3. Geometría

Desde el jardinero que traza un jardín, el navegante que fija y traza la ruta del próximo viaje, el arquitecto que hace los planos para la construcción de un grandioso edificio, el ingeniero que diseña un brazo robótico, hasta el sastre que corta la tela para un nuevo traje; todos ellos emplean en su trabajo la Geometría. El valor práctico de ella es indudable y por ello es elemental su estudio.

¿Pero que es la geometría? La geometría es la rama de las matemáticas que se encarga del estudio de espacio, así como las figuras o cuerpos que se pueden formar en el mismo. En el caso de un plano, estás figuras son puntos, rectas, triángulos, rombos, cuadrados, círculos, etc. En el caso del espacio, las figuras posibles son cilindros, esferas, poliedros, etc.

Conceptos Básicos

Punto. El punto es la figura geométrica fundamental en las matemáticas. Carece de dimensiones (ni longitud, ni anchura, ni profundidad) y solo tiene posición.

Línea. Una línea se define como la sucesión infinita de puntos que solamente tiene longitud. Pueden ser curvas, rectas, formar figuras geométricas, irregulares o combinaciones de todas las anteriores.

Las líneas rectas podemos encontrarlas en el doblez de una hoja de papel, en un hilo estirado, en la arista de una puerta, etc.

Las líneas rectas son ilimitadas en extensión, pero nosotros vemos y estudiamos partes o segmentos de esas líneas. El segmento es la parte de recta comprendida entre dos puntos.

¿Dónde más podemos encontrar segmentos de líneas rectas?

Línea transversal. Si una línea es atravesada por otra en cualquier punto, la segunda línea es llamada línea transversal. Ángulo. Es la magnitud existente entre dos líneas que concurren en un punto en común llamado vértice. Las líneas se llaman lados del

ángulo y se representan como y . El ángulo puede ser representado como o simplemente con la letra O. Ángulo Agudo. Es aquel ángulo que vale menos de 90º entre sus lados. Ángulo Recto. Un ángulo recto equivale a una rotación de 90 grados. Los lados de un ángulo recto son perpendiculares. Para distinguirlos de otros tipos de ángulos se coloca un cuadrado en su vértice. Ángulo Obtuso. Es aquel ángulo que vale más de 90º y menos de 180º entre sus lados. Ángulo llano. Es aquel ángulo cuyos lados se encuentran situados en una misma línea recta y su valor es de 180º entre sus lados. Ángulo entrante. Es aquel ángulo cuya magnitud es mayor a 180º pero menor a 360º.

Ángulo Perigonal. Es aquel ángulo cuya magnitud es igual a 360º

Relación entre dos Ángulos

Ángulos Adyacentes. Se llaman así dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común situado entre ellos

Ángulos opuestos por el vértice. Se llaman así dos ángulos que tienen el vértice en común, y sus lados están en un par de rectas que se cortan en el vértice.

Ángulos complementarios Son dos ángulos cuya suma es igual a 90º. Estos pueden ser adyacentes o no

Ejemplo. ¿Cuál es el complemento de un ángulo de 80º?

Solución:

Al despejar obtenemos:

Por lo tanto, el complemento de 80º es un ángulo de 10º Ángulos suplementarios. Son dos ángulos cuya suma es igual a 180º. Estos pueden ser adyacentes o no.

Ejemplo. De acuerdo con la figura

¿Cuál es el valor de x?

A) B) C) D) E) Solución: La suma de los ángulos forma un ángulo llano, entonces:

, Por lo tanto, la respuesta correcta es el inciso C).

3.1Ángulos entre líneas paralelas y una secante

Cuando dos líneas paralelas son cortadas por una secante o transversal, se distinguen ocho ángulos: cuatro de ellos son llamados internos por estar dentro de las paralelas y a los otros cuatro se les llama ángulos externos por encontrarse fuera de ellas. Los ángulos alternos son iguales. Los ángulos correspondientes también. Los ángulos internos al mismo lado de la transversal son suplementarios y los ángulos externos al mismo lado de la transversal también. De acuerdo con esto:

Los ángulos internos son:

Los ángulos externos son:

Los ángulos alternos externos son iguales:

Los ángulos alternos internos son iguales:

Los ángulos correspondientes son iguales:

Los ángulos opuestos por el vértice son iguales:

Los ángulos internos al mismo lado de la transversal, son suplementarios:

Los ángulos externos al mismo lado de la transversal, son suplementarios:

Ejemplo.

De la siguiente figura, determina el valor de .

