COLEGIO SAN FRAMCSICO JAVIERCOLEGIO SAN FRAMCSICO JAVIER FUENTE DE CANTOSFUENTE DE CANTOS

GEOMETRÍA EN EL ESPACIO.GEOMETRÍA EN EL ESPACIO.

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES. PROPIEDADES.PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES. PROPIEDADES. Dados los vectores y se designa el producto escalar de ellos de la siguiente

forma: siendo

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES. PROPIEDADES.PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES. PROPIEDADES. Sean los vcectores

Propiedades:1-

2-

3- es perpendicular a

Aplicación geométrica del producto vectorial.| | = donde

SP = ; ST =

PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES. PROPIEDADES.PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES. PROPIEDADES.

Aplicación geométrica del producto mixto.

h

;

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO.COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO.

A=(x0,x1,x2) B=(y0,y1,y2).

ECUACIÓN DE LA RECTA.ECUACIÓN DE LA RECTA.

Para determinar una recta r en el espacio es necesario conocer un punto P=(x1,x2,x3) por el que pase y un vector que nos indique la dirección de la misma llamado vector director de la recta r y representaremos por =(v1,v2,v3).

OZr

vrP

OY

OXECUACIÓN VECTORIAL.

(x,y,z) = (x1,x2,x3) + Ecuación Vectorial

ECUACIONES PARAMÉTRICAS.

Ecuaciones paramétricas.

ECUACIÓN CONTINUA.

Ecuación continua

ECUACIÓN IMPLÍCITA, GENERAL O CARTESIANA.r= Ecuación general

Ax+By+Cz+D=0r

A’x+B’y+C’z+D’=0

ECUACIÓN DEL PLANO.ECUACIÓN DEL PLANO. Un plano en el espacio queda determinado conociendo los siguientes elementos: Un punto P=(x1,x2,x3) por el que pase el plano. Dos vectores =(u1,u2,u3) y =(v1,v2,v3) no nulos y no proporcionales, que se llaman

vectores direccionales del plano.

Xu

Pv

Veamos las distintas formas de la ecuación del plano en el espacio.

ECUACIÓN VECTORIAL. (x,y,z) = (x1,x2,x3) + Ecuación Vectorial

ECUACIONES PARAMÉTRICAS.

Ecuaciones Paramétricas

ECUACIÓN GENERAL, IMPLÍCITA O CARTESIANA.

A x + B y + C z + D = 0

uP

v

NOTA: También se puede hallar la ecuación de un plano conociendo un punto P=(x 1,x2,x3) por el que pase y su vector normal La ecuación sería Ax+By+Cz+D=0, faltaría hallar D. Como P las coordenadas de P verifican la ecuación del plano de esta forma hallamos D

CONSIDERACIONES SOBRE RECTAS Y PLANOS.CONSIDERACIONES SOBRE RECTAS Y PLANOS. Sea r una recta del espacio de vector director . Se sabe que el vector director está

contenido en la recta.

r

Sea un plano de ecuación general Ax+By+Cz+D=0. De esta ecuación se obtiene un nuevo vector llamado vector normal del plano cuyas coordenadas son los coeficientes de las incógnitas y es perpendicular al plano. Lo denotamos por

uP

v

Dos rectas r y s son paralelas si los vectores directores son proporcionales y en particular iguales.

r vr

r//s vr//vs s vs

vr = t.vs con Dos rectas r y s son perpendiculares si los vectores directores son perpendiculares, es

decir, el producto escalar de ambos es cero.r

vr

s vr vr.vs = 0vs

Dos planos y son paralelos si los vectores normales son proporcionales y en particular iguales.

v

v

v =t.v Dos planos y son perpendiculares si los vectores normales son perpendiculares, es

decir, el producto escalar de ambos es cero.

Una recta r es paralela a un plano si el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano, o lo que es lo mismo, la proyección del vector director de la recta sobre el plano es idéntica al módulo del vector director de la recta.

r vr

r//

Una recta r es perpendicular a un plano si el vector director de la recta es paralelo al vector normal del plano.

r r

vr

Sabemos que en el espacio tridimensional toda recta viene determinada por la intersección de dos planos. De ahí que la ecuación implícita o general de una recta en el espacio tenga la forma

r=

Ax+By+Cz+D=0r

A’x+B’y+C’z+D’=0

POSICIÓN RELATIVA DE PUNTOSSean los puntos A1, A2, ..... , An n puntos. Fijamos A1 y construimos los vectores

Construimos la matriz [ ] Y hallamos su rango:

rg[ ]=1 alineados

rg[ ]=2 coplanarios

rg[ ]>2 distribución espacialPOSICIONES DE DOS PLANOS.POSICIONES DE DOS PLANOS.

