3 Teo Gramaticas 1

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Teora de la Computacin

Fundamentos de la Teora de Gramticas

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Dra. Norka Bedregal Alpaca


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INTRODUCCININTRODUCCIN

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IntroduccinIntroduccin

Los lenguajes son subconjuntos de las palabras sobre un alfabeto

Una gramtica define la estructura de las frases y de las palabras de un lenguaje.

Las gramticas son un mtodo para la generacin de palabras de un lenguaje a partir de un alfabeto.

Para generar estas palabras se utilizan las derivaciones.

Se dice que las gramticas son formales porque se centran en los estudios de los lenguajes formales.

Los lenguajes formales son aquellos que estn definidos a partir de reglas preestablecidas.

Para los lenguajes naturales existen otro tipo de gramticas.


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Gramtica FormalGramtica Formal

Cmo se pueden definir las palabras que pertenecen a un determinado lenguaje? Enumerando el conjunto de palabras

Qu sucede si algunos lenguajes son infinitos? Descripcin informal de las palabras:

Puede ser complicado e impreciso Descripcin formal, basada en los operadores de

palabras: No es suficiente para especificar todos los

lenguajes Es necesario un formalismo para definir los lenguajes

(las palabras que pertenecen a un lenguaje). una posibilidad: Gramticas formales:


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Gramtica FormalGramtica Formal

Gramtica formal: Una gramtica describe de forma inequvoca la

estructura de las palabras de un lenguaje Proporciona un mecanismo para generar todas las

palabras que pertenecen a un determinado lenguaje Tambin se llaman gramticas generadoras


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PRODUCCIONESDERIVACIONES

PRODUCCIONESDERIVACIONES

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ProduccionesProduccionesDefinicin (Produccin):Sea un alfabeto. Una produccin, regla de produccin, regla de derivacin, o regla de escritura, es un par ordenado (x, y), tambin representado por x ::= y, tal que:

x + y *donde x es la cabeza o parte izquierda de la produccin, e y su cuerpo o parte derecha.Es decir, si se encuentra x como parte de cualquier palabra v, se puede sustituir x por y en v, lo que permite transformar palabras en otras


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Ejemplos: = {ab}; a ::= bbv = aabbaa

w1 = bbabbaa w2 = aabbaa w3 = bbbbbbaa w4 = aabbabb


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ProduccionesProducciones

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DerivacionesDerivacionesDefinicin (Derivacin directa):Sea un alfabeto, x ::= y una produccin sobre , sean v, w *.

Se dice que w es una derivacin directa de v, o v produce directamente w, o v se reduce de forma directa a w, y se representa por v w, si:


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uyzwuxzvuz == :, *

Se cumple que para cada produccin x::=y existe una derivacin directa (haciendo z = u = ) tal que x yEjemplo:

= {A, B, C, , X, Y, Z}BA ::= ME

CABALLO ::= CAMELLO

Definicin (Derivacin):Sean un alfabeto, P un conjunto de producciones sobre . Sean v y w dos palabras de *. Se dice que w deriva de v, o v produce w, o v se reduce a w, y se presenta por v * w si:

1. v = w 2. Existe una secuencia finita de derivaciones

directas u0 u1

u1 u2

un-1 un , tales que u0 = v y un = wEs la aplicacin de una secuencia de producciones a una palabra.


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DerivacionesDerivaciones

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La longitud de una derivacin v * w es el nmero de derivaciones directas en la secuencia.

El operador + se refiere a una derivacin con longitud >0.

Ejemplos:1. 1. La longitud de u *u es 0.2. = { C, N, 0, 1, 2 }

P = { N::=CN, N::=C, C::=0, C::=1, C::=2} N CN CN CC CC 0C 0C 00

N *00 con longitud 4Dra. Norka Bedregal Alpaca

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Definiciones: Derivacin ms a la izquierda:Se utiliza en cada derivacin directa la produccin aplicada a los smbolos ms a la izquierda de la palabra. Derivacin ms a la derecha:Se utiliza en cada derivacin directa la produccin aplicada a los smbolos ms a la derecha de la palabra.


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1. Reflexiva:

2. Transitiva:

3. Simtrica: no se cumple


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Propiedades de la derivacinPropiedades de la derivacin

xxx *: +

zxzyyxsizyx ***:,, +


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GRAMTICAS FORMALES

GRAMTICAS FORMALES

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Motivacin:Ejemplo Castellano:La sintaxis del castellano se define mediante reglas:

1. Una oracin consta de sujeto y predicado y termina con un punto.

2. Un sujeto es una frase nominal.3. Una frase nominal es un grupo nominal seguido

de un calificativo (que puede faltar)4. ...


