3-Distribucioìn de Frecuencias.ppt

7/22/2019 3-Distribucion de Frecuencias.ppt

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Distribucin de FrecuenciasObjetivos a identificar

Frecuencias absolutas

Frecuencias relativas

Frecuencia acumulada. Tablas.

Medidas de Tendencia Central.

Histogramas y polgonos. Grficos

Ejercicios y Aplicaciones.


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Objetivos a identificar:

Conocer la definicin de frecuencias y sus tipos.

Aplicacin de las frecuencias

Conocer la distribucin de frecuencias

Aprender a ubicar los intervalos de clase y su utilidad.

Medidas de tendencia central en datos agrupados.

Conocer los percentiles y cuartiles. Aplicaciones.


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Resumiendo los datos

Tanto las variables cualitativascomo lascuantitativas,originan observaciones, lascuales se conocen como: series cualitativasoseries cuantitativas.

Mientras que los datos que originan estasseries, (vectores o conjuntos de datos) sonpocos, basta solo ordenarlos para saber elvalor mayor y menor, la existencia deconcentraciones alrededor de algunos valores


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Tipos de Distribucin

Por ejemplo una distribucin simple sera:

Provincias de nacimiento de 10 ticos:(atendiendo al cdigo de la provincia)

1,2,3,4,5,6,7,7,7,7

Esta es una forma ordenada de expresar esa

distribucin

No obstante, el problema se crea cuando elconjunto de datos es muy voluminoso.


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Concepto de Distribucin de Frecuencias

La Distribucin de Frecuencias es un conjunto de

elementos ordenados, resumidos o distribuidos en las

diferentes categoras de una serie de datos

determinada.

El nmero que aparece resumiendo cada categora es

conocido como la frecuencia y cada categoratiene

una frecuencia, denominada absoluta.

La suma de estas frecuencias absolutas, nos da el

nmero de unidades observadas en todas las

categoras


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Caractersticas de las Clases, para

datos agrupados

Las Clases o Intervalos o Categoras seleccionadastienen que ser exhaustivas y mutuamente excluyentes.

Eso significa que ningn elemento del conjunto a lahora de clasificar, puede encontrar ambigedad en ladefinicin del intervalo. Ejemplo:

Un intervalo de la variable No. de hijos, pudiera ser:

1-4 hijos: Se entiende que en ese intervalo clasificantodos los encuestados que tienen 1,2,3, y hasta 4hijos. Los que no tienen hijos, no estn aqu, al igual siel nmero de hijos es mayor a 4.


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Ejemplo de una distribucin de

frecuencias

Estudiamos el nmero de embarazos

anteriores de 20 parturientas (discreta) en elHospital de la Mujer Adolfo Carit en abril de

2012.

El vector obtenido de la revisin realizada de

estos 20 elementos es como sigue en la tablapreparada para el efecto


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Ejemplo de distrib..... cont

Tabla de Recoleccin de Datos sobre E.ANo E.A No. E.A No E.A No E.A

1 4 6 8 11 5 16 3

2 6 7 4 12 3 17 3

3 9 8 11 13 4 18 14

4 4 9 7 14 7 19 3

5 9 10 8 15 1 20 3


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Ordenando los datos

Serie sin Ordenar:

4, 6, 9, 4, 9, 8, 4, 11, 7, 8, 5, 3, 4, 7, 1, 3, 3, 14, 3, 3

Serie Ordenada:

1, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 11, 14

Ahora se debe seleccionar el nmero de intervalos de clases

que vamos a tener . Nunca deben ser menores de 4 y nomayores de 10, pues no tiene razn el resumen hecho.

Para ello tambin calculamos la amplitud de la serie (14-1) y

la dividimos entre el nmero de clases que deseamos (4)

14-1 / 4 = 3.25 ~ 4


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Resultados de la tabla de distribucin

con f recuenc ias abso lutas

Distribucin de Embarazos anteriores

No. Embarazos Anteriores No. Madres

1-4 embarazos 10

5-8 embarazos 6

9-12 embarazos 3

13- 16 embarazos 1

TOTAL 20


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Calculemos la Frecuenc ia Relativa

Para ello tomamos la frecuencia de la clase y

la dividimos entre el total de elementosobservados. El resultado es un %. Ejemplo:

Para el intervalo de 1-4 embarazos, donde la

frecuencia absoluta es =10, la Frecuencia

relativa es: (10 / 20) x 100 = 50 % As tendremos en todo el cuadro anterior:


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Cuadro de frecuencias absolutasy relat ivas

Frecuencias absolutas y relativas

No. Embarazos

Anteriores

No. Madres

(f)

Porcentaje

(%) (fr)

1-4 embarazos 10 50

5-8 embarazos 6 309-12 embarazos 3 15

13- 16 embarazos 1 5

TOTAL 20 100


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Calculemos la Frecuencia

Acumulada

A medida que vamos analizando cada

intervalo de clase, con su frecuencia absoluta,esta se va sumando a la frecuencia anterior.

Ayuda a conocer en donde estn concentrados

los valores en los intervalos.

Vemoslo, en este ejemplo


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Ejemplo de Frecuencia absoluta acumulada

(FAA) y Frecuencia Relativa Acumulada (FRA)

Distribucin de frecuencias (fa), (faa),(fr),(fra) del ejemplo anterior

IC fa Fr (%) faa fra1-4

embarazos

10 50 10 50

5-8

embarazos

6 30 16 80

9-12embarazos

3 15 19 95

13- 16

embarazos

1 5 20 100

TOTAL 20 100


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Caractersticas de las distribuciones de

variables discretas y continuas

1.- Las distribuciones de variables discretasson fcilesde realizar, mientras que las de variables cont inuas

deben tener en cuenta los limites reales indicados desus intervalos de clase. Ejemplo: ( intervalo de clasede peso)

Lmite indicado Lmite Real

30-34 kg 29.534,5 Kg

2.- Todos los intervalos de clase deben estar cerrados.Las clases abiertas deben evitarse, pues los clculosde datos agrupados en distribuciones, pueden ser

inexactos


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Medidas de Tendencia Central ode Posicin

La Media, La Moda y La

Mediana, en conjuntos

de datos no agrupados


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Principal funcin

El propsito de estas medidas es el de tratarde resumir en un solo nmero, la posicin o

localizacin de la distribucin.


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La Media o Promedio

La media o el promedio, es el resultado de sumar todos losvalores que toma la variable en el conjunto y dividir el nmero deelementos de ese propio conjunto entre esa cantidad sumadaanteriormente.

Por definicin, cada conjunto tiene un solo promedio.

Ejemplo:

X= variable en estudio

N= nmero de elementos en el conjunto

= promedio de la variable en el conjunto total

= simbolo de sumatoria

Xi= X1 + X2+ X3.... XN= todos los valores de la variable X en losN elementos del conjunto.


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Ejemplo de la media

Siendo el conjunto de estudio la frecuencia

cardiaca (pulsaciones por minuto) de 6estudiantes de la clase:

55,64,53,79,64,68

Aplicando la frmula:

55+64+53+79+64+68 = = 63.8~ 64 pul/min

6


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La Moda

Esta medida se asocia con el valor mas comn, mstpico que ocurre mas frecuentemente en un conjuntos

de datos. Es el valor de mayor frecuencia. Ejemplo:1, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 11, 14

En este caso, la Moda (Mo)= 4

Puede suceder que no est definida la Moda en un

conjunto o que existan varias Modas (igual nmero defrecuencias ), para lo que la utilidad de la Moda esreducida.

La Moda tambin es til con las variables cualitativas(el diagnstico mas frecuente en emergencias en el

da de hoy fue la EDA)


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La Mediana

Es el valor central de una serie de datos ordenados y su

ubicacin equidista de los limites mayor y menor del conjunto. Ej.:

55,63,53,79,64,68,78 ( N=7)Ordenando el conjunto:

53, 55, 63, 64, 68, 78, 79

Me = N +1/2

= 7 + 1/ 2= 8/2

= 4

(lo que quiere expresar que en este caso, el 4to. Elemento de la

serie ordenada, que en este caso es 64


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La Mediana... cont

En el caso de que la serie sea par:

55,63,53,79,64,68 donde N = 6

Se ordena tambin: 53, 55, 63,64,68,79

Se calcula promediando los dos valores centrales:

Me = 63+64/ 2

= 63.5

lo que significa que el 50% de los elementos estudiadostienen una frecuencia cardiaca menor o igual a 63.5


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Ventajas y desventajas de las

medidas de posicin

La Media depende del valor exacto de cada observacin y estosvalores se pierden cuando los datos se agrupan, por lo que hayque estimarla.

