LA MULTIPLICACIÓN

¿¿QuQuéé enseenseñño primero: la cuenta de multiplicar o primero: la cuenta de multiplicar

o los problemas de aplicacio los problemas de aplicacióón ?n ?

ACTIVIDAD

Nº 1

Diferentes caminosDiferentes caminos……..

Calcular cuántas figuritas hay en 8 paquetes si en cada paquete hay 4 figuritas.

DE LA ADICIÓN A LA MULTIPLICACIÓN

Se espera con este tipo de problemas que los niños:

- reconozcan puntos de contacto con la suma y a la vez, que establezcan diferencias : -se suma muchas veces el mismo número; no hay que sumar dos números diferentes-. -El 8 te dice cuántas veces sumar- .-avancen en la comprensión de los enunciados y en las estrategias de resolución.

• Calcular cuántas figuritas hay en 5 paquetes si en cada paquete hay 11 figuritas.

Con este tipo de problemas se espera que algunos niños

puedan empezar a pensar: « si los paquetes fueran de 10,

haría 10,20,30,40 y 50 y 5 más son 55 «.

Con este tipo de problemas se espera que algunos niños

puedan empezar a pensar: « si los paquetes fueran de 10,

haría 10,20,30,40 y 50 y 5 más son 55 «.

En el campo de problemas multiplicativos encontramos seg ún

G.Vergnaud problemas en

- Un espacio de medidas- Dos espacios de medidas- Tres espacios de medidas

•• Un espacio de medida: caramelosUn espacio de medida: caramelos•• RelaciRelacióón entre dos cantidades: 4 y 12 ( medida en caramelos)n entre dos cantidades: 4 y 12 ( medida en caramelos)•• Operador Operador –– escalar: 3escalar: 3

BB11

X .....X .....BB22

AndrAndréés tiene 4 caramelos y Juan tiene el s tiene 4 caramelos y Juan tiene el triple. triple. ¿¿CuCuáántos caramelos tiene Juan?ntos caramelos tiene Juan?

Andrés 4

Juan 12 x 3

UN SOLO ESPACIO DE MEDIDASUN SOLO ESPACIO DE MEDIDAS

¿¿CuCuáánto tendrnto tendréé que pagar por 4 ramos que pagar por 4 ramos de flores si cada uno cuesta $3?de flores si cada uno cuesta $3?

� PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD

RelaciRelaciRelaciRelacióóóón entre series de cantidades organizadas en tablasn entre series de cantidades organizadas en tablasn entre series de cantidades organizadas en tablasn entre series de cantidades organizadas en tablas

Dos espacio de medidas: flores Dos espacio de medidas: flores –– dinerodineroCuatro cantidades: Cuatro cantidades:

1 y 4 ( del espacio de medida: flores)1 y 4 ( del espacio de medida: flores)3 y x= 12 (del otro espacio de medida: dinero)3 y x= 12 (del otro espacio de medida: dinero)

Ramos de Ramos de floresflores Dinero ($)Dinero ($)

11 33

44 x= 3.4x= 3.4

DOS ESPACIOS DE MEDIDASDOS ESPACIOS DE MEDIDAS

Por donde empezar ….

��ConstrucciConstruccióón colectiva de cuadros a partir n colectiva de cuadros a partir de las relaciones de proporcionalidad entre de las relaciones de proporcionalidad entre ciertos elementosciertos elementos:

Bicicletas Ruedas

12345678910

2468101214161820

Triciclos Ruedas

12345678910

369

12151821242730

TABLAS PARA COMPLETAR Y CONSULTAR

Completá las siguientes tablas:

Tablas y c álculos1)¿Cuáles de las multiplicaciones que siguen se pueden resolver usando esta tabla?

2) Resolvé estos problemas. Podés usar los resultados de las tablas .

a)Cada linterna lleva 2 pilas. ¿Cuántas pilas hay que comprar para 6 linternas iguales?b)En cada carpa pueden dormir 4 personas. ¿Cuántas personas pueden dormir en 7 carpas iguales?

� PROBLEMAS DE ORGANIZACIONES

RECTANGULARESLas cantidades se presentan Las cantidades se presentan Las cantidades se presentan Las cantidades se presentan organizadas en filas y columnasen filas y columnasen filas y columnasen filas y columnas

Este es el piso rectangular Este es el piso rectangular de de uun patio. n patio. ¿¿CuCuáántas ntas

baldosas se necesitan para baldosas se necesitan para cubrir todo el cubrir todo el ppisoiso??

6 baldosas por fila x 4 baldosas por columna = 24 baldosas6 baldosas por fila x 4 baldosas por columna = 24 baldosas

Dos espacio de medidas se combinan para dar lugar a un Dos espacio de medidas se combinan para dar lugar a un tercer espaciotercer espacio

TRES ESPACIOS DE MEDIDASTRES ESPACIOS DE MEDIDAS

PROBLEMAS DE FILAS Y COLUMNAS

•• ¿¿CuCuáántos ravioles trae cada plancha?ntos ravioles trae cada plancha?