Por geometría elemental, sabemos que las posiciones de dos planos en el espacio son tres: Planos secantes, se cortan en una recta. Planos paralelos, no tienen puntos en común.

Planos coincidentes, todos los puntos son comunes.

Secantes Paralelos Coincidentes

,

1- El sistema es compatible indeterminado, hay infinitas soluciones. Geométricamente los dos planos o se cortan en una recta o coinciden. Este último caso no puede ser pues de coincidir, el rg(M) sería 1, ya que los coeficientes del sistema serían proporcionales las dos filas de la matriz serían proporcionales. Por tanto, en este caso los dos planos se cortan en una recta, son secantes.

2- El sistema es compatible indeterminado, hay infinitas soluciones.Los dos planos coinciden pues al ser el rg(M')=1 las dos filas son proporcionales o iguales luego podemos eliminar una y nos queda un sistema formado por una ecuación. Los dos planos coinciden.

3- El sistema es incompatible, no tiene solución.Al no tener puntos en común la posición que presentarán estos dos planos es la de paralelos.

POSICIONES DE TRES PLANOS.POSICIONES DE TRES PLANOS.

,

1- El sistema es compatible determinado.Hay una sola solución. Los tres planos se cortan en un punto que es la solución del sistema.

2- El sistema es compatible indeterminado. Hay infinitas soluciones. Los tres planos se cortan en una recta que es la solución del sistema. Pueden ser los tres planos secantes y distintos o dos coincidentes y el tercero secante y distinto. El segundo caso se da cuando en la matriz M tenemos dos filas iguales o proporcionales.

3- El sistema es compatible indeterminado. Hay infinitas soluciones. Los tres planos coinciden

4- El sistema es incompatible.No hay solución. Los planos se cortan dos a dos, es decir, dos planos se cortan en una recta que es paralela al tercero o dos planos son paralelos y el tercero los corta. La segunda situación se da cuando en la matriz M nos aparecen dos filas iguales o proporcionales.

5- El sistema es incompatible.No hay solución. Los tres planos son paralelos o dos coinciden y el tercero es paralelo a ellos. El segundo caso aparece cuando en la matriz M’ tenemos dos filas iguales o proporcionales.

POSICIONES DE UNA RECTA Y UN PLANO.POSICIONES DE UNA RECTA Y UN PLANO. Consideremos la recta de ecuación: y el plano a de

ecuación A''x +B''y +C''z = D’’

1.- Sistema compatible determinado. La recta corta al plano en un punto que es la solución del sistema.2.- El sistema es compatible indeter.. Hay infinitas soluciones.La recta está contenida en el plano.3.- El sistema es incompatible. No hay solución. La recta es paralela al plano.

POSICIONES DE DOS RECTAS.POSICIONES DE DOS RECTAS. Hallamos los vectores directores y .

Hallamos un punto de cada recta Pr y Ps. Calculamos el rango de la matriz formada por los dos vectores directores. Calculamos el rango de la matriz formada por los dos vectores directores y el vector

Rg Rectas

Coincidentes

RectasParalelas

Rectas Secantes

RectasCruzadas

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS.ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS.

ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS.ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS.

Sea

B

a

ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO.ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO.

Sea r una recta de vector director vr y a un plano de vector característico va. Sea el ángulo que forman la recta y el plano.

r va

vr

a

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. Sean A=(x0,y0,z0) y B=(x1,y1,z1) dos puntos del espacio R3.

d(A,B) = |AB| =

DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA.DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA.

d(P,r)=

DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO.DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO.

Sea el plano Ax+By+Cz+D=0 y el punto P=(x0,y0,z0)D(P, )=

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS.DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS.

Si las dos rectas son paralelas basta tomar un punto de una de ella y hallar la distancia de dicho punto a la otra recta.

d(r,s) = d(Pr,s)

Si las dos rectas se cruzan, un procedimiento rápido para hallar la distancia entre ellas es el siguiente:

DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS.DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS.

Para hallar la distancia basta tomar un punto de uno de ellos y hallar la distancia que hay entre este punto y el otro plano.

Pa

a

d(a,b)=d(Pa,b)

b

DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO.DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO.

Si la recta y el plano son paralelos, hay distancia entre ellos. Para hallar dicha distancia basta con tomar un punto de la recta y hallamos la distancia de este punto al plano.

Pr

r

d(r,a)=d(Pr,a)

a