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3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN

46

Se define la impedancia de línea en una determinada posición, x (d), como:

3.6 Impedancia de línea

Z 𝑥 =𝑉(𝑥)𝐼(𝑥)

Si substituimos e por sus expresiones en términos de onda progresiva y regresiva, obtenemos:

𝑉 𝑥 𝐼 𝑥

Z 𝑥 = 𝑍!𝑉"𝑒#$% + 𝑉#𝑒$%

𝑉"𝑒#$% − 𝑉#𝑒$%


47

Que utilizando la definición del coeficiente de reflexión podemos expresar como:


Z 𝑥 = 𝑍!1 + Γ(𝑥)1 − Γ(𝑥)

La impedancia de línea es por tanto una función compleja de variable compleja.

Se define la impedancia normalizada de la línea de la siguiente manera:

𝑧 𝑥 =𝑍(𝑋)𝑍!

=1 + Γ(𝑥)1 − Γ(𝑥)


48


Γ!𝜃!

Imag

Real

Γ 𝑑 = Γ! 𝑒"#$%𝑒& '!"#(% 𝑧 𝑑 =1 + Γ(𝑑)1 − Γ(𝑑)

𝑧 𝑑( =𝑍)𝑍!

=1 + Γ)1 − Γ)

𝑧 𝑑* =1 + Γ(𝑑*)1 − Γ(𝑑*)

𝑍)𝑑"

𝑑#𝑍)

𝑑"

𝑑#


49


𝑍)𝑍)

𝑑"𝑑#

𝑍)

𝑑#

≠

≈ 𝑍)

𝑑# 𝑑"


50

3.6 Impedancia de línea Caso particular circuito abierto:

𝐴! = 2 𝑉" 𝐴# = 0

𝑍(𝑑) → ∞

𝐴! = 0 𝐴# =2 𝑉"𝑍$

𝑍 𝑑 = 0


51

3.6 Impedancia de línea Caso particular cortocircuito:

𝐴! = 2 𝑉" 𝐴# = 0

𝑍(𝑑) → ∞

𝐴! = 0 𝐴# =2 𝑉"𝑍$

𝑍 𝑑 = 0


52

3.7 Carta de Smith

La carta de Smith una representación gráfica de la impedancia de línea en función del coeficiente de reflexión.

La carta de Smith es una herramienta de cálculo gráfica muy útil que permite determinar la impedancia de línea con una precisión, en general, suficiente.

Con las calculadoras actuales es posible hacer cálculos con números complejos de manera simple y rápida. A pesar de ello, la carta de Smith se sigue utilizando dado su gran valor pedagógico.

Para construir la Carta de Smith el punto de partida es el análisis de la variación de la impedancia con el coeficiente de reflexión.


53

3.7 Carta de Smith

𝑧 𝑑 =1 + Γ(𝑑)1 − Γ(𝑑)

𝑧 𝑑 = 𝑟 + 𝑗𝑥

Donde:

Γ 𝑑 = Γ, + 𝑗Γ-

es la parte real de la impedancia de línea normalizada en, d. 𝑟𝑥 es la parte imaginaria de la impedancia de línea normalizada en, d.

𝑥 = 𝑥 Γ,, Γ-𝑟 = 𝑟 Γ,, Γ-


54

3.7 Carta de Smith

𝑟 =1 − Γ,. − Γ-.

1 − Γ, . + Γ-.

𝑟 = 𝑐𝑡𝑒

𝑥 = 𝑐𝑡𝑒

𝑥 =2 Γ-

1 − Γ, . + Γ-.

Γ, −𝑟

1 + 𝑟

.+ Γ-. =

11 + 𝑟 .

Γ, − 1 . + Γ- −1𝑥

.=1𝑥.


55

3.7 Carta de Smith 𝑟 = 𝑐𝑡𝑒Γ, −

𝑟1 + 𝑟

.+ Γ-. =

11 + 𝑟 .