•• ¿¿CuCuáántos huevos hay en el cartntos huevos hay en el cartóón?n?

¿¿CuCuáántos casilleros tiene un tablero de ntos casilleros tiene un tablero de

ajedrezajedrez??

¿¿CuCuáántas baldosas hay en la figura?ntas baldosas hay en la figura?

Y en este piso donde sY en este piso donde sóólo se ve las baldosaslo se ve las baldosas

de los bordes?de los bordes?

¿¿CCóómo harmo haríían para averiguar cuan para averiguar cuáántos ntos cuadraditos de colores tiene el cubo mcuadraditos de colores tiene el cubo máágico, gico, sin contarlos?sin contarlos?

¿¿Es cierto que hay la misma cantidad de Es cierto que hay la misma cantidad de huevos?huevos?

¿¿CuCuáántos paquetes de 6 huevos se pueden ntos paquetes de 6 huevos se pueden preparar con esta plancha?preparar con esta plancha?

y con este carty con este cartóón, n, ¿¿cucuáántos paquetes de 6 ntos paquetes de 6 huevos puede prepararse?huevos puede prepararse?

� PROBLEMAS DE COMBINATORIA

Determinar la cantidad que resulta de combinar elementos de distintas colecciones por medio de diversas estrategias

Si Natalia tiene una bufanda blanca, otra azul y otra celeste y un par de guantes blanco y otro par azul, ¿ de cuántas maneras

diferentes puede combinarlos?

Bufanda blancaBufanda blancaGuantes blancoGuantes blanco

Bufanda CelesteBufanda CelesteGuantes azulGuantes azul

Bufanda azulBufanda azulGuantes azulGuantes azul

Bufanda blancaBufanda blancaGuantes azulGuantes azul

Guantes azulGuantes azul

Bufanda CelesteBufanda CelesteGuantes blancoGuantes blanco

Bufanda azulBufanda azulGuantes blancoGuantes blanco

Guantes blancoGuantes blanco

bufanda Celestebufanda Celestebufanda azulbufanda azulbufanda blancabufanda blancabufandabufanda

guanteguante

3 bufandas x 2 pares de guantes = 6 combinaciones

Bufanda blancaBufanda blanca

Bufanda azulBufanda azul

Bufanda celesteBufanda celeste

Guante blancoGuante blanco

Guante azulGuante azul

3 pares de bufandas x 2 guantes = 6 combinaciones

3

+

3

6

2 + 2 + 2 = 6

DIAGRAMA DE ÁRBOL

¿Cuántos licuados diferentes se

pueden preparar usando una sola

fruta?

En una reposterEn una reposteríía se ofrecen distintos tipos a se ofrecen distintos tipos de tortas. Pueden ser de vainilla, chocolate o de tortas. Pueden ser de vainilla, chocolate o coco, coco,

Y se les puede agregar una capa de dulce Y se les puede agregar una capa de dulce de leche, una de crema o no ponerles nada. de leche, una de crema o no ponerles nada. ¿¿CuCuáántas tortas distintas se pueden ntas tortas distintas se pueden preparar?preparar?

Manuel trabaja en un quiosco. Cada dManuel trabaja en un quiosco. Cada díía puede a puede retirar un producto salado, otro dulce y algo para retirar un producto salado, otro dulce y algo para beber, Si no quiere comer siempre lo mismo, beber, Si no quiere comer siempre lo mismo, ¿¿cucuáántas posibilidades distintas tiene? ntas posibilidades distintas tiene?

Dulce:Dulce:Dulce:Dulce:

AlfajorAlfajorAlfajorAlfajorChocolateChocolateChocolateChocolatecarameloscarameloscarameloscaramelos

Bebida:Bebida:Bebida:Bebida:

jugo jugo jugo jugo

GaseosaGaseosaGaseosaGaseosa

Salado:Salado:Salado:Salado:

EmpanadaEmpanadaEmpanadaEmpanadaPanchoPanchoPanchoPanchossssáááándwichndwichndwichndwich

En la revista hay una variada En la revista hay una variada cantidad de problemas del cantidad de problemas del campo multiplicativo.campo multiplicativo.

¿CÓMO Y CUÁNDO TRABAJAR LOS PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN EN EL PRIMER CICLO?

1° 2° 3°

Resolución de problemas que involucran series proporcionales y organizaciones rectangulares mediante diferentes procedimientos: dibujos, conteo, sumas reiteradas, etc. Explicitación y comparación de las estrategias utilizadas

Resolución de problemas correspondientes a diferentes significados de la multiplicación (series proporcionales, organizaciones rectangulares, combinatoria) por medio de variados procedimientos inicialmente y luego por medio de escrituras multiplicativas.

