3 Polinomios - COLEGIO SAN VICENTE DE PAÚL...

18 Unidad 3 | Polinomios

3 Polinomios

ACTIVIDADES INICIALES

3.I. Un mensaje corto como el que aparece en la entrada es muy difícil de descifrar, ya que no conocemos el idioma en el que está escrito o el contexto en el que se emplea. En el cuento, el detective solamente pudo descifrar la clave cuando tuvo varios mensajes y pudo estudiar qué letras se repetían más. Intenta descifrar la palabra &%@@%$. Está escrita en español. ¿Hay más de una posibilidad?

Sin más datos, hay más de una posibilidad. Podría ser “hallar”, pero también “harras”, o “callar”. Para poder concretar más haría falta tener un mensaje más largo, para comprobar si alguna de estas posibilidades encaja con el resto del mensaje.

3.II. Una clave sencilla consiste en sustituir cada letra por la siguiente en el alfabeto. Por ejemplo, “casa” se escribiría “dbtb”. Encripta un mensaje de al menos diez palabras usando una clave parecida a esta e intercambia tu mensaje con algún compañero. ¿Son seguras estas claves?

Actividad abierta. La conclusión es que estas claves son fácilmente descifrables.

3.III. En internet se utiliza el protocolo https para la navegación segura. ¿Qué tipo de páginas web usan este protocolo? Pon algunos ejemplos.

Son páginas en las que es necesario introducir datos personales, hacer pagos, etc. Algunos ejemplos son las páginas de los bancos, el correo electrónico vía web, las tiendas de compras por internet., etc

ACTIVIDADES PROPUESTAS

3.1. Actividad resuelta.


3.3. Si llamo x al dinero que tengo ahora, traduce al lenguaje algebraico:

a) Si gasto la mitad de lo que tengo y luego me dan 500 euros, tendré el triple de lo que tenía.

b) Pierdo 30 euros, duplico lo que tengo en ese momento, gasto los tres cuartos de lo que me queda. ¿Cuánto tengo ahora?

a) 500 32x x+ = b) ( )1 2 30

4x⋅ ⋅ −

3.4. Dado el polinomio 2( ) 5 6P x x x= + − :

a) Calcula P(–2), P(0), P(2) y P(200).

b) ¿Para qué valores de x el valor numérico de P(x) se hace cero?

a) P(–2) = –12, P(0)= –6, P(2) = 8, P(200) = 40 994

b) P(x) = 0 implica que 2 5 25 24 5 75 6 0 6 ó 12 2

x x x x x− ± + − ±+ − = ⇒ = = ⇒ = − = .

Polinomios | Unidad 3 19

3.5. Calcula el valor numérico de 2( , ) 3P x y x xy y= − + para x = 1 e y = –2.

2(1, 2) 1 1 ( 2) 3( 2) 1 2 6 3P − = − ⋅ − + − = + − = −



3.8. (TIC) Dados 3( ) 3 2A x x x= + − , 2( ) 6 8B x x x= − − + y ( ) 5 1C x x= + , calcula:

a) ( ) ( )A x B x−

b) ( ) ( )A x C x⋅

c) 3 ( ) ( )A x x B x− + ⋅

d) 23 ( ) 2 ( )x A x C x⋅ −

a) ( ) ( )3 2 3 2 3 2( ) ( ) 3 2 6 8 3 2 6 8 3 7 10A x B x x x x x x x x x x x x− = + − − − − + = + − + + − = + + −

b) ( ) ( )3 4 3 2 4 3 2( ) ( ) 3 2 5 1 15 3 5 10 2 15 3 5 9 2A x C x x x x x x x x x x x x x⋅ = + − ⋅ + = + + + − − = + + − −

c) 3 3 2 3 23 ( ) ( ) 9 3 6 6 8 10 6 5 6A x x B x x x x x x x x x− + ⋅ = − − + − − + = − − + +

d) ( ) ( )2 2 3 5 3 23 ( ) 2 ( ) 3 3 2 2 5 1 9 3 6 10 2x A x C x x x x x x x x x⋅ − = + − − + = + − − −

3.9. Si el grado de P(x) es 1 y el de Q(x) es 3, ¿qué grado tienen los siguientes polinomios?

a) ( ) ( )P x Q x⋅

b) ( ) ( ) ( )P x Q x Q x+ ⋅

a) El grado de ( ) ( )P x Q x⋅ se ajusta a la fórmula: grado P(x) + grado Q(x), es decir, 1 + 3 =4.

b) El grado de [ ]2( ) ( )P x Q x+ es el grado de [Q(x)]2, es decir, 6.

3.10. Extrae el factor común de mayor grado en:

a) 4 39 27x x−

b) 2 2 3 2 412 60 36xy x y x y− +

a) ( )4 3 39 27 9 3x x x x− = −

b) ( )2 2 3 2 4 2 212 60 36 12 1 5 3xy x y x y xy xy xy− + = − +


3.11. Expresa la suma de las longitudes de las aristas, la superficie de las caras y el volumen de este cuerpo mediante tres polinomios.

Suma de las longitudes de las aristas:

( )( ) 2 2 5 2 (5 (2 1)) 2 1 6(4 1)P x x x x x x x x= + + + + − + + + + + −

( ) 2 4 10 4 10 4 2 2 4 2 24 6 48 2P x x x x x x x x x= + + + + − − + + + + − = +

Superficie de las caras:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 5 2 1 2 1 4 1 4 1 5 2 1 4 1A x x x x x x x x x x x= ⋅ + + ⋅ + + ⋅ − + ⋅ − + − + ⋅ − +

( )2 4 1 5 (4 1) ( 2)(4 1)x x x x x⋅ − + ⋅ − + + −

2 2 2 2 2 2( ) 20 4 2 8 2 1 4 12 7 1 8 2 20 5 4 8 2A x x x x x x x x x x x x x x x x= + + + + − + − + − + + − + − + − + −

2( ) 52 26 4A x x x= + −

Volumen del cuerpo: 2 3 2( ) 5 2 (4 1) (2 1) (4 1) 40 10 8 2V x x x x x x x x x x x= ⋅ ⋅ − + + ⋅ ⋅ − = − + + −

3 2( ) 8 42 11V x x x x= + −


3.13. (TIC) Desarrolla aplicando las identidades notables.

a) ( )21 x− c) 2(3 4 )x y−

b) 2(2 3 )y b+ d) (7 )(7 )x y x y+ −

a) ( )2 21 1 2x x x− = − + c) 2 2 2(3 4 ) 9 24 16x y x xy y− = − +

b) 2 2 2(2 3 ) 4 12 9y b y yb b+ = + + d) 2 2(7 )(7 ) 49x y x y x y+ − = −

3.14. Copia y completa estas expresiones para que se correspondan con el cuadrado de un binomio.

a) 16 24x− + • c) 4 24x 20x y− + •

b) 2x 64+ + • d) 2 38x x− + • a) ( )2 216 – 24 9 4 3 x x x+ = − c) ( )4 2 2 2 24x 20 25 2 5 x y y x y− + = −

b) ( )2 2x 64 16 8 x x+ + = + d) ( )2 3 4 2 28 16 4 x x x x x− + = −


3.15. (TIC) Desarrolla y simplifica estas expresiones.

a) ( )2 22 ( 2)x x+ − −

b) ( ) ( ) 21 3 3 1 (3 2)x x x− + + +

a) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 ( 2) 4 4 4 4 4 4 4 4 8x x x x x x x x x x x+ − − = + + − − + = + + − + − =

b) ( )( ) 2 2 21 3 3 1 (3 2) 1 9 9 12 4 12 5x x x x x x x− + + + = − + + + = +

3.16. Encuentra una fórmula para calcular el cubo de una suma y de una diferencia, 3( )a b+ y 3( )a b− .

( )3 2 2 2 3 2 2 3( ) ( ) ( ) 2 ( ) 3 3a b a b a b a ab b a b a a b ab b+ = + ⋅ + = + + ⋅ + = + + +

( )3 2 2 2 3 2 2 3( ) ( ) ( ) 2 ( ) 3 3a b a b a b a ab b a b a a b ab b− = − ⋅ − = − + ⋅ − = − + −

3.17. Actividad interactiva.


3.19. (TIC) Efectúa las siguientes divisiones indicando el cociente y el resto.

a) 3 2(4 6 10) : (2 1)x x x x+ − + −

b) 5 4 3 2 3( 4 12 2) : ( 2)x x x x x x− + − + + −

c) 4 2(8 2 4) : (2 1)x x x− + −

a) 3 2(4 6 10) : (2 1)x x x x+ − + − . Cociente: 2 3 9( ) 22 4xC x x= + − , resto: 31( )

4R x =

b) 5 4 3 2 3( 4 12 2) : ( 2)x x x x x x− + − + + − . Cociente: 2( ) 3C x x x= − + , resto: 2( ) 9 5 8R x x x= − − +

c) 4 2(8 2 4) : (2 1)x x x− + − . Cociente: 3 2( ) 4 2C x x x= + , resto: ( ) 4R x =

3.20. (TIC) Encuentra un polinomio que al multiplicarlo por 1x + dé como resultado

3 2 2 2 5x x x− + + .

El polinomio que buscamos, P(x), debe cumplir que ( ) ( ) 3 2 1 2 2 5x P x x x x+ ⋅ = − + + . Es decir, P(x)

será el cociente de la división ( ) ( )3 2 2 2 5 : 1x x x x− + + + , únicamente si el resto es cero (en caso contrario, el polinomio P(x) no existiría). En este problema, la división sí es exacta y el polinomio es

( ) 2 3 5P x x x= − + .


