3. Problema de Transportes
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7/25/2019 3. Problema de Transportes
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14/06/20
PROBLEMA DE TRANSPORTE
Rmulo Alves Soares
Junho/2016
Universidade Federal do CearFaculdade de Economia, Administrao, Aturia e ContabilidadeCurso de Cincias Atuariais
Problema de transporte
O problema de transporte est relacionado com adeterminao de uma estratgia tima para a distribuio deum produto, saindo de seus centros de produo, com fbricas,para centros de recebimento, como armazns ou lojas.
Cada centro de produo, chamados de origens, capaz defornecer um nmero mximo de unidades do produto, ao que
denominamoscapacidadeoudisponibilidade.
Cada centro de recebimento, chamados dedestinos, tm umademanda mnima de unidades, a sua demanda ourequerimento.
Esse tipo de problema tambm pode ser utilizado para adeciso sobre a alocao de novas unidades de uma empresa.
2
mailto:[email protected]:[email protected] -
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Exemplo
Uma empresa que produz concreto possui trs fbricas (1, 2 e3), e atende a trs locais de construo (A, B e C)
As fbricas tm a capacidade de fornecer concreto, emtoneladas, dada pela tabela a seguir:
As demandas das construes, em toneladas, so de:
3
Fbrica Capacidade
1 300
2 300
3 100
Construo Demanda
A 200
B 200
C 300
Exemplo
O custo para transportar uma tonelada de concreto de cadauma das fbricas, para cada uma das construes demonstrado na figura a seguir:
4
1
2
3
A
B
C
43
8
75
9
4 5
5
-
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Exemplo
Podemos agora representar toda a informao numa nicatabela:
5
ParaA B C Oferta
De
1 4 3 8 300
2 7 5 9 300
3 4 5 5 100
Demanda 200 200 300 700
Exemplo
Representao matemtica do problema:
Notao utilizada
xij= nmero de unidades transportada da origemipara o destinoj;
oi= oferta da origemi;
dj= demanda do destinoj;
cij= custo por unidade transportada da origemipara o destinoj.
6
Destinos
1 2 n Oferta
Origens
1 c11 c11 c1n o12 c21 c21 c2n o2 m cm1 cm2 cmn om
Demanda d1 d2 dn
-
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Exemplo
Representao matemtica do problema: Seja Zo custo total de distribuio de todas as m origens para os n
destinos.
No exemplo,Zser o custo total das toneladas de concreto distribudas.
A funo objetivo do problema :
4+ 3+ 8+ 7+ 5+ 9+ 4+ 5+ 5 Nesse problema, o total da oferta e o total da demanda so iguais, ou
seja:
=
=
Isso implica que, ao distribuir toda a oferta, toda demanda seratendida, ento, as restries do problema sero equaes, ao invs deinequaes.7
Exemplo
Representao matemtica do problema:
O problema do transporte pode ser representado matematicamentecomo:
=
=
Com restries:
=
, 1,2 ,3, ,
=
, 1,2 ,3, ,
8
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Soluo inicial de um problema detransporteMtodo do canto noroeste
Aps a representao do problema, o prximo passo para suasoluo consiste na determinao de uma soluo bsicainicial.
A soluo inicial em que todos os valores dexso nulos no vivel pra um problema de transporte.
Uma das formas de se determinar uma soluo inicial bsica
para o problema dos transportes chama-semtodo do cantonoroeste.
9
Soluo inicial de um problema detransporteMtodo do canto noroeste
Mtodo do canto noroeste:
1. Escolha a clula no canto ao extremo noroeste da tabela.
2. Aloque o mximo de produtos nesta clula, levando em considerao a
demanda da coluna e a oferta da linha.
3. Atenda toda a oferta da linha antes de mover para a prxima linha.
4. Quando toda a oferta for atendida, cheque se todos os requerimentos
esto corretos.