Interpretación de los significados y usos de la multiplicación con números naturales, elaborando e implementando estrategias de cálculo en forma exacta y aproximada, produciendo y resolviendo situaciones problemáticas.

MEMORIZACIÓN DE RESULTADOS

«Hay que aprender las tablas

porque es importante para

que los niños puedan

resolver las cuentas»

2 x 4

2 x 5

«No hay que enseñar

las tablas de memoria

porque es un

aprendizaje mecánico

sin sentido»

Reconocer algunas propiedades ….

MULTIPLICACIONES POR 10 Y POR 100

En una librería se venden cajas de 10 lápices cada una. ¿Cuántos lápices llevarías si compraras más cajas?. Completá la tabla.

Encontrá una manera de saber el resultado de estas multiplicaciones. Podés controlar los resultados usando la calculadora.

Cantidad de cajasCantidad de cajas 1 2 3 4 5 6

Cantidad de lápices 10

4 x 10 = 5 x 10 = 7 x 10 = 9 x 10 =

4 x 100 = 5 x 100 = 7 x 100 = 9 x 100 =

LA TABLA PITAGÓRICA

¿¿CCÓÓMO COMPLETAR LA TABLA?MO COMPLETAR LA TABLA?

En este cuadro estEn este cuadro estáán escritos los resultados de algunas multiplicaciones n escritos los resultados de algunas multiplicaciones por 2 y por 3 en las columnas respectivaspor 2 y por 3 en las columnas respectivas

1) Si averiguan el doble de todos los números de la columna del 2, ¿es cierto que obtienen todos los resultados de la columna del 4?.Escriban los números de la columna del 4.

2) ¿Es cierto que los números de la columna del 9 son el triple que los resultados de la columna del 3? Escriban los números de la columna del 9.

3) Si multiplican por 4 los números de la columna del 2, obtienen los resultados de otra columna. ¿De cuál se trata? . Ubíquenlos.

4) Completen las filas del 5 y del 10. 5) Completen la columna del 6. Pueden usar los resultados de las columnas del 2 y del 3.

COMPLETA ESTAS TABLAS SIN MIRAR LA PITAGÓRICA

HACIA UN REPERTORIO MULTIPLICATIVO

¿CÓMO Y CUÁNDO TRABAJAR LA MULTIPLICACIÓN COMO CÁLCULO EN EL PRIMER CICLO?

1° 2° 3°

Estimación e interpretación de resultados de cálculos en forma mental, por escrito y con uso de calculadora, comprobando su razonabilidad y justificando los procedimientos empleados

Investigación de regularidades y propiedades de una colección de productos organizados en tablas y cuadros con la finalidad de ser reutilizados en otros problemas y posteriormente memorizados.

Dominio progresivo de variados recursos de cálculo que permitan realizar multiplicaciones. Utilización de resultados numéricos conocidos (multiplicación seguida de ceros y productos de la tabla pitagórica) y de las propiedades de los números y las operaciones (diferentes escrituras) para resolver otros cálculos.

Elaboración de distintas estrategias de cálculo aproximado para resolver problemas en los cuales no sea necesario un cálculo exacto.

Investigación y reconstrucción del algoritmo de la multiplicación a partir de los recursos elaborados por los alumnos para realizar cálculos mentales.

Analizamos recurso de cálculos para

obtener resultados de los productos..

Discutimos procedimientos..

Mis alumnos utilizan intuitivamente la

propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma…

Trabajamos la resolución de problemas…

Multiplican por la unidad seguida de ceros!!!

….ES HORA DE COMENZAR A

TRABAJAR CON EL ALGORITMO DE LA MULTIPLICACIÓN!!!!

1º MOMENTO

¿¿QUQUÉÉ SIGNIFICA SIGNIFICA APRENDER A DIVIDIR?APRENDER A DIVIDIR?

LA DIVISIÓNEN EL

1º CICLO

�Elaborar y dominar recursos de obtención de resultados. (entre ellos el algoritmo).

�Aprender a reconocer cuáles son los problemas que se pueden resolver utilizando la división y cuáles no.

�Reconocer las relaciones que se pueden establecer entre la división y las demás operaciones aritméticas: suma, resta y multiplicación.

�Reconocer cuáles son las propiedades que verifica.

�Poder validar los resultados obtenidos.

�Usar distintos tipos de representaciones.

APRENDER A DIVIDIR NO SE REDUCE A APRENDER EL ALGORITMO.

EL ALGORITMO NO ES EL CONOCIMIENTO CENTRAL DE ESTE APRENDIZAJE .

Se puede comenzar a trabajar con la división desde primer grado , haciendo uso de variedad de estrategias de resolución.