Ecuación de una circunferencia

Centro =𝑟

1 + 𝑟 , 0

Radio =1

1 + 𝑟

Γ,

Γ-

𝑟 =0

𝑟 = 0.5

𝑟 = 1

𝑟 = 2

𝑟 =0.2


56

3.7 Carta de Smith 𝑥 = 𝑐𝑡𝑒

Ecuación de una circunferencia

Centro = 1 ,1𝑥

Radio =1𝑥

Γ,

Γ-

𝑥 = 0

𝑥 = 1 Γ, − 1 . + Γ- −1𝑥

.=1𝑥.

𝑥 = −1

𝑥 = 2

𝑥 = −2

𝑥 = 0.5

𝑥 = −0.5


57

3.7 Carta de Smith

Γ,

Γ-

𝑥 = 0

𝑥 = 1

𝑥 = −1

𝑥 = 2

𝑥 = −2

𝑥 = 0.5

𝑥 = −0.5

𝑟 =0

𝑟=0.5

𝑟 = 1

𝑟 = 2𝑟=0.2


58

3.7 Carta de Smith

Wdwd, CC BY-SA 3.0 <https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0>, via Wikimedia Commons

https://ca.wikipedia.org/wiki/Carta_de_Smith#/media/Fitxer:Smith_chart_gen.svg


59

3.7 Carta de Smith

Todas las curvas, ya sean de o pasan por el punto:

Propiedades:

𝑥 = 𝑐𝑡𝑒𝑟 = 𝑐𝑡𝑒

Γ8 = 1, Γ9= 0

Las familias de curvas y son ortogonales 𝑥 = 𝑐𝑡𝑒𝑟 = 𝑐𝑡𝑒

El límite de la Carta de Smith es el circulo de radio unidad en el plano complejo (cargas pasivas)

La mitad superior de la carta corresponde a valores positivos de la reactancia y la mitad inferior a valores negativos 𝑥 > 0 𝑥 < 0


60

3.7 Carta de Smith

La carta de Smith sirve para leer la impedancia normalizada de la línea y la admitancia normalizada.

Propiedades:

𝑧 𝑑 =1 + Γ(𝑑)1 − Γ(𝑑)

C𝑦 𝑑 =1𝑧 𝑑

=1 − Γ(𝑑)1 + Γ(𝑑)

Basta con girar 180º

Γ,

Γ-

C𝑦 𝑑 = 𝑔 + 𝑗𝑏r→ 𝑔

𝑥 → 𝑏conductancia susceptancia


61

3.7 Carta de Smith

Una vuelta completa a la Carta de Smith equivale a desplazarse por la línea una distancia

Propiedades:

𝜆/2

Si la trayectoria del coeficiente de reflexión implica un giro en sentido horario, equivale a alejarse de la carga y acercarse al generador.

“Wavelength Towards Generator”

Por el contrario, si el giro es en sentido anti horario, equivale a alejarse del generador y acercarse a la carga.

“Wavelength Towards Load”


62

3.7 Carta de Smith Ejemplo de cálculo

Carga: 𝑍! = 𝑍$ 1 + 𝑗

Conectada a una línea sin pérdidas

Utilizando la carta de Smith determinar:

Posiciones de máximos y mínimos de tensión (corriente)

a)

Relación de ondas estacionarias

b)

Impedancia de línea a 12 cm de la carga

c)