A) B) C) D) E)

Solución: De la figura, los ángulos son alternos externos, por lo tanto, son iguales, entonces:

De modo que la respuesta correcta es el inciso D).

3.2 Triángulos

Un triángulo es la figura geométrica (polígono) que tiene 3 lados y 3 ángulos, no importando el valor de estos. Los puntos de intersección de los lados, se llaman vértices (al igual que en los ángulos).

3.2.1 Clasificación

Los triángulos se pueden clasificar por sus lados en tres tipos: Equilátero. Tienen sus tres lados iguales. En este triángulo, invariablemente todos sus ángulos internos son iguales, y valen 60º cada uno. Isósceles: Tienes 2 lados iguales y otro desigual. Por lo tanto, también dos de sus ángulos internos son iguales y otro desigual. Escaleno: Sus tres lados son desiguales, con ángulos internos también distintos.

Los triángulos se pueden clasificar por sus ángulos en tres tipos: Acutángulos.

Si sus tres ángulos internos son agudos. Rectángulos. Si tienen un ángulo recto.

Obtusángulo: Si tienen un ángulo obtuso

3.2.2 Ángulos interiores y exteriores de un triángulo

Los teoremas son enunciados matemáticos que siempre dicen la verdad, en otras palabras, lo que enuncian ya está demostrado o probado con argumentos lógicos y matemáticos indiscutibles. Un teorema muy importante de la geometría nos dice que:

La suma de los ángulos internos de un triángulo SIEMPRE es igual a 180º.

Esto es, si los ángulos internos de un triángulo

son A, B y C:

Otro teorema muy importante de la geometría nos dice que:

La suma de los ángulos exteriores de un triángulo SIEMPRE será de 360º

Esto es, si los ángulos externos de un triángulo

son α + β + γ:

3.2.3 Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es uno de los más importantes de la geometría, pues nos permite conocer la longitud desconocida de un lado de un triángulo, conociendo la longitud de los otros dos lados. Dicho teorema establece que: En todo triángulo rectángulo (con un ángulo recto), el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (para conocer la diferencia entre los catetos y la hipotenusa, visita la sección de trigonometría), es decir:

Donde A y B son los catetos del triángulo, y C la Hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto)

Ejemplo. El valor de en el siguiente triángulo es:

Solución:

El Teorema de Pitágoras nos dice que donde C es la hipotenusa (el lado más grande), A y B los catetos. Como el lado más grande es 26, podemos

determinar que .

Por lo tanto,

Por lo tanto, la respuesta es el inciso A).

3.3 Semejanza

3.3.1 Cálculo de distancias inaccesibles

Hay veces que en el mundo encontramos cosas que sería muy difícil medir directamente con algún aparato o patrón. Tal es el caso de la altura de un edificio, del ancho de un río, de la altura de una pirámide, etc. Para poder medirlas y conocer su magnitud, se requieren de métodos indirectos para poder obtener el valor. Dos triángulos semejantes son aquellos que tienen ángulos correspondientemente iguales y sus lados son proporcionales entre sí, es decir:

Si los ángulos A = A’ B = B’ y C = C’ son iguales, y

Si los lados son proporcionales:

Ya definido esto, podemos calcular otro tipo de formas semejantes como las que se muestran en las figuras siguientes:

Ejemplo. Calcular la altura del globo aerostático tomando en cuenta que el triángulo entre el carro y el árbol es semejante al del globo y el carro R = A) 15m B) 31m C) 40m D) 60m Tomando en cuenta que los triángulos formados son semejantes, podemos determinar de

la regla de lados proporcionales, que siendo la distancia del carro al árbol, la

distancia del carro al globo (60 m + 2m), la altura del árbol y la altura del globo.

; despejando tenemos que (2m)(b’ m) = (62m)(1m)

b’ = 62 /2 = 31 La altura del globo son 30 metros, por lo tanto, la respuesta es el inciso B)

3.4 Polígonos

Un polígono es la sección de un plano delimitado por líneas rectas. Siendo así una figura geométrica, los polígonos como vimos con los triángulos (de hecho un triángulo es un polígono de 3 lados) se componen de N numero de lados, e igual número de ángulos. Los polígonos más conocidos son el cuadrado, el rectángulo, el pentágono, el hexágono, etc.

