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300CIG007Computabilidad y Lenguajes Formales: Teoría de la Computabilidad: Decidibilidad

Pontificia Universidad Javeriana Cali

Ingenieria de Sistemas y Computación

Prof. Gloria Inés Alvarez V.

Lo indecidible

Porque es importante estudiar problemas indecidibles?

Saber que un problema es indecidible, permite darse cuenta que el problema debe ser simplificado o alterado para encontrar una solución computacional.

Conocer las capacidades y limitaciones de la computación, da una perspectiva importante sobre la misma

Pontificia U. Javeriana Cali - Ingeniería de Sistemas y Computación – 300CIG007 – Prof. Ma. Constanza Pabón

Relación entre problemas ylenguajesVamos a representar los problemas computacionales

mediante lenguajes formales.

Sea ADFA

={<B,w> | B es un DFA y w una cadena}

Ver si el autómata B acepta la cadena w, es lo mismo que determinar si <B,w> pertenece al lenguaje A

DFA

Mostrar que el lenguaje es decidible es lo mismo que mostrar que el problema lo es.


Lenguajes Decidibles

ADFA = { <B, w> | B es un DFA que acepta la cadena w } es decidible

M decide ADFA

M = “Con la entrada <B, w>, donde B es un DFA y w una cadena:1. Simule B con la entrada w2. Si la simulación termina en un estado de aceptación, acepte, sinó rechazar”

B se representa con sus componentes B = (Q, ∑, Γ, δ, q0,F)M empieza verificando la codificación de B, si no es correcta rechazaM lleva el control del estado actual de B, y de la posición sobre la

cadena de entrada, iniciando en q0, y en el extremo izquierdo de w



ANFA = { <B,w> | B es un NFA que acepta la cadena w } es decidible

ANFA representa el problema de verificar cuando un NFA B acepta

una cadena w.

M decide ANFA



ANFA = { <B,w> | B es un NFA que acepta la cadena w } es decidible

ANFA representa el problema de verificar cuando un NFA B acepta

una cadena w.

M decide ANFA

M = “Con la entrada <B, w>, donde B es un NFA y w una cadena:1. Convierta el NFA B en un DFA equivalente C2. Simule C con la entrada w3. Si la simulación termina en un estado de aceptación, acepte. Si no, rechace”



AREX = { <R,w> | R es una expresión regular que genera la cadena w } es decidible

AREX representa el problema de verificar cuando una expresión

regular R genera la cadena w.

M decide AREX


Lenguajes DecidiblesAREX = { <R,w> | R es una expresión regular que genera la

cadena w } es decidible

AREX representa el problema de verificar cuando una expresión

regular R genera la cadena w.

M decide AREX

M = “Con la entrada <R, w>, donde R es una Expresión Regular y w una cadena:1. Convierta el R en un DFA equivalente A2. Simule A con la entrada w3. Si la simulación termina en un estado de aceptación, acepte. Si la simulación no termina en un estado de aceptación, rechace”



ACFG = { <G,w> | G es una CFG que genera la cadena w } es decidible

ACFG representa el problema de verificar cuando una Gramática

Libre de Contexto G genera la cadena w.

M decide ACFG



ACFG = { <G,w> | G es una CFG que genera la cadena w } es decidible

M decide ACFG

M = “Con la entrada <G, w>, donde G es una CFG, y w es una cadena:2. Convierta G en una gramatica equivalente en Forma Normal de

Chomsky3. Liste todas las derivaciones con 2n-1 pasos, donde n = |w|, si n = 0

entonces lise las derivaciones con 1 paso4. Si alguna de estas derivaciones genera w, acepte, de lo contrario,

rechace ”


Relación entre clases de lenguajes

Regulares

Incontext.Decidibles

Turing-reconocibles

Problemas que no tienen solución computacional

Dado un programa, y una especificación precisa de lo que el programa debe hacer, verificar que el programa realiza lo especificado: El problema general de la verificación del software no tiene solución computacional

Verificar si una máquina de Turing acepta una entrada dada:

ATM = { <M,w> | M es una TM y M acepta w }

ATM es indecidible (aunque es Turing-reconocible)


El Problema de la Parada


ATM es Turing-reconocible:U = “Con la entrada <M, w>, donde M es una TM, y w es una cadena:2. Simule M con la entrada w3. Si alguna vez M llega a un estado de aceptación, acepte; si M alguna

vez llega a un estado de rechazo, rechace ”

Si M entra en un loop con w, U no decide ATM, si U tuviese una forma de determinar cuando M no va a

detenerse, podría rechazar la entrada...


