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Prof. Iván Villanueva pág. 1

TEORÍA DE CONJUNTOS I

OBJETIVOS Luego del estudio del presente capítulo, el alumno deberá estar en la capacidad de:

– Denotar a un conjunto y sus elementos. – Relacionar y utilizar los símbolos de pertenencia e inclusión de conjuntos. – Clasificar correctamente los conjuntos

– Reconocer al subconjunto y Conjunto Potencia de un Conjunto. INTRODUCCIÓN Desde los albores de la humanidad el hombre tuvo la necesidad de agrupar los conceptos u objetos a los que se refería y por ello la Teoría de Conjuntos es el aporte más importante del estudio de la matemática. El aporte más importante a la teoría de la matemática lo desarrollo el matemático George Cantor (1845 – 1918) de nacionalidad alemana pero nacido en San Petersburgo, Rusia y por ello es considerado el padre de dicha teoría. Con los estudios hechos por Cantor se da inicio a la denominada matemática moderna, la cual inicia el desarrollo de todo concepto matemático a partir de la teoría de conjuntos y de la lógica matemática. IDEA DE CONJUNTO En matemática no se da una definición exacta de la palabra conjunto sino una idea intuitiva al respecto y se la relaciona con las palabras tales como colección o agrupación de objetos físicos o abstractos tales como letras, números, personas, símbolos, ideas, creencias, etc. ¿Para qué nos sirve agrupar objetos? Agrupar objetos con características comunes facilita su estudio. Por ejemplo, los científicos agrupan a los planetas del sistema solar según su tamaño, su composición de gases, etc.

NOTACIÓN DE UN CONJUNTO Un conjunto se denota con una letra mayúscula y se encierran entre llaves {} a sus elementos. Si

los elementos son letras o palabras, éstas se escriben en minúsculas y se separan por comas (,); y si los elementos son números, éstos van separados por puntos y comas (;). Ejemplos: A a; b; d; f ; h; m

B 2; 6; 12; 25; 37

C Inés ; Pilar ; Carla ; Andrea

D Libertad; Bondad; Honestidad

CARDINAL DE UN CONJUNTO

Es el número de elementos que tiene el conjunto; así:

A a; b; c; d; m; y n A 6

B 2; 7; 5; 7; 9; 2 n B 4

C 4; 4; 4; 4; 4; n C 1

D 12; 1; 2; 12; 2; 2; 12 n D 3 RELACIÓN DE PERTENENCIA: Decimos que un elemento pertenece () a un conjunto si forma parte de él. Ejemplo: Si A a; c; f ; n; x

a A b A c A d A

m A n A x A y A DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Un Conjunto queda determinado de dos maneras: Por Extensión.- Cuando se indica explícitamente los elementos de un conjunto. Ejemplos:

A 2; 3; 6; 8; 10; 12

B Lunes; M artes; M iércoles;....,Domingo

Por Compresión.- Cuando se indica una característica o cualidad común de los elementos Ejemplos: A 2x / x ; 1 x 7

B x / x es un día de la semana

Un conjunto es una agrupación o colección de objetos (elementos) que poseen características comunes o que se seleccionan según algún criterio.

Aritmética – 2º de Secundaria Teoría de Conjuntos I


RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Inclusión ( ) Un conjunto A esta incluido en un conjunto B, si todos los elementos del conjunto A pertenecen también al conjunto B. Dicha inclusión se simboliza A B y se define como:

A B x A x B

Ejemplo: Dado los conjuntos: A a,b,c y

B a,b,c,d,e , podemos ver gráficamente que:

NOTA: A B se puede leer como: “A está incluido o contenido en B” “A es parte de B” “A es un subconjunto de B” Comparación Dos conjuntos A y B son comparables si es posible establecer una relación de inclusión entre ellos:

A B ó B A . Ejemplos:

Equivalencia ( ) Un conjunto A es equivalente a un conjunto B si tienen la misma cantidad de elementos. Dicha equivalencia se denota A B y se define como:

A B n A n B

Ejemplo:

Igualdad ( ) Un conjunto A es igual a un conjunto B si ambos tienen los mismos elementos. Dicha igualdad se denota A B y se define como:

A B A B B A

Ejemplos:

Diferencia ( ) Un conjunto A es diferente de un conjunto B si al menos uno de los elemento no pertenece a ambos conjuntos. Dicha diferencia se denota A B y se define como:

A B A B B A Ejemplo:

Conjuntos Disjuntos Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Ejemplo:

CONJUNTOS ESPECIALES

Conjunto Vacío o Nulo .- Es aquel conjunto

que carece de elementos, su cardinal es cero y se representa por los símbolos:

ó { }

Ejemplos:

A

D x / x es un V irrey Actual del P erú

E x / 17 x 18



Conjunto Unitario o Singleton.- Es aquel conjunto que posee un solo elemento. Ejemplos: A 4

B 6; 6; 6

D 1; 2; 3

Conjunto Finito.- Es aquel conjunto que tiene una limitada cantidad de elementos.

Ejemplos:

A 4; 7; 13; 40; 87

B x / x es un número de 2 cifras

C a; o; u; e; i

2F x / x 9x 52 0

Conjunto Infinito.- Es aquel conjunto que tiene una ilimitada cantidad de elementos. Ejemplos:

A 2; 4; 6; 8;..............

C x / x es un número primo

D x / x es una estrella del firmamento

Conjunto Universal.- Es un conjunto de referencia que agrupa a otros conjuntos según alguna característica general. El conjunto Universal se denota U .

Ejemplo: Para los conjuntos A 2;4;6;8 y

B 1;3;5 un conjunto universal es:

U x / x x 9 NOTA: Un conjunto universal no es único y su elección depende de una situación en particular. Conjunto de Conjuntos.- Es aquel conjunto que tiene por elementos a otros conjuntos. También se llama familia de conjuntos. Ejemplo:

A 2;4;6;8 ; 1 ; 10;20

Subconjunto De Un Conjunto Se dice que A es un subconjunto de B, si y solo si todos los elementos de A, son también elementos de B. Es decir:

A es subconjunto de B sí A B . Ejemplo 1: Dados A 1,2,3 y B 2; 1;0;1,2,3 , el

conjunto A es subconjunto de B porque A B . OBSERVACIONES El conjunto vacío es subconjunto de cualquier

conjunto, así: A

Todo conjunto es subconjunto de sí mismo, así:

A A Ejemplo 2 Halle todos los subconjuntos del conjunto

A 1,2,6

Solución:

Subconjuntos Propios Subconjunto

Impropio

,{1},{2},{6},{1; 2},{1;6},{2;6}, {1; 2;6}

**El subconjunto impropio de A es el mismo A Conjunto Potencia (P(A)) Es aquel conjunto que tiene por elementos a todos los subconjuntos de un conjunto dado. Así para un conjunto A su conjunto potencia se denota P(A).

Ejemplo: Halle el conjunto Potencia de

A 1,2,3 .

Solución: AP ; 1 ; 2 ; 3 ; 1; 2 ; 1;3 ; 2;3 ; A

Fórmulas:

n A

Cardinal de P(A)

Número de2

subconjuntos de A

n ANúmero de subconjuntos

2 1Propios de A



I. Problemas Desarrollados

1. Si para dos conjuntos A y B se cumple que

n(P(A)) 32 y n(P(B)) 64 , halle n(A) n(B) .

Solución: Se sabe que:

n(A)n(P(A)) 2 32

n( A) 52 2 n(A) 5

n(B)n(P(B)) 2 64

n(B) 62 2 n(B) 6

2. Demostrar que para todo conjunto A se

cumple: i) A A ii) C B y B A C A iii) B A y A B A=B

Demostración: i) Por definición de inclusión tenemos esto es

x A x A . ii) Por hipótesis:

x C x B x A, C A iii) Por hipótesis:

x B x A y x A x B Es decir, todos los elementos de A son

elementos de B y todos los elementos de B son elementos de A por lo tanto A=B.

