2º unidad 7. expresiones algebraicas

Unidad 7. Expresiones algebraicas I.E.S. ANTONIO GALA

1 2º ESO

Unidad 7. Expresiones algebraicas Índice

0. Introducción.

1. Lenguaje algebraico. M

1.1 Valor numérico de una expresión algebraica. M

2. Monomios. M

2.1 Suma y resta de monomios. M

2.2 Producto y cociente de monomios. M

3. Polinomios.

4. Operaciones con polinomios.

4.1 Suma de polinomios.

4.2 Resta de polinomios.

4.3 Producto de polinomios.

5. Factor común.

6. Productos notables.

0. Introducción. Los métodos algebraicos más antiguos surgieron porque los matemáticos comenzaron a

interesarse por las operaciones que se pueden realizar con números cualesquiera y por las

propiedades de estas operaciones.

En los inicios de las matemáticas las fórmulas y las ecuaciones, así como sus soluciones, se

expresaban verbalmente. La utilización del lenguaje simbólico (por ejemplo, los signos que

representan las operaciones aritméticas o las letras para nombrar a las incógnitas) que agilizó el

cálculo y facilitó los desarrollos se introdujo muy tardíamente.

Entre los numerosos problemas aritméticos hallados en los papiros egipcios, se puede

encontrar ya alguno de tipo algebraico, como por ejemplo, la siguiente ecuación que hemos

recogido del famoso papiro de Rhind (1650 a. C.): “un montón y una séptima parte del mismo

es igual a 24”.

Esta ecuación, si se escribe en el actual lenguaje simbólico, quedaría así:

donde x expresa el “montón” al que se refiere el autor de dicho papiro.

Los babilonios tuvieron gran conocimiento de las técnicas algebraicas y los griegos, más tarde,

se valieron de la Geometría para resolver problemas algebraicos.

La palabra Álgebra tiene su origen en el título del libro Hisab al-jabr w’ al-muqabalah que fue

escrito en Bagdad hacia el año 825 por el más importante matemático musulmán de la época


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llamado al Khwarizmi. Los métodos de resolución de ecuaciones, que aparecen en este tratado,

constituyeron un enorme avance para el desarrollo posterior del Álgebra.

De la fase del álgebra retórica, en la que los razonamientos eran verbales, se pasó al Álgebra

sincopada; sincopado significa abreviado.

La notación simbólica y los signos de operaciones a los que hemos aludido anteriormente,

fueron introducidos por los matemáticos franceses Viète y Descartes en los siglos XVI y XVII.

El álgebra, actualmente, se halla presentado en toda la matemática y en la física, pues los

problemas geométricos, aritméticos o físicos se expresan de ese modo con más sencilla.

1. Lenguaje algebraico. M Las expresiones algebraicas se utilizan para traducir enunciados al lenguaje matemático.

Una expresión algebraica es una combinación de operaciones aritméticas en las que

intervienen números y letras. Las letras se denominan variables o indeterminadas y los

números coeficientes.

Ejemplos

Traduce al lenguaje algebraico los siguientes enunciados:

El triple de un número

La quinta parte de un número

Un número par

Un número impar

Dos números consecutivos x y x+1

El cuadrado de la suma de dos números ( )

La suma del cuadrado de dos números

La diferencia de dos números x – y

En el lenguaje algebraico existen normas:

- Para indicar una multiplicación en la que los factores son un número y una letra, se

suele escribir el número delante de la letra y no se pone el signo de multiplicar:

- Las divisiones se suelen escribir en forma de fracción.

Ejemplos

3·a + 4·b se escribe 3a+4b

2x:3 se expresa


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1.1 Valor numérico de una expresión algebraica. M El valor numérico de una expresión algebraica para determinados valores de las variables

es el resultado que se obtiene al sustituir las variables por su valor y realizar las

operaciones indicadas.