La Mediana no tiene en cuenta la magnitud exacta de la mayorade las observaciones y por ello es que es menos eficaz que laMedia porque implica una prdida de informacin

La Mediana es mucho menos manejable que la Media para eltratamiento matemtico y se utiliza poco en las tcnicas

estadsticas complejas. La Mediana resulta til para el trabajo descriptivo.

La Moda no se toma muy en cuenta, por la variabilidad de susobservaciones.


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Medidas de Tendencia Central condatos agrupados

Clculos y Aplicaciones


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Caractersticas de las medidas de

posicin en datos agrupados

1.- Cuando los datos se agrupan, las observaciones

individuales pierden su identidad.

2.- En una distribucin de frecuencia, es posible

determinar el nmero de observaciones que caen

dentro de varios intervalos de clase, pero los valores

reales no se pueden determinar.

3.- Es por ello, que los valores obtenidos son

suposiciones y estos resultados son nicamente

aproximaciones a los valores reales.


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Clculo de la Media en datos agrupados

Aqu se supone que todos los valores que caen dentro

de un intervalo de clase especfico se localizan en el

punto medio del intervalo.

El punto medio del intervalo se calcula, promediando

los limites inferior y superior del intervalo de clase.

( Li + Ls) / 2

Ejemplo: Si el Intervalo de Clase est entre 0 y 4;

(0+4) / 2= 2

El punto medio (Pm) ser 2


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Clculo de la Media... cont

Obtenido el Punto medio (pm), se multiplica la

frecuencia (f) de cada intervalo por su Pm y

posteriormente, se realiza una sumatoria de

todos los productos obtenidos por Intervalo de

Clase (IC) y esa suma se divide entre la

sumatoria de las f obtenidas y esa ser laMedia ( ) de estos datos.

Vemoslo en un ejemplo:


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Ejemplo de Media en datos

agrupados

IC Pm fa Pm x fa

1-4Embarazos

2.5 10 25

5-8

Embarazos

6.5 6 39

9-12

Embarazos

10.5 3 31.5

13- 16

Embarazos

14.5 1 14.5

TOTAL 20 110


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Ejemplo... final

= 110 / 20 = 5.5 ~ 6

Lo que significa que el promedio de

embarazos anteriores de ese grupo de

20 parturientas fue de 6


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Clculo de la Mediana en datos

agrupados

Aqu se supone que los valores estn distribuidos

uniformemente a travs del intervalo.

Pasos a seguir para el clculo:

1.- n / 2, o sea, se divide la sumatoria de las

frecuencias absolutas entre 2. Este paso ubica el valor

de la mediana en el intervalo de clase (IC)

correspondiente

2.- Se procede a la sustraccin del Ls-Li del IC.

3.- Se aplica entonces la siguiente frmula:


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Frmula para el clculo de la mediana en

datos agrupados

Me = Li + (n/2)Fa X c

FiDonde: n =es la sumatoria de las frecuencias absolutas

Me =Mediana

Li =Lmite inferior real de la clase donde esta la Me

Fi =Frecuencia absoluta de la clase donde est la Me

Fa = Frecuencia acumulada de la clase anterior a la

clase donde est la Me

C = la diferencia del LsLi del IC donde est la Me


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Ejemplo del clculo de la Me para

datos agrupados

Utilicemos el de las 20 parturientas, anteriormente citado.

N = 20 ; n/2 = 10, lo que quiere decir que la Me est en el

intervalo 1-4 embarazos Aplicando la frmula:

1 + [(100) / 10] * 3 = 1+ (1) (3) = 4

Me = 4

Esto nos recuerda que menos del 50% de lasparturientas tuvieron 4 embarazos anteriores y

mas del 50% tuvieron mas de esa cifra.


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Aspecto importante a tener en cuenta con el uso devariables continuas en datos agrupados

Recordar que en el caso de las V.C, los

intervalos de clase tienen valores reales y

valores indicados.

Hay que definir antes de efectuar los clculos,

con cual de estos valores vamos a trabajar.