Datos: 𝜆 = 5 𝑐𝑚

0.1

0.1

0.1

0.2

0.2

0.2

0.3

0.3

0.3

0.4

0.4

0.4

0.50.5

0.5

0.60.6

0.6

0.7

0.7

0.7

0.8

0.8

0.8

0.9

0.9

0.9

1.0

1.0

1.0

1.2

1.2

1.2

1.4

1.4

1.4

1.61.6

1.6

1.81.8

1.8

2.02.0

2.0

3.0

3.0

3.0

4.0

4.0

4.0

5.0

5.0

5.0

10

10

10

20

20

20

50

50

50

0.2

0.2

0.2

0.2

0.4

0.4

0.4

0.4

0.6

0.6

0.6

0.6

0.8

0.8

0.8

0.8

1.0

1.0

1.01.0

20-20

30-30

40-40

50

-50

60

-60

70

-70

80

-80

90

-90

100

-100

110

-110

120

-120

130

-130

140

-140

150

-150

160

-160

170

-170

180

±

90-9

085

-85

80-8

0

75-7

5

70-7

0

65-6

5

60-6

0

55-55

50-50

45

-45

40

-40

35

-35

30

-30

25

-25

20

-20

15

-1510

-10

0.04

0.04

0.05

0.05

0.06

0.06

0.07

0.07

0.08

0.08

0.09

0.09

0.1

0.1

0.11

0.11

0.12

0.12

0.13

0.13

0.14

0.14

0.15

0.15

0.16

0.16

0.17

0.17

0.18

0.18

0.190.19

0.20.2

0.210.21

0.220.22

0.23

0.230.24

0.240.25

0.25

0.26

0.26

0.27

0.27

0.28

0.28

0.29

0.29

0.3

0.3

0.31

0.31

0.32

0.32

0.33

0.33

0.34

0.34

0.35

0.35

0.36

0.36

0.37

0.37

0.38

0.38

0.39

0.39

0.4

0.4

0.41

0.41

0.42

0.42

0.43

0.43

0.44

0.44

0.45

0.45

0.46

0.46

0.47

0.47

0.48

0.48

0.49

0.49

0.0

0.0

AN

GLE O

F TRAN

SMISSIO

N C

OEFFIC

IENT IN

DEG

REES

AN

GLE O

F REFLECTIO

N C

OEFFIC

IENT IN

DEG

REES

—>

WA

VEL

ENG

THS

TOW

ARD

GEN

ERA

TOR

—>

<— W

AVE

LEN

GTH

S TO

WA

RD L

OA

D <

—

IND

UCT

IVE

REAC

TAN

CE C

OMPO

NENT (+jX/Zo), O

R CAPACITIVE SUSCEPTANCE (+jB/Yo)

CAPACITIVE REACTANCE COMPONENT (-j

X/Zo), O

R INDUCTI

VE SU

SCEP

TAN

CE (-

jB/Y

o)

RESISTANCE COMPONENT (R/Zo), OR CONDUCTANCE COMPONENT (G/Yo)

RADIALLY SCALED PARAMETERS

TOWARD LOAD —> <— TOWARD GENERATOR1.11.21.41.61.822.5345102040100

SWR 1'

12345681015203040dBS 1'

1234571015 ATTEN. [dB]

1.1 1.2 1.3 1.4 1.6 1.8 2 3 4 5 10 20 S.W. L

OSS COEFF

1 '

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 20 30

RTN. LOSS [dB] '

0.010.050.10.20.30.40.50.60.70.80.91

RFL. COEFF, P 0

0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.5 2 3 4 5 6 10 15 RFL. LOSS

[dB]

'0

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.5 3 4 5 10 S.W. P

EAK (CONST

. P)

0 '

0.10.20.30.40.50.60.70.80.91

RFL. COEFF, E or I 0 0.99 0.95 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 TRANSM. C

OEFF, P

1

CENTER1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 TRANSM

. COEFF, E

or I

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9


63

3.7 Carta de Smith

Carga: 𝑍! = 𝑍$ 1 + 𝑗 𝑟 = 1𝑥 = 1

Lecturas:

𝜃! = 63.5º atan 2 = 63.435º

Γ! = 0.4555= 0.447

Origen coordenada, d:

𝑑$ = 0.162 𝜆


64

3.7 Carta de Smith

Posición 1er Máximo

𝑑$ = 0.162 𝜆

𝑑# = 0.25 𝜆

𝑀# = 0.25 − 0.162 𝜆

𝑀# = 0.44 𝑐𝑚

𝑀% = 2.94 𝑐𝑚

𝑀& = 5.44 𝑐𝑚

⋮

𝜆/2

𝜆/2


65

3.7 Carta de Smith

Posición 1er mínimo

𝑑$ = 0.162 𝜆

𝑑% = 0.5 𝜆 (0 𝜆)