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Gramtica formalGramtica formal

Motivacin:Ejemplo Castellano:Se pueden usar producciones para representar estas reglas: ::= . ::= ::= ::=


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Se puede analizar si una palabra del lenguaje (en castellano se llaman frases) es gramaticalmente correcta:


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La idea consiste en definir un lenguaje mediante reglas de produccin.Ejemplo: lenguaje formal 1 = { S, A, a, b }P = { S::=Ab, A::=aAb, A::= }Cules son las posibles derivaciones (irreducibles) desde ? S Ab b S Ab aAbb abb S Ab aAbb aaAbbb aabbb ...

{ x | S * xyx es irreducible} = {an bn+1 |n 0}


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Ejemplo: lenguaje formal 2 = { S, a, b }P = { S::= , S::=aSb} {x | S * xyx es irreducible }?

Se puede considerar que los elementos de tienen distinta funcionalidad: S y A : variables (smbolos no terminales) a y b : smbolos terminales S: smbolo no terminal de partida (axioma)


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Definicin (Gramtica formal):Se denomina gramtica formal a una cudrupla:

G = (N, T, S, P ) donde: N es un conjunto finito llamado alfabeto de smbolos

no terminales o, simplemente alfabeto de variables T es un conjunto finito, se denomina alfabeto de

smbolos terminales N y T son disjuntos; se cumple que es la unin de

N y T S N es una variable distinguida que se denomina

axioma o smbolo inicial


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Definicin (Gramtica formal): P es un conjunto finito llamado conjunto de

producciones (o simplemente sistema de escritura) cuyos elementos tienen la forma u ::= v, tal que:

o u + v *

o u = xAy, x,y * , A N


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Nota: Para obtener el lenguaje hay que derivar desde el axioma.

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Ejemplos:1. G1 = ({S,A), {a,b}, S, P)

P = { S::=Ab, A::=aAb, A::= }

2. G = (N , T , S, P) no es una gramtica si S N u ::= v P con u T *

Existe a tal que a T a N


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Definicin:Una gramtica se encuentra representada en la forma Backus-Naur (BNF), si todas las producciones tienen la forma u::=v y todas las producciones con la misma cabeza:

u ::= v , u ::= w, ...

se representan por: u ::= v | w | ...


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Gramtica forma Backus-Naur (BNF)Gramtica forma Backus-Naur (BNF)

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Ejemplo: Sea la gramtica

T = {0, 1, 2}N = {N, C}S = NP = { N::=NC, N::=C, C::=0, C::=1, C::=2}

Es posible establecer una notacin simplificada para las reglas de produccin. Si existen dos reglas de la forma

u::=v

u::=w

se pueden representar de la forma u::=v | w, con lo que:N ::= NC | C C ::= 0 | 1 | 2


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Gramtica forma Backus-Naur (BNF)Gramtica forma Backus-Naur (BNF)

Ejemplo:Dada G = ( {0, 1, 2, 3, 4, , 9}, { N, C }, N, P)con P = { N ::= NC | C , C ::= 0 | 1 | 2 | 3 | | 9 }

Luego L(G) = {N}Entonces, para crear 2015 N

N NC N5 NC5 N15 NC15 N015 C015 2015


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Ejemplo:Dada la gramtica G = ( { 0, 1 }, { S }, S, P)con P = { S ::= 00S1 | }

Luego el lenguaje generado es L(G) = { 02n 12n / n 0 }

puesto queS 00 S 11 00 11 = 0212


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Ejemplo:Dada la gramtica G = ( { a, b } , { A, B, C }, A, P)con el conjunto de producciones:P = { A ::= aABC | abC, CB ::= BC, bB ::= bb, bC ::= b }

Encuentre L(G) = ?


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Definicin (forma sentencial):Sea una gramtica G = ( N, T, S, P). Una forma sentencial de G es una secuencia de smbolos x * tal que S * x.

Ejemplo:G = ( {S,A), { a, b}, S, P)P = { S ::= Ab, A ::= aAb | }

Formas sentenciales: S, Ab, aaAbbb, aabbb, b No lo son: a, aaAbb


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Formas sentenciales y SentenciasFormas sentenciales y Sentencias

Ejemplo:Sea la gramtica

T = {0, 1, 2}N = {N, C}S = NP = { N::=NC, N::=C, C::=0, C::=1, C::=2}

las siguientes son formas sentenciales: NCC, NC2, 120

S = N NC NCCS = N NC NCC NC2S = N NC NCC CCC 1CC 12C 120


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Definicin (sentencia):Una sentencia de G es una forma sentencial x tal que:

x T*

Es decir, las sentencias estarn compuestas nicamente por smbolos terminales.