3.21. ¿Entre qué hay que dividir 2 5 2x x− + para obtener como cociente x – 2, y como resto, –4?

Usando la prueba de la división tenemos que el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.

( ) ( ) ( ) ( )2 2 25 2 ( ) ( 2) 4 ( ) 5 2 4 : 2 5 6 : 2x x P x x P x x x x x x x− + = ⋅ − − ⇒ = − + + − = − + −

Dividiendo los polinomios se obtiene que ( ) 3P x x= −

3.22. Si el divisor es x2, el cociente es x3 – 3 y el resto es 4x – 1, ¿cuál es el dividendo?

Aplicamos la prueba de la división: ( ) ( ) ( ) ( )D x d x c x r x= ⋅ +

( ) ( )2 3 5 2( ) 3 4 1 3 4 1D x x x x x x x= ⋅ − + − = − + −

3.23. Halla m para que 4 3 2( ) 3 4 9A x x x x x m= − + − + sea múltiplo de 2( ) 3B x x= + .

Al realizar la división se obtiene que el cociente es 2( ) 3 1C x x x= − + y el resto es ( ) 3R x m= − . Así pues, si m = 3, el dividendo A(x) será múltiplo del divisor B(x).

3.24. Comprueba que al dividir un polinomio de segundo grado, 2( )A x ax bx c= + + , entre ( ) 1B x x= − , el resto es justamente la suma de los coeficientes del polinomio A(x).

Al realizar la división se obtiene que el cociente es ( )C x ax a b= + + , y el resto, ( )R x a b c= + + .


3.26. Divide usando la regla de Ruffini:

a) ( )4 2( 2 1) : 2x x x x− − + + c) ( )2 2(2 3) : 1x x− −

b) ( )3 2(3 4 3 7) : 5x x x x+ − − − d) ( )5 4 3 2( 1) : 1x x x x x x+ + + + + +

a)

Cociente: 3 2( ) 2 2 5C x x x x= − + − , resto: ( ) 11R x =

b)

Cociente: 2( ) 3 19 92C x x x= + + , resto: ( ) 453R x =

c)

Cociente: 3 2( ) 4 4 8 8C x x x x= + − − , resto: ( ) 1R x =

d)

Cociente: 4 2( ) 1C x x x= + + , resto: ( ) 0R x =

1 0 –2 –1 1 –2 –2 4 –4 10

1 –2 2 –5 11

3 4 –3 –7 5 15 95 460 3 19 92 453

4 0 –12 0 9 1 4 4 –8 –8 4 4 –8 –8 1

1 1 1 1 1 1 –1 –1 0 –1 0 –1

1 0 1 0 1 0


3.27. Halla el valor de m para que la siguiente división sea exacta.

( )4 3( 3 4 ) : 1 x x x m x− + − −

Realizamos la división por Ruffini:

Cociente: 3 2( ) 2 2 2C x x x x= − − +

Resto: ( ) 2 0 2R x m m= − + = ⇔ =

Así pues, la división será exacta si m = 2.



3.30. Estudia cuáles de estas divisiones son exactas sin realizarlas.

a) 5 3 2( 2 4 5 1) : ( 2)x x x x x− + − + +

b) 4 3 2(3 5 2 6 4) : ( 1)x x x x x− + + − +

c) ( )4 2( 8 15) : 4x x x− + −

d) 3 2( 2 10 3 15) : ( 5)x x x x− + − + −

Usando el teorema del resto podemos hallar el resto de la división y contestar:

a) 5 3 2( 2) ( 2) 2 ( 2) 4 ( 2) 5 ( 2) 1 32 16 16 10 1 11 0P − = − − ⋅ − + ⋅ − − ⋅ − + = − + + + + = ≠ . No es exacta.

b) 4 3 2( 1) 3 ( 1) 5 ( 1) 2 ( 1) 6 ( 1) 4 3 5 2 6 4 0P − = ⋅ − − ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − − = + + − − = . Sí es exacta.

c) 4 2(4) 4 8 4 15 256 128 15 143 0P = − ⋅ + = − + = ≠ . No es exacta.

d) 3 2(5) ( 2 5 10 5 3 5 15) 250 250 15 15 0P = − ⋅ + ⋅ − ⋅ + = − + − + = . Sí es exacta.

3.31. Sin realizar la división, calcula su resto:

( ) ( )20 2120 22 : 1x x x− − +

Aplicando el teorema del resto, podemos asegurar que el resto de la división vale

( )20 21( 1) ( 1) 20 ( 1) 22 1 20 22 1P − = − − ⋅ − − = + − = − .

3.32. Escribe un polinomio de grado 3 que tenga como factor x + 1.

Por ejemplo, 2 3 2( ) ( 1)P x x x x x= + ⋅ = +

3.33. ¿Cuánto debe valer k para que x – 3 sea un factor del polinomio ( ) 3 5P x x x k= − + ?

El resto de la división de P(x) entre x – 3 debe ser cero; por tanto, (3) 27 15 12P k k= − + = + debe ser cero, y entonces k = –12.

1 –3 0 4 –m 1 1 –2 –2 2 1 –2 –2 2 –m +2


3.34. El resto de dividir un polinomio entre x – 5 es 2, y el resto de dividirlo entre x – 2 es 5. ¿Cuál será el resto de dividirlo entre 2 7 10x x− + ?

2( 2) ( 5) 7 10x x x x− ⋅ − = − +

Como el resto al dividir entre x – 5 es 2, entonces: ( ) ( 5) ( ) 2P x x A x= − ⋅ + .

Como el resto al dividir entre x – 2 es 5, entonces: ( ) ( 2) ( ) 5P x x B x= − ⋅ + .

Multiplicando la primera igualdad por x – 2 y la segunda por x – 5, obtenemos:

( 2) ( ) ( 2) ( 5) ( ) 2 ( 2)x P x x x A x x− ⋅ = − ⋅ − ⋅ + ⋅ −

( 5) ( ) ( 5) ( 2) ( ) 5 ( 5)x P x x x B x x− ⋅ = − ⋅ − ⋅ + ⋅ −

Restando miembro a miembro estas dos igualdades y operando:

[ ]3 ( ) ( 2) ( 5) ( ) ( ) ( 3 21)P x x x A x B x x⋅ = − ⋅ − ⋅ − + − +

[ ]23 ( ) ( 7 10) ( ) ( ) ( 3 21)P x x x A x B x x⋅ = − + ⋅ − + − +

Dividiendo la igualdad entre 3, concluimos: 2( ) ( 7 10) ( ) ( 7)P x x x C x x= − + ⋅ + − + . El resto es ( ) 7R x x= − + .



3.37. (TIC) Determina las raíces enteras de estos polinomios.

a) 2( ) 9 144P x x= − c) 2( ) 5 6R x x x= + +

b) 4( ) 1Q x x= − d) 3( ) 2 18S x x x= −

a) ( )( )2( ) 9 144 3 12 3 12P x x x x= − = + − ⇒ Las raíces enteras son 4x = y 4x = − .

b) ( )( )4 2 2( ) 1 1 1Q x x x x= − = + − ⇒ Las raíces enteras son 1x = y 1x = − .

c) ( )( )2( ) 5 6 3 2R x x x x x= + + = + + ⇒ Las raíces enteras son 3x = − y 2x = − .

d) ( )( )3( ) 2 18 2 3 3S x x x x x x= − = + − ⇒ Las raíces enteras son 3x = , 3x = − y 0x = .


3.39. (TIC) Factoriza los siguientes polinomios.

a) 3 2( ) 2 8 2 8A x x x x= + − − b) 4 2( ) 5 4B x x x= − + c) 2( ) 4 4 3C x x x= − −

a) ( ) ( )3 22 8 2 8 2 1 ( 1) 4x x x x x x+ − − = + − +

b) ( )( )( )( )4 25 4 2 2 1 1x x x x x x− + = + − + −

c) ( )24 4 3 2 1 (2 3)x x x x− − = + −



EJERCICIOS

Expresiones algebraicas y polinomios

3.41. Expresa en lenguaje algebraico.

a) El área de un rectángulo de base b y altura h.

b) El área de un cuadrado de lado l.

c) El volumen de un cubo de arista x.

d) El volumen de un cilindro de radio r y altura h.

e) El perímetro de un triángulo isósceles de lados iguales x y lado desigual y.

a) A b h= ⋅ d) 2V r h= π

b) 2A l= e) 2P x y= +

c) 3V x=

3.42. ¿Cuál de estas expresiones algebraicas es un monomio? Razona tu respuesta.

a) 12x b) 4x

c) 23x − d) 2 3x

Para ser un monomio, el exponente debe ser natural. Veamos el exponente de cada expresión:

a) Exponente 12

c) Exponente –2

b) Exponente –1 d) Exponente 2

Por tanto, el único monomio es el del apartado d.

