3. Cálculo de la tasa de interés De la ecuación (13) despejamos i :i = (S / P)1 / n - 1 (19 )

En (19) i corresponde al período de capitalización en el que se haya expresado n.Ejemplo 15. ¿A qué tasa efectiva mensual un capital de S/.10 000 se habrá convertido en un monto de S/.13 000 si dicho capital original fue colocado a 6 meses?Solución

Datos: Fórmulai = ? mensual i = (S / P)1 / n - 1 P = 10 000 i = (13 000 / 10 000) 1 / 6 - 1S = 13 000 i = 0,0446975n = 6 meses i = 4,46975 % efectivo mensual

.

4. Cálculo del número de períodos de capitalizaciónDe la ecuación (13 ) despejamos n: Log. S / P n = (20 ) Log. ( 1 + i )En la fórmula (20 ) n es el número de unidades de tiempo a la que hace referencia i. Por ejemplo, si i es mensual n es el número de meses, si i es anual n es el número de años, etc. 

Ejemplo 16. ¿En qué tiempo se duplicará un capital a una tasa efectiva del 3% mensual?

SoluciónDatos Fórmula n = ? Log. S / P Log. ( 2 / 1S = 2 n = n = P = 1 Log. ( 1 + i ) Log. ( 1 + 0,03)i = 0,03 n .= 23,44977772 / 12 = 1,954 años, n .= 23,44977772 meses

n = 23,44977772 x 30‑ = 703 días

5. Cálculo del interésPor definición el interés es la diferencia entre el monto y su capital inicial:I = S ‑ PReemplazando S en la ecuación anterior por su equivalente P (1 + i) n tenemos:I = P(1 + i) n - P I = P [ (1 + i) n - 1] ( 21 )De la ecuación (22) despejamos P, i y n 

I I 1/n Log. ( I / P + 1) P = (22); i = + 1 - 1 (23 ); n = (24) (1 + i )n -1 P Log. ( 1 + i )

Ejemplo 17. Calcule el interés compuesto generado en un trimestre por una inversión de S/.45 000, colocado a una tasa nominal del 24% anual con capitalización bimestral.Solución

 

Datos: FórmulaI = ? trimestralP = 45 000 I = P [ (1 + i )H / f - 1]i = 24% / 6 = 0,04 I = 45 000 [(1 + 0,04)3/ 2 - 1] n = 3 / 2 bimestres I = 45 000 [ (1,04)3/2 - 1] I = 2 726,82

Ejemplo 18.‑ Para ganar un interés compuesto de S/. 15 000 en un plazo de 27 días, ¿cuánto debe colocarse en una institución de crédito que paga una tasa efectiva anual del 18%?Solución

 

Datos: FórmulaP = ? P = I / [ (1 + i)n - 1]I = 15 000 P = 15 000/ [ (1,18)27 / 360 - 1]n = 27 / 360; P = 1 200 869,333i = 0,18

Ejemplo 19.‑ Calcule la tasa efectiva mensual que se cobra por la compra de una computadora cuyo precio de contado es de S/. 1 375, pero financiado sin cuota inicial y con una letra a 75 días su importe es de S/. 1 650.Solución 

Datos Fórmulai = ? I 1/n P = 1 375 i = + 1 - 1 I = 275 P n = 75 / 30 275 1/ (75 / 30) i = + 1 - 1 1375

i = 0,075653756 x 100 = 7,565375693%

Ejemplo 20. El cargo por intereses de un sobregiro bancario de S/. 225 000 ha sido de S/. 9 500. Si el banco cobra una tasa efectiva mensual del 2.5%, ¿cuánto tiempo estuvo sobregirada la cuenta?Solución

Datos: Fórmula n = ? Log. (I/P + 1)P = 225 000 n = I = 9 500 Log. (1 + i)i = 0,025 Log. (9 500 / 225 000 + 1) n = Log. ( 1,025 ) n = 1,674799976 meses; n = 50,24399929 días

5.1 Interés devengado en cualquier período capitalizableEl interés compuesto tiene un crecimiento geométrico en el cual el interés de cualquier período después del segundo es mayor que el generado en el período anterior.Si el período k comienza en el momento n‑1 y acaba en el momento n, para obtener el interés k generado en ese período, calculamos la diferencia de los intereses acumulados hasta el momento n y los intereses generados hasta el período anterior n‑1. Fórmula IK = P i ( 1 + i ) n -1 (25)

Ejemplo: 21 Alicia ahorra en una entidad financiera S/. 1 000 percibiendo una tasa nominal anual del 36% con capitalización mensual, calcule el interés que devengará ese capital en cada uno de los doce primeros meses. Compare los intereses acumulados en cada mes a interés simple y compuesto. Solución

n Pi ( 1 + i )n – 1 Interés compuesto Interés simpleIK Acumulado I I.

