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2. MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES
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Movimiento en 2 dimensiones o en el plano
Trayectoria situada en el plano
Corresponden a este movimiento:
- El movimiento de un proyectil disparado.
- Una piedra que gira en el extremo de una cuerda.
- Movimiento de un satlite alrededor de la Tierra, etc.
Problemas del movimiento parablico
1. Conocida la trayectoria del mvil, determinar la v, a y la FR en la partcula.
2.Conocida la FR que acta en una partcula, hallar la ecuacin del movimiento.
-
Desplazamiento, velocidad y aceleracin media e instantnea en el plano
Desplazamiento:
Considerar la trayectoria arbitraria de una partcula en el plano.
Vector desplazamiento en los t1 y t2.
Los y se expresan en funcin de sus componentes rectangulares y los
vectores unitarios direccionales:
1 1 1
2 2 2
r x i y j
r x i y j
vector posicin que ubica P en el plano.
vector posicin que ubica Q en el plano.1r
2r
1r 2r
El vector desplazamiento entre P y Q:
2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( )r r r x i y j x i y j x x i y y j x i y j
Q
-
Velocidad media e instantnea:
Velocidad media:
jvivjt
yi
t
x
t
rv yxm
El se representa en el punto
medio de P y Q, en la misma
direccin de ; y esta asociado
con todo el desplazamiento . r
r
Velocidad instantnea:
jvivjt
yi
t
x
t
rv yx
ttt
000limlimlim
Si Q P, la direccin de tiende a la
tangente a la trayectoria en P.
La en un punto cualesquiera es
tangente a la trayectoria en dicho
punto, independientemente de la
complejidad del movimiento.
r
Q
-
Aceleracin media e instantnea
Considerar la trayectoria circular de un mvil. Sean v1 y v2 en los puntos P y Q. Las
v difieren en magnitud y direccin, por lo tanto hay a.
Aceleracin instantnea:
Aceleracin media:
-
Componentes rectangulares:
Movimiento referido a un sistemade referencia fijo.
Las componentes rectangulares a:
dt
dv
t
va
dt
dv
t
va
yy
ty
xx
tx
0
0
lim
lim
jaiaa yx
jd t
ydi
d t
xdj
d t
dvi
d t
dva
yx 2
2
2
2
x
y
yx
a
aarctg
aaa
22
Componente normal y tangencial:
Definir un eje tangencial y normal a latrayectoria.
Descomponer a en P en una aT y aN Las direcciones no son fijas, pero tienen
significado directo.
aT , paralela a la v.
aN , perpendicular a la v.
aT: responsable del cambio de la
magnitud de la v.
aN: responsable del cambio en la
direccin de la v.
Componentes de la aceleracin instantnea
-
2.1 MOVIMIENTO DE LOS PROYECTILES O
Movimiento PARABLICO
-
Proyectil
Objeto con una v0 y sigue una trayectoria determinada por la fuerza gravitatoria
y la resistencia aire.
Hiptesis simplificadoras del movimiento parablico idealizado
Los resultados son exactos para el movimiento en el
vaco, en una Tierra plana sin rotacin.
-
Si la nica fuerza que acta es el peso, w constante en
magnitud, direccin y sentido.
La wx = 0 y wy = w, entonces:
gaa yx 0
Como a = 0 significa v = ctte, el movimiento de un proyectil puede definirse como una
combinacin del movimiento horizontal con v = ctte y un movimiento vertical con a =
ctte.
La clave para el anlisis del movimiento parablico est: Todas las relacionesvectoriales que se necesitan, incluida la segunda ley de Newton y las definiciones
de v y a pueden expresarse por separado, respecto a las componentes x e y.
Principio de superposicin
Los movimientos en x e y son independientes. Pueden analizarse por separado. El movimiento real es la superposicin de estos movimientos.
Principio de superposicin
-
Anlisis matemtico del movimiento parablico
Consideremos el movimiento de un proyectil disparado con una y encima del eje
x, como se muestra:00v
Para un t0= 0 la partcula est en el origen . y son componentes de la velocidad en cualquier instante (t). y las componentes de la aceleracin.