Ejemplo:En el ejemplo anterior es sentencia: 120


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LENGUAJE ASOCIADO A UNA

GRAMTICA

LENGUAJE ASOCIADO A UNA

GRAMTICA

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Definicin (lenguaje reconocido):Dada una gramtica G = ( N, T, S, P), se llama lenguaje reconocido por G, lenguaje asociado a G, lenguaje descrito por G o lenguaje generado por G, al conjunto formado por todas las sentencias de G:

L(G) = { x | S * x x T* }

Nota: A las sentencias tambin se les denomina palabras

Ejemplos:1. G1 = ( {S,A), { a, b}, S, P)

con P={S::=Ab, A::=aAb| }L (G1) = {an bn+1 | n 0}


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Lenguaje asociado a una gramticaLenguaje asociado a una gramtica

Ejemplos:2. G2 = ( {S, A), { a, b}, S, P)

con P= {S::=Ab, A::=aAb}L(G2)?


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3. G3 = ( {S,A), {a ,b }, S, P) con P = { S ::=Ab, A::=aAb|aS }L(G3)?

4. G4 = ( {S, A), { a, b}, S, P) con P = { S::=Ab, A::=ab|a}

L(G4)?

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Lenguaje asociado a una gramticaLenguaje asociado a una gramticaEjemplos:5. G5 = ( {A, B, C, D, E, S}, {a}, S, P )

con P = { S ::= ABaC, Ba::=aaB,BC::=DC|E, aD::=Da, AD::=AB, aE::=Ea, AE::= }

L(G5)?

6. G6 = ( {S,A), {a, b}, S, P) con P = { S::=Ab, A::=Aab|a}L(G6)?

Observacin: Ya que la teora de gramticas formales (Chomsky),

junto con la notacin BNF, proporciona una forma de describir lenguajes

Esta simbologa se considera como un meta lenguaje (lenguaje para describir lenguajes).


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Tipos de GramticasTipos de Gramticas

Jerarqua de Chomsky: Chomsky clasific las gramticas en cuatro grandes

grupos:G0, G1, G2 y G3

Cada uno de estos grupos incluye las gramticas del siguiente, de acuerdo con el siguiente esquema:


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TIPOS DE GRAMTICAS

TIPOS DE GRAMTICAS

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Tipos de GramticasTipos de Gramticas

Jerarqua de Chomsky:

L(G0) = lenguajes recursivamente enumerables o sin restricciones

L(G1) = lenguajes sensibles al contexto L(G2) = lenguajes independientes del contexto L(G3) = lenguajes regulares


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Gramticas tipo 0Gramticas tipo 0

Tambin llamadas gramticas sin restricciones

Definicin (Gramticas Tipo 0):Las gramticas de tipo 0 son las definidas anteriormente, cuyas reglas de produccin tiene la forma:

xAy ::= v con x, y ,v * , A N

En las reglas de produccin: La parte izquierda no puede ser la palabra vaca. En la parte izquierda debe aparecer algn smbolo no

terminal.


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Puede demostrarse que todo lenguaje representado por este tipo de gramticas pueden ser descritos tambin por un grupo de gramticas un poco ms restringido

A este grupo se le llama gramticas de estructura de frases

Definicin (gramtica de estructura de frases):Una gramtica de estructura de frases es aquella cuyasproducciones tienen la forma:

xAy ::= xvy con x, y, v *, A N


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Nota:

v puede ser la palabra vaca Luego, en estas reglas se puede encontrar situaciones

en que la parte derecha sea ms corta que la izquierda. Las reglas en que ocurre esto se denominan

compresoras. Una gramtica que contenga al menos una regla

compresora se denomina gramtica compresora. En las gramticas compresoras, las derivaciones

pueden ser decrecientes, ya que la longitud de las palabras puede disminuir en cada uno de los pasos de derivacin.


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Ejemplo:sea G = ({a, b}, {A, B, C}, A, P), donde P:

A ::= aABC | abCCB ::= BCbB ::= bbbC ::= b

Esta gramtica es de tipo 0, y no es de estructura de frases por la regla CB ::= BC Formas de considerarla:

Considerando x= , A = C, y= B. Estara formada la parte izquierda de la produccin, pero la derecha ser vB y sea cual sea v, no podr ser BC


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Ejemplo (continuacin): Considerando x= C, A = B, y= . Se tendra

formada la parte izquierda de la regla, pero en la derecha se tendra Cv, y cualquiera sea el valor de v no se podr obtener CB.