3.4.1 Clasificación

Los polígonos se clasifican de acuerdo al número de lados, si tienen todos sus lados iguales, y por el tipo de ángulos. Los polígonos, debido a las características de sus lados, pueden dividirse en dos tipos:

Regulares: Si todos sus lados tienen igual longitud Irregulares: Si tienen lados de diferente longitud

Los polígonos, debido a las características de sus ángulos, también pueden dividirse en dos tipos: Convexos: Es aquel polígono en el cual, los ángulos interiores son todos menores de 180º Cóncavos: Es aquel polígono en el cual, uno de sus ángulos interiores es mayor de 180º Así mismo, los polígonos tienen un nombre debido a su número de lados, siendo los más frecuentes los siguientes:

Número de lados

Nombre Número de

lados Nombre

3 Triángulo 9 Nonágono

4 Cuadrilátero 10 Decágono

5 Pentágono 11 Undecágono

6 Hexágono 12 Dodecágono

7 Heptágono 13 Tridecágono

8 Octágono 14 Tetradecágono

¿Existe algún polígono de dos lados? R= No, porque tiene que ser una figura cerrada, y exclusivamente con líneas recta. Por lo

tanto, es imposible Al igual que los triángulos, los polígonos tienen ciertas características con las cuales podemos clasificarlos y medirlos: Ángulos internos, ángulos externos, vértices y otro elemento muy importante: la diagonal Diagonal: Es el segmento de recta que une dos vértices no adyacentes

3.4.2 Perímetros y áreas

Perímetro. Es la suma de los lados de cualquier polígono, es decir, la orilla. Con ello se representa la magnitud del total de todos sus lados

Área. Es la región interna de un polígono, es decir, lo de adentro. Al ser una magnitud de

dos dimensiones, sus unidades son cuadráticas ( , etc.)

Ejercicio. Hallar el área y el perímetro de la siguiente figura:

R= A) A = 18 ; P = 15

B) A = 24 ; P = 22

C) A = 22 ; P = 24

D) A = 15 ; P = 18

3.5 Sólidos

A diferencia de las figuras geométricas anteriores, los sólidos son figuras que salen del plano, y tienen ya una nueva dimensión. Contiene un volumen finito y en varios casos

Nombre Figura Área Perímetro

Triángulo

A=

P = a + b + c

Cuadrado

P = 4a

Rectángulo

A = b x h

P = 2b + 2h

Paralelogramo

A = b x h

P = 2a + 2b

Rombo

A=

P = 4a

Polígono regular de “n” lados

A=

P =

parten de una figura geométrica dibujada en un plano, pero ahora con volumen. Tal es el caso de la siguiente figura donde podemos ver como una esfera se estudia a partir de un círculo

3.5.1 Características de los poliedros

Los poliedros son un tipo de sólidos tridimensionales que se caracterizan por tener todas sus caras planas. En este sentido podemos encontrar poliedros desde 4 caras hasta un número infinito de ellas. Dentro de su clasificación podemos encontrar los siguientes tipos de poliedros: Poliedros regulares e irregulares, dependiendo de si todas las caras del poliedro son polígonos regulares o no. Poliedros de caras uniformes, dependiendo de que todas las caras del poliedro sean iguales o no. Poliedros convexos, son aquellos en los que, al prolongar cualquiera de sus caras, éstas no cortan al poliedro. Poliedros cóncavos, son aquellos en los que existe alguna cara que, al prolongarla, corta al poliedro. Poliedros con aristas uniformes, tienen la característica que todas sus aristas reúnen un mismo par de caras (una cara triangular con una cuadrada, dos pentagonales, etc)

3.5.2 Volumen de los Sólidos

Nombre Figura Volumen Simbología

Cubo

a = Longitud de la arista

Prisma rectangular

a = Largo b = Ancho h = Altura

Cilindro circular

r = Radio h = Altura

Cono

V= r = Radio h = Altura

Esfera

V=

r = Radio

Pirámide de base cuadrada

V=

a = Lado de la base h = Altura

3.6 Círculos

Un círculo es un área o superficie contenida dentro de una circunferencia, siendo esta una curva plana, cerrada, cuyos puntos son todos igualmente distantes de otro punto llamado centro, situado en el mismo plano. Los círculos no tienen clasificación al estar limitados por su propia definición a UN SOLO TIPO DE CÍRCULOS. Sin embargo, tiene propiedades y elementos que otras figuras no tienen, los cuales son: Radio. Es el segmento de recta unido por el centro y un punto cualquiera de la circunferencia. Cuerda. Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia, pero sin pasar por el centro. Diámetro. Es la cuerda de mayo longitud posible que une dos puntos opuestos de la circunferencia, y SIMPRE pasa por el centro. Secante. Es una recta que pasa por dos puntos de la circunferencia, pero no se limita dentro de esta. Tangente. Es la línea recta que tiene solo un punto de contacto con la circunferencia. Flecha. Es una línea perpendicular (con un ángulo recto) que se traza desde un punto de la circunferencia, hasta el punto medio de una cuerda. Arco. Es una sección de circunferencia que va de un punto hasta otro, siendo su trayectoria todo el tiempo la misma que la de la circunferencia. Su medida es en grados al igual que los ángulos.

