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8/19/2019 3 Probabilidades.docx

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Probabilidades

Las probabilidades constituyen una rama de las matemáticas que se

ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que unsuceso o experimento produzca un determinado resultado. Laprobabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y esfundamento necesario de la estadística.

La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos francesesdel siglo XVII Blaise ascal y ierre de !ermat" aunque algunosmatemáticos anteriores" como #erolamo $ardano en el siglo XVI" %ab&anaportado importantes contribuciones a su desarrollo.

La probabilidad matemática comenzó como un intento de responder avarias preguntas que surg&an en los 'uegos de azar" por e'emplo sabercuántas veces se %an de lanzar un par de dados para que la probabilidadde que salga seis sea el () por ciento.

La probabilidad de un resultado se representa con un n*mero entre ) y+" ambos inclusive. La probabilidad ) indica que el resultado no ocurriránunca" y la probabilidad + que el resultado ocurrirá siempre. Losproblemas más sencillos estudian la probabilidad de un suceso favorableen un experimento o acontecimiento con un n*mero finito de resultados"todos ellos con igual probabilidad de ocurrir.

,i un experimento tiene n posibles resultados" y f de ellos se consideran

favorables" la probabilidad de un suceso favorable es f/n. or e'emplo"un dado no trucado se puede lanzar de seis formas posibles" por tanto"la probabilidad de que salga un ( ó un - es /-.

roblemas más complicados estudian acontecimientos en que losdistintos resultados tienen distintas probabilidades de ocurrir. ore'emplo" encontrar la probabilidad de que salga ( ó - al lanzar un par dedados0 los distintos resultados 1" 2"3+4 tienen distintasprobabilidades. 5lgunos experimentos pueden incluso tener un n*meroinfinito de posibles resultados" como la probabilidad de que una cuerdade circunferencia dibu'ada aleatoriamente sea de longitud mayor que el

radio.Los problemas que estudian experimentos repetitivos relacionan laprobabilidad y la estad&stica. 5lgunos e'emplos0 encontrar laprobabilidad de obtener ( veces un 2 y al menos 6 veces un - al lanzarun dado" sin %acer trampas" () veces7 si una persona lanza una monedaal aire y da un paso %acia delante si sale cara y un paso %acia atrás si

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Estadistica1(VF).htmhttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/Estadistica1(VF).htm


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=no de los m8todos más utilizados es aplicando la >egla de Laplace0define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casosfavorables y casos posibles.

Ejemplos:

a) robabilidad de que al lanzar un dado salga el n*mero 0 el casofavorable 1f4 es tan sólo uno 1que salga el dos4" mientras que los casosposibles 1n4 son seis 1puede salir cualquier n*mero deluno al seis4.

or lo tanto0

1o lo que es lo mismo" +-"-


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d) robabilidad al lanzar una moneda" con un águila enuna cara y un sol en la otra. ?ay dos casos posibles 1n4de ocurrencia 1o cae águila o cae sol4 y sólo un casofavorable 1f4 de que pueda caer águila 1pues sólo %ay unáguila en la moneda4.

or lo tanto0

1o" lo que es lo mismo" () egla de Laplace el experimentoaleatorio tiene que cumplir dos requisitos0

a) 9l n*mero de resultados posibles 1sucesoso eventos4tiene que ser finito. ,i %ubiera infinitos resultados" al


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aplicar la regla Dcasos favorables dividido por casos posiblesD el cocientesiempre ser&a cero.

b) ;odos los sucesos o eventos tienen que tener la misma probabilidad.,i al lanzar un dado" algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salirque otras" no podr&amos aplicar esta regla.

5 la regla de Laplace tambi8n se le denomina Dprobabilidad a prioriD" yaque para aplicarla %ay que conocer antes de realizar el experimentocuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismasprobabilidades.

$uando se realiza un experimento aleatorio un n*mero muy elevado deveces" las probabilidades de los diversos posibles sucesos empiezan aconverger %acia valores determinados" que son sus respectivasprobabilidades.

Ejemplo:

si lanzo una vez una moneda al aire y sale DcaraD" quiere decir que elsuceso DcaraD %a aparecido el +))< de las veces y el suceso DcruzD el)


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Curso: Se"undo Medio

ema: Probabilidad

Comentario:

9ste EexperimentoF tiene seis etapas que producen un espacio muestral1total de eventos posibles4" con s8xtuplos de verdadero y falso0 totalde elementos $* + *,.

$omo en cada etapa la probabilidad de acierto es de G y son seisocasiones en las que debe responder" la probabilidad total de aciertos enlas seis etapas es de

Las dos opciones posibles de la primera etapa se multiplican por las dos

de la segunda" generando cuatro opciones posibles7 luego estas cuatroopciones posibles se multiplican por las dos de la tercera etapa"generado oc%o opciones posibles" y as& %asta la sexta etapa.

9ste &tem resultó dif&cil" sin embargo la omisión 1++ por ciento4 no fuealta" lo cual indica que para el -( por ciento de las personas que loabordaron incorrectamente es un tipo de e'ercicio que se ve en la salade clases" pero el contenido no %a sidointernalizado en forma correcta por los alumnos.

La dificultad de la pregunta radica en definir el n*mero total de sucesos

o eventos posibles -n + *,) ya que se sabe que existe solo unaopción posible -f).