Ya no es posible hacer ninguna otra descomposicin, por lo que esta regla no pertenece al esquema de reglas visto para las gramticas de estructura de frases.

Para la produccin: A ::= aABC A = A, x = , y= . Si se hace v= aABC, la regla

se ajusta al formato considerado.


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Ejemplo (continuacin): Sin embargo la regla CB ::= BC puede descomponerse

en las cuatro reglas siguientes, que permiten obtener las mismas derivaciones con ms pasos, pero ajustndose a las condiciones exigidas para que la gramtica sea de estructura de frases.

CB ::= XB XB ::= XY

XY ::= BY

BY ::= BCLa gramtica resultante, tendr 3 reglas de produccin ms y dos smbolos adicionales (X, Y) en el alfabeto de smbolos no terminales.


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Ejemplo (continuacin): Considerando la derivacin de la sentencia aaabbb,

mediante la gramtica original:A a(A)BC aa(A)BCBC aaab(CB)CBC aaa(bB)CCBC aaab(bC)CBC aaab(bC)BC aaab(bB)C aaabb(bC) aaabbb

Se observa tambin, que la gramtica es compresora, debido a la presencia de la regla bC ::= b.

Puede comprobarse que el lenguaje generado por esta gramtica es {anbn | n = 1, 2, ...}


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Ejercicios:De las siguientes producciones, indicar cuales cumplen el criterio de gramticas de estructura de frases y cuales no.

aABcD ::= aABD

aAd ::= ad aABd ::= aACDEfAd aABE ::= aABeE

CB::=BC


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Ejercicio: Cmo convertir CB::=BC en estructura de frases?CB ::= XB; XB ::= XY; XY ::= BY; BY ::= BC

Propiedad de las gramticas de tipo 0Todo lenguaje descrito por una gramtica del tipo 0, puede ser generado por una gramtica de estructuras de frases.


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Tambin llamadas gramticas sensibles al contexto. Los lenguajes generados por este tipo de gramticas se denominan dependientes del contexto.

Definicin (Gramticas de tipo 1)::Las gramticas de tipo 1 son aquellas cuyas producciones tienen una de las dos formas siguientes:

1. xAy ::= xvy con x, y *, A N, v +

2. S ::= siendo S N el axiomaObservaciones: A puede transformarse en v slo si aparece en el

contexto definido por x e y.


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Observaciones (continuacin): Las producciones mantienen el contexto pero no

pueden ser compresoras (con la excepcin de S::= ) Luego, si no se utiliza la regla S::= , se tiene:

S u1 u2 ... uncon 1 |u1| |u2| ... |un|

La regla S::= permite generar la palabra vaca. Como consecuencia se tiene que la palabra vaca

pertenece al lenguaje generado por la gramtica slo si contiene esta regla.

Todas las gramticas de tipo 1 son tambin de tipo 0, y as, todos los lenguajes dependientes de contexto sern tambin lenguajes sin restricciones.


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Ejemplo:Dada la gramtica G = ( {S, B, C}, {a, b, b}, S, P ), donde P es:

S ::= aSBc | aBC bB ::= bb bC ::= bc CB ::= BC cC ::= cc aB ::= abG es una gramtica tipo 1


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Ejercicios: Cules de las siguientes reglas son de tipo 1?

a) AB ::= aCdBb) aA ::= aCBbbc) aBA ::= ad) ABC ::= ACe) AaBF ::= AaCF


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Tambin llamadas gramticas independientes del contexto

Definicin:Las gramticas de tipo 2 son aquellas cuyas producciones tienen la forma:

A ::= v con v * , A NEn concreto v puede ser .Observaciones: A ::= es una produccin de tipo 2. Para toda gramtica de tipo 2 existe una gramtica

equivalente desprovista de reglas de la forma A ::= , que generar el mismo lenguaje que la de partida, excepto la palabra vaca.


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Observaciones (Continuacin): A ::= es una produccin de tipo 2. Para toda gramtica de tipo 2 existe una gramtica

equivalente desprovista de reglas de la forma A ::= , que generar el mismo lenguaje que la de partida, excepto la palabra vaca.

Si se le aade a la segunda gramtica la regla S ::= , las gramticas generarn el mismo lenguaje.

