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Actividad colaborativa Momento 4

Funciones, Trigonometra e Hipernometra

Grupo 405

lbaro Ordoez Ordoez (Cod. 80.798.779)

Darwin Oswaldo Dorado (Cod. 87.060.210)

Harold Palacios Ortega (Cod. 79.561.208)

Rosa Delgado Delgado (Cod. 59.825.315)

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAUNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA

LGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA

COLOMBIA - 2015

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INTRODUCCIN.

Con la realizacin de esta actividad buscamos, como futuros profesionales, apropiarnos de

las herramientas conceptuales relacionadas con los conceptos bsicos de la segunda unidad del

curso de lgebra, trigonometra y geometra analtica. Siendo as, este trabajo, fruto de una labor

colaborativa, se convierte en una apropiacin del saber y reconocimiento de las actividades

acadmicas, conceptos generales, temticos y fechas lmites para el buen desarrollo del curso,

buscando alcanzar un buen desempeo acadmico que nos permita la comprensin de cada

actividad propuesta en la gua de actividades.

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1. Ejercicio realizado por Darwin Oswaldo Dorado.

Determine el dominio de la funcin: R/.

Condicin que debe cumplirse para el numerador:

Condicin que debe cumplirse el denominador:

Por lo tanto, el dominio de la funcines [ *+El resultado encontrado se verifica con ayuda de Geogebra. Vase la ilustracin 1.

Ilustracin 1

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Como se puede ver en la ilustracin 1, la curva muestra que a todo valor en el eje de las abscisas

corresponde un valor en el eje de las ordenadas, exceptuando el 2. Lo mismo se puedeconstatar en la tabla de valores de la hoja de clculo (lado derecho de la ilustracin), en donde

los valores de y no tienen imagen.


Determine el rango de la funcin: Para evitar inconsistencias matemticas, para el denominador se deben cumplir las siguientescondiciones:

a) b)

Pero las anteriores condiciones se pueden resumir en una nica condicin: Entonces, el dominio de la funcines:

Encontraremos el rango de la funcin mediante el anlisis de la curva correspondiente.Vase ilustracin 2.

Ilustracin 2

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Como se puede ver, la curva de la funcin recorre valores en el eje de las ordenadas que varan

entre + y un punto entre 5 y 10, alcanzando un valor mnimo en un punto del eje de las abscisas

localizado entre 15 y 20. Basados en este anlisis y sabiendo que la variable independiente tiene

que ser mayor a 5, construiremos una tabla de valores que va desde 6 hasta 20.

x 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f(x) 12,00 9,19 8,08 7,50 7,16 6,94 6,80 6,72 6,67 6,64 6,63 6,64 6,66 6,68 6,71

Observando la tabla podemos notar que la variable dependiente alcanza un valor mnimo cuando

la variable independiente es igual a 16, por lo tanto, el rango de la funcin se define como:

,

Este resultado lo podemos verificar utilizando las herramientas de Geogebra para encontrar el

punto mnimo de la curva en la recta de las ordenadas. Vase ilustracin 3.

Ilustracin 3

Como podemos comprobar en la ilustracin 3, el punto mnimo para la variable y es 6,6332;

confirmndose que: ,

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3. Ejercicio realizado por Rosa Delgado Delgado.

Dadas las funciones:

Determinar:

R/.

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En la ilustracin 4 podemos ver el desarrollo de las anteriores operaciones algebraicas con lasfunciones realizadas en Geogebra, donde podemos verificar la correccin de losresultados obtenidos manualmente.

Ilustracin 4

4. Ejercicio realizado por lvaro Ordoez.

Dadas las funciones:

Determinar:

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R/.

()

Ilustracin 5: Curva de la funcin compuesta f(g(x))

() ( ) ( )

Ilustracin 6: Curva de la funcin compuesta g(f(x))

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Ilustracin 7: Curva de la suma de las funciones f(x) y g(x)

Ilustracin 8: Curva de la diferencia entre las funciones f(x) y g(x)

En la ilustracin 9 podemos ver el desarrollo de las anteriores operaciones algebraicas con lasfunciones realizadas en Geogebra, donde se verifica la correccin de losresultados obtenidos manualmente.

