3.1 ANALISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADO

La teoría de control moderna se basa en la descripción de las ecuaciones de un sistema en términos de “n” ecuaciones diferenciales de primer orden, que se combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden. El uso de la notación matricial simplifica enormemente la representación matemática de los sistemas de ecuaciones.

REPRESENTACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOS DE LOS SISTEMAS BASADOS EN LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Representación en el espacio de estados en formas canónicas

Considere un sistema definido por:

En donde u es la entrada e y es la salida. Esta ecuación también puede escribirse como

1 2 1

1 2 0 1( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )n n n n n

n ny t a y t a y t a y t b u t b u t b u t

1( ) 0 1 1( )

1 2

.......( )( )..........( )

n nY S n nU S

n

b S b S b S bS p S p S p

Forma canónica controlable(1)

La siguiente representación en el espacio de estados se denomina forma canónica controlable:

11

2

2

1 1

0 1 0 00 0 0 0

( ) 0 0 1

1n n nn

xxx

x t

a a xax

Forma canónica controlable(2)

1

20 1 1 0 1 1 0 0b b ... b +b u n n n n

n

xx

y b a b a a b

x

La forma canónica controlable es importante cuando se analiza el enfoque de ubicación de polos para el diseño de sistemas de control.

Forma canónica observable(1).

La siguiente representación en el espacio de estados se denomina forma canónica observable:

1 01

2 1 1 01

2

1 1 01

b0 0 0b1 0 0

( )

b0 0 1

n nn

n nn

nn

x b aaxx b aa

x t

x b aax

Esta ecuación es la transpuesta de la ecuación de estado de la forma canónica controlable.

Forma canónica observable(2).

1

200 0 0 1 +b u

n

xx

y

x

Forma canónica diagonal(1). Aquí consideramos el caso en el que

el polinomio del denominador sólo contiene raíces distintas

1( ) 0 1 1( )

1 2

( ) 31 20( )

1 2 3

.......( )( )..........( )

n nY S n nU S

n

Y S nU S

n

b S b S b S bS p S p S p

c cc cbS p S p S p S p

Forma canónica diagonal(2)

La forma canónica diagonal de la representación en el espacio de estados de este Sistema se obtiene mediante

111

22

2

1

0 0 10 0 1

( ) 0 0 0 1

0 0 1n

n nn

xpxxp

x tx

p xx

Forma canónica diagonal(3)

1

21 2 1 0c c c c +b u n n

n

xx

y

x

Forma canónica de Jordan(1)

consideraremos el caso en el que el polinomio del denominador contiene raíces múltiples, para el cual la forma canónica diagonal anterior debe modificarse a la forma canónica de Jordan. Suponga, por ejemplo, que todas las pi, excepto las primeras tres, son diferentes entre sí, o sea, p1 = p2 = p3. En este caso, la forma factorizada de Y(s)/U(s) se vuelve

1( ) 0 1 1( ) 3

1 4

.......( ) ( )..........( )

n nY S n nU S

n

b S b S b S bS p S p S p

Forma canónica de Jordan(2)

La expansión en fracciones parciales de esta última ecuación se convierte en:

( ) 1 2 30( ) 3 2

1 1 1

4

4

( ) ( )

..

Y SU S

n

n

c c cbS p S p S pc c

S p S p

Forma canónica de Jordan(3)

1 1

12

1

4

1 0 0........ 0 0 -p 1 0......... 0 0 0 -p 0.......... 0

0............. 0 ...........0

n

x p

x

p

x

1

2

3

4

5

001

( ) 1

................ ................

10...............0 0............-p nn

xxx

txx

x

Forma canónica de Jordan(4)

1

21 2 1 0c c c c +b u n n

n

xx

y

x

Ejemplo de representaciones

Sea:

Represente en espacio de estados en la forma canónica controlable, observable y diagonal

2

2 2

( ) 3 0 3( ) 3 2 3 2Y S S S SU S S S S S

b0 b1b2

a1 a2

FORMA CANONICA CONTROLABLE

12 2 0 1 1 0 0

2

b b +b u x

y b a a bx

FORMA CANONICA OBSERVABLE

Forma canónica diagonal

2

1 2

( ) 3 3( ) 3 2 ( 1)( 2)( ) 2 1( ) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2)

Y S S SU S S S S SY S c cU S S S S S

Eigenvalores de una matriz A de nxn

Los eigenvalores (valores propios o autovalores) son las raíces de la siguiente ecuación característica