II. Problemas a Desarrollar

1. Dados A a,b,c y 4 2B 10,2 ,3 ;x , halle

n(P(A)) n(P(B)) Solución:

2. Demostrar que si A y B son conjuntos,

entonces: A B A B

Demostración:

1. Calcular la suma de los elementos de P en:

2P x 2 / x 1 x 5

Rpta:....................................................... 2. Sea el conjunto:

M , b;5 , aa; 4

¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

• bM • b;5 M

• 4M • 4 M

• a M • b;5 M

Rpta:....................................................... 3. Hallar la suma de todos los elementos del

conjunto:

2B x / x x 5

Rpta:.......................................................



4. Hallar el cardinal del conjunto A:

A x / 3 x 15

Rpta:....................................................... 5. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto A y el

conjunto B? Indicar la suma:

A 1; 2; 3; 4

B 3;4; 5 ;6

Rpta:........................................................ 6. Hallar el cardinal del conjunto:

A x / x es una letra de IDENTIDAD

Rpta:.................................................................. 7. Indique cuántos elementos tiene el siguiente

conjunto:

3n 1W / 2 n 10

2

Rpta:..................................................................

8. De los siguientes conjuntos, cuales son finitos:

A 2; 2; 2;....; 2

B a;b;c;d;...; z y

C x / x es un estudiante del colegio

Rpta:...........................................................

9. Si los conjuntos M 2a;6 y P 4b;4

son unitarios. ¿Cuántos elementos tiene

E 7b; 2a 1;ab;3a 1;a b ?

Rpta:......................................................... 10. Dado el conjunto unitario:

A a b; a+2b-3;12

Calcular: 2 2a b Rpta:.........................................................

11. Si el conjunto 2P x ; 16; y+9 es unitario,

calcular x 3y .

Rpta:......................................................... 12. Calcular ab si los conjuntos A y B son iguales

A 3a 8;44

aB 10; b -20

Rpta:......................................................... 13. Si el siguiente conjunto es unitario:

F 6;a b;b c;a c

Calcular: 2 3 4(a b c ) Rpta:......................................................... 14. Dado: A 3; 4;5 ;5 ¿Qué afirmación es

incorrecta?

I. 3 A II. 3 A III. 5 A

IV. O A V. 4;5 A

Rpta:......................................................... 15. Dado el conjunto:

A 4;5;7;9;11;16

B 7;8;9;10

C 7;9;16

Indique cuántas afirmaciones son verdaderas. I. A II. B A III. C A IV. n(B C) 2

Rpta:......................................................... 16. Dado el conjunto:

E (x 3) / x z 3 x 3

Calcula: n P(E)

Rpta:.........................................................



17. Dado el conjunto:

M T, O, D, O, L, O, P, U, E, D, O

Calcula: n P(M)

Rpta:......................................................... 18. El conjunto E tiene 15 sub conjuntos propios.

Calcular el cardinal de E. Rpta:......................................................... 19. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto A,

sabiendo que tiene 96 subconjuntos más que el conjunto B, el cual posee 5 elementos?

Rpta:.........................................................

20. Si:

n P(A) 64

n P(B) 128

n P(A B) 4

Calcula: n P(A B)

Rpta:.........................................................

1. Calcular la suma de los elementos de M en:

2

M x -1/x z 1 x 7

A) 132 B) 131 C) 129 D) 133 E) 134 2. Hallar el cardinal del conjunto:

E x/x es una letra de la palabra MATEMATICA

A) 6 B) 10 C) 8 D) 4 E) 7 3. Si los conjuntos A y B son iguales:

A 24; a+3

2B 8; b -1

Calcular a.b A) 120 B) 16 C) 30

D) 120 E) 25 4. Dado el conjunto unitario

A m n;m 3n 6;9

Calcular: m 2n3

A) 12 B) 4 C) 3 D) 6 E) 9 5. Dado el conjunto unitario

S (x 1) / x z 1 x 8

Calcular: n P(S)

A) 128 B) 256 C) 32 D) 64 E) 512


TEORÍA DE CONJUNTOS II

OBJETIVOS

– Conocer y realizar correctamente las operaciones entre conjuntos. – Representar a los conjuntos mediante diversos diagramas. – Aplicar las leyes del álgebra de conjuntos. – Resolver problemas de la vida diaria con los diagramas sobre conjuntos.