3.43. Analiza con cuidado las siguientes expresiones algebraicas e identifica cuáles no son polinomios.

a) 3 2 9x x+ − d) 21 5

x

− +

b) 2

23 6 12

2 4x xx x

− +− +

e) 22x xx

− +

c) 3 7x

+ f) 2 2 1x x− +

a) No es polinomio porque 2 9x − no es un monomio. b) Sí es un polinomio, formado por un solo monomio de grado cero.

c) No es un polinomio porque 3x

no es un monomio.

d) Sí es un polinomio. 2

21 5 5xx

− + = +

e) No es un polinomio porque ninguno de los sumandos son monomios.

f) Sí es un polinomio. ( )22 2 1 1 1x x x x− + = − = −


3.44. Relaciona en tu cuaderno cada polinomio con su valor numérico para el valor de x correspondiente.

4 22 1 2 7x x x x− − + → = →

( )2 – 3 1 0 –3x x x+ → = → 2

1 x 4 92x

+ → = →

5 4 33 2 1 2 1x x x x x− − − + + → = − → −

3.45. Si (0) 7P = − , ¿puede ser 2( ) 8P x ax bx= + + ? Razona la respuesta.

Si 2( ) 8P x ax bx= + + , entonces 2(0) 0 0 8 8 7P a b= ⋅ + ⋅ + = ≠ para cualquier valor de a y b. Por tanto, el polinomio no puede ser de la forma descrita.

3.46. ¿Es el polinomio M(x) de grado 8? 8 7 5 8 3 8 2( ) 3 5 4 2 2 1M x x x x x x x x= − + − + − + +

No, porque los monomios de grado 8 se cancelan.

Suma, diferencia y producto de polinomios

3.47. (TIC) Dados los monomios A(x) = 6x2, B(x) = 3x4, 41( )2

C x x= y ( ) 2D x x= − , realiza estas

operaciones.

a) ( ) ( )A x D x+ c) ( ) ( ) ( )A x B x C x− +

b) ( ) ( )B x C x− d) ( ) ( )A x D x⋅

a) ( )2 26 –2 6 2A D x x x x+ = + = − c) 2 4 4 2 41 56 3 x 6x2 2

A B C x x x− + = − + = −

b) 4 4 41 532 2

B C x x x− = − = d) ( )2 36 2 12A D x x x⋅ = ⋅ − = −

Polinomio x Valor numérico

x4 – 2x2 – x + 1 x = 2 –3

x2 – 3(x + 1) x = 0 –1 2

12x

+ x = 4 7

– x5 – 3x4 – 2x3 + x + 1 x = –2 9


3.48. (TIC) Realiza los siguientes productos y divisiones.

a) ( ) ( )2 22 3x x x− + ⋅

b) ( )3 12 1 :2

x x x − +

a) ( ) ( )2 2 4 32 3 6 3x x x x x− + ⋅ = − +

b) ( )3 21 2– 2 1 : 2 42

x x x xx

+ = − +

3.49. Un polinomio es de grado 7, y otro, de grado 6.

a) ¿De qué grado es el polinomio suma?

b) ¿De qué grado es el polinomio producto?

a) La suma tendrá grado 7, ya que es el mayor de los grados de los dos polinomios. b) El producto tendrá grado 7 + 6 = 13.

3.50. (TIC) Dados 4 3 21( ) 2 3 12

P x x x x x= − + − + , 3 2 2( ) 3 23

Q x x x x= + − + y ( ) 4 2 4 4R x x x= − + − ,

realiza las siguientes operaciones.

a) P(x) + Q(x) c) R(x) – Q(x) + P(x)

b) Q(x) – R(x) d) P(x) + Q(x) + R(x)

a) P(x) + Q(x) = 2x4 – x3 + 12

x2 – 3x + 1 + 3x3 + x2 – 23

x + 2 = 2x4 + 2x3 + 32

x2 – 113

x + 3

b) Q(x) – R(x) = (3x3 + x2 – 23

x + 2) – (– 4x4 + x2 – 4) = 4x4 + 3x3 – 23

x + 6

c) R(x) – Q(x) + P(x) = – 4x4 + x2 – 4 – (3x3 + x2 – 23

x + 2) + 2x4 – x3 + 12

x2 – 3x + 1 =

= – 4x4 + x2 – 4 – 3x3 – x2 + 23

x – 2 + 2x4 – x3 + 12

x2 – 3x + 1 = – 2x4 – 4x3 + 12

x2 – 73

x – 5

d) P(x) + Q(x) + R(x) = (2x4 – x3 + 12

x2 – 3x + 1) + (3x3 + x2 – 23

x + 2) + (– 4x4 + x2 – 4) =

= – 2x4 + 2x3 + 52

x2 – 113

x – 1

3.51. Rellena en tu cuaderno cada recuadro con el coeficiente adecuado.

a) (2x2 + x – 1) – (–3x2 –5x + ) = 5x2 + 2x + 4

b) (3x4 – x + 2) – ( x4 – x – ) = 4x4 + 3x + 3

c) (5x3 – x2 + ) + ( x3 + x2 – 2) = 2x3 – 3x2 – 3

a) (2x2 + ( )3− x – 1) – (–3x2 – 5x + ( )5− ) = 5x2 + 2x + 4

b) (3x4 – x + 2) – ( ( )1− x4 – ( )4 x – ( )1 ) = 4x4 + 3x + 3

c) (5x3 – ( )4 x2 + ( )1− ) + ( ( )3− x3 + x2 – 2) = 2x3 – 3x2 – 3


3.52. (TIC) Practica las tres operaciones con polinomios aprendidas hasta aquí y con 2( ) 3 2P x x x= − + , 3 2( ) 3 3 2Q x x x= − − y ( ) 2R x x= − calcula:

a) ( ) ( ) ( )P x R x Q x⋅ − c) ( ) ( 2) ( )P x x R x− + ⋅

b) [ ]( ) ( ) ( )R x P x R x⋅ + d) ( ) ( )R x Q x⋅

a) ( )( ) ( )2 3 2 3 2 2 3 2 23 2 2 3 3 2 3 6 2 2 4 3 3 2 4 4 2x x x x x x x x x x x x x x− + − − − − = − − + + − − + + = − + −

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 22 3 2 2 2 3 3 6x x x x x x x x − − + + − = − ⋅ = −

c) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 23 2 ( 2)( 2) 3 2 4 3 2 4 2 6x x x x x x x x x x x x− + − + − = − + − − = − + − + = − +

d) ( )( )3 2 4 3 3 2 4 3 23 3 2 2 3 3 2 6 6 4 3 9 6 2 4x x x x x x x x x x x x− − − = − − − + + = − + − +

3.53. ¿Puede la suma de dos polinomios de grado 3 ser de grado 2? Pon un ejemplo.

La suma será de grado 2 si los coeficientes de los términos de grado 3 son opuestos y los de grado 2 no lo son.

Ejemplo: ( ) ( )3 2 3 24 2 3 1 4 5 3 2 8 4x x x x x x x− + + − + + − = + −

Potencia de un polinomio. Identidades notables

3.54. (TIC) Desarrolla estas expresiones:

a) 2(5 )a− c) ( 5)(5 )a a− + e) 2(5 5 )a+

b) 2(1 5 )a+ d) (5 )(5 )a a− + f) 2( 1 5 )a− +

a) 2 2(5 ) 25 10a a a− = − + d) 2(5 )(5 ) 25a a a− + = −

b) 2 2(1 5 ) 1 10 25a a a+ = + + e) 2 2(5 5 ) 25 50 25a a a+ = + +

c) 2( 5)(5 ) 25a a a− + = − f) 2 2( 1 5 ) 1 10 25a a a− + = − +

3.55. (TIC) Efectúa estas operaciones.

a) (2x2 – 3y)2 d) (2x4 + x2)2

b) (3x – 2y)3 e) (5a + 3b) · (5a – 3b)

c) 3 2(3 )x x− f) (2xy + 4zt) · (2xy – 4zt)

a) (2x2 – 3y)2 = 4x4 + 9y2 – 12x2y

b) (3x – 2y)3 = 27x3 – 8y3 – 54x2y + 36xy2

c) 3 2 6 4 2(3 ) 9 6x x x x x− = − +

d) (2x4 + x2)2 = 4x8 + 4x6 + x4

e) (5a + 3b) · (5a – 3b) = 25a2 – 9b2

f) (2xy + 4zt) · (2xy – 4zt) = 4x2y2 – 16z2t2


3.56. (TIC) Usa las identidades notables para factorizar o desarrollar en cada caso estas expresiones.

a) 4 4x y− e) 4 21 2x x+ +

b) 24 12 9x x− + f) 29 12 4x x+ +

c) 2 216 4 16x y xy+ − g) ( )32 3x y−

d) 4 2 2 625 16z y x b− h) ( ) ( )5 2 5 2xy zt xy zt− ⋅ +

a) ( )( ) ( )( )( )4 4 2 2 2 2 2 2= x y x y x y x y x y x y− = − + + − +

b) ( )224 12 9 2 3x x x− + = −

c) ( )22 216 4 16 4 2x y xy x y+ − = −

d) ( )( )4 2 2 6 2 3 2 325 16 5 4 5 4z y x b z y x b z y x b− = + −

e) ( )24 2 21 2 1x x x+ + = +

f) ( )229 12 4 3 2x x x+ + = +

g) ( )3 3 2 2 32 3 8 36 54 27x y x x y xy y− = − + −

h) ( ) ( ) 2 2 2 25 2 5 2 25 4xy zt xy zt x y z t− ⋅ + = −

3.57. (TIC) Vas a encontrar una fórmula para calcular el cuadrado de un trinomio. Para ello sigue los

pasos:

PRIMERO. Calcula estos cuadrados:

a) 2( )a b c+ + b) 2( )a b c− + c) 2( )a b c− −

SEGUNDO. Propón y escribe la fórmula para calcular el cuadrado de un trinomio.