Esto es aplicable para cualquier medida deposicin que se quiera calcular.


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Calculando la moda en datos agrupados

La Moda (Mo), pierde su definicin, al ser

aplicada a datos agrupados, donde se aplica

entonces el concepto de Clase Modal, o sea,

aquella clase donde se concentra la mayor

densidad de frecuencias por unidad de

intervalo y es por eso que se dice que en estoscasos la Mo se estima.


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Frmula de clculo de la Mo

Mo = Li + [ d1/ ( d1+ d2)] * C, siendo

Mo = ModaLi = Lmite inferior de la clase modal (C.M)

d1= diferencia entre la f de la C.M y la f de la

clase anterior.

d2= diferencia entre la f de la C.M y la f de la

clase posterior

C = LsLi del intervalo de la C.M


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Ejemplo del clculo de la Mo

Tomemos una distribucin de resultados de Papanicolau

Positivo en 40 mujeres de 30 a 75 aos.

Grupos de Edades No. Mujeres (f)

29.5- 34.5 1

34.5- 39.5 3

39.5- 44.5 8

44.5- 49.5 9

49.5- 54.5 7

54.5- 59.5 4

59.5- 64.5 3

64.5- 69.5 3

69.5- 74.5 2

TOTAL 40


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Aplicando la frmula para el clculo de

la Moda

Clase Modal (C.M)= 44.549.5

Li = 44.5D1= 9-8 = 1

D2= 9-7 = 2

C = 49.5-44.5= 5

Entonces : 44.5 + [(1/ 3) * 5] = 44.5+1.67

Mo = 46.17


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Otras Medidas de Posicin

Los Percentiles y

Cuartiles


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Cuartiles y Percentiles

Los cuartiles son valores que dividen el conjunto de

una variable en cuatro partes:

Q1= toma en cuenta el primer cuarto

Q2= es la mediana

Q3= toma en cuenta las partes

Q4= toma todo el conjunto. Ese mismo conjunto puede dividirse en deciles,

quintiles y percentiles ( 5, 10 y 100 unidades,

respectivamente)


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Usos de los percentiles

Los percentiles se utilizan como parmetros de

ubicacin y solo se calculan para grandes conjuntos

de datos. Ejemplo: los grandes estudios decrecimiento y desarrollo, donde se buscan construir

parmetros para una poblacin de sujetos

determinada, ubican a travs de la edad, sexo, peso y

talla, los percentiles adecuados en los que debe crecery desarrollarse saludablemente una persona. (Ver

tablas de crecimiento y desarrollo del pas).


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Clculo de los percentiles

En un conjunto de datos agrupados, para ubicar unpercentil, se usa :

Pk = ( k/ 100)* nPor ejemplo: Si queremos ubicar el P72 en un conjunto de 40elementos:

P72= ( 72 / 100) * 40 = 28,8

lo que significa que el septuagsimo segundopercentil est ubicado en la medida # 28,8.Analizando las fac de los intervalos de clases del

conjunto agrupado, ubicamos de inmediato dondeesta ubicada esta cifra (28,8)


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Calculando los perc.....cont

Tomemos la distribucin de resultados de Papanicolau

Positivo en 40 mujeres de 30 a 75 aos.

Grupos de Edades No. Mujeres (f) fac

29.5- 34.5 1 1

34.6- 39.5 3 4

39.6- 44.5 8 12

44.6- 49.5 9 21

49.6- 54.5 7 2854.6- 59.5 4 32

59.6- 64.5 3 35

64.6- 69.5 3 38

69.6- 74.5 2 40

TOTAL 40


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Aplicando la frmula para perc...

Pk= Li + [ (k/100)*n]fa* c

fiDonde: Li = lmite inferior de la clase donde est el Pkfa = frecuencia acumulada de la clase anterior

fi = frecuencia absoluta de la clase donde esta Pk

C = la diferencia del intervalo de clase donde est Pk


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Sustituyendo en la frmula

P72= 54.5 + ( 28.8-28) * 5

4P72= 54.5 + 1.0 = 55.5

Lo que significa que un 72 % de las mujeres

positivas al Papanicolau tienen edades

inferiores a los 55.5 aos y un 28% sonpositivas por encima de esa edad.

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