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Ilustracin 9


Verificar la siguiente identidad:

R/.

Procederemos a operar sobre el lado izquierdo de la identidad, teniendo en cuenta que el

numerador se puede factorizar dado que es un factor comn. En cuanto al denominador,reemplazaremos por , entonces:

, - , -

, - , -

Luego aplicamos factor comn al denominador, reduciendo la expresin a:

, -,-

, -, -

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De la expresin anterior podemos simplificar , por lo tanto, se tiene que:

Y teniendo en cuenta las identidades fundamentales, finalmente se llega a:

Podemos verificar esta identidad en Geogebra mediante la comparacin de las grficas de las

dos ecuaciones. Vase la ilustracin 10.

Ilustracin 10

Como es posible observar, en la vista grfica derecha aparece la curva correspondiente a la

funcin y en la vista grfica izquierda la correspondiente a .Ambas son iguales, lo que significa que las dos expresiones son idnticas.

6. Ejercicio realizado por Rosa Delgado Delgado.

Demuestre la siguiente identidad usando las definiciones de las diversas identidades hiperblicasfundamentales:

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R/.Partimos operando la expresin izquierda de la igualdad dada para tratar de llegar a la expresinderecha:

Este resultado lo podemos comprobar comparando las grficas de las dos expresiones enGeogebra. Veamos la ilustracin 11.

Ilustracin 11

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Como podemos ver, la vista grfica superior de la ilustracin 11 corresponde a la curva de la

funcin

, mientras que la vista grfica inferior corresponde a la curva de la funcin. Ntese que las dos curvas son diferentes, lo que significa que las ecuaciones no sonequivalentes.

7. Ejercicio realizado por Harold Palacios Ortega

Un avin que pasa 60 metros sobre la azotea de un edificio de 40 metros de altura, desciende 200

metros hasta tocar tierra en un lugar A. Con que ngulo descendi? Qu distancia hay entre la

base del edificio y el lugar A?

R/.

Ilustracin 12

De acuerdo con la ilustracin 12 podemos deducir que para encontrar la distancia desde la base

del edifico hasta el punto A hay dos maneras: a) por el teorema de Pitgoras, y b) utilizando las

definiciones de las funciones trigonomtricas. Lo haremos de la segunda forma. Para ello

debemos primero averiguar el valor del ngulo . Por definicin sabemos que:

El valor de la funcin seno obtenido sabemos que le corresponde a un ngulo de 30, por lo tanto

Con lo cual tenemos parte del problema resuelto. Despus de obtenido el valor del

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ngulo de aterrizaje usamos la siguiente definicin para conocer la distancia desde la base del

edificio hasta el punto A:

Con estos datos ya podemos dar respuesta a las preguntas planteadas en el enunciado del

problema: El avin descendi con un ngulo de 30, y la distancia que hay desde la base del

edificio hasta el punto en el que toc tierra (punto A) es de 173,2 metros. Vase la corroboracin

de este resultado en la ilustracin 13 que corresponde a la resolucin del problema con

Geogebra

Ilustracin 13

Para construir el tringulo de la grfica se procedi as: primero se traz un segmento de recta en

el eje Y, con las coordenadas A = (0,0) y B = (0, 100), que era un dato dado en el enunciado del

problema; en segundo lugar, con centro en el punto B se traz un crculo de 200 unidades de

radio; luego se traz un segmento de recta entre el punto B y la interseccin de la circunferencia

con el eje de las abscisas para formar la hipotenusa del tringulo; finalmente se traz un

segmento de recta entre esta misma interseccin y el origen de las coordenadas cartesianas. A

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medida que se realizan los diferentes trazos Geogebra hace los clculos de las longitudes

respectivas, las cuales pueden verse en la parte izquierda de la ilustracin.


Desde lo alto de un globo se observa una ciudad A con un ngulo de 50, y otra ciudad B,

situada al otro lado y en lnea recta, con un ngulo de 60. Sabiendo que el globo se encuentra a

una distancia de 6 kilmetros de la ciudad A y a 4 kilmetros de la ciudad B. Determine la

distancia entre las ciudades A y B.