TERCERO. Aplica la fórmula obtenida para calcular estos cuadrados y luego comprueba con WIRIS que tu fórmula funciona:

d) 2( 2 )x b y+ − e) 2( 2 3 )a b c+ + f) 2(3 )x y z− −

a) ( ) ( )22 2 2 2 2 2( ) (( ) ) 2 2 2 2a b c a b c a b c a b c a ab b ac bc c+ + = + + = + + + + = + + + + +

b) ( ) ( )22 2 2 2 2 2( ) (( ) ) 2 2 2 2a b c a b c a b c a b c a ab b ac bc c− + = − + = − + + − = − + + − +

c) ( ) ( )22 2 2 2 2 2( ) (( ) ) 2 2 2 2a b c a b c a b c a b c a ab b ac bc c− − = − − = − + − − = − + − + +

Por tanto, las fórmulas para el cuadrado de un trinomio son: 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

( ) 2 2 2( ) 2 2 2( ) 2 2 2( ) 2 2 2

a b c a b c ab ac bca b c a b c ab ac bca b c a b c ab ac bca b c a b c ab ac bc

+ + = + + + + +− + = + + − + −+ − = + + + − −− − = + + − − +

d) 2 2 2 2( 2 ) 4 4 2 4x b y x b y xb xy by+ − = + + + − −

e) 2 2 2 2( 2 3 ) 4 9 4 6 12a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + +

f) 2 2 2 2(3 ) 9 6 6 2x y z x y z xy xz yz− − = + + − − +


División de polinomios

3.58. Completa la siguiente división de polinomios en tu cuaderno rellenando los coeficientes que faltan y aplica la prueba de la división para comprobarla.

( ) ( ) ( )2 2 2 4 3 3 2 2 2( ) ( ) ( ) 2 2 2 6 1 2 2 4 2 2 6 1d x c x r x x x x x x x x x x x x x x x⋅ + = − + ⋅ + + − + = + − − + + + − + =4 3 2( ) ( ) ( ) 2 5 4 1 ( )d x c x r x x x x x D x⋅ + = − + − + =

3.59. (TIC) Realiza estas divisiones de polinomios:

a) 4 3 2(2 3 1) : (2 4)x x x x− + + +

b) 3 2 2( 4 5 1) : ( 2)x x x x x+ − + + −

c) 5( 1) : ( 1)x x− −

a)

b)

c)

2x4 + (–1)x3 + 5 x2 – 4x + 1 x2 – x + 2

(–2)x4 + 2 x3 – 4x2 2x2 + 1 x x3 + x2 – 4x + 1 (–1)x3 + 1 x2 + –2x

2 x2 + –6x + 1

2x4 –3x3 + 1 2x2 + x + 4 – 2x4 – x3 – 4x2 x2 – 2x – 1

– 4x3 – 4x2 + 1 4x3 + 2x2 + 8x – 2x2 + 8x + 1 2x2 + x + 4 9x 5

x3 + 4x2 – 5x + 1 x2 + x – 2 – x3 – x2 + 2x x + 3

3x2 – 3x + 1 – 3x2 – 3x + 6 – 6x + 7

1 0 0 0 0 –1 Cociente: x4 + x3 + x2 + x + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0


3.60. Expresa en la forma ( ) ( )( )( ) ( )

D x R xC xd x d x

= + .

a) 2

23 3 1

2 1x xx x

− ++ −

b) 3 2

22 2

3x x x

x x− + −

− + c)

2

24 1

3x

x−

+

a) 2

2 2

3 3 1 9 432 1 2 1

x x xx x x x

− + − += +

+ − + −

b) 3 2

2 2

2 2 3 113 3

x x x xxx x x x− + − − +

= − +− + − +

c) 2

2 2

4 1 1343 3

xx x

− −= +

+ +

Regla de Ruffini

3.61. Realiza las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini e indica el cociente y el resto.

a) (3x4 – 2x2 + x – 3) : (x + 1)

b) (x5 – 2x3 – x + 1) : (x – 1)

c) (2x3 – x2 + 3x – 1) : (x + 2)

a) b) c)

3.62. Si 4 3 2( ) 2 6 7 16P x x x x x m= + − − + , halla el valor de m para que P(x) sea múltiplo de ( ) 3Q x x= + .

Para que P(x) sea múltiplo de Q(x) se tiene que cumplir que –3 sea raíz. Por el Teorema del resto, ha de cumplirse que P(–3) sea cero.

4 3 2( 3) 2 ( 3) 6 ( 3) 7 ( 3) 16 ( 3) 0 162 162 63 48 0P m m− = ⋅ − + ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − + = ⇒ − − + + =

( 3) 15 0 15P m m− = − + = ⇒ =

3 0 –2 1 –3 Cociente: 3x3 – 3x2 + x

–1 –3 3 –1 0 Resto: –3

3 – 3 1 0 –3

1 0 –2 0 –1 1 Cociente: x4 + x3 – x2 – x – 2

1 1 1 –1 –1 –2 Resto: –1

1 1 –1 –1 –2 –1

2 –1 3 –1 Cociente: 2x2 – 5x + 13

–2 –4 10 –26 Resto: –27

2 –5 13 –27


3.63. Copia y completa esta división en tu cuaderno:

–1 0 1 –10 –2 2 –4 6

–1 2 –3 –4

Raíces. Teoremas del resto y del factor

3.64. Indica razonadamente cuáles son las raíces de estos polinomios.

a) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3P x x x x= − + − )

b) 2( ) (3 7)( 1)( 5)P x x x x= − + −

c) 2 2( ) ( 1)( 9)(4 3)P x x x x= + + −

Las raíces de los polinomios son los valores de la x para los que se anula cada paréntesis.

a) x = 1, x = –2, x = 3 c) x = –1, 34

x = ±

b) 73

x = , x = –1, x = 5±

3.65. Si M(6) = 3, halla el resto de M(x) : (x – 6).

Si M(6) = 3, aplicando el teorema del resto sabemos que el resto será 3.

3.66. Halla el resto de estas divisiones sin realizarlas.

a) (x7 – 3x2 + 1) : (x – 1) c) (x50 – x) : (x – 1)

b) (x5 – 2x3 + 3) : (x – 3) d) (x101 – 2) : (x + 1)

Utilizando el Teorema del resto: a) P(1) = 17 – 3 · 12 + 1 = –1 Resto = –1 b) P(3) = 35 – 2 · 33 + 3 = 243 – 54 + 3 = 192 Resto = 192 c) P(1) = 150 – 1 = 0 Resto = 0 d) P(–1) = (– 1)101 – 2 = – 1 – 2 = –3 Resto = –3

3.67. Calcula el resto de estas dos divisiones:

a) 987 654 321(789 456 123 ) : ( 1)x x x x− + −

b) 987 654 321(789 456 123 ) : ( 1)x x x x− + + .

a) 987 654 321(789 1 456 1 123 1 ) 789 456 123 456⋅ − ⋅ + ⋅ = − + =

b) ( ) ( ) ( )987 654 321(789 1 456 1 123 1 ) 789 456 123 1368⋅ − − ⋅ − + ⋅ − = − − − = −


3.68. Halla el valor de k en los siguientes polinomios teniendo en cuenta los datos indicados.

a) x3 + (k + 2)x + 1 es divisible entre (x + 1).

b) (x4 + kx2 + 2x + 1) : (x – 1) tiene – 4 de resto.

c) x4 + 3x3 + kx2 + x – 6 tiene por factor (x + 3).

a) Igualamos el valor del polinomio en –1 a cero: P(–1) = (–1)3 + (k + 2) · (–1) + 1 = –1 – k – 2 + 1 = – k – 2 = 0 ⇒ k = –2 b) Igualamos el valor del polinomio en 1 a –4: P(1) = 14 + k · 12 + 2 · 1 + 1 = 1 + k + 2 + 1 = 4 + k = – 4 ⇒ k = –8 c) Igualamos el valor del polinomio en –3 a 0: P(–3) = (–3)4 + 3 · (–3)3 + k · (–3)2 + (–3) – 6 = 81 – 81 + 9k – 3 – 6 = 9k – 9 = 0 ⇒ k = 1

Factorización

3.69. (TIC) Calcula las raíces enteras de los siguientes polinomios.

a) ( ) 3 22 6 2 6 P x x x x= + − −

b) ( ) 4 3 22 7 8 12Q x x x x x= − − + +

c) ( ) 4 3 28 9 9R x x x x x= + − − −

a) Posibles raíces enteras: ± 1, ± 2, ± 3 y ± 6 P(1) = 2 · 13 + 6 · 12 – 2 · 1 – 6 = 2 + 6 – 2 – 6 = 0 P(–1) = 2 · (– 1)3 + 6 · (–1)2 – 2 · (–1) – 6 = – 2 + 6 + 2 – 6 = 0 P(–3) = 2 · (–3)3 + 6 · (–3)2 – 2 · (–3) – 6 = – 54 + 54 + 6 – 6 = 0 Raíces enteras de P(x): 1, – 1 y – b) Posibles raíces enteras: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 y ± 12 Q(–1) = 0 Q(2) = 0 Q(–2) = 0 Q(3) = 0 Raíces enteras de Q(x): –1, 2, –2 y 3 c) Posibles raíces enteras: ± 1, ± 3 y ± 9 R(3) = 0 R(–3) = 0 Raíces enteras de R(x): 3 y –3

3.70. Utilizando la regla de Ruffini, averigua si x = 3 es raíz del polinomio 3 2( ) 4 8 15P x x x x= − + − .

1 –4 8 –15 3 3 –3 15 1 –1 5 0

Obtenemos resto 0, es decir, (x – 3) es factor de P(x).