3.7 Ángulos y sus propiedades

Ángulo Fórmula Definición

β =

Ángulo Central Es aquel ángulo formado por dos radios y tiene su vértice en el centro. Su medida es

igual a la del arco comprendida entre los dos

puntos extremos, al ser ángulos semejantes

β =

Ángulo Inscrito Es aquel ángulo que tiene su

vértice en un punto de la circunferencia y está formado

por un par de cuerdas

β =

Ángulo Semi-inscrito Es aquel ángulo que tiene su

vértice en un punto de la circunferencia y está formado

por una cuerda y una tangente.

β =

Ángulo interno Es aquel ángulo que tiene su vértice en un punto interior de la circunferencia y está

formado por dos cuerdas que se cortan.

β =

Ángulo externo Es aquel ángulo que tiene su

vértice en un punto exterior a la circunferencia y está

formado por dos secantes

β =

Ángulo circunscrito Es el ángulo que está

formado por dos tangentes trazadas desde un punto

exterior a la circunferencia

Ejemplo. De la siguiente figura, encontrar el valor del ángulo β

A)78° B) C) D) E)

El ángulo β es un ángulo interno, por lo tanto su fórmula es β = . Sustituyendo los

valores, encontramos que β = = = 82º. Por lo tanto, la respuesta correcta es el

incicso C)

Ejemplo. De la siguiente figura, encontrar el valor del ángulo β

A)146° B) C) D) E)4

El ángulo β es un ángulo semi-inscrito, por lo tanto su fórmula es β = .

Sustituyendo los valores, encontramos que β = = 73º . Por lo tanto, la respuesta

correcta es el inciso B)

3.7 Trigonometría

La trigonometría es la rama de la geometría que estudia la relación que se establece entre los lados y los ángulos de un TRIÁNGULO RECTÁNGULO. La trigonometría nos provee de medios para calcular el valor de lados o ángulos desconocidos en un triángulo y la proporción que guardan. No es útil en la vida real para calcular distancias inaccesibles o desconocidas sin necesidad de medirlas, así como valores geométricos que antes sólo podíamos medir gráficamente. Un triángulo rectángulo consta de 3 ángulos y 3 lados:

θ y β son menores a 90º θ + β = 90º

Hipotenusa: Es el lado opuesto al ángulo recto y es SIEMPRE el lado más largo. Cateto opuesto: Es el lado opuesto al ángulo que vamos a estudiar. Cateto adyacente: Es uno de los lados que forman el ángulo, y NO es la hipotenusa.

3.7.1 Razones trigonométricas

Dentro de un triángulo rectángulo, podemos encontrar 6 razones trigonométricas llamadas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, que relacionan los lados y los ángulos del triángulo.

Seno. Es la razón matemática entre el cateto opuesto y la hipotenusa:

Sen θ =

Coseno. Es la razón matemática entre el cateto adyacente y la hipotenusa:

Cos θ =

Tangente. Es la razón matemática entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Tan θ =

Cotangente. Es la razón matemática entre el cateto adyacente y el cateto opuesto:

Cot θ =

Secante. Es la razón matemática entre la hipotenusa y el cateto adyacente:

Sec θ =

Cosecante. Es la razón matemática entre la hipotenusa y el cateto opuesto:

Csc θ =

Ejemplo. Para el siguiente triángulo rectángulo, calcular el valor de la hipotenusa si se conoce de antemano que sen30º = 0.5, cos30º = 0.86 y tan30º = 0.57

A)3 cm B) C) D) E) Datos:

θ = 30º

Hip = x = ¿? (nuestra incógnita)

Sen θ = = 0.5

Cos θ = = 0.86

Tan θ = = 0.57

De ver los datos, podemos observar que la única relación que tenemos completa es la del seno, pues en las otras dos, desconocemos el valor del cateto adyacente. Por lo tanto, despejando X de la ecuación del seno, tenemos que:

= Sen θ

= Sen θ

=

= = 4

Por lo tanto, la hipotenusa vale 4cm y la respuesta correcta es el inciso D).