INTRODUCCIÓN Los Diagramas De Venn – Euler. El lógico y matemático británico, John Venn (1834 – 1923) es reconocido por su método de representación gráfica de las proposiciones (Según su cualidad y cantidad) como también los silogismos que se puedan plantear con estas proposiciones. Los diagramas de Venn, nos permiten una comprobación de verdad o falsedad de un silogismo. Entre sus obras destacan “lógica simbólica y los principios de la lógica empírica o inductiva”. Así también fue importante la participación del Euler cuyo aporte especialmente matemático (cantidad de elementos de un conjunto o varios conjuntos) para la esquematización de las representaciones de algunas operaciones entre los conjuntos en mención. Cada conjunto de elementos se encuentra encerrados dentro de una circunferencia, elipse, triángulo o cualquier figura geométrica cerrada, estos a su vez están dentro de otra figura mayor, lo que representa al conjunto que lleva a todos los elementos del mismo género, el cual toman el nombre del conjunto universal, que por convención se representa con un rectángulo. Se puede pues, dibujar cada elemento del conjunto o bien solo se puede indicar su existencia y deduciéndose la cantidad de dichos elementos para tal conjunto. Por esto, los diagramas de Venn-Euler son una buena herramienta que nos permite con mayor facilidad realizar las operaciones entre los diversos compuestos del universo. DIAGRAMAS SOBRE CONJUNTOS 1. Diagramas de Venn-Euler.- Son figuras

geométricas planas y cerradas, que se utilizan para poder representar gráficamente a los conjuntos.

Ejemplo 1: Sea A 2,4,5,9 / 3

Se usa especialmente el rectángulo para representar al conjunto universal Ejemplo 2: Sean los conjuntos:

A 2;4;6; 8;10 B 1; 2;3;4;5;6

U 1; 2; 3;4;5;6;7;8;9;10

2. Diagramas Lineales.- Son representaciones

de 2 o más conjuntos donde los conjuntos que se encuentran debajo serán subconjuntos de los de los que se encuentra arriba, así:

AA U

2 4 13 9

5

A B U

1 3

5

2 4 8 10

7 9

6

A

B

A

B

Significó que B Adonde al representarlospor los diagramas de Venn:

Aritmética – 2º de Secundaria Teoría de Conjuntos II


3. Diagramas de Carroll.- Son diagramas que permiten dividir conjuntos según características particulares de interés, formando dichas divisiones conjuntos disjuntos. Por ejemplo, un conjunto de personas se puede dividir en un conjunto de varones y en un conjunto de mujeres:

A su vez, se podría hacer otra división más considerando a quienes usan y no usan anteojos.

Ejemplo de Aplicación. En una fiesta hay 80 personas de las cuales 30 son varones. Si 25 mujeres fuman y 40 personas no fuman. ¿Cuantos varones fuman? Solución: Haciendo un diagrama de Carroll:

Rpta: Hay 15 varones que fuman OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Unión ( ) La unión o reunión de 2 conjuntos es otro conjunto que tiene por elementos tanto a los elementos de A, de B o ambos.

A B x / x A x B

Ejemplo:

En forma general la unión A B se grafica como:

Y se cumple que:

A B A B A Bn n n n

Propiedades: 1. Conmutativa: A B B A

2. Asociativa: A B C A B C

3. Idempotencia: A A A 4. Ley del Elemento Neutro: A A 5. A U U Intersección ( ) La intersección de 2 conjuntos A y B es otro conjunto que tiene por elementos, a los elementos de A y de B a la vez.