Luego, todo lenguaje generado por una gramtica de tipo 2 puede ser generado por una gramtica definida de manera ms restringida, cuyas producciones tienen la forma:

1. A ::= v con v + , A N2. S ::= siendo S el axioma de la gramtica


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Observaciones (Continuacin): Los lenguajes generados por este tipo de gramticas

se denominan independientes de contexto, ya que la conversin de A en v puede realizarse independientemente del contexto en que aparezca A.

La mayor parte de los lenguajes de programacin de computadores pueden describirse mediante gramticas de este tipo.

Ejemplo:Sea la gramtica G = ({a, b}, {S}, S, { S ::= aSb | ab}). Es una gramtica de tipo 2. La derivacin de la palabra

aaabbb ser:S aSb aaSbb aaabbb


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Se observa que el lenguaje definido por esta gramtica es { an bn | n = 1, 2, ... }

Un mismo lenguaje puede generarse por varias gramticas diferentes.

Sin embargo, una gramtica determinada describe siempre un lenguaje nico.


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Ejercicios:Cules de las siguientes reglas son de tipo 2?

AA ::= b A ::= aaB

aBA ::= a

a ::= AC A ::=


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Tambin llamadas gramticas regulares

Definicin (Gramticas regulares normalizadas):

Gramticas lineales por la izquierda: Todas aquellas cuyas producciones tienen una de las siguientes formas:

A ::= a

A ::= Va (S, A,V N, a T, y S el axioma)S ::=


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Gramticas lineales por la derecha: Todas aquellas cuyas producciones tienen una de las siguientes formas:

A ::= a

A ::= aV ( S, A, V N, a T y S el axioma)S ::=

Una gramtica es regular (o de tipo 3) si es lineal por la derecha o lineal por la izquierda.

Observacin:Los lenguajes representados por una gramtica regular se denominan lenguajes regulares.


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Ejemplos:1. G1 = ( { 0, 1}, {A, B}, A, { A ::= B1 | 1, B ::= A0 } )

Gramtica lineal por la izquierda que describe el lenguaje:L1 = { 1, 101, 10101, ... } = { 1 (01)n | n = 0, 1, 2, ...}

2. G2 = ( { 0, 1}, {A, B}, A, { A ::= 1B | 1, B ::= 0A } )Gramtica lineal derecha que genera el mismo lenguaje que la gramtica anterior.

3. G3 = ( {A,B,C}, {a, b}, A, {A ::= aB, B ::= Cb, ...} )No es lineal por la derecha ni lineal por la izquierda, pero s es una gramtica lineal.


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Ejercicios:Cules de las siguientes reglas son de tipo 3?

aA ::= aaV

A ::= abV A ::= Ba

A ::= C A ::=


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Observaciones:Hay definiciones ms generales para gramticas lineales por la derecha (izquierda) [Linz]:Una gramtica se denomina lineal por la derecha si sus producciones tienen las siguientes formas:

A ::= xB

A ::= x donde A,B N y x T*


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Ejemplo:Lenguaje representado por G1 = ( {S, A, B}, {0,1}, S, P )Con P = { S ::= 0A | 1, A ::= 1A | 1B, B ::= 0S }

Luego: S 1 S 0A 01B 010S 0101 S 0A 01A 011B 0110S 01101 S 0A 01A 011B 0110S 01100A

011001B 0110010S 01100101 S 0A *01...1A 01...1B 01...1B

01...10S 01...101


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Ejemplo (continuacin):Lenguaje representado por G1 = ( {S, A, B}, {0,1}, S, P )Con P = { S ::= 0A | 1, A ::= 1A | 1B, B ::= 0S }

S 0A *01...1A 01...1B 01...10S 01...100A *01...1001...1A *01...1001...1B 01...1001...10S 01...1001...101

Luego el lenguaje generado es:L(G) = { (0 1i 0)j 1 | i 1, j 0}


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Ejercicios:Encuentre los lenguajes generados por las siguientes gramticas1. Lenguaje representado por

G = ( { S, B }, { 0, 1 }, S, P )con P = { S ::= B1 | 1, B ::= S0 }

2. Lenguaje representado por G = ( { S, B }, { 0, 1 }, S, P ) con P = { S ::= 1B | 1, B ::= 0S }


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Ejercicios:Encuentre los lenguajes generados por las siguientes gramticas1. Lenguaje representado por

G = ( { S, B }, { 0, 1 }, S, P )con P = { S ::= B1 | 1, B ::= S0 }

2. Lenguaje representado por G = ( { S, B }, { 0, 1 }, S, P ) con P = { S ::= 1B | 1, B ::= 0S }


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ResumenResumen


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Continuara.Continuara.

3 Teo Gramaticas 1

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