x.

• El eje y tiene una orientación de abajo hacia arriba. La relación y1 < y2 equivale a quey1 está ubicado debajo de y2.

� Definición 6.1 — Funciones crecientes y decrecientes.

Una función f es creciente en un intervalo I si

para cualquier x1 y x2 en I que cumplen x1 < x2 entonces f (x1) < f (x2)

Y se dice que es decreciente en I si

para cualquier x1 y x2 en I que cumplen x1 < x2 entonces f (x1) > f (x2)

Figura 9: Gráfica de una función con sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Figura 10: Gráfica de la funciónf (x) = x2.

� Ejemplo 6.1La gráfica de la función f (x) = x2 se encuentra en la Figura 10. Podemos ver que esdecreciente en el intervalo (−∞, 0] y creciente en intervalo [0,+∞). �

7 Valores máximos y valores mínimos. 9

Actividad 2.7 Observen las gráficas de las funciones f y g de la Figura 11.a) Indiquen el dominio y la imagen para f y para g.b) Calculen f (−4) y g(3).c) ¿Para qué valores de x resulta f (x) = g(x)?d) Estimen el/los valores de x tales que f (x) = 1.e) Indiquen el intervalo donde la función f es creciente.

�

Figura 11: Gráficas de las funcionesf y g.

7 Valores máximos y valores mínimos.Los valores máximos y mínimos de una función son de interés porque marcan situacionesextremas en el evento que se estudia. Por ejemplo, en la Figura 12 se tomó una porción delritmo cardíaco según un EGG y se observa que el potencial eléctrico aumenta y disminuyereiteradas veces, en el punto R se encuentra el punto más alto de la gráfica y en el punto S elpunto más bajo.

El punto R tiene coordenadas (0.22, 1) y el punto S tiene coordenadas (0.25,−0.11). De modoque

P(0.22 s) = 1 milivolts y P(0.25 s) = −0.26 milivolts

El valor más grande que se registra es 1 milivolts a los 0.22 segundos. El valor más bajo quese registra es −0.26 milivolts a los 0.25 segundos.

Figura 12: Porción del ritmo cardíaco determinado por un EGG.

� Definición 7.1 — Valores máximos y mínimos absolutos.

Sean c y d dos números en el dominio de la función f .Entonces f (c) es el• valor máximo absoluto de f si f (c) ≥ f (x) para todo x en el dominio de f .

Y f (d) es el• valor mínimo absoluto de f si f (d) ≤ f (x) para todo x en el dominio de f .

El valor máximo o mínimo absoluto es llamado también valor máximo o mínimo global;o, en forma genérica, valores extremos globales.

10 Capítulo 2. Funciones numéricas.

En la misma porción del ritmo cardíaco se observa que hay otros picos y valles en la gráficaque no son tan altos como R ni tan bajos como S pero que el cardiólogo toma como de interés.En la Figura 13 quedan marcados los puntos R, P y T como ejemplos de picos y los puntos Sy Q como ejemplos de valles. Hay otros más pero por simplicidad no los marcamos.

Figura 13: Valles y picos en la gráfica correspondiente al EEG.

� Definición 7.2El número f (c) es un• valor máximo local de f si f (c) ≥ f (x) cuando x está cercano a c.• valor mínimo local de f si f (c) ≤ f (x) cuando x está cercano a c.

Los valores máximos y mínimos locales también suelen llamarse valores máximos omínimos relativos; o, en forma genérica, valores extremos locales.

Actividad 2.8 Consideren que la separación de la grilla de la Figura 13 correspondehorizontalmente a 0.05 segundos y verticalmente a 0.24 milivolts.Determinen los valores extremos locales. Indiquen también el tiempo (en segundos) paralos cuales se alcanzan esos valores extremos locales.

�

� Ejemplo 7.1En la Figura 14 se encuentran las gráficas de las funciones f (x) = x2 y g(x) = x3,respectivamente. Observen que f (0) = 0 es el mínimo absoluto (y local) de f porquef (x) ≥ f (0) para todo x en el dominio de f . Sin embargo, no existe ningún punto quesea el más alto de la parábola, por lo que f no tiene máximo absoluto. En el caso de lafunción cúbica g vemos que no tiene ni máximo ni mínimo absoluto. Y tampoco tienevalores extremos locales. �

8 Ejercitación. 11

Figura 14: Gráficas de las funciónes f (x) = x2 y g(x) = x3.

8 Ejercitación.Ejercicio 2.1 En la Figura 15 se muestra el gráfico de la temperatura global promedio Tdurante el siglo XX.

a) ¿Cuál fue la temperatura global promedio en el año 1950?b) ¿En qué año la temperatura promedio fue de 14, 2◦C?c) ¿En qué año se produjo la temperatura más baja? ¿Y la más alta?d) Estimen la imagen de T .

�

Figura 15: Temperatura promedioglobal en función del tiempo

Ejercicio 2.2 Un esófago saludable tiene un pH aproximado de 7.0. Cuando ocurre un reflujoácido, el ácido del estómago (que tiene un pH que va desde 1.0 a 3.0) fluye hacia atrásdesde el estómago hacia el esófago. Cuando el pH del esófago es menor que 4.0, el episodiorecibe el nombre de reflujo ácido clínico y puede causar úlceras y dañar el revestimientodel esófago. El gráfico de la Figura 16 muestra el pH del esófago para un paciente conreflujo ácido que se encuentra dormido. ¿Durante qué intervalo de tiempo se considera queel paciente tiene un episodio de reflujo ácido clínico? �

Figura 16: pH del esófago para un paciente con reflujo ácido.

12 Capítulo 2. Funciones numéricas.

Ejercicio 2.3 La Figura 17 muestra los pesos corporales promedios de renacuajos criadosen diferentes densidades. La función f muestra el peso corporal cuando la densidad es de10 renacuajos/L. Para las funciones g y h, las densidades son de 80 y 160 renacuajos/L,respectivamente. ¿Qué información le brindan estos gráfico sobre el efecto de hacinamiento?�

Figura 17: Peso corporal promedio de renacuajos en diferentes densidades.

Ejercicio 2.4 Las regiones tropicales se caracterizan por tener muchas precipitaciones eintensa luz solar y tienen temporadas de crecimiento más largas que las regiones másalejadas del ecuador. Como resultado de esto, las regiones tropicales poseen una mayorriqueza de especies, es decir, un mayor número de especies. El gráfico 18 muestra cómovaría el número de hormigas con respecto a la latitud.

a) ¿Cuántas especies esperarían encontrar a los 30◦S? ¿Y a los 20◦N?b) Si en un lugar determinado encuentran unas 100 especies de hormigas, ¿en qué latitud

aproximada estarían?�

Figura 18: Número de especies de hormi-gas según la latitud.

Ejercicio 2.5 Determinen el dominio natural de cada función:

a) f (x) =2x + 1

x2 − x + 1b) g(x) =

3√xx2 + 1

c) h(x) =√

4 − x�

Ejercicio 2.6 Consideren la función f (x) = x3 − 6x2 + 9x.a) ¿Cuál es su dominio natural?b) Calculen f (0), f (1), f (−1).c) ¿Para qué valores de x se cumple que f (x) = 0?

�

Ejercicio 2.7 Hallen, en forma analítica, la intersección entre las gráficas de los siguientespares de funciones. �

f (x) = 2x2

g(x) = 3x + 9

f (x) =

32

x2 − x

g(x) =32

x2 − x + 2

f (x) = x2 + 6x + 9

g(x) = −12

x2 − 1