Semana 2 • Ejercicios

Cerrando fuerte en casaCuaderno de trabajo de Matemáticas3.º de secundaria

1Cuaderno de trabajo de Matemáticas • Secundaria

TEMA DE LA SEMANADivisibilidad

DÍA 1

TEMANúmeros primos

EXPLICACIÓNLos números primos forman parte del grupo de los númerosnaturales. Recuerda que éstos sólo son positivos, por lo queno hay números primos negativos.

Los números primos son aquellos que solamente se puedendividir entre sí mismos y entre la unidad (o número 1). El 1no se considera primo, porque sólo tiene un valor divisor: élmismo.

Para determinar si un número es primo, éste se divide entrelos primeros números primos, de menor a mayor (2, 3, 5, 7,11, 13…), hasta que el cociente sea menor que el divisor(cociente < divisor). Si el cociente en cualquiera de las divi-siones es exacto, entonces el número en cuestión no esprimo.

Recuerda los componentes de la división:

Ejemplo:

Determina si el 23 es un número primo.

Solución:

COCIENTE DIVISOR DIVIDENDO RESIDUO

5 2 11 1

11 ÷ 2 = 5.5 11 2

= 5.5

23 3

= 7.6 → 7 > 3

23 4

= 4.5 → 4 < 3

23 2

= 11.5 → 11 > 2

El cociente 4.5 no es exacto porque tiene una parte deci-mal, por lo que el 23 es un número primo.

EJERCICIOS

1. ¿Cuál de las siguientes opciones describe a los númerosprimos?a) Se multiplican por sí mismos y por el 1.b) Al dividirse entre sí mismos, el resultado es 1.c) Sólo son divisibles entre sí mismos y el 1.d) Sólo son los números impares.

2. ¿Cuál de los siguientes números NO es un númeroprimo?a) 53b) 35c) 29d) 17

3. ¿Cuál de los siguientes números es primo?a) 51b) 27c) 14d) 73

DÍA 2

TEMACriterios de divisibilidad

EXPLICACIÓN• Un número es divisible entre 2 si termina en par, inclu-yendo el 0.

Ejemplos:

14 termina en número par.40 termina en 0.

• Un número es divisible entre 3 si la suma de sus dígitoses múltiplo de 3.

Ejemplos:

483; 4+8+5=15; 15 es múltiplo de 3, por lo que el número SÍ es divisible entre 3.169; 1+6+9=16; 16 no es múltiplo de 3, por lo que el número NO es divisible entre 3.

• Un número es divisible entre 5 si termina en 0 o en 5.

Ejemplos:

25 termina en 5.7430 termina en 0.

2Cuaderno de trabajo de Matemáticas • Secundaria

• Para saber si un número es divisible entre 7, se toma elúltimo dígito (unidades del sistema decimal), se multiplicapor 2 y el resultado se resta a los números que quedan dela cantidad inicial. Si el resultado es 0 o múltiplo de 7, en-tonces la cantidad es divisible entre 7.

Ejemplo: 1729

1. Separa el último dígito y multiplícalo por 2.1729 → 9 × 2 = 18

2. Resta 18 a 172.172 − 18 = 154

3. Repite el procedimiento hasta encontrar un valor cercano a un múltiplo de 7.

154 → 4 × 2 = 8 → 15 − 8 = 7

Observa el resultado: 7 es múltiplo de 7.

EJERCICIOS

1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones NO es verdadera?a) Los números divisibles entre 5 terminan en 0 o en 5.b) La división de un número entre sí mismo da como resultado 1.c) Los números divisibles entre 2 terminan en 0 o en par.d) Cuando un número es divisible entre 3, la suma de sus dígitos

es 3.

2. ¿Cuál de los siguientes números es divisible entre 3?a) 692b) 222c) 73d) 80

3. ¿Cuál de las siguientes operaciones permite saber si1996 es divisible entre 7?a) 199-2(6)=199+6=205b) 199+2(6)=199+12=211c) 199-2(6)=199-12=187 d) 199+2(6)=199-6=193

DÍA 3

TEMAMínimo común múltiplo por multiplicación y por descom-posición simultánea

EXPLICACIÓN El mínimo común múltiplo (mcm) es el menor de todos losmúltiplos que dos o más números tienen en común. El mcmse puede determinar de dos formas:

1. Multiplicación consecutiva

Ejemplo: encuentra el mcm de 4 y 6.