A B x / x A x B

Ejemplo:

En forma general la intersección A B se grafica como:

Propiedades: 1. Conmutativa: A B B A

2. Asociativa: A B C A B C

3. Idempotencia: A A A 4. Ley del elemento Neutro: A 5. A U A Diferencia (-) La Diferencia de 2 conjuntos A y B es otro conjunto que tiene por elementos a los elementos que pertenecen al conjunto A pero no al conjunto B.

A B x / x A x B

V=30

x

M=50U=80 personas

F=40 Luego:

15

25

25 40N F

25 40

15x

x

A={2;3;5}B={1;3;5;9} A B 1;2;3;5;9

A BU

A={2;3;5}B={1;3;5;9} A B 3;5

A B



Ejemplo:

En forma general la diferencia A – B se grafica como:

Propiedades 1. La diferencia no es conmutativa: A B B A 2. La diferencia no es asociativa:

A B C A B C

3. A A 4. B – A = B A Diferencia Simétrica

La Diferencia simétrica de 2 conjuntos A y B es otro conjunto que tiene por elementos a los elementos de la reunión de las dos diferencias A – B y B – A, es decir:

A B A B B A

Ejemplo:

En forma general la diferencia simétrica A B se grafica como:

Propiedades 1. A B A B B A

2. A B B A 3. A B C A B C

Complemento Dado un conjunto universal U y un conjunto A, tal que A U , el complemento de dicho conjunto A se denota como A’ o Ac y se define como:

cA x / x x A

Gráficamente:

Ejemplo:

A 2,3,5,7,9

1,2,3,4,5,6,7,8,9

Operaciones en Casos Particulares 1. Si B A las operaciones de unión

intersección, diferencia y diferencia simétrica son como se muestran en las figuras:

A B A A B A

A B

A B (A B) (B A) A B (A B) 2. Si A y B son conjuntos disjuntos, las

operaciones de unión intersección, diferencia y diferencia simétrica son como se muestran en las figuras:

A B A A B

A B A A B A B

A={2;3;5}B={1;3;5;9}

A B

A={2;3;5}B={1;3;5;9}

A BU

A 'A

UA

B

AB

AB

AB

U

A BU

A B

A B A BU

A B 2

B A 1;9

A B 2

B A 1;9

A' 1;4;6;8



I. Problema Desarrollado Demostrar que si A y B son conjuntos entonces: (A B)' A ' B '

Demostración: x (A B)' x (A B) x A x B

x A' x B ' x (A ' B ')

II. Problema a Desarrollar Demostrar que x= x

Demostración:

1. Si sabemos que:

n(A B) 70 n(A–B)= 34

n(A) = 50 Calcular n(ADB)

Rpta:............................................................. 2. Dados:

A 0;1; 2; 3;4

B 1; 2;3

Hallar el cardinal de (A B) (A B)

Rpta:.............................................................

3. Dados los conjuntos M y N se sabe:

n(M)=70; n(N)=50; n(M N ) 20 Calcular n(M N )

Rpta:.............................................................

4. Dados los conjuntos A y B; donde:

n(A B) 76 n(A–B)=24 n(B–A)=39 Hallar n(A)+n(B).

Rpta:............................................................. 5. Relaciona:

A. (A ' B ')' C. (A ' B')' (A B)

B. (A B ') (B ' A)

Rpta:.............................................................

6. Dados los siguientes conjuntos:

W 1; 2;3;4;5;7;8

n 1A / n w y n es impar

2

nB / n w y n es par2

Determine: A B

Rpta:............................................................. 7. Si:

A B 5;6;8;10;11;12;13

A B 8;12 A B 5;6

Calcule: n(A)+n(B)+n(B–A).

Rpta:............................................................. 8. Calcule el número cardinal de A B C ,

siendo:

B x 3 / x , 5<x<18

C 2x 1 / x , 1<x<20

Rpta:............................................................. 9. Si B y C son conjuntos disjuntos. Además B

está incluido en A. Calcule n(B) sabiendo que: • n(A C) 3 • n(A) 18 • n(A C) 24 • n(B C) 13 Rpta:............................................................. 10. Si:

A 2; 4;6;8;10

B x / x es un divisor positivo de 48

C x / x es un múltiplo de 4

Calcule: n (B C) A

Rpta:.............................................................