Acum.1 1000 x 0,03 x 1,03 1-1 30,00 30,00 30 302 1000 x 0,03 x 1,032 -1 30,90 60,90 30 603 1000 x 0,03 x 1,033 -1 31,83 92,73 30 904 1000 x 0,03 x 1 034 -1 32,72 125,51 30 1205 1000 x 0,03 x 1,035 -1 33,77 159,27 30 1506 1000 x 0,03 x 1.036 -1 34,78 194,05 30 1807 1000 x 0,03 x 1,037 -1 35,82 229,87 30 2108 1000 x 0,03 x 1,038 -1 36,90 266,77 30 2409 1000 x 0,03 x 1,039 -1 38,00 304,77 30 270

10 1000 x 0,03 x 1,0310-1 39,14 343,92 30 30011 1000 x 0,03 x 1,0311-1 40,32 384,23 30 33012 1000 x 0,03 x 1,0312-1 41,53 425,76 30 360

Plazo Banco S/. TEM Linea

Vencido hace 92 días A 9 000 5.0% Importaciones

Vencido hace 82 días B 8 000 4.0% Pagaré

Vencido hace 14 días C 4 000 4.5% Sobregiro

Por vencer dentro de 45 días D 6 000 3.0% Pagaré

Por vencer dentro de 60 días C 7 000 3.0% Letras

Por vencer dentro de 78 días A 3 000 3.5% Importaciones

6.2 Consolidación de pasivosEjemplo 23. Actualmente, la empresa Comercial FERCOM. S.A , la cual mantiene varias líneas de financiamiento con diversos bancos del Sistema Financiero; tiene los créditos vencidos y por vencer resumidos en el cuadro siguiente:

Debido a que las tasas de interés, en mora son más elevadas que para los créditos por vencer.La empresa comercial ha tramitado y obtenido del Banco E un financiamiento para consolidar y amortizar sus pasivos vencidos y por vencer a una tasa efectiva mensual del 2,8%, el cual será desembolsado dentro de 30 días. ¿Qué importe deberá solicitar la empresa al Banco E?Solución

Designando el día de hoy como el momento 0, el tiempo transcurrido de los créditos vencidos tendrán signo negativo, mientras los créditos por vencer tendrán signo positivo.X = 9 000 (1,05 122 / 30 ) + 8 000 (1.04 112 / 30 ) + 4 000 (1.045 44 / 30 ) +

6 000 (1.03-15 / 30 ) + 7 000 (1.03- 30 / 30 ) + 3 000 (1.035- 48 / 30)

X = 40,050,87

6.3 Cuotas de amortización de préstamosEjemplo 24. Calcule el importe de cada cuota creciente a pagar por un préstamo bancario de S/. 20 000 amortizable en 4 cuotas mensuales vencidas las cuales se incrementarán 5% cada mes en relación a la cuota anterior. El banco cobra una tasa efectiva mensual del 3%.Solución20 000 = X(1,03- 1) + X(1,03- 2) X(1,03-3) + X(1,03- 4)20 000 = 3,717098403 XX = 5 380,547233

Cuota Importe1. X 5380,552. X (1,05) 5649,583. X (1,05 2) 5932,064. X ( 1,05 3 ) 6228,66

6.4 Amortizaciones parciales de préstamosEjemplo 25. La empresa industrial RECICLACOM. S.A realizó un préstamo S/. 5 000 para devolverlos dentro de 180 días pagando una tasa nominal mensual del 2,5%con capitalización diaria. Si durante dicho período amortiza S/. 2 000 el día 35 y S/.1 000 el día 98, ¿cuánto deberá pagar el día 180 para cancelar su deuda: Si los abonos efectuados se procesan el mismo día Si se toma como fecha focal el día 180?

a) Procesando los abonos el mismo día del pagoDía Cálculo del valor futuro Abonos Saldos35 S35 = 5 000.00 [1 + 0,025/ 30 ] 35 = 5 147,92 2 000,00 3 147,8298 S98 = 3 147,92 [1 + 0,025/ 30] 63 = 3 317,53 1 000,00 2 317,53180 S180 = 2 310,99 [1 + 0,025 / 30] 82 = 2 481,36 2 481,36 0,00

5 481,36

b) Procesando la deuda y abonos tomando como fecha focal el día 180

5 000 ( 1 + 0,025 / 30 )180 = 5 808, 812 000 ( 1 + 0,025 / 30 )145 = (2 256,76)1 000 ( 1 + 0,025 / 30 )82 = (1 070,69)Saldo a pagar 2 481,36Total de pagos efectuados: 2 000 + 1 000 + 2 481,36 = 5 481,36A diferencia del interés simple, la ecuación de valor en el interés compuesto, en cualquier fecha focal, produce el mismo resultado.

6.4 Amortizaciones parciales de préstamosEjemplo 25.

b) Procesando la deuda y abonos tomando como fecha focal el día 180Día Cálculo del valor futuro Abonos Saldos35 S35 = 5 000.00 [1 + 0,025/ 30 ] 35 = 5 147,92 2 000,00 3 147,8298 S98 = 3 147,92 [1 + 0,025/ 30] 63 = 3 317,53 1 000,00 2 317,53180 S180 = 2 310,99 [1 + 0,025 / 30] 82 = 2 481,36 2 481,36 0,00

6.3 Cuotas de amortización de préstamosEjemplo 24. Calcule el importe de cada cuota creciente a pagar por un préstamo bancario de S/. 20 000 amortizable en 4 cuotas mensuales vencidas las cuales se incrementarán 5% cada mes en relación a la cuota anterior. El banco cobra una tasa efectiva mensual del 3%.Solución20 000 = X(1,03- 1) + X(1,03- 2) X(1,03-3) + X(1,03- 4)20 000 = 3,717098403 XX = 5 380,547233

Cuota Importe1 X 5380,55

2 X (1,05) 5649,583 X (1,05 2) 5932,064 X ( 1,05 3 ) 6228,66