Ilustracin 14

Analizando la ilustracin 14 podemos darnos cuenta de que hay varias maneras de resolver el

problema de encontrar la distancia entre los puntos A y B; pero la ms sencilla consiste en partir

del ngulo superior del tringulo, es decir, el que se forma entre los ngulos = 60 y = 50;

ngulo al que llamaremos . Por simple deduccin, el valor del ngulo es:

Conociendo este valor, luego aplicamos el teorema del coseno:

Dnde:

c: distancia entre los puntos A y B.

a: distancia de la ciudad A hasta el globo.

b: distancia de la ciudad B hasta el globo

Como estamos operando con kilmetros, entonces la distancia entre el punto A y B, es decir,

entre las dos ciudades es de 5, 97 Km.

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El resultado obtenido de forma manual se puede verificar grficamente en Geogebra. Vase la

ilustracin 15.

Ilustracin 15

Es ms, el anlisis grfico nos proporciona otro dato: que las ciudades A y B se encuentran a

diferente altura con respecto al nivel del mar, es decir, estn en un plano que no es paralelo alplano en el que vuela el globo; por lo tanto, este problema no se puede resolver trazando una

perpendicular a partir del punto en el que se encuentra el globo, pues no se formaran dos

tringulos rectngulos, de tal manera que la solucin por el teorema del coseno fue acertada.


Encuentre el valor de que satisface la siguiente ecuacin para ngulos entre :

R/.

, -

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()

Ahora bien, la funcin seno nicamente puede ser negativa en los cuadrantes III y IV del crculo

unitario; entonces, el valor del ngulo que se encuentre al aplicar la funcin seno invertido a

deber ser reflejado en esos cuadrantes: ()

Pero el dominio de la funcin seno(x) es: , - Por lo tanto, el valor no esvlido y esta solucin no se considera.

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CONCLUSIONES.

Al terminar el segundo captulo de lgebra trigonometra y geometra analtica conocimos lo que

son las funciones, una parte importante de las matemticas que podremos aplicar en los estudios

de la ciencia experimental y de la ingeniera.

En el desarrollo del presente trabajo, el conocimiento de las funciones matemticas nos

ayudaron a analizar de manera ms precisa cada situacin problemtica presentada; tambin

pudimos darnos cuenta que como estudiantes somos capaces de interpretar analtica y

crticamente diversos tipos de problemas a travs de las funciones trigonomtricas e

hipernomtricas mediante del estudio terico y el anlisis de casos modelos, lo que nos permite

prepararnos para poder enfrentar futuros relacionadas con nuestras reas profesionales y poderresolverlos por medio de los conocimientos adquiridos.

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BIBLIOGRAFA

Rondn, J. (2011). Algebra, Trigonometra y Geometra Analtica. Bogot D.C.: Universidad Nacional

Abierta y a Distancia. Pginas 131214. Recuperado de:

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_Analitica_2011.pdf
http://datateca.unad.edu.co/contenidos/301301/Modulo_Algebra_Trigonometria_y_Geometria_Analitica_2011.pdfhttp://datateca.unad.edu.co/contenidos/301301/Modulo_Algebra_Trigonometria_y_Geometria_Analitica_2011.pdfhttp://datateca.unad.edu.co/contenidos/301301/Modulo_Algebra_Trigonometria_y_Geometria_Analitica_2011.pdfhttp://datateca.unad.edu.co/contenidos/301301/Modulo_Algebra_Trigonometria_y_Geometria_Analitica_2011.pdfhttp://datateca.unad.edu.co/contenidos/301301/Modulo_Algebra_Trigonometria_y_Geometria_Analitica_2011.pdf

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CIBERGRAFA

Ros, J. (2015, 16, 03) Dominios de funciones. Recuperado de

https://www.youtube.com/watch?v=qOCMPXoxJyg

Ros, J. (2015, 18,03) Funciones compuestas y sus dominios. Recuperado de

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Ros, J. (2015, 18, 03) Claves para plantear problemas de matemticas. Recuperado de

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Ros, J. (2015, 19, 03) Demostrar una identidad trigonomtrica. Recuperado dehttps://www.youtube.com/watch?v=xePJNWPKSaQ

Andaln, J. (2015, 22, 03) Introduccin a la ley de senos y cosenos. Recuperado de

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