XII Olimpíada Nacional de MatemáticaSegunda Instancia

Segundo NivelSetiembre de 1997

No se puede utilizar calculadora.No se pueden consultar libros ni apuntes.Tiempo máximo de la prueba: 3 horas

PROBLEMA 1 ABCD es un cuadrado, M es el punto medio del lado AB, N es el punto medio del lado DC.

Comparar el área del triángulo BMN con la del cuadrado ABCD.

PROBLEMA 2 En una mesa hay 5 cartas, cada una tiene de un lado un número natural y del otro lado una letra.

Las cartas están colocadas así: P Q 3 4 6

Juan afirma: " Cualquier carta que tenga de un lado una vocal, tiene del otro lado un número par. "

Pedro demostró que Juan mentía dando vuelta sólo una carta.¿ Cuál era y por qué ?

PROBLEMA 3¿ Cuántos triángulos con lados de longitud entera pueden construirse si

ninguno de sus lados tiene longitud mayor que 6 ?

PROBLEMA 4En la época de la colonia llegaron al Río de la Plata 6 barcos españoles

que traían colonizadores al nuevo mundo. Los barcos se llamaban: Espíritu Santo, Infanta Carlota, Española, San Diego, Reina Isabel y Explorador.

La suma de los colonos en el Infanta Carlota y en el San Diego era igual al total de colonos en el Espíritu Santo.

El Espíritu Santo trajo un colono más que el Explorador.El San Diego transportó 5 colonos menos que el Infanta Carlota.Si el Española hubiese transportado 5 colonos más, habría traído el doble

de colonos que el Reina Isabel.El San Diego transportó 8 colonos más que el Española.El Reina Isabel trajo 50 colonos.¿ Cuántos colonos viajaron en cada nave ?

JUSTIFICAR TODAS LAS RESPUESTAS