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Exemplo
Uma fbrica de mveis produz mesas em trs locais: D, E e F. Asmesas so distribudas para armazns trs armazns diferentesA, B e C. A ofertas, demandas e os custos de transporte estorepresentados na tabela a seguir:
11
ParaA B C Oferta
De
D 5 4 3 100
E 8 4 3 300
F 9 7 5 300Demanda 300 200 200 700
Exemplo
Representao de uma tabela para o problema de transporte:
12
A B C Oferta
D 5 4 3
100
E 8 4 3 300
F 9 7 5
300
Demanda 300 200 200 700
-
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Exemplo
Representao de uma tabela para o problema de transporte:
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A B C Oferta
D 5 4 3
100100
E 8 4 3
300
F 9 7 5
300
Demanda 300 200 200 700
Exemplo
Representao de uma tabela para o problema de transporte:
14
A B C Oferta
D 5 4 3
100100
E 8 4 3 300200
F 9 7 5
300
Demanda 300 200 200 700
-
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Exemplo
Representao de uma tabela para o problema de transporte:
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A B C Oferta
D 5 4 3
100100
E 8 4 3
300200 100
F 9 7 5
300
Demanda 300 200 200 700
Exemplo
Representao de uma tabela para o problema de transporte:
16
A B C Oferta
D 5 4 3
100100
E 8 4 3 300200 100
F 9 7 5
300100
Demanda 300 200 200 700
-
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Exemplo
Representao de uma tabela para o problema de transporte:
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A B C Oferta
D 5 4 3
100100
E 8 4 3
300200 100
F 9 7 5
300100 200
Demanda 300 200 200 700
Exemplo
Representao de uma tabela para o problema de transporte:
18
A B C Oferta
D 5 4 3
100100
E 8 4 3 300200 100
F 9 7 5
300100 200
Demanda 300 200 200 700
-
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Exemplo
A soluo inicial dada pelo mtodo do canto noroeste :
A soluo encontrada tima?19
Rota Unidades
transportadas
Custo por
unidade
Custo
TotalDe Para
D A 100 5 500
E A 200 8 1.600
E B 100 4 400
F B 100 7 700
F C 200 5 1.000Total 4.200
Critrio de otimalidade
Mtodo destepping-stone
Para determinar se uma soluo tima pelo mtodo destepping-stone preciso:
1. Selecionar uma clula vazia.
2. A partir dessa clula, trace um caminho fechado de volta at aclula inicial. S so permitidos movimentos horizontais ouverticais e s permitido mudar direo nas clulas preenchidas.
3. Adicione um sinal de (+) clula inicial e em seguida alterne entresinais de (-) e (+) sempre que houver mudana na direo.
4. Calcule um ndice de melhoria, Iij, adicionando os custos dasclulas que receberam um sinal de (+) ou (-), levando emconsiderao esse sinal.
5. Faa o procedimento para todas as clulas vazias.
Se todos os ndicesIijforem maiores que ou iguais a zero, a soluo tima;
Caso contrrio, a soluo poder ser melhorada.
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Exemplo
Escolhendo a clulaCDB
(Rota de D para B)
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A B C Oferta
D 5 Incio 4 3
100100 +
E 8 4 3
300200 100
F 9 7 5
300100 200
Demanda 300 200 200 700
Exemplo Escolhendo a clulaCDB(Rota de D para B)
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A B C Oferta
D 5 Incio 4 3
100100 +
E 8 4 3
300200 100
F 9 7 5
300100 200
Demanda 300 200 200 700
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Exemplo
Escolhendo a clulaCDB
(Rota de D para B)
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A B C Oferta
D 5 Incio 4 3
100100 - +
E 8 4 3
300200 100
F 9 7 5
300100 200
Demanda 300 200 200 700
Exemplo Escolhendo a clulaCDB(Rota de D para B)
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A B C Oferta
D 5 Incio 4 3
100100 - +
E 8 4 3
300200 + 100
F 9 7 5
300100 200
Demanda 300 200 200 700
-
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Exemplo
Escolhendo a clulaCDB
(Rota de D para B)
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A B C Oferta
D 5 Incio 4 3
100100 - +
E 8 4 3
300200 + 100 -
F 9 7 5
300100 200
Demanda 300 200 200 700
4 5 + 8 4 +3
Exemplo Escolhendo a clulaCDC(Rota de D para C)
26
A B C Oferta
D 5 4 Incio 3
100100 +
E 8 4 3
300200 100
F 9 7 5
300100 200
Demanda 300 200 200 700
-
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Exemplo
Escolhendo a clulaCDC
(Rota de D para C)
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A B C Oferta
D 5 4 Incio 3
100100 +
E 8 4 3
300200 100
F 9 7 5
300100 200
Demanda 300 200 200 700
Exemplo Escolhendo a clulaCDC(Rota de D para C)
28
A B C Oferta
D 5 4 Incio 3
100100 - +
E 8 4 3
300200 100
F 9 7 5
300100 200
Demanda 300 200 200 700
-
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Exemplo
Escolhendo a clulaCDC
(Rota de D para C)
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A B C Oferta
D 5 4 Incio 3
100100 - +
E 8 4 3
300200 + 100
F 9 7 5
300100 200
Demanda 300 200 200 700
Exemplo Escolhendo a clulaCDC(Rota de D para C)
30
A B C Oferta
D 5 4 Incio 3
100100 - +
E 8 4 3
300200 + 100 -
F 9 7 5
300100 200
Demanda 300 200 200 700
-
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Exemplo
Escolhendo a clulaCDC
(Rota de D para C)
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A B C Oferta
D 5 4 Incio 3
100100 - +
E 8 4 3
300200 + 100 -
F 9 7 5
300100 + 200
Demanda 300 200 200 700
Exemplo Escolhendo a clulaCDC(Rota de D para C)
32
A B C Oferta
D 5 4 Incio 3
100100 - +
E 8 4 3
300200 + 100 -
F 9 7 5
300100 + 200 -
Demanda 300 200 200 700
3 5 + 8 4 + 7 5 +4
-
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Exemplo
Escolhendo a clulaCEC
(Rota de E para C)
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A B C Oferta
D 5 4 3
100100
E 8 4 Incio 3
300200 100 - +
F 9 7 5
300100 + 200 -
Demanda 300 200 200 700
3 4 + 7 5 +1
Exemplo Escolhendo a clulaCFA(Rota de F para A)
34
A B C Oferta
D 5 4 3
100100
E 8 4 3
300200 - 100 +
F Incio 9 7 5
300+ 100 - 200
Demanda 300 200 200 700
9 7 + 4 8 2
-
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Exemplo
ndices de melhoria obtidos:
Como h um ndice negativo, IFA, isso significa que o custo pode serdiminudo se o destinoAfor atendido pela origemF.