00 , yxxv yv
0xa ga y
-
Las componentes de :0v
000
000 cos
senvv
vv
y
x
La posicin en un instante t:
200
00
2
1
cos
tgtsenvy
tvx
Entonces:
2
2
0
22
00
22
0
22
2
1cos
tgtsenvvyxr
x
ytgarc
La velocidad en el instante t:tgsenvv
vv
y
x
00
00 cos
Entonces:
x
y
yx
v
vtgarc
vvv
22
Componentes rectangulares del r y la v instantnea:
-
La ecuacin de la parbola:
Si de despejamos el tiempo:tvx 00 c o s
00 cos v
xt
Reemplazando en:
2 2
0 0 0 2 2
0 0
1
2 2 cos
gy v sen t g t tg x x
v
Si para un caso determinado y permanecen
constantes, entonces:0v
0
2 2
0 02 cos
a tg ctte
gb ctte
v
Sustituyendo en la ecuacin del alcance vertical obtenemos:
2xbxay
Ecuacin de la parbola, por eso se tiene certeza de que la trayectoria que describe un
proyectil es efectivamente el de una parbola.
0
-
Deduccin de la altura mxima y el alcance mximo horizontal:
Altura mxima, h
Si cuando una partcula alcanza la altura mxima:0yv
g
senvt
senvtg
tgsenvv y
00
00
00 0
Haciendo un cambio de variable, y reemplazando en la ecuacin del alcance
vertical y se tiene:
g
senvh
g
senv
g
senvh
g
senvg
g
senvsenvh
tgtsenvy
2
2
1
2
1
2
1
0
22
0
0
22
00
22
0
2
0
22
000
00
2
0
hy
-
Alcance mximo horizontal, R
Cuando el proyectil disparado toca nuevamente el eje x,
el alcance vertical es cero; es decir, y = 0 bajo esta
consideracin, se puede calcular el tiempo de vuelo:0
2
1 200 tgtsenvy
El tiempo de vuelo es:g
senvt 00
2
Sustituyendo en la ecuacin del alcance horizontal y haciendo el cambio de variable,
x = R, se tiene:
g
senvR
g
senv
g
senvvR
tvx
0
2
0
00
2
000
00
00
2
cos22cos
cos
Considerando la identidad trigonomtrica: 000 c o s22 s e ns e n
-
Alcance mximo horizontal:
Si se toma en cuenta el valor mximo de la funcin trigonomtrica vemos que es 1;
es decir:s e n
45
9012
12
0
0
0
senarc
senEntonces, el ngulo es de 45, es el ngulo que da el alcance
mximo horizontal para una .0v
Siempre que el R sea inferior al alcance mximo horizontal
da 2 valores comprendidos entre 0 y 90.
Cualquiera de estos ngulos proporciona el mismo alcance. El tiempo de vuelo como la
altura mxima son mayores para la trayectoria de corresponde a un ngulo mayor. Para
comprobar, consideremos el siguiente caso, suponga:
0 2
0
01 0
02 0
2
2 60
30
R garc sen
v
= 20 m/s
R = 35.35 m0v :0v
-
2.1.1 Movimiento parablico con:
1. Se dispara un proyectil con una rapidez inicial de 100 m/s y un ngulo de 60 con la
horizontal. Calcule: a) el alcance mximo horizontal, b) la altura mxima, c) el tiempo de
vuelo, d) la velocidad y la altura despus de 10 s, e) la velocidad y la altura despus de
20 s Rta.- a) 883.7 m, b) 382.6 m, c) 7.67 s, d) 51.28 m/s, 376 m. e)
Ejemplo de aplicacin:
h
0 0
2. Desde el pie de un plano inclinado un ngulo
por encima de la horizontal se dispara un
proyectil con una rapidez inicial y un ngulo de
lanzamiento como se muestra en la Fig. a)
Cul es alcance R, medido a lo largo del
plano?, b) Comprubese que para , la
expresin de R se reduce a la del alcance
horizontal.