El Método de la Diagonalización

Propuesto por el Matemático George Cantor en 1873

Trata de medir (comparar) los tamaños de conjuntos infinitos: para determinar esto no es posible contar los elementos de los conjuntos

Una forma de comparar los tamaños de dos conjuntos, sin contar sus elementos, es crear parejas de elementos de uno y otro conjunto



Definición:Dados dos conjuntos A y B, y una función f : A → B, f es

una función de correspondencia biyectiva si cumple: Para todo a, c ∈ A, si a ≠ c, entonces f(a) ≠ f(c) (función

inyectiva, 1 a 1) Si para todo b ∈ B existe un a ∈ A, tal que f(a) = b

(función sobreyectiva)

Definición:Un conjunto A es contable, si es finito, o si tiene el mismo

tamaño que ℕ (el conjunto de los números naturales ℕ = { 1,2,3,4…} )



Ejemplos:

ℰ = { 2, 4, 6, 8…}, el conjunto de los números pares, es contable

L = { 0, 1 }* es contable

Q = { m/n : m, n ∈ }ℕ es contable


5/45/45/35/25/1

4/54/44/34/24/1

3/53/43/33/23/1

2/52/42/32/22/1

1/51/41/31/21/1

…4/11/33/11/22/11/1

…654321nf(n)

El Método de la DiagonalizaciónEjemplos: El conjunto potencia de un conjunto contable infinito, no es

contable, el conjunto potencia de ℕ no es contable.Por contradicción: Un elemento T del conjunto potencia puede ser representado con

una cadena de 0s y 1s, tal que un 1 aparece en la posición i, si y solo si i ∈ T. Ej 011001 representa el conjunto { 2, 3, 6 }

Si el conjunto potencia es contable, entonces se puede tener la siguiente matriz:


Si el conjunto potencia es contable, entonces se puede tener la matriz

Si se toma la cadena de la diagonal, y se reemplaza cada 0 por 1, y cada 1 por 0, la nueva secuencia corresponde a un elemento del conjunto potencia, pero es diferente de todos los ti

0101t5

0011t4

1011t3

0011t2

0001t1


Ejemplos: ℝ, el conjunto de los números reales, No es contable:

No existe correspondencia entre ℝ y ℕ


56545.4

23492.3

5798.2

1413.1

n

Si el conjunto ℝ es contable, entonces se puede tener la matriz

Si se toma la cadena de la diagonal (iniciando después del punto decimal), y se reemplaza cada digito por uno diferente, se obtiene un número r entre 0 y 1, que se diferencia en 1 digito –al menos-, de cualquiera de los números de la matriz

r ∈ℝ, pero no tiene correspondencia con un f(n) para algún n.

El conjunto de todas las máquinas de Turing es contable

El conjunto de toda las cadenas de ∑* es contable



El conjunto de toda las cadenas de ∑* es contable ∑ es un conjunto finito Se puede listar las cadenas de longitud 0, longitud 1, longitud 2

….

El conjunto de todas las Máquinas de Turing es contable



El conjunto de toda las cadenas de ∑* es contable ∑ es un conjunto finito Se puede listar las cadenas de longitud 0, longitud 1, longitud 2

….

El conjunto de todas las Máquinas de Turing es contable

Cada MT puede estar codificada con una cadena M. Si se generan las cadenas, y se omiten aquellas que no son

codificaciones de MT, se obtiene una lista de MTs


El conjunto de todos los Lenguajes sobre un alfabeto no es contable

Sea L el conjunto de todos los lenguajes sobre el alfabeto ∑ no es contable


El conjunto de todos los Lenguajes sobre un alfabeto no es contable

Sea L el conjunto de todos los lenguajes sobre el alfabeto ∑ no es contable

∑ es un conjunto finito ∑* es un conjunto infinito El conjunto L es el conjunto potencia de ∑*

Entonces, el conjunto de todos los lenguajes puede ser puesto en correspondencia con el conjunto de todas

las máquinas de Turing?


El conjunto de todos los Lenguajes sobre un alfabeto no es contable Sea L el conjunto de todos los lenguajes sobre el

alfabeto ∑ no es contable ∑ es un conjunto finito ∑* es un conjunto infinito El conjunto L es el conjunto potencia de ∑*

Entonces, el conjunto de todos los lenguajes puede ser puesto en correspondencia con el conjunto de todas

las máquinas de Turing?