¿CUÁNDO SE DEBE INICIAR EL ESTUDIO DE LA DIVISIÓN?

Un Sr. Tiene 8 caramelos y se los da a dos niños. ¿Cuántos les da a cada uno?

El estudio sistem ático de la división puede iniciarse a fines de segundo grado , y desarrollarse a lo largo de tercero e incluso

cuarto grado.

¿ EMPEZAR A

TRABAJAR CON LA DIVISIÓN?

Para iniciar este estudio se puede plantear problemas de

división sin haberles enseñado a resolverlos. Los alumnos recurrirán a

sus conocimientos previos para hacerlo, es decir, a sus

conocimientos de suma, resta y multiplicación.

Las latas de gaseosas se pueden reciclar. Por ello, algunas escuelas hacen campañas para juntarlas. En la escuela de Tom ás recogieron latas de gaseosas para enviarlas a reciclar.

Los chicos juntaron 75 latas. Para mandarlas, las colocaron en cajas de 25 latas cada una. ¿Cu ántas pudieron llenar?

Resolver con restas

75 50 25

25 25 25

50 25 0 Resolver con sumas

25 + 25 + 25 = 75

Resolver con multiplicaciones

Si hay 25 latas en cada caja, para llenar 2 cajas, se necesitan 50 latas y

para 3 se ocuparán 75 latas.

¿Cómo y dónde leer el resultado?

¿Cómo saber cuándo parar? ¿Hasta cuando seguir restando?

¿Cuándo detener la suma?

¿Cómo obtener el resultado?

Es el camino menos probable. Para recurrir a él, los alumnos deben

haber desarrollado suficientemente los conocimientos multiplicativos.

- - -

ACTIVIDAD

Nº 2

1º MOMENTO

¿¿QUQUÉÉ SIGNIFICA SIGNIFICA APRENDER A DIVIDIR?APRENDER A DIVIDIR?PROBLEMAS QUE INVITAN A LA DIVISIÓN

REPARTO Y PARTICIÓNREPARTO Y PARTICIÓN

Mariana tiene 24 caramelos y quiere darle 4 a cada uno de sus amigos. ¿A cuántos amigos podrádarles?

María tiene 18 revistas y quiere repartirlas en partes iguales entre sus tres amigos. ¿Cuántas les daráa cada uno?

REPARTOS EQUITATIVOS Y NO EQUITATIVOSREPARTOS EQUITATIVOS Y NO EQUITATIVOS

Marcela tiene 16 chupetines y quiere dárselos a sus 4 hijos. ¿Cuántos le dará a cada uno?

Para la biblioteca del aula juntamos 15 libros. Tenemos que acomodarlos en 5 estantes y que en todos los estantes haya la misma cantidad de libros. ¿Cuántos libros pondremos en cada uno?

PROCEDIMIENTOS POSIBLES DE RESOLUCIÓN

CANTIDADES CONTINUAS Y DISCRETASCANTIDADES CONTINUAS Y DISCRETAS

Lucas tiene 18 lápices y quiere repartirlos entre 4 amigos en partes iguales. ¿Cuál es la mayor cantidad de lápices que puede darle a cada uno?

Martín tiene 18 alfajores y quiere repartirlos entre sus 4 amigos en partes iguales. ¿Cuál es la mayor cantidad de alfajores que puede darle a cada uno?

CONSIDERACIÓN DEL RESTOCONSIDERACIÓN DEL RESTO

Se deben transportar 17 personas en autos alquilados. En cada uno sólo pueden entrar 4 personas. ¿Cuántos autos son necesarios alquilar?

LOS DE PROPORCIONALIDADLOS DE PROPORCIONALIDAD

Compré 4 cuadernos iguales y todos me

costaron $12. ¿Cuál es el precio de cada cuaderno?

LOS DE DISTRIBUCIONES RECTANGULARESLOS DE DISTRIBUCIONES RECTANGULARES

Tengo 17 baldosas para armar un patio

rectangular. Si pongo 3 baldosas en cada fila. ¿Cuántas filas puedo

armar? ¿Sobran baldosas? ¿Cuántas?

PROCEDIMIENTOS POSIBLES DE RESOLUCIÓN

OTROS BUENOS PROBLEMASOTROS BUENOS PROBLEMAS

�En la panadería envasan los panes para panchos de a 6 por bolsita. ¿Cuántas bolsitas necesitaría para envasar 60 panes? ¿Y 120 panes?

�En la panadería cocinaron 96 facturas repartidas en 6 bandejas iguales. ¿Cuántas facturas acomodaron en cada una de las bandejas?

� ¿Cuántas cajas con capacidad para 6 bombones cada una pueden llenarse completamente con 40 bombones?

� ¿Cuántas cajas de media docena se necesitan para acomodar 55 bombones?. Si las cajas fueran para una docena..¿Cuántas necesitaría?