RESISTENCIA DE MATERIALES II

DOCENTE: ING. DANIEL DESMOCTT SALINAS

3.- CARACTERISTICAS Y TIPOS DE COLUMNAS.3.1 Características y tipos de columnas.3.2 Concepto de esbeltez.3.3. Aplicación de la formula de Euler.3.4 Análisis y diseño de columnas homogéneas sujetas a carga axial.3.5 Análisis y diseño de columnas homogéneas sujetas a carga excéntrica.3.6 Especificaciones generales para el diseño de columnas.

Una columna articulada de 2 m de longitud y sección cuadrada debe hacerse de madera.

Suponiendo E = 13 Gpa y σ perm = 12 Mpa y usando un factor de seguridad de 2.5, para calcular la carga critica de Pandeo de Euler. Determine el tamaño de la sección transversal si la columna debe soportar: a) una carga de 100 kN, b) una carga de 200 kN.

a) Carga de 100 kN. Usando el factor de seguridad especificado.

Pcr = 2.5 x (100 kN) = 250 kN.L = 2.0 m.E = 13 Gpa.

Tomando la formula de Euler y resolviendo para I

Pero I = a4 / 12 , por tratarse de un cuadrado de lado a; entoncesa4 / 12 = 7.794 x 10 -6 m4 a = 98.3 mm = 100 mm

Se verifica el valor del esfuerzo normal de la columna.σ = P/A = 100 kN / (0.10 m)2 = 10 MPa

Ya que σ es menor que l esfuerzo permisible, una sección transversal de 100 x 100 mm es aceptable.b) Carga de 200 kN.Resolviendo de nuevo la ecuación para I, pero haciendo P (carga critica de la columna).

P = 2.5 X 200 = 500 KN

I = 15.588 x 10-6 m4

El valor del esfuerzo normal es σ = P/A = 200 kN / (0.120 m)2 = 13.88 MPa

Dado que este valor es mayor que el esfuerzo permisible, las dimensiones obtenidas no son aceptables y debe elegirse una sección con base en su resistencia a compresión.

A = P / σ per = (200 kN) / (12 Mpa) = 20 x 10-3 m2

a2 = 20 x 10-3 m2 a = 141 mm

Una sección transversal de 145 x 145 mm es aceptable.

Ejercicios utilizando el problema anterior realizar los incisos a) y b) con las siguientes cargas 275 kN y 500 kN, respectivamente.

E = 22 Gpa y σ perm = 24 Mpa.Verificar el esfuerzo normal de las columnas.

Longitudes efectivas correspondientes a las diferentes condiciones de extremo consideradas en esta acción.

El efecto de la condición de sujeción de los extremos en la carga critica se puede hacer intervenir en la formula de la carga critica para el caso fundamental de la columna doblemente articulada de dos formas. Multiplicándola por un factor N que depende de las condiciones de sujeción, como se resume en la siguiente tabla, o mejor sustituyendo la longitud L de la ecuación por los valores tabulados de la longitud modificada o efectiva:

CONDICIONES DE SUJECION N = Coeficiente para multiplicar por Pcrit del caso fundamental.

Le = longitud efectiva

Ambos extremos empotrados. 4 ½ L

Un extremo empotrado y el otro articulado.

2 0.7 L

Ambos extremos articulados. 1 L

Un extremo empotrado y el otro libre.

1/4 2L

Limitaciones de la formula de Euler:

Una columna tiende a pandearse siempre en la dirección en la cual es mas flexible. Como la resistencia a la flexión varia con el momento de inercia, el valor de I en la formula de Euler es siempre el menor momento de inercia de la sección recta. La tendencia al pandeo tiene lugar, pues, con respecto al eje principal de momento de inercia mínimo de la sección recta. La formula de Euler también demuestra que la carga critica que puede producir el pandeo no depende de la resistencia del material, sino de sus dimensiones y del modulo elástico. Por este motivo, dos barras de idénticas dimensiones, una de acero de alta resistencia y otra de acero suave, se pandearan bajo la misma carga critica, ya que aunque sus resistencias son muy diferentes tienen prácticamente el mismo modulo elástico. Así, pues, para aumentar la resistencia al pandeo, interesa aumentar lo mas posible el momento de inercia de la sección. Para un área dada, el material debe distribuirse tan lejos como sea posible del centro de gravedad y de tal manera que los momentos de inercia con respecto a los ejes principales sean iguales, o lo mas parecido posible.Para que la formula de Euler sea aplicable, el esfuerzo que se produzca en el pandeo no debe exceder al limite de proporcionalidad. Para determinar este esfuerzo, se sustituye en la formula el momento de inercia I por Ar2 , donde A es el área de la sección recta y r el radio de giro mínimo

Para el caso fundamental se tiene:

Para otros casos, se pondría en lugar de L la longitud equivalente de la tabla de la sección anterior.El valor P / A es el esfuerzo medio en la columna cargada con su carga critica y se llama esfuerzo critico. Su limite superior es el esfuerzo en el limite de proporcionalidad. La relación se L / r se llama esbeltez mecánica, o simplemente esbeltez, de la columna. Como una columna cargada axialmente tiende a pandearse respecto del eje I mínimo, para hallar la esbeltez de una columna se divide la longitud equivalente o efectiva entre el radio de giro mínimo de la sección recta.Por conveniencia se de a las que se finen como columnas largas o muy esbeltas aquellas a las que se puede aplicar la formula de Euler. La esbeltez mínima, que fija el limite inferior de aplicación de la formula de Euler, se obtiene sustituyendo en la ecuación los valores conocidos del limite de proporcionalidad y del modulo elástico de cada material. Así, pues, el limite mínimo de la esbeltez varia con el material y también con los diferentes tipos dentro de cada material.

Como ejemplo, para un acero que tenga un limite de proporcionalidad de 200 Mpa, como E = 200 Gpa, el limite mínimo de la esbeltez mecánica con el que puede aplicarse la formula de Euler es

*Aquí se emplea r para designar el radio de giro utilizado en la notación de la AISC. No debe confundirse con la r que suele emplearse para designar el radio de una circunferencia.

El esfuerzo critico o admisible es el representado por la línea continua. La parte punteada de la curva de Euler no es aplicable.

Por debajo de este valor