Entonces algunos lenguajes No son reconocidos por Máquinas de Turing….?


Existen lenguajes que no son Turing-reconocibles Al aparear cada máquina de Turing con el

lenguaje que reconoce van a sobrar lenguajes

Para esos lenguajes no hay una máquina que los reconozca

Decir que no son Turing-reconocibles, es decir que no existe un algoritmo que los solucione.

Teorema: El Problema de la Parada es Indecidible


Por contradicción, asumimos que ATM es decidible,Entonces existe un H que es una TM:

acepta si M acepta wH (<M,w>) rechaza si M no acepta w

Si además creamos una TM D, que tiene H como subrutina, y ejecuta H para determinar que hace M con su propia descripción (H(<M, <M>>), pero entrega el resultado opuesto:

acepta si M no acepta <M>D (<M>) rechaza si M acepta <M>


El Problema de la Parada es Indecidible


Que sucede cuando se ejecuta D (<D>) ?




Que sucede cuando se ejecuta D (<D>) ?

H acepta <M, w> cuando M acepta w D rechaza <M> cuando M acepta <M> D rechaza <D> cuando D acepta <D>




acepta

acepta

<M4>

…

acepta

M4

acepta

M3

acepta

acepta

M2

acepta

acepta

M1

…<M3><M2><M1>Mi ( <Mj> )

…

…

?

<D>

…

…aceptaaceptarechaza

rechaza

D

rechaza

acepta

acepta

rechaza

<M4>

…

rechaza

aceptarechaza

M4

rechaza

rechaza

aceptaM3

rechaza

aceptaaceptaM2

aceptarechaza

aceptaM1

…<M3><M2><M1>

H (< Mi, <Mj> >)

Un lenguaje que no es Turing-reconocibleTeorema: Un lenguaje es decidible si y sólo si

es Turing reconocible y también lo es su complemento.

Demostración: Si A es decidible, entonces A y complemento

de A son reconocibles Si A y su complemento son reconocibles

entonces A es decidible M = “ Sobre la cadena w:

1. Ejecute M1 y M2 sobre w en paralelo2. Si M1 acepta, acepte. Si M2 acepta, rechace”

Un lenguaje que no es Turing-reconocibleCorolario:El complemento de ATM no es Turing

reconocible.

Demostración:Se ha mostrado que ATMno es Turing-decidible, y

también se ha mostrado que ATM es Turing-reconocible. Por el teorema anterior, necesariamente su complemento no puede ser reconocible.

Reducibilidad

Método para probar que los problemas son indecidibles.

Reducir es convertir un problema en otro, de tal forma que la solución del segundo problema pueda ser usada para resolver el primero.

También sucede en la vida diaria…ejemplo: el “problema” de venir esta mañana a la U…se reduce al problema de tener transporte… que se puede reducir al problema de tener el dinero para pagar un pasaje en bus…


MINTM No es Turing-Reconocible

Si M es una máquina de Turing, la longitud su descripción <M>, es el número de símbolos de <M>. M es minima si no existe otra máquina de Turing equivalente a M con una descripción más corta.

MINTM = { <M> : M es una TM Mínima }

Teorema: MINTM No es Reconocible por una Máquina de Turing



Demostración: por contradicción Asumimos que alguna TM E enumera MINTM, y

llegamos a una contradicción

C = “con la entrada w:1. Obtenga la descripción <C> (Teorema de la

Recursión*)2. Ejecute el enumerador E hasta que genere una máquina

D con una descripción de longitud mayor que <C>.3. Simule D con la entrada w.”

* Una máquina de Turing que ignora la entrada e imprime una copia de su propia descripción, y luego ejecutar su propia descripción



Demostración: por contradicción. Asumimos que alguna TM E enumera MINTM, y

llegamos a una contradicción

C = “con la entrada w:1. Obtenga la descripción <C> (Teorema de la Recursión)2. Ejecute el enumerador E hasta que genere una máquina D con una

descripción de longitud mayor que <C>.3. Simule D con la entrada w.”

