FISICA I INGENIERIA

Ing. Ral Mendoza Garca

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Anlisis de grficas del movimiento mecnico

Cuando el movimiento de una partcula es errtico o variable, su posicin, velocidad y

aceleracin no pueden describirse mediante una sola funcin matemtica continua a

lo largo de toda la trayectoria. En su lugar, se requerir una serie de funciones para

especificar el movimiento en diferentes intervalos. Por eso, conviene representar el

movimiento como una grfica. Si se puede trazar una grfica del movimiento que

relacione dos de las variables , , , entonces esta grfica puede utilizarse para

construir grficas subsecuentes que relacionen otras dos variables, puesto que las

variables estn relacionadas por las relaciones diferenciales =

, =

=

. Con frecuencia ocurren varias situaciones.

Ejemplo 1.

Considere la partcula que se mueve en una lnea recta y suponga que su posicin est

definida por la ecuacin

= 6

Donde se expresa en segundos y en metros. La velocidad de en cualquier tiempo

se obtiene al diferenciar con respecto a

=

= 12 3

La aceleracin se obtiene al diferenciar otra vez con respecto a :

=

= 12 6

La coordenada de la posicin, la velocidad y la aceleracin se han graficado contra en

la figura. Las curvas obtenidas se conocen como curvas de movimiento. Recurdese,

sin embargo, que la partcula no se mueve a lo largo de ninguna de estas curvas; la

partcula se mueve en una lnea recta. Puesto que la derivada de una funcin mide la

pendiente de la curva correspondiente, la pendiente de la curva en cualquier

tiempo dado es igual al valor de en ese tiempo y la pendiente de la curva es

igual al valor de . Puesto que = 0 en = 2, la pendiente de la curva debe

ser cero en t = 2s; la velocidad alcanza un mximo en este instante. Adems, puesto

que = 0 en = 0 y = 4 la tangente a la curva debe ser horizontal para

ambos de estos valores de .

Un estudio de las tres curvas de movimiento de la figura muestra que el movimiento de

la partcula desde t = 0 hasta = puede dividirse en cuatro etapas.

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1. La partcula inicia desde el origen, = 0, sin velocidad pero con una

aceleracin positiva. Bajo esta aceleracin, gana una velocidad positiva. De

= 0 a = 2, , y son todas positivas.

2. En = 2, la aceleracin es cero; la velocidad ha alcanzado su valor mximo.

De = 2 a = 4, es positiva, pero es negativa. La partcula an se

mueve en direccin positiva, pero cada vez ms lentamente; la partcula se est

desacelerando .

3. En = 4, la velocidad es cero; la coordenada de la posicin ha alcanzado su

valor mximo. A partir de ah, tanto como son negativas; la partcula se

est acelerando y se mueve en la direccin negativa con rapidez creciente.

4. En = 6, la partcula pasa por el origen, su coordenada es en este caso cero,

en tanto que la distancia total recorrida desde el principio del movimiento es

de 64 m. Para valores mayores de que 6, , y sern todas negativas. La

partcula contina movindose en la direccin negativa, alejndose de O, cada

vez ms rpido.

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Ejemplo 2.

Una bicicleta rueda a lo largo de una carretera recta de modo que la grfica de

la figura describe su posicin. Construya las grficas de y en el

intervalo 0 30

Solucin:

Grfica de .

Como = /, la grfica se determina diferenciando las ecuaciones

que definen la grfica de .

0 10 = =

= 2 pies/s

10 < 30 = (20 100) =

= 20 pies/s

Grfica de

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Como = /, la grfica se determina si se diferencian las ecuaciones

que definen las lneas de la grfica de . Esto resulta

0 10 = 2 =

= 2 pies/s2

10 < 30 = 20 =

= 0

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Ejemplo 3

El automvil de la figura arranca del reposo y viaja a lo largo de una pista recta

de modo que acelera a 10 m/s2 durante 10s y luego desacelera a 2 m/s

2. Trace

las grficas de y y determine el tiempo t necesario para detener el

automvil. Qu distancia ha recorrido el automvil?

Solucin.

Grfica de .

Como = la grfica se determina al integrar los segmentos de lnea

recta de la grfica de . Con la condicin inicial = 0 cuando = 0,

tenemos.

0 10; a = 10 m/s2

" = " 10

#

# = 10

Cuando = 10, = 10(10) = 100 m/s

Para el siguiente intervalo.

Condicin inicial # = 100 $/, # = 10

10 ; a = -2 m/s2

" = " 2

# = (2 + 120)

Tiempo t

Requerimos = 0

= (2 + 120) = 0 t = 60s

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Grfica de

Ya que = , al integrar las ecuaciones de la grfica de se obtienen

las ecuaciones correspondientes de la grfica de .

Condicin inicial = 0 cuando = 0, tenemos

0 10; = 10

" = " 10

#

# = 5

= 5(10) = 500 m

Usar esta condicin inicial para el siguiente intervalo.

10 60 = (2 + 120)

" = " (2 + 120)

)##*

500 = + 120 +(1) + 120(10),

= ( + 120 600)m

Cuando t = 60s, la posicin es

= (60) + 120(60) 600 = 3000 $

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