𝑚# = 0.5 − 0.162 𝜆

𝑚# = 1.69 𝑐𝑚

𝑚% = 4.19 𝑐𝑚

𝑚& = 6.69 𝑐𝑚

⋮

𝜆/2

𝜆/2


66

3.7 Carta de Smith

Relación de ondas estacionarias

𝜌 =1 + Γ1 − Γ

= 2.63

𝑧 𝑥 =1 + Γ(𝑥)1 − Γ(𝑥)

2.61

𝜌 = G𝑧(𝑥)% & ' %

= 2.6


67

3.7 Carta de Smith

Impedancia en d=12 cm

𝑑 = 12 𝑐𝑚 = 2.4 𝜆

Desplazarse nos lleva al mismo sitio, por lo tanto

𝑑 = 12 𝑐𝑚 ≅ 0.4 𝜆

𝑑& = 𝑑 + 𝑑$ = 0.562 𝜆 ≅ 0.062 𝜆

𝑟 = 0.44

𝑥 = 0.34

0.435

0.342


68

3.8 Adaptación de impedancias

La adaptación de impedancias es un proceso absolutamente necesario en la banda de frecuencias de RF y microondas.

Diremos que una carga está adaptada a la línea cuando su valor coincida con la impedancia característica de la línea. En este caso el coeficiente de reflexión es nulo y no hay onda regresiva o reflejada.

Además de adaptar la impedancia de la carga a la línea, también se tiene que adaptadar la impedancia de salida del generador.

𝑍) → 𝑍! 𝑍H → 𝑍!


69


En general las impedancias de carga y de salida del generador no coincidirán con la impedancia característica de la línea, es por este motivo que necesitaremos un elemento de transformación.

𝑍) = 10 Ω𝑍! = 50 Ω

Γ) =𝑍) − 𝑍!𝑍) + 𝑍!

= −23

Potencia disipada en la carga ≈ 56%

Potencia reflejada ≈ 44%


70

3.8 Adaptación de impedancias Ejemplo: adaptación con una resistencia

𝑍( = 10 Ω𝑍$ = 50 Ω

𝑍) = 40 Ω

𝑍(* = 50 Ω

Γ)I = 0

Potencia reflejada ≈ 0

Potencia disipada en la carga = 20%


71

3.8 Adaptación de impedancias Ejemplo: adaptación con un transformador

𝑍( = 10 Ω𝑍$ = 50 ΩΓ)I = 0

Potencia reflejada ≈ 0

Potencia disipada en la carga = 100%

5 ∶ 1

𝑉(* = 5 𝑉(

𝑍(* = 50Ω

𝐼(* =𝐼(5

𝑉(*𝐼(* = 𝑉( 𝐼(

𝑍(* =𝑉(*

𝐼(*= 5

𝑉(𝐼(= 5 𝑍( = 50 Ω


72


Conclusión: Para conseguir la máxima transferencia de potencia entre generador y carga, los elementos de adaptación “redes de adaptación” no se pueden implementar utilizando componentes disipativos, sólo pueden contener elementos reactivos.

𝑍H

𝑍)𝑍!

𝑍(*𝑍+*

Adaptación completa 𝑍HI = 𝑍!𝑍)I = 𝑍!

Red

de

Ada

ptac

ión

Red

de

Ada

ptac

ión


73


Componentes reactivos disponibles para implementar redes de adaptación:

1º) Componentes discretos:

Condensadores, Inductores y Transformadores

2º) Componentes distribuidos:

Segmentos de línea de transmisión con terminaciones reactivas conocidas (generalmente cortocircuito o circuito abierto). También se conocen como “Stubs”


74

3.8 Adaptación de impedancias Stub en circuito abierto

𝑍!

𝑑

𝑍) → ∞ Γ) =𝑍- − 𝑍!𝑍- + 𝑍!