Por ejemplo

considérese:

Diagonalización de una matriznxn (1)

Sea una matriz con eigenvalores distintos:

Diagonalización de una matriznxn (2)

La transformación x=Pz, donde P es

Donde λ n son distintos eigenvalores de A

Diagonalización de una matriznxn (3)

Transformará P-1 AP en la matriz diagonal:

Si la matriz A definida por la ecuación incluye valores propios múltiples, la transformación a matriz diagonal es imposible

Ejemplo

Considerese la siguiente representacion en espacio de estado de un sistema

Donde:

Los eigenvalores de A son:

Se tienen pues tres eigenvalores distintos. Si se define una variable de estado z mediante la transformación:

entonces al sustituir en la ecuación de espacios de estados original se tiene

entonces al sustituir en la ecuación de espacios de estados original se tiene:

y al multiplicar por P-1

Se tiene:

simplificando da

La ecuación de salida se modifica así:

ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS EN EL ESPACIO DE ESTADOS

Tratamos en este apartado de obtener la solución general de la ecuación de estado lineal e invariante en el tiempo. Para ello consideraremos el caso homogéneo y más tarde el no homogéneo

Solución de la ecuación de estado homogénea

Tenemos las siguientes ecuaciones al considerar la entrada nula

Análogamente al caso escalar, se puede concluir que la solución en el caso matricial es:

x Axy Cx

( ) (0) ( ) (0)Atx t e x t x

Donde se denomina matriz de transición de estados. Su significado se obtiene observando directamente la solución: se trata de una matriz que permite calcular, a partir de x(0) el valor de x para cualquier instante de tiempo.

Algunas propiedades, que no son más que la aplicación de las propiedades de la matriz exponencial, de la matriz de transición de estados.

( ) Att e

PROPIEDADES

1 2 1 2

0

1 1 1

1 2 1 2 2 1

2 1 1 0 2 0 1 0 2 1

1. (0)

2. ( ) ( ) ( ) ( )

3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4. ( ) ( )

5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A

At At

A t t At At

n

e I

t e e t t t

t t e e e t t t t

t nt

t t t t t t t t t t

Solución de ecuaciones de estado para el caso no homogéneoSea:

1 1

1 11

( )

0

( ) (0) ( ) ( )

( ) (0) ( )

( ) (0) ( )

( ) (0) ( )t

At A t

x Ax BusX s x AX s BU s

X s SI A x SI A BU s

x t L SI A x SI A BU s

x t e x e Bu d

EJERCICIO Obtenga la respuesta en el tiempo del sistema siguiente:

1 1

22

11

1

1

0 1 0; u(t) escalon unitario

2 -3 1

( )

s -1 2 s+3

s+3 11 -2 s( 1)( 2)

s+3 (

At

At

x xu y

xx

e t L sI A

sI A

sI As s

se L

2 2

2 2

1 1)( 2) ( 1)( 2)

2 s ( 1)( 2) ( 1)( 2)

2

2 2 - 2

t t t tAt

t t t t

s s s

s s s s

e e e ee

e e e e

( )

0

2 21

2 22

( ) 2( ) ( ) 2( )

( ) 2( ) ( )

( ) (0) ( )

(0)2 ( )

(0)2 2 - 2

2

2 2 - 2

tAt A t

t t t t

t t t t

t t t t

t t t

x t e x e Bu d

xe e e ex t

xe e e e

e e e e

e e e e

2( )0

2 21

2 22

2

2

01

1

(0)2 ( )

(0)2 2 - 2

1 12 2

t

t

t t t t

t t t t

t t

t t

d

xe e e ex t

xe e e e

e e

e e

Cálculo de la matriz de transición de estados

1.- Método de autovalores y autovectores Lo primero de todo es diagonalizar la matriz A,

obteniendo la matriz (P es una matriz de diagonalización para A), que tendrá todo ceros excepto los elementos de su diagonal principal que estará formada por los autovalores de A. Si ya tenemos la matriz diagonal, se cumple que:

1

21

0

0 n

t

tAt

t

ee

e P P

e

2.-Método de la transformada de Laplace:

Se tiene:

Aplicando transformada inversa de Laplace:

Comparando directamente con la solución de la ecuación de estado homogénea

1

( ) (0) ( )

( ) ( ) (0)

sX s x AX s

X s sI A x

11( ) (0)x t L sI A x

11( )Ate t L sI A

ejercicio

Considere la matriz A siguiente

Calcule mediante los dos métodos analíticos presentados antes.