3.71. Escribe un polinomio de grado 3 cuyas raíces sean x1 = – 1, x2 = 2 y x3 = – 4.

¿Existen más polinomios que verifiquen esas condiciones? ¿Por qué?

Se tiene que anular en los tres puntos, por ejemplo: P(x) = (x + 1) · (x – 2) · (x + 4) = (x2 – x – 2) · (x + 4) = x3 + 4x2 – x2 – 4x – 2x – 8 = x3 + 3x2 – 6x – 8 Tendrá las mismas raíces cualquier polinomio que sea el resultado de multiplicar este por una constante.

3.72. Indica si los valores x1 = 2 y x2 = 1 son raíces del polinomio 5 4 3( ) 7 7 6P x x x x x= + − + − .

P(2) = 25 + 24 – 7 · 23 + 7 · 2 – 6 = 32 + 16 – 56 + 14 – 6 = 0; x1 = 2 es raíz de este polinomio. P(1) = 15 +14 – 7 · 13 + 7 · 1 – 6 = 1 + 1 – 7 + 7 – 6 = –4; x2 = 1 no es raíz de este polinomio.

3.73. Observa el siguiente esquema y escribe el polinomio inicial y su expresión factorizada.

Al dividir el polinomio entre (x – 1), el resto es 0. Dividimos el nuevo cociente otra vez entre (x – 1) y el resto vuelve a ser 0. El cociente resultante lo dividimos entre (x – 3) y la división es exacta, obteniendo como cociente (x + 2). Por tanto, la factorización será: x4 – 3x3 – 3x2 + 11x – 6 = (x – 1) · (x – 1) · (x – 3) · (x + 2) = (x – 1)2 · (x – 3) · (x + 2)

Factoriza

3.74. ¿Puede tener raíces enteras el polinomio ( ) 10 4 37Q x x ax= − + que sean distintas de –1, 1, –37 y 37? Justifica tu respuesta.

No, porque las únicas raíces enteras de un polinomio han de estar entre los divisores del término independiente.

3.75. (TIC) Halla el polinomio de cuarto grado cuyo coeficiente principal es 3 y que tiene por raíces x1 = 1 (raíz doble), x2 = –2 y x3 = 4. Desarróllalo.

( ) ( )( ) ( )2 4 3 2 3 2 23 1 2 4 3 2 8 2 4 16 2 8x x x x x x x x x x x− + − = − − − + + + − − =

( )4 3 2 4 3 23 4 3 14 8 3 12 9 42 24x x x x x x x x= − − + − = − − + −


3.76. ¿Verdadero o falso? ¿Por qué?

a) Si x + 6 divide a L(x), entonces 6 es raíz de L(x).

b) Si G(– 5) = 0, x + 5 es un factor de G(x).

c) Si B(x) es irreducible, existe al menos un valor real x = a para el que B(a) = 0.

d) Un polinomio de grado 5 no tiene 6 raíces.

e) Un polinomio con término independiente 0 posee al menos una raíz real.

f) 1nx + o es irreducible o su única raíz real es –1.

a) Falso, ya que si (x + 6) divide a L(x), entonces – 6 es una raíz de L(x). b) Verdadero, por el teorema del resto. c) Falso, ya que si existiese un valor tal que B(a) = 0, entonces (x – a) dividiría a B(x), y este no

sería irreducible. d) Verdadero, el teorema fundamental del álgebra nos indica que como mucho tendrá 5 raíces. e) Verdadero, ya que x = 0 será una raíz. f) Verdadero, ya que: Si n es par, xn + 1 = 0 ⇒ xn = –1 no tiene raíces reales, se puede descomponer en factores de

grado 2. Si n es impar, xn + 1 = 0 ⇒ xn = –1 ⇒ x = –1.

3.77. (TIC) Expresa los siguientes polinomios como producto de factores irreducibles.

a) P(x) = x3 + x2 – 6x

b) Q(x) = x3 + 3x2 – 4x – 12

c) R(x) = x5 – x4 – x3 – 2x2

d) S(x) = 6x3 + 5x2 – 3x – 2

e) T(x) = 2x4 + 7x3 + 8x2 + 3x

a) P(x) = x3 + x2 – 6x = x(x2 + x – 6) = x · (x – 2) · (x + 3) b) Q(x) = x3 + 3x2 – 4x – 12 = (x – 2) · (x2 + 5x + 6) = (x – 2) · (x + 2) · (x + 3) c) R(x) = x5 – x4 – x3 – 2x2 = x2(x3 – x2 – x – 2) = x2 · (x – 2) · (x2 + x + 1)

d) ( ) ( )2 1 2( ) 1 6 2 6( 1) ( 1)(2 1)(3 2)2 3

S x x x x x x x x x x = + ⋅ − − = + ⋅ + ⋅ − = + + −

e) T(x) = 2x4 + 7x3 + 8x2 + 3x = x · (2x3 + 7x2 + 8x + 3) = x · (x + 1) · (2x2 + 5x + 3) =

= 2x · (x + 1) · (x + 1) · 32

x +

= 2x · (x + 1)2 · 32

x +

= x · (x + 1)2 · (2x+3)


3.78. Observa cómo se factoriza el siguiente polinomio, extrayendo factor común:

( ) (3 7)(4 1) ( 9)(3 7)(3 7)(4 1 ( 9)) (3 7)(3 10)

P x x x x xx x x x x

= − − − + − == − − − + = − −

Emplea la misma técnica para factorizar estos polinomios:

a) ( ) ( 9)(2 1) ( 9)( 12)Q x x x x x= − + + − −

b) ( ) 3 ( 3)(7 5)R x x x x= + + − +

c) 2( ) ( 2)(3 1) ( 2)(2 5) ( 4)S x x x x x x= − − + − − − −

d) 2( ) 6 9 ( 3)( 3)T x x x x x= − + + − +

a) ( ) ( )( ) ( 9)(2 1) ( 9)( 12) ( 9) 2 1 12 ( 9) 3 11Q x x x x x x x x x x= − + + − − = − + + − = − −

b) ( )( ) ( )( )( ) 3 ( 3)(7 5) 3 ( 3)(7 5) 3 1 7 5 3 7 4R x x x x x x x x x x x= + + − + = + + + − = + + − = + −

c) ( )[ ]2( ) ( 2)(3 1) ( 2)(2 5) ( 4) 2 3 1 2 5 2S x x x x x x x x x x= − − + − − − − = − − + − − − =

( )( ) ( )22 4 8 4 2x x x= − − = −

d) 2 2( ) 6 9 ( 3)( 3) ( 3) ( 3)( 3) ( 3)( 3 3)T x x x x x x x x x x x= − + + − + = − + − + = − − + + =

( 3)( 3 3) ( 3)2x x x x x= − − + + = −

3.79. Expresa estos polinomios como producto de factores irreducibles sin hacer ninguna división.

a) P(x) = x(3x – 4) + 3x – 4

b) Q(x) = (x2 – 4)(x2 – 9)

c) R(x) = (x – 2)(x + 3) + x2 + 6x + 9

d) S(x) = x3 + 7x2 + 12x

e) T(x) = (x2 – 25) + x3 + 10x2 + 25x

a) P(x) = x(3x – 4) + 3x – 4 = x(3x – 4) + (3x – 4) · 1 = (3x – 4)(x + 1) b) Q(x) = (x2 – 4)(x2 – 9) = (x + 2)(x – 2)(x + 3)(x – 3) c) R(x) = (x – 2)(x + 3) + x2 + 6x + 9 = (x – 2)(x + 3) + (x + 3)2 = (x + 3)(x – 2 + x + 3) = = (x + 3)(2x + 1) d) S(x) = x3 + 7x2 + 12x = x(x2 + 7x + 12) = x(x + 4)(x + 3) e) T(x) = (x2 – 25) + x3 + 10x2 + 25x = (x + 5)(x – 5) + x(x2 + 10x + 25) = (x + 5)(x – 5) + x(x + 5)2 = = (x + 5)(x2 + 6x – 5)


3.80. (TIC) Halla las raíces de estos polinomios.

a) 3 2( ) 5 3 9A x x x x= − + + d) 2( ) 3 4 1D x x x= + +

b) 3 2( ) 2 9 4 15B x x x x= − + + e) 4 2( ) 10 9E x x x= − +

c) 4 3 2( ) 2 7 2 7C x x x x x= − + − f) 6( ) 1F x x= −

a) Posibles raíces enteras: ± 1, ± 3, ± 9

A(1) = 13 – 5 · 12 + 3 · 1 + 9 = 8

A(–1) = (–1)3 – 5 · (–1)2 + 3 · (–1) + 9 = 0

A(3) = 33 – 5 · 32 + 3 · 3 + 9 = 0

A(–3) = (–3)3 – 5 · (–3)2 + 3 · (–3) + 9 = = – 27 – 35 – 9 + 9 = –72

A(9) = 93 – 5 · 92 + 3 · 9 + 9 =

= 729 – 405 + 27 + 9 = 360

A(–9) = (–9)3 – 5 · (–9)2 + 3 · (–9) + 9 =

= – 729 – 405 – 27 + 9 = –1152

Raíces enteras de A(x): –1 y 3 (doble)

d) Posibles raíces enteras: ± 1

D(1) = 3 · 12 + 4 · 1 + 1 = 8

D(–1) = 3 · (–1)2 + 4 · (–1) + 1 = 0

D(x) = (x + 1)(3x + 1)