= 1

Γ 𝑑 = Γ)𝑒#.JKL = 𝑒#.JKL

Z 𝑑 = 𝑍!1 + Γ(𝑑)1 − Γ(𝑑)

= −𝑍!𝑗

tan(𝛽𝑑)

𝑧 𝑑 = −𝑗

tan(𝛽𝑑) C𝑦 𝑑 =1𝑧(𝑑)

= 𝑗 tan(𝛽𝑑)


75

3.8 Adaptación de impedancias Stub en circuito abierto

Con un “Stub” en circuito abierto se puede generar cualquier impedancia (admitancia) reactiva (imaginaria pura)

𝑥 = 0

𝑥 = 1

𝑥 = −1

𝑥 = 2

𝑥 = −2

𝑥 = 0.5

𝑥 = −0.5

𝑏 = 0

𝑏 = 1

𝑏 = −1

𝑏 = 2

𝑏 = −2

𝑏 = 0.5

𝑏 = −0.5

Z 𝑌


76

3.8 Adaptación de impedancias Stub en cortocircuito

𝑍!

𝑑

𝑍) = 0 Γ) =𝑍- − 𝑍!𝑍- + 𝑍!

= −1

Γ 𝑑 = Γ)𝑒#.JKL = −𝑒#.JKL

Z 𝑑 = 𝑍!1 + Γ(𝑑)1 − Γ(𝑑)

= 𝑗𝑍!tan(𝛽𝑑)

𝑧 𝑑 = 𝑗 tan(𝛽𝑑) C𝑦 𝑑 =1𝑧(𝑑)

= −𝑗

tan(𝛽𝑑)


77

3.8 Adaptación de impedancias Stub en cortocircuito

Con un “Stub” en cortocircuito también se puede generar cualquier impedancia (admitancia) reactiva (imaginaria pura)

𝑥 = 0

𝑥 = 1

𝑥 = −1

𝑥 = 2

𝑥 = −2

𝑥 = 0.5

𝑥 = −0.5

𝑏 = 0

𝑏 = 1

𝑏 = −1

𝑏 = 2

𝑏 = −2

𝑏 = 0.5

𝑏 = −0.5

Z 𝑌


78


Utilizar una terminación u otra del “Stub” dependerá del valor de impedancia (admitancia) reactiva que se quiera conseguir.

Elegir una u otra terminación determinará la longitud del “stub” necesaria para obtener el vaor deseado de impedancia (admitancia)

- Stub en cortocircuito Reactancias positivas ( x > 0 )

Susceptancias negativas ( b < 0 )

- Stub en circuito abierto Reactancias negativas ( x < 0 )

Susceptancias positivas ( b > 0 )


79


Vamos a ver ahora como podemos utilizar los “Stubs” para realizar un proceso de adaptación de impedancias (admitancias).

Los “stubs” se suelen conectar en paralelo con la línea principal.

𝑍!

𝑍N

𝑑

𝑙

𝑍)𝑑

𝑙

𝑍)𝑍(*

𝑍(*


80


La adaptación con “Stubs” consiste en encontrar los valores de, , y para conseguir que:

𝑍N 𝑑𝑙

𝑍)I = 𝑍! 𝑧)I = 1

La impedancia característica del segmento que constituye el “Stub” normalmente es conocida ( habitualmente es igual a ). Sólo hay que determinar las longitudes y

𝑍N𝑍!

𝑑 𝑙

C𝑦)I = 1

𝑟 = 1𝑥 = 0

𝑔 = 1𝑏 = 0


81


El proceso de adaptación empieza representando el coeficiente de reflexión en el plano complejo.