A B A B



11. Si 1; 2; 3; 4;5;....; 200 y

A n / n es divisor de 625

B m / m es divisor de 155

Calcule: n (A B)'

Rpta:............................................................. 12. Indique verdadero (V) o falso (F) según

corresponda: I. Si n(A B) n(A B) A B II. Si A B entonces n(A B) n(B) III. Si A–B=� entonces n(A B) n(A) Rpta:............................................................. 13. Si: n P(A B) 1024

y n(A)=3, calcular

n(B–A). Rpta:............................................................. 14. Si: n(A)= 15, n(B)=9 y n(A’)=30. Calcule:

n(B´)+n(B–A). Rpta:............................................................. 15. Si A 2; 4;6;8;10;12 y

B 6; 8;10;14;16;18 , hallar la suma de

todos los elementos de ADB Rpta:............................................................. 16. Si:

+A x / x ; x<7

+B x / x ; 3<x 12

Hallar la suma de los elementos de (A B)'

Rpta:.............................................................

17. Si:

A x / x ; 2<x 7

B x / x ; 4<x 8

Determine por extensión el conjunto

Rpta:.............................................................

18. Si A 4;5;6 , B 6;7 , C 3;5;7;9 ,

cuántos elementos tiene: E (A B) (A C)

Rpta:.............................................................

19. Si A 1; 2; 3 , B 2; x;4

y A B 2; x

calcule la suma de los cuadrados de los valores que puede tomar “x”.

Rpta:.............................................................

20. Sean los conjuntos:

A 1; 2;3;4 B 2;4;6 C 2; 3;4

Hallar el número de elementos que tiene “E” si: E (A B) (A C) (B C) (B A)

Rpta:.............................................................

1. Si A 1;3;5;7;9;11;13

y

B 7;9;11;15;18;21 , halle la suma de todos

los elementos de A–B. A) 21 B) 35 C) 42 D) 22 E) 33 2. Si A x/x ; 0 <x 5 y

B x/x ; 2 x 9 , determine por

extensión el conjunto AB. A) A B 1;7;8

B) A B 1; 2; 3;4

C) A B 1;6;7;8 D) A B 0;1;6;7;8

E) A B 0;1; 2;8;9

3. Si sabemos que ( 21)n A , ( ) 18n B y

5( )n A B , calcular ( )n A B .

A) 21 B) 32 C) 35 D) 30 E) 25 4. Si: 1; 2; 3;4;....;100

A x / x es un divisor de 80

B y / y es un divisor de 770

Calcular: n A B

A) 16 B) 14 C) 15 D) 13 E) 12 5. Si n P(A B) 512

y n(A)=5

Calcular: n B A

A) 5 B) 3 C) 2 D) 4 E) 6


TEORÍA DE CONJUNTOS III

OBJETIVOS

– Recordar los saberes aprendidos en los temas anteriores y aplicar estos en la resolución de problemas.

– Interpretar correctamente cada región de los diagramas sobre conjuntos. INTRODUCCIÓN: Ejercicio de Interpretación En el diagrama que colocamos a continuación, se han volcado los datos obtenidos en una encuesta, realizada a personas, donde se les preguntó si tomaban té, café o chocolate. Los números que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las diversas formas posibles: las tres bebidas, sólo té, y chocolate pero no café, etc.

En base a estos datos responderemos a las siguientes preguntas: 1. ¿Cuántas personas fueron encuestadas?

Rpta:...............................................................

2. ¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas tres bebidas? Rpta:...............................................................

3. ¿Cuántas personas tomaban té? Rpta:...............................................................

4. ¿Cuántas personas tomaban sólo dos de esas tres bebidas? Rpta:...............................................................

5. ¿Cuántas personas tomaban exactamente dos de esas tres bebidas? Rpta:...............................................................