( ) Att e

0 10 -2

A

Método 1.

Hallamos los eigenvalores

La matriz P de transformación se obtiene como

1 2

-1;

0 +2( 2) 0; 0 2

I A

y

1 2

1 1 1 1 0 -2

P

1

21

2

2

2

0

;

0

11 1 0 1 1 20 -2 10 0 -

211 (1 )2

0

n

t

tAt

t

Att

tAt

t

ee

e P P

e

ee

ee

e

Método 2

11

1

11

( )

0 0 1 s -1;

0 s 0 -2 0 s+2

1 1 1 1/ 2 1/ 2 s(s+2) 2 ;

11 0 0 s+2s+2

1

At

At

e t L sI A

ssI A

s s s ssI A

e L sI A

2

2

1 (1 )2

0

t

t

e

e

CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD

Dentro de la teoría moderna de control aparecen dos conceptos de importancia fundamental en la solución de muchos problemas de diseño de sistemas: la Controlabilidad y la Observabilidad.Estos conceptos, introducidos por R. E. Kalman hacia 1960, están relacionados con la posibilidad de cambiar el estado de un sistema a cualquier valor deseado, en el caso de la controlabilidad, o de identificar las condiciones iniciales del sistema a partir de su salida, en el caso de la observabilidad.

Se dice que el estado x(t) es controlable en el tiempo t=to si existe una entrada continua por intervalos u(t) que moverá al estado a cualquier estado final x(tf) en un tiempo finito tf- t0≥0

A continuación, obtendremos la condición para la controlabilidad completa del estado

CONTROLABILIDAD

Controlabilidad completa del estado de sistemas en tiempo continuo

Considere

en donde x = vector de estados (vector de dimensión n) u = señal de control (escalar) A=matriz de nxn B=matrizde nx1 Se dice que el sistema descrito mediante la ecuación

anterior es de estado controlable en t=t 0 , si es posible construir una señal de control sin restricciones que transfiera ún estado inicial a cualquier estado final en un intervalo de tiempo finito to ≤ t ≤ t 1. Si todos los estados son controlables, se dice que el sistema es de estado completamente controlable.

( ) ( ) ( )x t Ax t Bu t

La condición para una controlabilidad completa del estado

Se construye matriz de controlabilidad

Si esta matriz tiene rango n, el sistema es controlable. Observe que si una matriz de n X n es no singular (es

decir, tiene un rango n o el determinante es diferente de cero), entonces n vectores columna (o renglón) son linealmente independientes

1nM B AB A B

OBSERVABILIDAD Se dice que un sistema es observable en el tiempo to si,

con el sistema en el estado x(to),es posible determinar este estado a partir de la observación de la salida durante un intervalo de tiempo finito.

en donde x = vector de estado (vector de dimensión n) y = vector de salida (vector de dimensión m) A=matriz de nxn C = matriz de mxn

)()()()()()(tDutCxtytButAxtx

Observabilidad completa de sistemas en tiempo continuo

Construir la matriz de observabilidad:

Si esta matriz tiene rango n, el sistema es observable

1n

CCA

N

CA

Controlabilidad y Observabilidad. Estos conceptos describen la interacción entre el mundo externo (entradas y salidas) y las variables internas del sistema (estados). La controlabilidad es la propiedad que indica si el comportamiento de un sistema puede ser controlado por medio de sus entradas.Observabilidad es la propiedad que indica si el comportamiento interno del sistema puede detectarse en sus salidas.

RESUMEN

EJEMPLO1 Cual es la condición del sistema de estado

Dado que matriz de controlabilidad

Es singular el sistema no es controlable de estado completo.

EJEMPLO 2 Cual es la condición del sistema de estado

Dado que matriz de controlabilidad

Es no singular el sistema si es controlable de estado completo.

EJEMPLO3

2

1 0 06 1 0

31 -6 1

1

CN CA

CA

N

El siguiente sistema es observable?

Matriz de observabilidad

Es no singular el sistema si es Observable de estado completo.

EJEMPLO 4

Considerar el siguiente sistema

¿Es el sistema controlable y observable?

SOLUCION Puesto que la matriz

Es de rango 3, el sistema es controlable de estado completo.

es de rango 3, el sistema es observable completamente.

En general consiste en hacer nulas el máximo número de líneas posible, y el rango será el número de filas no nulas.