9l más llamativo de los distractores fue B y fue elegido por aquellosalumnos que no tienen claro cómo se define un espacio muestral 1eltotal de eventros posibles4 y dicen que 8ste es -" por ser seis las etapasen que participa.

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/ProbabilidadCalculo.htmhttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/ProbabilidadCalculo.htm


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PS: Estadística ! Probabilidades

Pre"unta #,%$##&

,e lanzan dos dados" uno a continuación del otro. ,abiendo que la sumade los puntos obtenidos es -" la probabilidad de que en un dadoaparezca un es

Curso: Se"undo Medio

ema: Probabilidad

Comentario:

$omo se sabe por el enunciado que Ela suma de los puntos debe ser -F"

%ay sólo ( posibilidades en las que esta suma pueda ocurrir0+er dado H dado suma + ( - $ 6 - 2 2 - 6 $ - ( + -

como la otra condición que pone el enunciado del problema es que Elaprobabilidad de que aparezca un F en el primer dado o en el segundodado" se remite a dos casos" resulta de (.

or lo tanto" la clave es ..

>esultó muy dif&cil y el -J por ciento de las personas que lo abordaron"se repartieron entre los distintos distractores.

9l distractor más llamativo fue 9" que corresponde a aquellos alumnosque dicen que la probabilidad de que salga un al lanzar un dado es +



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de -" no %abiendo entendido bien el enunciado. 9n forma similar llegana K" tomando los casos que ocurren de -.

tro grupo toma el espacio muestral como 2-" sin reparar que ya sesabe que la suma obtenida es -" razonan de la misma forma anterior yllegan a B y $.

La quinta parte de las personas que rinden la prueba omiten este &tem.


Pre"unta #%$##*

9n la figura

se tiene una ruleta en que la flec%a puede indicar cualquiera de los 6sectores y ella nunca cae en los l&mites de dic%os sectores. @$uál1es4 delas siguientes proposiciones es1son4 verdadera1s4

I4 La probabilidad de que la flec%a caiga en el n*mero + es .

II4 La probabilidad de que la flec%a caiga en el n*mero es .

III4 La probabilidad de que la flec%a caiga en el n*mero ó en el 2 es

.lternativas

54 ,ólo I

B4 ,ólo II

$4 ,ólo III


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K4 ,ólo I y II

94 ,ólo I y III

Contenido: 0esolución de problemas sencillos 1ue involucrensuma o producto de probabilidades2

Comentario

9s un &tem del tipo combinado" en el cual se tiene el enunciado y sepresentan tres afirmaciones para determinar su valor de verdad.

$omo la ruleta mostrada en la figura posee cuatro sectores circularescongruentes" es lógico suponer que la probabilidad de que la flec%acaiga en alguno de ellos es la misma.

5demás" se tienen dos sectores marcados con el n*mero + y el total de

sectores es 6" luego la probabilidad de caer en es " por tanto 3)

es verdadera.

Kedido a que se tiene un sector marcado con el " la probabilidad de

que caiga en $ es " por lo tanto" 33) también es verdadera.

La probabilidad de que caiga en $ ó en 4 es de " porque la sumade sus sectores equivale a dos de los cuatro sectores seMalados" por lotanto" 333) es falsa.

9n consecuencia" la opción correcta es la 5).

La pregunta obtuvo el 2-"- por ciento de respuestas correctas y laomisión fue del 2+ por ciento.

9l distractor más elegido fue B4.


Pre"unta #$%$##*

Ke una tómbola se saca una de 2) bolitas numeradas de + a 2). @$uáles la probabilidad de que el n*mero de la bolita extra&da sea m*ltiplo de6

.lternativas



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Contenido: 67a probabilidad como proporción entre el n8mero deresultados favorables ! el n8mero total de resultados posibles92

Comentario

$omo la tómbola contiene bolitas numeradas del + al 2)" el alumnodebe determinar los m*ltiplos de 6 comprendidos entre estos dosn*meros" ellos son0 67 N7 +7 +-7 )7 6 y N" es decir son : bolitas quecontienen m*ltiplos de 6 y como el espacio muestral es igual a 2)" la

probabilidad es de " por lo que la clave es C).

9l distractor más elegido fue B4" corresponde a los alumnos que sin unmayor análisis y como se menciona que el n*mero debe ser m*ltiplo de

6" dicen .

9ste &tem" aparentemente fácil" no lo fue tanto" pues lo contestó enforma correcta el (+"2 por ciento de quienes lo abordaron y lo omitióprácticamente la cuarta parte de la población.




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Pre"unta #*%$##*

@$uál es la probabilidad de que al lanzar 2 monedas" simultáneamente" sean caras y + sea sello

.lternativas

Contenido: 7a probabilidad como proporción entre el n8mero deresultados favorables ! el n8mero total de resultados posibles2

Comentario:

9sta pregunta la resolvemos utilizando el diagrama de árbol" como semuestra a continuación0

9l espacio muestral es N y las posibilidades de ocurrencia de obtener caras y + sello" seMaladas con negrita y asterisco 1O4" son 2" luego la

probabilidad pedida es " que corresponde a la opción .)2



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9l &tem resultó dif&cil" lo abordó solamente el ++" por ciento en formacorrecta y la tercera parte lo omitió.

9l distractor más elegido fue K4" casi la quinta parte de los postulantes"se inclinó erróneamente por 8l.

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