Multiplica cada número (primer factor) por los números consecutivos a partir del 1 (segundos factores).

3Cuaderno de trabajo de Matemáticas • Secundaria

Identifica los números que comunes: 12, 24 y 36. Como 12 es el de menor valor, entonces:

mcm(4,6)=12

2. Descomposición simultánea

Ejemplo: encuentra el mcm de 40 y 60.

Coloca ambos valores en un diagrama para descompo-nerlos con números primos ordenados de menor a ma-yor (2, 3, 5, 7…). Después, multiplica los números pri-mos divisores.

40 60 2 Multiplicación

20 30 2 10 15 2 5 15 3 2×2×2×3×5=120 5 5 5 1 1

mcm(40,60)=120

EJERCICIOS

1. ¿Cuál es mínimo común múltiplo de 28 y 35?a) 190b) 145c) 140d) 115

2. ¿Cuál es mínimo común múltiplo de 12 y 42?a) 96b) 84c) 72d) 60

Número(primer factor)

4

6

Números consecutivos(segundo factor)

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9Ejemplo: 4×2=8

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9Ejemplo: 6×1=6

Múltiplos(productos de las multiplicaciones)

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,36

6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48,54

3. ¿Cuál es mínimo común múltiplo de 8 y 10?a) 40b) 48c) 50d) 82

DÍA 4

TEMAMínimo común múltiplo por descomposición factorial

EXPLICACIÓNEjemplo: encuentra el mcm de 12 y 40.

1. Descompón ambos valores de manera independiente.

12 2 40 2

6 2 20 2

3 3 10 2

1 5 5

1

2. Determina el producto de factores primos para cadavalor.

12 2 40 2

6 2 20 2

3 3 10 2

1 5 5

1

12 = 22×3 40 = 23×5

4Cuaderno de trabajo de Matemáticas • Secundaria

3. Identifica los factores comunes (en este caso, el 2), toma los que estén elevados a la mayor potencia (23) y multiplícalos por los factores no comunes (3 y 5).

mcm(12,40) = 23×3×5

4. Resuelve la multiplicación.

23×3×5 = 8×3×5 = 120

mcm(12,40)=120

EJERCICIOS

1. ¿Cuáles son los factores que permiten conocer el mcmde 16 y 45?a) 25×5×9b) 24×32×5c) 23×52×7d) 22×32×5

2. Un generador enciende un foco al girar 8 veces, mien-tras que otro generador lo hace al girar 14 veces. ¿Enqué número de vuelta los focos de ambos generadoresse encenderán al mismo tiempo?a) 48b) 56c) 68d) 72

3. La abuelita de Pedro va al médico cada 20 días; su tíaasiste cada 15 días. Si hoy se encontraron, ¿en cuántosdías volverán a coincidir?a) 30b) 45c) 50d) 60

2322

DÍA 5

TEMAMáximo común divisor

EXPLICACIÓNEl máximo común divisor (mcd) es el número entero de ma-yor valor que divide dos números enteros de forma exacta almismo tiempo.

El mcd se determina mediante la descomposición factorialcon números primos (2, 3, 5, 7, 11…).

EJEMPLO: Encuentra el mcd de 322 y 280.

1. Descompón ambos números de manera independiente.

322 2 280 2

161 7 140 2

23 23 70 2

1 35 5

7 7

1

2. Identifica los valores comunes simultáneos en ambos números.

322 2 ← 280 2 ←

161 7 ← 140 2

23 23 70 2

1 35 5

7 7 ←

1

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3. Toma los valores comunes y anótalos en forma de multiplicación (cuando un mismo valor se repite más de una vez, se escribe como potencia).

mcd(322,280) = 2×7

4. Haz la multiplicación.

2×7 = 14

mcd(322,280) = 14

EJERCICIOS

1. ¿Cuáles son los factores que permiten conocer el mcdde 480 y 320?a) 22×3×5b) 23×3×5c) 24×7d) 25×5

2. Armando desea guardar 120 mazapanes y 420 palan-quetas en paquetes que contengan la máxima cantidadde productos sin mezclarlos. ¿Cuántas piezas tendrácada paquete?a) 90b) 60c) 30d) 153.

3. Norma hará una fiesta para la cual va a requerir 22 litrosde agua de limón, 14 de jamaica y 10 de horchata. Siquiere poner las bebidas en garrafones iguales de lamáxima capacidad posible, ¿cuántos litros cabrán acada garrafón?a) 2b) 5c) 7

d) 11

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