Raíces de D(x): –1 y 13

−

b) Posibles raíces enteras: ± 1, ± 3, ± 5 y ± 15

B(1) = 2 · 13 – 9 · 12 + 4 · 1 + 15 = 12

B(–1) = 2(–1)3 – 9(–1)2 + 4(–1) + 15 = 0

B(3) = 0

B(–3) = –132

B(5) = 60

B(–5) = –480

B(15) = 4800

B(–15) = –8820

B(x) = (x + 1)(x – 3)(2x – 5)

Raíces de B(x): –1, 3 y 52

e) Posibles raíces enteras: ± 1, ± 3, ± 9

E(1) = 14 – 10 · 12 + 9 = 0

E(–1) = (–1)4 – 10 · (–1)2 + 9 = 0

E(3) = 34 – 10 · 32 + 9 = 0

E(–3) = (–3)4 – 10 · (–3)2 + 9 = 0

E(9) = 94 – 10 · 92 + 9 = 5760

E(–9) = (–9)4 – 10 · (–9)2 + 9 = 5760

Raíces enteras de E(x): ± 1 y ± 3

c) Posibles raíces enteras: ± 1, ± 7

C(1) = 2 · 14 – 7 · 13 + 2 · 12 – 7 · 1 = – 10

C(–1) = 18

C(7) = 84

C(–7) = –2450

C(x) = x(2x – 7)(x2 + 1)

Raíces de C(x): 0 y 72

f) Posibles raíces enteras: ± 1

F(1) = 16 – 1 = 0

F(–1) = (–1)6 – 1 = 0

F(x) = (x + 1)(x – 1)(x2 – x + 1)(x2 + x + 1)

Raíces de F(x): ± 1


3.81. (TIC) Factoriza el numerador y el denominador para simplificar la fracción algebraica ( )( )

L xR x

, si:

• 3 2( ) 3 16 17 4L x x x x= − + −

• 3 2( ) 2 13 23 12R x x x x= − + −

3 – 16 17 – 4 3x2 – 13x + 4= 0 ⇒

2 413 13 4 4 3 13 11 12 3 6 3

x± − ⋅ ⋅ ± = =

⋅ 1 3 – 13 4

3 – 13 4 0

L(x) = 3x3 – 16x2 + 17x – 4 = 3 (x – 1)(x – 4) 13

x −

2 –13 23 –12

2x2 – 11x + 12 = 0 ⇒ 2 411 11 4 2 12 11 5 32 2 4 2

x± − ⋅ ⋅ ± = =

⋅ 1 2 –11 12

2 –11 12 0

R(x) = 2x3 – 13x2 + 23x – 12 = 2(x – 1)(x – 4) 32

x −

1 13( 1)( 4) 3

( ) 3 13 33 3( ) 2 32( 1)( 4) 22 2

x x x xL x xR x xx x x x

− − − − − = = =− − − − −

PROBLEMAS

3.82. Halla el polinomio de tercer grado que cumple las siguientes condiciones:

• Su coeficiente principal es 8.

• Es divisible por 2x2 + 1.

• El resto de su división entre x + 2 es 56.

Un factor es (2x2 + 1); para que su coeficiente principal sea 8, multiplicamos el factor por 4. Para que tenga grado 3 deberemos multiplicarlo por un binomio de grado 1 de la forma (x + b), quedando: P(x) = 4(2x2 + 1)(x + b). Aplicamos por último el teorema del resto para calcular b:

P(–2) = 4 [2 · (–2)2 + 1]( –2 + b) = 36(–2 + b) = 56 ⇒ –2 + b = 56 1436 9

= ⇒ b = 149

+ 2 ⇒ b = 329

Entonces, P(x) = 4(2x2 + 1) 329

x +

3.83. *El lado de un cuadrado es tres metros más largo que la base de un rectángulo y tres metros

más corto que su altura. Encuentra los polinomios que nos dan las áreas de esas figuras y deduce a continuación que el área del rectángulo es nueve metros cuadrados menor que la del cuadrado.

Sea x la longitud de la base del rectángulo y h su altura. Sabemos que 3 3l x h= + = − 2 2 2

cuadrado ( 3) 6 9A l x x x= = + = + + 2rectángulo ( 3 3) 6A x h x x x x= ⋅ = + + = +

2cuadrado rectángulo rectángulo cuadrado6 9 9 9A x x A A A= + + = + ⇒ = −


3.84. Halla un polinomio de segundo grado, R(x), en el que R(1) = 5, R(–1) = 9 y R(0) = 4.

R(x) será de la forma R(x) = ax2 + bx + c; veamos qué valores toma en cada punto: R(1) = a · 12 + b · 1 + c = a + b + c = 5 R(–1) = a(–1)2 + b · (–1) + c = a – b + c = 9 R(0) = a · 02 + b · 0 + c = c = 4

59

4

a b ca b cc

+ + = − + = =

2a + 2c = 14 ⇒ 2a + 2 · 4 = 14 ⇒ 2a = 14 – 8 ⇒ 2a = 6 ⇒ a = 3, 2b = –4 ⇒ b = –2

El polinomio resultante es R(x) = 3x2 – 2x + 4.

3.85. Encuentra los polinomios que dan el perímetro y el área de estas figuras.

a) Perímetro: P = 2 + x + (2x + 1) + 6 + 4 + (6 + 6 + (x – 5)) + x + 6 + 8 + 5 = 5x + 39 u Área: A = 2 · x + 8 · (x – 5) + 6 · 4 + x(6 + (x – 5)) = 2x + 8x – 40 + 24 + x + x2 = x2 + 11x – 16 u2 b) Perímetro: ( ) ( )( ) ( )( )2 3 8 5 9 2 3 5 2 7 5 8 9 2 7 5P x x x x x x x x= + + + + + + + + + + + + − + + + + − + + +

( ) 6 42 P x x u= +

Área: ( ) ( )( ) ( ) ( )( )5 9 2 2 7 5 8 9 2 3 2 (5 5 8 9 2 2 A x x x x x x x x x x= + + ⋅ + ⋅ + + − + + + − − + + − + + + ⋅ =

( ) ( ) ( )( )2 2 245 10 2 7 4 1 5 4 2 4 8 74 x x x x x x x x x u+ + + ⋅ − + + − − + + = + +

3.86. Encuentra el polinomio que al multiplicarlo por 2( 2)x − y sumarle (3 6)x − se convierte en 5 2( 5 4)x x x− − + .

Sea P(x) el polinomio buscado. Lo que nos dice el enunciado es que se cumple la siguiente igualdad:

( ) ( ) ( )2 5 2( ) 2 3 6 5 4P x x x x x x⋅ − + − = − − +

Despejando P(x),

( ) ( ) ( )2 5 2 5 2 5 2( ) 2 5 4 3 6 5 4 3 6 5 4 10P x x x x x x x x x x x x x⋅ − = − − + − − = − − + − + = − − +

( ) ( )5 2 2 3( ) 5 4 10 : 2 2 5P x x x x x x x= − − + − = + −

3.87. (TIC) Simplifica los siguientes polinomios.

a) (x – 2)(x + 2) – (x – 3)(x + 3) – x(2x + 1) – 4

b) (x2 + 2x + 1)(x4 – 2x3 + 3x2 + 1) – x6 + 2x3

a) (x – 2)(x + 2) – (x – 3)(x + 3) – x(2x + 1) – 4 = x2 – 4 – x2 + 9 – 2x2 – x – 4 = –2x2 – x + 1 b) (x2 + 2x + 1)(x4 – 2x3 + 3x2 + 1) – x6 + 2x3 = x6– 2x5 + 3x4 + x2 + 2x5 – 4x4 + 6x3 + 2x + x4 – 2x3 + + 3x2 + 1 – x6 + 2x3 = 6x3 + 4x2 + 2x + 1


3.88. Sean los polinomios E(x) = 4πx2, 25( )3

F x x= π y G(x) = 2πx2 + 10πx, asociados a distintas

figuras geométricas. Relaciona en tu cuaderno las cantidades de estas tres columnas.

Volumen de un cono de radio 3 y altura 5 G(3) 36π Área de un cilindro de altura 5 y radio 3 E(3) 15π

Volumen de una esfera de radio 3 F(3) 48π

Calculamos el valor de los tres polinomios en x = 3.

E(3) = 4π · 32 = 36π F(3) = 53

π · 32= 15π G(3) = 2π · 32 + 10π · 3 = 18π + 30π = 48π

Calculamos las áreas y los volúmenes:

Volumen de un cono de radio 3 y altura 5 = 13

πr2h = 13

π · 32 · 5 = 15π

Área de un cilindro de altura 5 y radio 3 = 2πr2 + 2πrh = 2π · 32 + 2π · 3 · 5 = 18π + 30π = 48π

Volumen de una esfera de radio 3 = 43

πr3 = 43

π · 33 = 36π

Por tanto, la relación queda: Volumen de un cono de radio 3 y altura 5 → F(3) → 15π Área de un cilindro de altura 5 y radio 3 → G(3) → 48π Volumen de una esfera de radio 3 → E(3) → 36π

3.89. (TIC) Calcula los valores de a y b necesarios para que se cumplan estas igualdades.

a) ( ) ( )5 3 2 4 3 25 4 3 2 2 2 1x x x x x x ax bx x− + − − = − + + + +

b) ( ) ( )6 5 4 2 2 4 32 4 4 8 2 4x x x x x x x x ax bx− − − + + = − − + + −

Multiplicamos e igualamos los coeficientes: a) (x – 2)(x4 + ax3 + bx2 + 2x + 1) = x5 + ax4 + bx3 + 2x2 + x –2x4 – 2ax3 – 2bx2 – 4x – 2 = = x5 + (a – 2)x4 + (b – 2a)x3 + (2 – 2b)x2 – 3x – 2 a – 2 = 0 ⇒ a = 2 b – 2a = –5 ⇒ b – 2 · 2 = – 5 ⇒ b = –1 2 – 2b = 4. Vemos que es correcta con los valores que habíamos obtenido. b) (x2 – x – 2)(x4 + ax3 + bx – 4) = x6 + ax5 + bx3 – 4x2 – x5 – ax4 – bx2 + 4x – 2x4 – 2ax3 – 2bx + 8 = = x6 + (a – 1)x5 – (a + 2)x4 + (b – 2a)x3 – (4 + b)x2 + (4 – 2b)x + 8 a – 1 = –1 ⇒ a = 0 – a – 2 = –2 sirve de comprobación. b – 2a = 0 ⇒ b = 2a ⇒ b = 0 – 4 – b = –4 sirve de comprobación. 4 – 2b = 4 sirve de comprobación.