6. ¿Cuántas personas tomaban menos de dos de esas tres bebidas? Rpta:...............................................................

7. ¿Cuántas personas tomaban exactamente una de esas dos bebidas?

Rpta:...............................................................

8. ¿Cuántas personas tomaban sólo chocolate? Rpta:...............................................................

9. ¿Cuántas personas tomaban café? Rpta:...............................................................

10. ¿Cuántas personas no tomaban té? Rpta:...............................................................

11. ¿Cuántas personas tomaban las tres bebidas? Rpta:...............................................................

12. ¿Cuántas personas no tomaban las tres bebidas? Rpta:...............................................................

13. ¿Cuántas personas no tomaban ninguna de esas tres bebidas? Rpta:...............................................................

A

B

C

D

31

A B65

47C

22

U Conjunto de Personas que toman té

Conjunto de Personas que toman café

Conjunto de Personas que toman chocolate

Conjunto Universal.

Aritmética – 2º de Secundaria Teoría de Conjuntos III


14. ¿Cuántas personas no tomaban ni té ni café? Rpta:...............................................................

15. ¿Cuántas personas tomaban té y café? Rpta:...............................................................

16. ¿Cuántas personas tomaban té y café? Rpta:...............................................................

17. ¿Cuántas personas tomaban té y café pero no chocolate? Rpta:...............................................................

18. ¿Cuántas personas tomaban chocolate y café? Rpta:...............................................................

I. Problema desarrollado 1. Sea E y F conjuntos, demostrar que: E \ F= F \ E E = F Demostración: Como:

E F' = E F ..... (1) Luego:

E \ F=F \ E E F' = F E'

F E F' = F F E' = F E' F E.....(2)

de 1 y 2 : E = F

II. Demostrar que:

Si A y U son conjuntos tales que, entonces:A U

i) (A’)’ = A ii) = U iii) U’=

1. José durante el mes de Octubre come 20 días

naranjas y 17 días manzanas. ¿Cuántos días come ambas frutas? Rpta:.......................................................

2. De 100 alumnos se conoce que:

- 60 estudian física - 40 estudian química - 10 no estudian estos cursos. ¿Cuántos estudian ambos cursos?

Rpta:.......................................................

3. De un total de 60 cinéfilos, se sabe que 40 gustan de películas de acción y 32 de película de terror. ¿Cuántos gustan de ambos géneros?

Rpta:.......................................................

4. Una persona come huevos y/o tocino en su desayuno cada mañana durante el mes de enero. Si come 25 mañanas tocino y 18 mañanas come huevo. ¿Cuántas mañanas comió huevos y tocino? Rpta:.......................................................

5. Aquiles tomó avena y/o café en su desayuno cada mañana durante un mes de verano, que posee el menor número de días en el año 2000; si tomó avena 23 mañanas y 17 mañanas tomó café. ¿Cuántos días tomó avena y café? Rpta:.......................................................

E E = F E

E F = F E’E E F’ = F E E



6. En un grupo de 55 personas, 25 hablan inglés, 32 francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan 2 de estos idiomas? Rpta:.......................................................

7. De 60 estudiantes en un instituto de idiomas 20 estudian solo inglés; 10 estudian inglés y francés; 25 estudian francés solamente. ¿Cuántos estudian otros idiomas, pero no los mencionados? Rpta:.......................................................

8. De un grupo de 60 personas se sabe que 25 de ellas no estudian ni trabajan; 20 personas estudian y 9 personas estudian y trabajan. ¿Cuántas de ellas realizan sólo una de las dos actividades? Rpta:.......................................................

9. De un conjunto de 100 personas, se observó que 65 de ellos no juegan fútbol, 58 no juegan volley y 63 no juegan basket. Si 30 practican 2 deportes y ningún alumno practica 3 deportes, ¿Cuántas personas no practican ninguno de estos tres deportes? Rpta:.......................................................