0
2
00
2
0
cos
cos)(
g
senvR
3. En la figura se lanza un cuerpo hacia debajo de un plano
inclinado y choca con este a una distancia R=76.4 m si el
cuerpo sube hasta una altura mxima de 19.3 m, calcular
la v0 y el ngulo . Rta.- v0= 24.33 m/s;
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2.1.2 Movimiento parablico con:
1. Un bombardero vuela horizontalmente a
una altura de 1.2 km con una rapidez
constante de 360 km/h. a) Cunto tiempo
antes de que el avin este sobre su objeto
deber soltar la bomba?, b) Cul es la
velocidad de la bomba cuando llega a tierra?,
c) Cul es la distancia horizontal que recorre
la bomba? Rta.- a) 15.65 s, b) 183.1 m/s, c)
1565 m.
0 0
2. Un avin vuela horizontalmente a una altura de 1 km con rapidez constante de 200 km/h
deja caer una bomba la cual deber golpear a un barco que se mueve en la misma direccin
y el mismo sentido con una velocidad de 20 km/h. Compruebe que la bomba debe lanzarse
cuando la distancia horizontal entre el avin y el barco es de 715 m.
3. Se lanza horizontalmente una pelota desde la parte superior de un edificio que tiene 35 m
de alto. La pelota choca contra el piso en un punto que se encuentra a 80 m de la base del
edificio. Calcular: a) El tiempo que la pelota se encuentra en el aire, b) Su velocidad inicial, c)
Las componentes x y y de la velocidad precisamente ante de que choque contra el suelo.
Rtas.: a) 2.67 s, b) 29,9 i m/s, c) (29.9 i-26.2j) m/s
-
2.1.3
1. Una bola de nieve rueda del techo de un granero con inclinacin de 40 . El borde del techo est
a 14.0 m del suelo y la bola tiene una rapidez de 7.00 m/s al dejar el techo. Puede despreciarse la
resistencia del aire. (a) A qu distancia del borde del granero golpea la bola el piso sino golpea otra
cosa al caer ? (b) Dibuje graficas x-t, y-t, vx-t y vy-t para el movimiento de la pared (c) Un hombre
de 1.9 m de estatura est parado a 4.0 m del granero. Lo golpeara la bola?
0 0
2. La esquiadora deja la nieve a una velocidad de 11 m/s, a 23 debajo de la horizontal y aterriza
ms adelante sobre la pendiente de 55 a) Dnde y cuando aterriza?, b) Cul es su velocidad
cuando llega a la nieve? Rta..- (a) 37m, 2.1 s. (b) 26.9 m/s.
0
x
y (x,y)
R
23
55
3. Un avin vuela horizontalmente a una altura de 1 km con rapidez constante de 200 km/h deja
caer una bomba la cual deber golpear a un barco que se mueve en la misma direccin y el mismo
sentido con una velocidad de 20 km/h. Compruebe que la bomba debe lanzarse cuando la
distancia horizontal entre el avin y el barco es de 715 m.
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2.2 MOVIMIENTO CIRCULAR
-
Otro ejemplo del movimiento en 2 dimensiones.
Movimiento circular de partcula:
Si la trayectoria de un mvil es curva, la magnitud y ladireccin de su v cambian, esto implica una componente de la
a perpendicular y normal a la trayectoria.
Caractersticas del movimiento circular
1. El mdulo del vector posicin permanece constante con
respecto al eje de giro.
2. Para describir este movimiento se hace necesario 2 clases
de magnitudes lineales y angulares.
-
Anlisis del movimiento circular
1. y las velocidades instantneas en
los puntos P y Q.
2. vector incremento de velocidad.
3. y son las componentes normal y
tangencial de la .
2v
1v
v
Nv
Tv
v
Los tringulos OPQ y opq son semejantes, ya que ambos son issceles y tienen sus
lados proporcionales entre s:
1N
vv s
R
1
Nv s
v R
t
s
R
v
t
va NN
1La aceleracin normal media:
La aN instantnea en P es el valor lmite de la aN media , cuando Q tiende a P:
2
1 1 1 11lim lim
0 0
N
v v v vs sa v
R t R t R R
t t
En general, si en cualquier instante:vv 1
2
N
va
R
La aN instantnea (central o radial), es igual al cuadrado de la v dividida por el radio Rde la trayectoria circular, su direccin y sentido es hacia el centro de la circunferencia.