3.90. En el juego del Polynomo has caído en una casilla en la que se lee esta tarjeta: “Eleva al cuadrado la cantidad de euros con la que has llegado hasta aquí; luego, paga a la banca el triple del dinero que tenías antes de caer; por último, la comunidad te reclama 180 euros”.

a) Expresa con un polinomio lo que dice la tarjeta.

b) Si llegas con 20 euros, ¿con cuántos sales?

c) Mario cayó en esta casilla cuando solo tenía 10 euros y tuvo que abandonar. ¿Por qué?

d) María salió de esta casilla con cero euros. ¿Cuántos tenía al caer en la fatídica casilla?

Llamamos x a la cantidad de dinero con la que se llega a la casilla de la tarjeta.

a) Sea P el polinomio correspondiente: 2( ) 3 180P x x x= − − .

b) 2(20) 20 3 20 180 400 60 180 160 €P = − ⋅ − = − − =

c) 2(10) 10 3 10 180 110 € 0P = − ⋅ − = − < Abandona por no tiene dinero suficiente para pagar.

d) 2

2 3 3 4 ( 180) 3 27 15( ) 3 180 012 no vale2 2

xP x x x xx

± − ⋅ − ± == − − = ⇒ = = = = − ⇒

Luego tenía 15 € cuando llegó a la casilla.

3.91. Observa la gráfica del polinomio f(x) = x2 + 2x – 3 y halla sus raíces.

Las raíces de este polinomio coinciden con los puntos de corte de la gráfica con el eje X, es decir, x = 1 y x = –3.

3.92. (TIC) Un pueblo con problemas de abastecimiento de agua quiere construir un depósito metálico para acumular agua de un trasvase.

Han decidido que el depósito tendrá forma de prisma de base cuadrada y carecerá de tapa.

Disponen de una pieza cuadrada de metal de 20 por 20 metros de la que cortan cuatro cuadrados de lado x en las cuatro esquinas y levantan los cuatro rectángulos resultantes para formar los laterales del depósito, soldando las esquinas.

a) ¿Qué polinomio V(x) expresa el volumen que puede acumular el depósito?

b) Halla los valores numéricos de V para x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, y después dibuja los puntos (x, V(x)).

c) ¿Podrías averiguar para qué valor de x el depósito tiene el máximo volumen?

a) Área de la base: (20 – 2x) · (20 – 2x); altura: x ⇒ V(x) = (20 – 2x)2 · x b) x = 0 ⇒ V(0) = (20 – 2 · 0)2 · 0 = 0 x = 1 ⇒ V(1) = (20 – 2 · 1)2 · 1 = 324 x = 2 ⇒ V(2) = (20 – 2 · 2)2 · 2 = 512 x = 3 ⇒ V(3) = (20 – 2 · 3)2 · 3 = 588 x = 4 ⇒ V(4) = (20 – 2 · 4)2 · 4 = 576 x = 5 ⇒ V(5) = (20 – 2 · 5)2 · 5 = 500 x = 6 ⇒ V(6) = (20 – 2 · 6)2 · 6 = 384 c) En la gráfica vemos que cerca de x = 3 el volumen del

depósito es máximo.


AMPLIACIÓN

3.93. El producto de las raíces del polinomio ( ) ( 2)( 4)(2 )P x x x x c= − − + es 40. ¿Cuál es el valor del número c?

a) 5 b) –10 c) 403

d) 3 40

2

Las raíces del polinomio en cuestión son 2, 4 y −2c , por lo que su producto, 40, es −4c, así que

40 104

c = = −−

, respuesta b).

3.94. El polinomio 2 20 25ax x− + es el cuadrado de un binomio. El coeficiente de x del binomio es:

a) 4 b) 1 c) 2 d) 0

ax2 − 20x + 25 = (bx − 5)2, así que −10b = −20, por lo que b = 2 y la respuesta correcta es c).

3.95. ¿Cuál es el resto de la división del polinomio 2011 2010 2( ) 1P x x x x x= + + + + + entre 1x − ?

a) 2012 b) 2011 c) 0 d) 1x +

Como el resto de la división de P(x) entre x – a es P(a), sigue que el resto pedido es 12011 + 12010 + … + 11 + 1 = 2012, respuesta a).

3.96. Un polinomio de grado 2 y múltiplo de 1x − es:

a) 2( ) 2 2P x x x= − + c) 2( ) 2 2010 2008P x x x= − +

b) 2( ) 1P x x= + d) 2( )P x x x= +

Al ser el polinomio pedido múltiplo de x – 1, el resto de la división de dicho polinomio entre x – 1 debe ser cero, es decir, el valor numérico para x = 1 tiene que ser cero, por lo que la respuesta es c).

3.97. Si las raíces de P(x) son 2 y 3, entonces:

a) ( ) ( 2)( 3)P x x x= − −

b) P(x) es positivo si x > 3.

c) P(x) es negativo entre 2 y 3.

d) P(1) y P(2,7) tienen diferente signo.

Como P(x) es un polinomio de grado 2, al ser sus raíces 2 y 3 la gráfica P(x) es: I) ó II) La opción a) no es correcta pues el coeficiente de x2 no tiene por qué ser 1, las opciones b) y c) no son correctas como muestra la figura II), por tanto, es correcta la opción d): P(1) y P(2,7) tienen diferente signo.


AUTOEVALUACIÓN

3.1. Transcribe al lenguaje algebraico:

a) El producto de tres números consecutivos.

b) El perímetro de un rectángulo de base b y altura h.

a) x · (x + 1) · (x + 2) b) 2b + 2h

3.2. Calcula el valor numérico del polinomio 3

2( ) 2( 1)2xP x x= − − para x1 = 2 y x2 = –1.

322(2) 2(2 1) 4 2 3 2

2P = − − = − ⋅ = −

32( 1) 1( 1) 2(( 1) 1)

2 2P −

− = − − − = −

3.3. Dados los siguientes polinomios:

P(x) = 3x2 – 2x + 4

Q(x) = –2x3 – x2 + 5x – 1

R(x) = x4 – x3 + 4x2 + 3x – 2

Calcula:

a) ( ) ( ) ( )P x Q x R x− +

b) ( ) ( ( ) ( ))P x Q x R x⋅ +

a) P(x) – Q(x) + R(x) = x4 + x3 + 8x2 – 4x + 3 b) P(x) · (Q(x) + R(x)) = 3x6 – 11x5 + 19x4 + 6x3 – 13x2 + 38x – 12

3.4. Realiza las siguientes divisiones de polinomios.

a) 4 2 3(5 3 1) : ( 1)x x x x x− + − − −

b) 3 2(4 2 2) : ( 1)x x x x− + + +

¿Podrías aplicar la regla de Ruffini? ¿Por qué?

a) b) No se puede aplicar Ruffini porque los divisores no tienen grado 1.

5x4 – 3x2 + x – 1 x3 – x –1 – 5x4 + 5x2 + 5x 5x

+ 2x2 + 6x – 1

4x3 – 2x + 2 x2 + x + 1 – 4x3 – 4x2 – 4x 4x – 4

– 4x2 – 6x + 2 4x2 + 4x + 4 – 2x + 6


3.5. Realiza las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini e indica el cociente y el resto.

a) 3 2(2 4 5 3) : ( 2)x x x x+ − − − b) 4 2( 3 4 2) : ( 3)x x x x− + − +

Cociente: 2x2 + 8x + 11 Cociente: x3 – 3x2 + 6x – 14

Resto: 19 Resto: 40

3.6. El desarrollo del cuadrado del binomio 2(3 )ab c− corresponde a:

a) 2 2 29a b c−

b) 2 2 29 6a b abc c− +

c) 2 2 29 6a b abc c+ +

d) 2 2 29 6a b abc c− −

Apartado b)

3.7. Indica a cuál de las siguientes expresiones corresponde el desarrollo de la suma por diferencia 2 2 2 2(2 3 )(2 3 )x y y z x y y z+ − .

a) 4 2 4 24 9x y y z+

b) 2 24 9x y y z−

c) 4 2 4 24 9x y y z−

d) 2 24 9x y y z+

Apartado c)

3.8. Calcula el valor de k que hace que el polinomio 5 3 2( ) 4 4P x x kx x x x= + + − + − sea múltiplo de x – 4.

P(4) = 45 + k · 44 + 43 – 4 · 42 + 4 – 4 = 1024 + 256k = 0; 1024 = –256k; k = –4

3.9. ¿Es x + 1 un factor del polinomio x71 – 1? Razona tu respuesta.