10. En un aula de 60 alumnos, 20 aprobaron sólo literatura, 30 aprobaron literatura y aritmética. ¿Cuántos alumnos aprobaron sólo aritmética? (todos los alumnos aprueban al menos uno de los cursos mencionados). Rpta:.......................................................

11. Durante todo el mes de octubre un alumno estuvo preparándose en Aritmética y Álgebra, 20 días estudió aritmética y 16 días Álgebra. Si el 1ro. de octubre fue domingo y todos los domingos descansó. ¿En cuántos días estudió ambos cursos? Rpta:.......................................................

12. De 150 personas que gustan de los jugos de fresa; naranja y piña se sabe que 50 gustan de un jugo solamente; 60 gustan exactamente de 2 de estos jugos y 20 de otros pero no los mencionados. ¿Cuántos gustan de los tres a la vez?

Rpta:.......................................................

13. En un salón de 40 alumnos, a 289 les gusta el curso de Aritmética y a 10 el curso de Historia. Si a 5 no les gusta ninguno de estos cursos. ¿A cuántos alumnos les gusta los dos cursos? Rpta:.......................................................

14. En una encuesta realizada en el colegio se sabe que al 76% del alumnado le gusta la causa y al 84% la ensalada rusa, si al 8% no le agrada ninguna de estas entradas. ¿Qué porcentaje de los alumnos gusta sólo de causa? Rpta:.......................................................

15. En un aula hay 60 alumnos de los cuales a 7 no le gusta ni Geometría ni Aritmética y a 35 le gusta sólo Aritmética. ¿A cuántos les gusta sólo Geometría si a los que le gusta ambos cursos son 10? Rpta:.......................................................

16. De 180 alumnos que les gustan los cursos de Aritmética; Álgebra y Física, se supo que 28 gustan Aritmética pero no de Álgebra; 20 gustan de Álgebra pero no de Física; 80 gustan de Física pero no de aritmética. ¿A cuántos les gusta los tres cursos mencionados? Rpta:.......................................................

17. De una muestra recogida a 92 turistas, se determinó lo siguiente: 30 eran africanos; 40 europeos y 50 eran músicos. De estos últimos 24 eran africanos y 16 eran europeos. ¿Cuántos de los que no son europeos, no eran africanos, ni músicos? Rpta:.......................................................

18. De 32 personas se conoce:

- 4 mujeres tienen 16 años - 12 mujeres no tienen 17 años - 14 mujeres no tienen 16 años - 9 varones no tienen 16 ni 17 años ¿Cuántos varones tienen 17 ó 16 años?

Rpta:.......................................................



19. Si de 100 postulantes, se sabe que postularon 56 a cada universidad según el gráfico. ¿Cuántos se presentaron sólo a la UNI?

Rpta:.......................................................

1. De 80 alumnos se conoce que: - 54 estudian arte - 36 estudian manualidades - 20 estudian ambos cursos ¿Cuántos no estudian estos cursos? A) 12 B) 15 C) 21 D) 10 E) 20 2. En un grupo de 66 personas, 30 toman café,

18 toman té, 28 toman leche y 2 las tres bebidas. ¿Cuántas personas del grupo toman solo 2 de estas bebidas?

A) 6 B) 4 C) 7 D) 5 E) 8 3. En el gráfico:

Calcula el cardinal de A) 28 B) 18 C) 36 D) 54 E) 42 4. En una fiesta hay 50 asistentes de los cuales a

8 no les gusta ni reggae ni salsa y a 28 les gusta sólo salsa. ¿A cuántos les gusta sólo reggae, si a los que les gustan ambos ritmos son 7?

A) 7 B) 6 C) 8 D) 12 E) 15 5. En una sección del colegio, el número de

alumnos que viene sólo en la mañana es el triple de los que vienen tanto en la mañana como en la tarde y la mitad de los que vienen solo en la tarde. Si en total son 70 alumnos. ¿Cuántos sólo vienen en la mañana?

A) 10 B) 30 C) 15 D) 12 E) 20

UNI UNMSM

UNFV4x

2x 3x

x

10 x 3x

100

A B

x

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