Ejemplos

1. Calcula la expresión algebraica de “la mitad de la suma de dos números enteros

consecutivos”

2. Calcula el valor numérico de la expresión anterior para n = 10

3. Calcula el valor numérico de 2x – 5 para x = - 1.

4. Calcula el valor numérico de 2·(a – b) para a = 4 y b = - 3

2. Monomios. M

La expresión algebraica más sencilla es la que no contiene ni sumas ni restas. Este tipo de

expresiones se denominan monomios.

Un monomio es el producto de un número por una o más indeterminadas (letras) elevadas

a exponentes naturales.

Ejemplos


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El coeficiente de un monomio es el número que multiplica a la indeterminada o

indeterminadas. La parte literal de un monomio son las indeterminadas con sus

exponentes.

El grado de un monomio es la suma de los exponentes de la parte literal. En el caso

anterior es grado es 1 + 2 = 3

Ejemplos

2.1 Suma y resta de monomios. M


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Ejemplos

2.2 Producto y cociente de monomios. M

Las partes literales se multiplican sumando los exponentes de las indeterminadas.

Ejemplos

Ejemplos

( ) ( ( ))

( )

3. Polinomios.

Un polinomio es la suma de dos o más monomios no semejantes. Cada uno de estos

monomios se llama término.

Ejemplos


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En un polinomio podemos definir los siguientes elementos:

- El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus términos.

- El monomio de mayor grado se denomina término principal, y el de grado 0, se llama

término o coeficiente independiente.

- El coeficiente del término principal se llama coeficiente principal.

A un polinomio con dos términos se le denomina binomio.

Si los términos de un polinomio están en orden creciente, o decreciente, de sus grados, se

dice que es un polinomio ordenado.

Cuando un polinomio tiene términos de todos los grados intermedios entre el término

principal y el independiente, se llama polinomio completo.

Ejemplos

Son polinomios ordenados:

Polinomio ordenado y completo:

Ejemplos

( )

( )

( )

Término principal

Coeficiente principal - 3 6 - 1

Término independiente

- 9 0 0

Grado 5 3 4

Número de términos 3 3 2

El valor numérico de un polinomio, para x = a, es el número que resulta al sustituir la

variable o indeterminada x por el valor de a.


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Ejemplos

4. Operaciones con polinomios. 4.1 Suma de polinomios.

Para sumar dos polinomios, sumamos sus monomios semejantes y dejamos indicadas las

sumas de los monomios no semejantes.

Ejemplo

4.2 Resta de polinomios.

El opuesto de un polinomio es el que se obtiene de cambiar los signos a todos sus

coeficientes.

Ejemplo

Para restar dos polinomios, se suma al primero el opuesto del segundo.

Ejemplo

( ) ( ) ( ) ( ( ))


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4.3. Producto de polinomios.

Ejemplos

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio del primer polinomio por

cada uno de los monomios del otro y después se suman los términos semejantes.

Ejemplo

5. Factor común. Para extraer un factor de un polinomio se deben realizar los siguientes pasos:

1. Comprobar si los coeficientes de todos los monomios tienen algún factor en común.

En ese caso, ese factor es el que se saca como factor común.

2. En cuanto a las partes literales, se extrae la potencia de menor exponente.


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Ejemplos

1)

2)

( )

En este caso, los coeficientes son 12, - 6 y – 10. Todos son divisibles por 2. Así que 2 se

extrae como factor común.

La parte literal de menor exponente es x2. También se extrae como factor común.

3)

6. Productos notables.

El cuadrado de la suma de dos monomios es igual al cuadrado del primero más el doble

producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo:

( )

El cuadrado de la diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primero menos

el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo:

( )


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Estas dos fórmulas se pueden obtener gráficamente mediante el área de las siguientes

figuras:

La suma de dos monomios por su diferencia es igual al cuadrado del primero menos el

cuadrado del segundo monomio.

( ) ( )

( ) ( )

Ejemplos


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