P(–1) = (–1)71 – 1 = –1 – 1 = –2 ≠ 0; por tanto, no es factor.

2 4 – 5 – 3 1 0 – 3 4 – 2

2 4 16 22 – 3 – 3 9 – 18 42

2 8 11 19 1 – 3 6 – 14 40


3.10. Factoriza los siguientes polinomios.

a) 3 2( ) 6 13 13 20P x x x x= + − − c) 3 2( ) 9 26 24R x x x x= + + +

b) 5 4 2( ) 5 11 6Q x x x x x= + − − − d) 4 3 2( ) 2 2S x x x x x= − − +

a) 6 13 –13 –20

22

47 7 4 6 20 7 23 36 7 – 20 0 52 6 12

2

x x x− ± + ⋅ ⋅ − ±

+ = ⇒ = = −⋅

–1 –6 –7 20 6 7 –20 0

3 2( ) 6 13 13 20P x x x x= + − − = (x + 1)(6x2 + 7x – 20) = 6(x + 1) 43

x −

52

x +

( ) ( 1) (3 4) (2 5)P x x x x= + ⋅ − ⋅ +

b)

1 1 0 –5 –11 –6 1 0 0 –5 –6

–1 –1 0 0 5 6 –1 –1 1 –1 6

1 0 0 –5 –6 0 1 –1 1 –6 0 1 –1 1 –6 2

2 1 1 4 1 3 1 113 02 1 2

x x x − ± − ⋅ ⋅ − ± −+ + = ⇒ = =

⋅

No tiene solución. 2 2 2 6

1 1 3 0

5 4 2( ) 5 11 6Q x x x x x= + − − − = (x + 1)(x4 – 5x – 6) =

= (x + 1)(x + 1)(x3 – x2 + x – 6) = (x + 1)2(x – 2)(x2 + x + 3) c)

1 9 26 24 {22 7 7 4 12 7 1 37 12 0 42 2

x x x − ± − ⋅ − ± −+ + = ⇒ = = − –2 –2 –14 –24 1 7 12 0

3 2( ) 9 26 24R x x x x= + + + = (x + 2)(x2 + 7x + 12) = (x + 2) ( )3x + ( )4x +

d)

1 –2 –1 2 ( )( )2 1 1 1x x x− = + − 2 2 0 –2 1 0 –1 0

( ) ( )( ) ( )( )( )4 3 2 3 2 2( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 1S x x x x x x x x x x x x x x x x= − − + = − − + = − − = − − +


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Aprende a pensar > Encriptación polinómica

3.1. El cifrado César consiste en sustituir cada letra por la que ocupa 3 posiciones más adelante en el alfabeto. Es decir, su clave es el polinomio P(x) = x + 3. Si al aplicar P(x) al número asociado a una letra obtienes un número mayor que 28, continúa por el comienzo de la tabla; es decir, divide entre 29 y toma el resto.

Utilizando el cifrado César: a) Encripta el mensaje “La suerte está echada”. b) Desencripta “Glñh d wx dor txh hp Fhvdu vrñr odpgd Fhvdu”. c) Ambas son frases atribuidas a Julio César. Averigua en qué contexto las dijo y por qué. a) “Ñd vxhuwh hvwd hfkdgd”. b) “Dile a tu amo que en César solo manda César”. c) Tras la conquista de la Galia, al volver a Roma, las tropas de César tenían que cruzar el río

Rubicón, que estaba prohibido para el ejército romano. César se adelantó y al otro lado dijo: “Alea iacta est”.

La segunda frase iba dirigida a un mensajero de Sila que traía la orden del dictador para que César se divorciara de su esposa, Cornelia.

3.2. Para que sea más difícil descifrar los mensajes se utilizan claves más complejas, como el

polinomio P(x) = x3 + 2.

Para cifrar la letra E se procede así: como E equivale a 4, se hace P(4) = 43 + 2 = 66 = 2 · 29 + 8. Como 8 (que es el resto de dividir 66 entre 29) equivale a I, se sustituye la E por la I.

Utilizando esta clave: a) Encripta la frase de Woody Allen: “El eco siempre dice la última palabra”. b) Desencripta otra frase del mismo autor: “?nq snqñmu¿nq smifix ix¿fi cj?cmqnq”. a) “I? ikn quisjfi auki ?c m?¿usc jc?cdfc”. b) “Los mosquitos mueren entre aplausos”.

3.3. Algunos polinomios sirven como claves para encriptar con este método, como P(x) = 3x + 1, y otros no, como Q(x) = x2 + 1. ¿A qué se debe?

Se debe a que no se trata de una correspondencia biunívoca, por lo que, en la encriptación, a letras diferentes les correspondería el mismo signo. Por ejemplo: Ñ ↔ 14 f(14) = 142 + 1 = 197 = 6 · 29 + 23 y 23 ↔ W Pero también: O ↔ 15 f(15) = 152 + 1 = 226 = 7 · 29 + 23 y 23 ↔ W Lo mismo ocurriría con N y P, que al encriptarlas se transforman en Y.

3.4. Ahora inventa tu propia clave, encripta un mensaje y pásalo a un compañero para que lo descifre. ¡Ojo, necesitará la clave!

Respuesta abierta.

3.5. Dado que puede utilizarse para fines terroristas o contra la seguridad del Estado, muchos países prohíben o limitan el uso de la criptografía más avanzada, hasta el punto de obligar a entregar a las autoridades todos los métodos y claves de encriptación.

Muchas personas consideran que esto vulnera su derecho a la intimidad y la libertad de expresión.

¿Qué opinas tú? Entra en http://matematicas20.aprenderapensar.net y participa en el debate.

Respuesta abierta.


Calcula y descubre > Cuenta con los polinomios

3.1. El número 13 4225 está escrito en base 5. Escribe su expresión polinómica y desarróllala para determinar a qué número en base 10 equivale.

4 3 2513422 1·5 3·5 4·5 2·5 2 1112= + + + + =

3.2. Expresa el número 134810 en las bases 5, 8 y 16.

4 3 210 51348 1250 75 20 3 2·5 0·5 3·5 4·5 3 20343= + + + = + + + + =

3 210 81348 1024 320 4 2·8 5·8 0·8 4 2504= + + = + + + =

210 161348 1280 64 4 5·16 4·16 4 544= + + = + + =

3.3. Aunque el sistema decimal nos parece el natural, esto solo se debe a la costumbre. En

realidad, otros sistemas tienen más ventajas. Para comprobarlo, observa la expresión tan sencilla que tiene el número 61 44010 en hexadecimal.

6144010 = F00016

3.4. El sistema decimal no siempre ha sido el más común en Europa. En francés, 99 todavía se dice quatre-vingt-dix-neuf, es decir, “cuatro veinte diecinueve”. ¿Qué base utilizaban? Expresa este número en la base adecuada inventando los símbolos que necesites. ¿Cuántas cifras ocupa?

La base es 20. Las cifras, o símbolos, son: 0, 1, 2, …, 9, A, B,…, I, J. 9910 = 4J20

3.5. Investiga las bases que se han utilizado en los sistemas de numeración posicionales de diferentes culturas y realiza una síntesis en la que expliques a qué se deben. Una ayuda: www.e-sm.net/4aesoz07.

Respuesta abierta.

Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM Autoría: Antonia Aranda, Rafaela Arévalo, Juan Jesús Donaire, Vanesa Fernández, Joaquín Hernández, Juan Carlos Hervás, Miguel Ángel Ingelmo, Cristóbal Merino, María Moreno, Isabel de los Santos, Esteban Serrano, Yolanda A. Zárate Edición: Oiana García, Inmaculada Fernández, Aurora Bellido Revisión contenidos solucionario: Juan Jesús Donaire Corrección: Javier López Ilustración: Modesto Arregui, Estudio “Haciendo el león”, Jurado y Rivas, Félix Anaya, Juan Francisco Cobos, José Santos, José Manuel Pedrosa Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano Maquetación: SAFEKAT S. L. Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez Coordinación editorial: Josefina Arévalo Dirección del proyecto: Aída Moya (*) Una pequeña cantidad de ejercicios o apartados han sido marcados porque contienen alguna corrección en su enunciado respecto al que aparece en el libro del alumno. Gestión de las direcciones electrónicas: Debido a la naturaleza dinámica de internet, Ediciones SM no puede responsabilizarse de los cambios o las modificaciones en las direcciones y los contenidos de los sitios web a los que remite este libro. Con el objeto de garantizar la adecuación de las direcciones electrónicas de esta publicación, Ediciones SM emplea un sistema de gestión que redirecciona las URL que con fines educativos aparecen en la misma hacia diversas páginas web. Ediciones SM declina cualquier responsabilidad por los contenidos o la información que pudieran albergar, sin perjuicio de adoptar de forma inmediata las medidas necesarias para evitar el acceso desde las URL de esta publicación a dichas páginas web en cuanto tenga constancia de que pudieran alojar contenidos ilícitos o inapropiados. Para garantizar este sistema de control es recomendable que el profesorado compruebe con antelación las direcciones relacionadas y que comunique a la editorial cualquier incidencia a través del correo electrónico [email protected]. Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra, a excepción de las páginas que incluyen la leyenda de “Página fotocopiable”. © Ediciones SM Impreso en España – Printed in Spain

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3 Polinomios - COLEGIO SAN VICENTE DE PAÚL...

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