MATEMÁTICAS APLICADAS:

Factorización

División de expresiones algebraicas

En una expresión de la forma 𝑎 + 𝑏

𝑐=

𝑎

𝑐+

𝑏

𝑐

Se identifican dos elementos:

1. Dividendo: Cantidad que está siendo dividida

2. Divisor: Expresión por la que es dividido

Cuando se tiene un divisor diferente a un

monomio, por lo general, se utiliza el

procedimiento de la división larga.

División larga

Sea la expresión: 23−11𝑥2+2𝑥3

2x−3

Se puede reescribir como:

𝑥2 − 4𝑥 − 6 +5

2𝑥 − 3

FACTORIZACIÓN

Factores

Si el producto de dos enteros 𝑎 𝑦 𝑏 es 𝑐 → 𝑐 = 𝑎 ∗ 𝑏 ,

entonces 𝑎 𝑦 𝑏 se llaman factores de 𝑐.

En otras palabras, un entero a es factor de otro entero 𝑐 si 𝑎

divide exactamente a 𝑐

Por tanto, en una expresión algebraica, si dos o más

expresiones se multiplican a la vez, estas expresiones se

suelen llamar factores de la expresión de cual se obtuvo el

producto

El proceso de escribir una expresión dada como el producto

de sus factores se denomina factorización

Productos notables

Corresponden la operación de

expresiones algebraicas cuyo resultado

puede ser escrito por simple

observación sin necesidad de

comprobar el cumplimiento de ciertas

reglas fijas. Cada producto notable

corresponde a un caso de factorización

CASOS DE FACTORIZACIÓN

1. Factor común

Consiste en extraer todos los monomios

que sean comunes a todos los términos:

Ej: Sea

6a𝑏2𝑐3 + 6𝑎2𝑏2𝑐2 + 18𝑎3𝑏𝑐2

= 6𝑎𝑏𝑐2(𝑏𝑐 + 𝑎𝑏 + 3𝑎2)

2. Factorización por agrupación

Sea la expresión 5𝑥 − 5𝑦 + 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦

Puede reescribirse como:

5 𝑥 − 𝑦 + 𝑎 𝑥 − 𝑦

Que es lo mismo que:

(𝑥 − 𝑦)(5 + 𝑎)

3. Binomio al cuadrado

Sea la expresión (𝑎𝑥 ± 𝑏𝑦) 2

, se suman el

cuadrado de cada término con el doble del

producto entre ellos, de tal forma que, al

desarrollar tenemos:

(𝑎𝑥)2±2(𝑎𝑥)(𝑏𝑦) + (𝑏𝑦)2

Es decir, tenemos un trinomio cuadrado

perfecto

Ejemplo:

Sea la expresión: 4𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 9𝑦2

Puede reescribirse como:

(2𝑥 + 3𝑦)2

4. Diferencia de cuadrados

Sea la expresión 25𝑥2 − 36𝑦2 , esta

corresponde a la diferencia de dos

cuadrado:

(5𝑥 − 6𝑦)(5𝑥 + 6𝑦)

5. Trinomio de la forma

𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Sea la expresión: 𝑥2 + 5𝑥 + 6

Puede ser simplificada como:

(𝑥 + 3)(𝑥 + 2)

5. Trinomio de la forma

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Sea la expresión: 9𝑥2 − 9𝑥 − 10

Puede ser simplificada como:

(3𝑥 − 5)(3𝑥 + 2)

Método 1

1. Multiplicamos el término

independiente por el coeficiente de 𝑥2

2. Buscamos dos números que

multiplicados nos de el nuevo término

independiente y sumados el coeficiente

de 𝑥

3. Reescribimos los términos y

dividimos todo por el coeficiente de 𝑥2

Método 2

1. Buscamos dos expresiones que

multiplicadas nos de como resultado el

primer término (𝑎𝑥2)

2. Buscamos dos números que multiplicados

nos de el término independiente

3. Multiplicamos de forma directa 1 y2, de tal

manera que la suma de los productos nos

de el término 𝑏𝑥

4. Construimos el resultado como

combinación de 1 y 2