35
9 7 + 4 8 2 3 4 + 7 5 +1 3 5 + 8 4 + 7 5 +4 4 5 + 8 4 +3
Nova soluo bsica
Redistribuindo os produtos
36
A B C Oferta
D 5 4 3
100100
E 8 4 3
300200 100
F 9 7 5
300100 200
Demanda 300 200 200 700
-
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Nova soluo bsica
Redistribuindo os produtos
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A B C Oferta
D 5 4 3
100100
E 8 4 3
300100 200
F 9 7 5
300100 200
Demanda 300 200 200 700
Exemplo
A nova soluo encontrada :
A soluo encontrada tima?38
Rota Unidades
transportadas
Custo por
unidade
Custo
TotalDe Para
D A 100 5 500
E A 100 8 800
E B 200 4 800
F A 100 9 900
F C 200 5 1.000
Total 4.000
-
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Nova soluo bsica
Escolhendo a clulaCDB
(Rota de D para B)
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A B C Oferta
D 5 Incio 4 3
100100 - +
E 8 4 3
300100 + 200 -
F 9 7 5
300100 200
Demanda 300 200 200 700
4 5 + 8 4 +3
Nova soluo bsica Escolhendo a clulaCDC(Rota de D para C)
40
A B C Oferta
D 5 4 Incio 3
100100 - +
E 8 4 3
300100 200
F 9 7 5
300100 + 200 -
Demanda 300 200 200 700
3 5 + 9 5 +2
-
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Nova soluo bsica
Escolhendo a clulaCEC
(Rota de E para C)
41
A B C Oferta
D 5 4 3
100100
E 8 4 Incio 3
300100 - 200 +
F 9 7 5
300100 + 200 -
Demanda 300 200 200 700
3 8 + 9 5 1
Nova soluo bsica Escolhendo a clulaCFB(Rota de E para C)
42
A B C Oferta
D 5 4 3
100100
E 8 4 3
300100 + 200 -
F 9 Incio 7 5
300100 - + 200
Demanda 300 200 200 700
7 4 + 8 9 +2
-
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Exemplo
ndices de melhoria obtidos:
Como h um ndice negativo, IEC, isso significa que o custo pode serdiminudo se o destinoCfor atendido pela origemE.
43
7 4 + 8 9 +2 3 8 + 9 5 1 3 5 + 9 5 +2 4 5 + 8 4 +3
Nova soluo bsica Redistribuindo os produtos
44
A B C Oferta
D 5 4 3
100100
E 8 4 3
300100 200
F 9 7 5
300100 200
Demanda 300 200 200 700
-
7/25/2019 3. Problema de Transportes
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Nova soluo bsica
Redistribuindo os produtos
45
A B C Oferta
D 5 4 3
100100
E 8 4 3
300200 100
F 9 7 5
300200 100
Demanda 300 200 200 700
Exemplo
A nova soluo encontrada :
A soluo encontrada tima?46
Rota Unidades
transportadas
Custo por
unidade
Custo
TotalDe Para
D A 100 5 500
E B 200 4 800
E C 100 3 300
F A 200 9 1.800
F C 100 5 500
Total 3.900
-
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Exemplo
ndices de melhoria obtidos:
Como no h ndices negativos, a soluo encontrada tima.
47
7 5 + 3 4 +1 8 9 + 5 3 +1 3 5 + 9 5 +2 4 5 + 9 5 + 3 4 +2
Referncia
MOORI, Jamshid. Transportation and assignment problems.University of Kwazulu-Natal, 2013. Disponvel em:.
48