La aT instantnea est definida:
00
limlim
tt
td
vd
t
vaa TT
-
Posibilidades en el movimiento circular:
1. Movimiento circular uniforme:
Una partcula gira en crculo con rapidez constante. Ejemplos:
En el movimiento circular uniforme la componente aT es nula. La componente aN de la
aceleracin causa el cambio de direccin de la v.
Un auto que da vuelta a una curva de R constante con v constante. Un satlite en rbita circular. Un patinador que describe un crculo con v constante.
2.Caractersticas del movimiento circular uniforme:
La componente aT = 0 . La componente aN causa el cambio dedireccin de la v.
El movimiento es distinto al movimiento parablico, donde la g esconstante en magnitud y direccin.
La a siempre es perpendicular a la v; al cambiar la direccin desta, cambia la de la a.
La a en cada punto de la trayectoria apunta al centro del crculo.
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2. Movimiento circular no uniforme:
La v vara en magnitud y direccin:
Un carrito de montaa rusa que frena y se acelera al moverse en un lazo vertical.
Caractersticas del movimiento circular no uniforme:
La aN es perpendicular a la v, dirigida al centro de la circunferencia. La v vara en diferentes puntos. La aN es > donde la v es >. La aT es paralela a la v, tangente al crculo e igual:
La a resultante: a = aN + aT. La aT tiene la direccin de la v si la partcula est acelerada y opuesta si estdesacelerada.
En la figura se muestra la v y a para unapartcula que pasa por P de una trayectoria
curva con rapidez (a) constante (b) creciente
(c) decreciente.
td
vdaT
-
Diferencias entre el movimiento circular uniforme y no uniforme:
1. El radio de la rbita terrestre (supuesta circular) es 150 E+6
km, y la Tierra recorre esta rbita en 365 das. a) Cul es la
rapidez de la Tierra sobre su rbita en km/h?, b) Cul es la
aceleracin normal de la Tierra hacia el Sol en m/s2?.Rta.: a)
107589 km/h, b) 0.00594 m/s2.
2. Un estudiante hace girar una pelota sujeta al extremo de una cuerda que tiene 0.6 m
de longitud en una circunferencia vertical. La rapidez de la pelota es de 4.3 m/s en un
punto ms alto y 6.5 m/s en su punto ms bajo. Calcular la aceleracin de la pelota. (a)
en su punto ms alto, (b) en su punto ms bajo. Resp. (a) -30.8 j m/s2 (b) 70.4 j m/s2.
2.2.1 Ejemplos de aplicacin del Movimiento circular uniforme
a
-
2.2.2 Ejemplo de aplicacin no uniforme:
1. En la figura se representa la a total de una partcula que se
mueve en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj de
una circunferencia de r = 2.5 m, y en un instante dado. En ese
instante, calcular: a) La aN. b) Su aT. c) La rapidez de la partcula.
Rta..- ; b) ; c) .
2. Un nio hace girar una piedra en un crculo
horizontal de 2 m de radio a una altura sobre el piso
de 1.5 m, por medio de una cuerda. La cuerda se
rompe y la piedra vuela horizontalmente, chocando
con el piso a 10 m de distancia. Cul es la aNmientras se encuentraba en movimiento circular ?
Rta.: 163.33 m/s
3. Un pndulo que se balancea en un arco circular bajo la
influencia de la gravedad, como se muestra en la figura tiene
ambos componentes de la aceleracin aN y aT (a) Si el pndulo
tiene una rapidez de 2,7 m/s cuando la cuerda hace un ngulo de
15 con la vertical, cules son las magnitudes de las
componentes de la aceleracin en este momento? (b) Cundo
llega la aN mxima? Cul es el valor de la aT en este momento?
Resp. (a) aT = 2.5 m/s2, aN = 9.8 m/s
2, (b) en el punto ms bajo del
vaivn, aT = 0.