Para el proceso utilizaremos como carga: 𝑧) =2 − 𝑗5

= 0.4 − 0.2𝑗

Γ) =P. #*P."*

= − .Q− *Q𝑗

Imag

Real -0.2

-0.4 Γ,

Γ-

𝑥 = −0.2𝑟=0.4

Z


82


Los “Stubs” se conectan en paralelo, es mejor trabajar con admitancias

C𝑦) =1𝑧)= 2 + 𝑗

Γ,

Γ-

𝑥 = −0.2

𝑟=0.4

Z

Γ,

Γ- 𝑏 = 1

𝑔 = 2

𝑌

180º


83


- Admitancia normalizada inicial:

C𝑦- = C𝑦) = 2 + 𝑗

Γ,

Γ- 𝑏 = 1

𝑔 = 2

𝑔 = 2

𝑏 = 1

- Admitancia normalizada final:

C𝑦R = 1𝑔 = 1

𝑏 = 0

𝑏 = 0

𝑔 = 1

S𝑦'

Centro de la Carta

S𝑦(

𝑌


84


Nos desplazaremos por la línea hasta el círculo de adaptación,

Γ,

Γ- 𝑏 = 1

𝑔 = 2𝑏 = 0

𝑔 = 1

S𝑦'

S𝑦(

𝑔 = 1

𝜃!𝜃! = 𝜃" = atan 0.5 ≈ 26.5º(𝑑!)

𝑑! ≈ 0.213 𝜆 Towards Generator

𝑏 = −1

S𝑦)

𝜃#(𝑑#)

𝜃# ≈ − 63º

𝑑# ≈ 0.338 𝜆 Towards Generator

1º)

𝑌


85


La admitancia normalizada en A vale:

Γ,

Γ- 𝑏 = 1

𝑔 = 2𝑏 = 0

𝑔 = 1

S𝑦'

S𝑦(

𝜃!(𝑑!)

𝑏 = −1

S𝑦)

𝜃#(𝑑#)Δ𝑑 = 𝑑# − 𝑑! ≈ 0.125 𝜆

C𝑦U ≈ 1 − 𝑗𝑔 = 1

𝑏 = −1

Δ𝜃 = 𝜃# − 𝜃! ≈ −89.5º ≈ − $%

Para llegar al punto A nos hemos desplazado un ángulo:

Que equivale a una distancia:

Δ𝜃 = −2𝛽Δ𝑑 = − &$'Δ𝑑 Δ𝑑 ≈

𝜆8

𝑌


86


Para desplazarnos del punto A al centro de la carta necesitamos conectar en paralelo un componente que compense la diferencia entre y

Γ,

Γ-

𝑏 = 0

𝑔 = 1

S𝑦'

𝑏 = −1

S𝑦)

2º)

S𝑦' S𝑦)

C𝑦NV = C𝑦R − C𝑦U = 𝑗

El resultado es una admitancia normalizada estrictamente reactiva que, por lo tanto, será realizable usando “Stubs”

𝑔 = 0𝑏 = 1

𝑌


87


Con un “Stub” en circuito abierto.

𝑏 = 0

𝑏 = 1𝑌

𝜃!(𝑑!)

𝜃( (𝑑()

𝜃! = 180º

𝑑! = 0 𝜆

𝜃( = 90º

𝑑( = 0. 125 𝜆 Towards Generator

𝑙 = 𝑑( − 𝑑! = 0.125 𝜆


88


Con un “Stub” en cortocircuito.

𝑏 → ∞

𝑏 = 1𝑌

𝜃! (𝑑!)

𝜃( (𝑑()

𝜃! = 0º

𝑑! = 0.250 𝜆

𝜃( = 90º

𝑑( = 0. 125 𝜆 Towards Generator

𝑙 = 𝑑( − 𝑑! = −0.125 𝜆 𝑙 = 𝑑( − 𝑑! = 0.375 𝜆


89


𝑍! 𝑑 = YZ

𝑍)

𝑍(* = 𝑍$

𝑙 = YZ

𝑧) =2 − 𝑗5

= 0.4 − 0.2𝑗

𝑍! 𝑑 = YZ

𝑍)

𝑍(* = 𝑍$

𝑙 = [YZ

Con un “Stub” en circuito abierto. Con un “Stub” en cortocircuito.

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