Contradicción: C es equivalente a D, pero la longitud de <C> es menor que la longitud de <D>


HALTTM No es Decidible

HALTTM = { <M, w> : M es una TM, y M se detiene para toda entrada w }

Demostración: por contradicción. Asumimos que alguna HALTTM es decidible y lo

usamos para demostrar que ATM es decidible

Si R es una TM que decide HALTTM , construimos S:

S = “con la entrada <M,w>:1. Ejecuta R con la entrada <M,w>2. Si R rechazó, entonces rechaza 3. Si R aceptó, entonces simula M con w hasta que se detiene,4. Si M aceptó, entonces acepta; si M rechazó, entonces rechaza.”


Algunas propiedades


UDUUDEl complemento de L, es del mismo tipo?

UUUDDEs L = R? (R es Regular)

UUUUDEs L1 ⊆ L2?

UUU?DEs L1 = L2?

UUUDDEs L = ∑*?

UUDDDEs L = Φ?

UDDDDw ∈ L?

Conjuntos R. E.

Conjuntos Recursivos

CFL’sDCFL’sConjuntos Regulares

D = Decidible; U = indecidible; ? = respuesta desconocida

PCP No es Decidible

PCP: El problema de Correspondencia de Post Una instancia de PCP consiste de dos listas de

cadenas sobre algún alfabeto ∑:A = w1, w2, w3,…, wk

B = x1, x2, x3,…, xk

La instancia de PCP tiene solución si hay una secuencia de enteros tales que:

wi1wi2

wi3…wim

= xi1xi2

xi3…xim

La secuencia i1, i2, i3, …, im es una solución a la instancia de PCP


PCP

Ejemplo: Sea el ∑ = { 0, 1 }, y A, B definidos así:


010111xiB

10101111wiA

321i Hay una solución:m=4, i1=2, i2=1, i3=1, i4=3

w2w1w1w3=x2x1x1x3=101111110

Ejemplo: Sea el ∑ = { 0, 1 }, y A, B definidos así:

01111101xiB

10101110wiA

321iNo hay solución

PCP No es Decidible

Demostración: Por contradicción: Si PCP fuese decidible, ATM seria

decidible.

Crearemos una versión modificada de PCP: MCPC. MPCP: dadas dos listas de cadenas A y B sobre un

alfabeto ∑, la solución de MPCP es una lista de enteros 1, i2, i3, …, im, tal que

w1wi2wi3

…wim = x1xi2

xi3…xim

Si MPCP es decidible, entonces PCP es decidible, ya que PCP es una reducción de MPCP


PCP No es Decidible

Demostración:

Reducimos ATM a MPCP, así: Para cada <M, w> construimos una instancia de

MPCP, que si tiene solución, tiene una que empieza con qow, y genera una cadena

# qow#α1qiβ1#...#αkqkβk#Donde: qk es un estado final (aceptación o rechazo) Las subcadenas entre #...# son pasos sucesivos de la

computación de M con la entrada w.


PCP No es DecidibleDemostración: MPCP se construye así:


Para todo q ∈ F#q##Grupo IV

qqY

qXq

qXqYGrupo III: Para todo q ∈ F,

X,Y ∈ Γ

δ(q, □)=(p,Y,L)pZY#Zq#

δ(q,□)=(p,Y,R)Yp#q#

δ(q,X)=(p,Y,L)pZYZqX

δ(q,X)=(p,Y,R)YpqXGrupo II: Para todo q ∈ Q-F,

p ∈ Q,

X,Y,Z ∈ Γ

##

Para cada X ∈ ΓXXGrupo I

# qow##Primera Cadena

Lista BLista A

PCP No es DecidibleDemostración:

Si M inicia en q0w, y alcanza un estado de aceptación, entonces la instancia de MPCP con las listas A y B tiene una solución. Si M no alcanza un estado de aceptación, no hay solución posible para MPCP (la cadena que se forma con la lista B excede en longitud a la que se forma con la lista A).

Entonces, la instancia de MPCP tienen solución si y solo si M con la entrada w llega a un estado de aceptación.

Por lo tanto, si hubiese un algoritmo para solucionar MPCP habria un algoritmo para reconocer ATM, lo cual es una contradicción.


Aplicación de PCP

Para demostrar que el problema de determinar si una gramática libre de contexto es ambigua es indecidible. [Hopcroft]


Otros Problemas No Decidibles

El problema No. 10 de Hilbert: 10. Determination of the solvability of a Diophantine equation.

El problema de la verificación formal de programas (dada una especificación verificar si un programa la cumple), es indecidible.

El problema de determinar cuando una formula de lógica matemática(*) es verdadera o falsa, es indecidible.

(*) Incluye símbolos and, or, not, y cuantificadores para todo, existe…


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