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Cap. 3 mecánica

3.1 CINEMÁTICA

3.1.3 Cinemática circular – Movimiento circular

Marina Farías de Reyes

The London Eye

Cinemática circular Movimiento circular

• Ya se ha visto el movimiento rectilíneo y el parabólico, que es la combinación de dos movimientos rectilíneos.

• En la naturaleza encontramos otros tipos de movimientos, en donde la partículas describen trayectorias curvas o los cuerpos giran respecto a un eje.

• Ejemplos??

La Tierra rota en torno a un eje y gira alrededor del Sol El movimiento de los autos en las

carreteras

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más ejemplos

ALGUNAS DEFINICIONES

Movimiento curvilíneo • Una partícula o cuerpo ejecuta un movimiento curvilíneo, cuando

describe una trayectoria que no es rectilínea, es curva, por lo general será circular.

A veces el movimiento circular no es completo: cuando un auto toma una curva realiza un movimiento circular, aunque nunca gira los 360º de la circunferencia.

Movimiento curvilíneo

• Estamos rodeados por objetos que describen movimientos circulares: – un disco compacto durante su reproducción en el equipo de música

– las manecillas de un reloj

– las ruedas de una motocicleta

• Es decir, cuerpos que se mueven describiendo una circunferencia.

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Idealizaciones o modelos

• Para entender la diferencia entre los tipos de movimiento

curvilíneo, debemos conocer dos idealizaciones usadas en

física para simplificar la aplicación de la teoría.

– Partícula

– Cuerpo rígido

Partícula • Cuerpo que tiene masa pero tamaño despreciable.

• Por ejemplo: El tamaño de la tierra es despreciable respecto del de su órbita, por lo que puede ser modelada como una partícula al estudiar su movimiento orbital.

• En estos casos, los principios de la mecánica se reducen puesto que la geometría del cuerpo no está involucrada en el análisis.

Cuerpo rígido • Es la combinación de un gran número de partículas en la cual todas

quedan a una distancia fija una de otra, antes y después de un fenómeno (por ejemplo moverse, aplicar una fuerza, etc.).

• Las propiedades del material no tienen que ser analizadas.

• En la mayoría de los casos las deformaciones que ocurren en estructuras, máquinas y mecanismos son relativamente pequeñas, por lo que este modelo es aplicable para su análisis.

Tipos especiales DE MOVIMIENTO

CURVILINEO

• Movimiento rotacional: Un cuerpo rígido girando en torno a un punto o un eje de sí mismo.

• Movimiento circular (traslación): Una partícula trasladándose en trayectoria circular, con centro fuera de dicha partícula.

• Cuando un cuerpo rígido experimenta rotación, cada una de sus partículas experimenta movimiento circular.

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Radio vector (𝑟 )

• Vector con origen en el centro de giro y extremo señalando a la partícula en movimiento, moviéndose con ella.

Eje de giro

eje de giro

𝜃

s

𝐫 𝐫

A1 A2

Desplazamiento angular (𝜽)

• Vector que indica la dirección en que gira el cuerpo rígido (rotación) o el radio vector (de la partícula en movimiento circular).

Eje de giro

𝜃

s

𝐫 𝐫

𝛉

Perpendicular al plano de giro.

Paralelo al eje de giro.

Sentido: mano derecha.

Medida: radianes.

A1 A2

¿RADIANES? Radián Representa el ángulo central en una circunferencia cuyo arco tiene una longitud igual a la del radio.

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Longitud de arco: s

• Si la partícula va de A1 hacia A2, recorre un arco “s”.

• Magnitud escalar.

Eje de giro

𝜃

s

𝐫 𝐫

𝛉

A1 A2

𝑠 = 𝜃. 𝑟

𝜃: 𝑟𝑎𝑑

s, r: metros

Rapidez (𝜔) y velocidad angular (𝜔)

• El vector 𝑟 pasa de la orientación 𝑂𝐴1 a 𝑂𝐴2 con cierta rapidez (módulo) y sentido.

Eje de giro

eje de giro

𝜃

s

𝐫 𝐫

A1 A2

𝝎

En M.R. el vector desplazamiento y el de velocidad son paralelos.

En M.C. también.

Ahora vamos a estudiar el movimiento rotacional:

• Movimiento rotacional uniforme

• Movimiento rotacional uniformemente variado

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MOVIMIENTO ROTACIONAL UNIFORME

(MROTU) Cuando un cuerpo rígido experimenta

desplazamientos angulares iguales en tiempos iguales.

Velocidad angular constante (se aplica también para MCU)

• No cambia en el tiempo.

• Implica desplazamientos iguales en tiempos iguales.

• Indica el desplazamiento angular que experimenta un móvil por unidad de tiempo.

𝜔 =𝜃

𝑡 rad/s, rev/s, rpm (rev/min)

• 1 revolución = 360°= 2π rad ≈ 6.3 rad

• ¿Cuál es la velocidad angular de la Tierra?

Velocidad lineal constante

periodo

• Es el tiempo que le lleva al móvil dar la vuelta completa.

• 𝑇 =2𝜋

𝜔

•𝑟𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑

𝑠 = 𝑠

•𝑟𝑎𝑑

𝑟𝑎𝑑𝑚𝑖𝑛

= 𝑚𝑖𝑛

• ¿Cuál es el período de la Tierra?

frecuencia

• Número de vueltas o revoluciones que el móvil da por unidad de tiempo.

• 𝑓 =𝑁𝑜.𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠

𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜=

𝑁

𝑡=

1

𝑇

• rpm, rev/s o hertz

• ¿Cuál es la frecuencia de giro de la Tierra?

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¡recordar!

e

t v

𝜃

t 𝜔

PARA PENSAR

Indica si los siguientes movimientos son o no son circulares a. Gotas de lluvia b. Caída libre c. Trompo d. Noria e. Aguja máquina de coser f. Péndulo reloj g. Ejecutar un CD h. Rayo laser i. Paletas de una hélice j. Faja transportadora

PROBLEMAS

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1. ¿Cuantos rad/s son 25 r.p.m.?

2. Un disco gira a 45 r.p.m., calcula el tiempo que tarda en dar una vuelta así como su frecuencia.

3. ¿Cuántas vueltas dará un plato de un microondas en un minuto si gira a 3,5 rad/s?

4. El CD de una computadora gira con una velocidad angular de 539 r.p.m. Calcula el número de vueltas que da durante la reproducción de una canción de 4 minutos y el ángulo barrido en radianes.

5. Las aspa de un molino gira un ángulo de 2.5π rad en 50 s a. ¿Cuál es su velocidad angular en rpm? b. ¿Cuál es su período de rotación?

6. Se tiene una pelota de ping pong, de diámetro 40 mm, la cual

está rotando sobre su eje a velocidad constante. Supongamos que un tirador dispara una minibala a una velocidad de 200 m/s hacia el centro de la pelotita acertando en el blanco y sin destruirla. Terminado el experimento, revisan la pelotita y presenta un solo agujero. Siendo que la bala ya no está en el interior ¿què pasó? ¿Cuál es la velocidad angular de la pelotita?

7. Sabiendo que 𝜔𝐴 = 6 𝑟𝑝𝑚 𝑦 𝜔𝐵 = 9 𝑟𝑝𝑚, determinar al cabo de cuánto tiempo en segundos habrán barrido un ángulo que sea el doble de lo que les falta para juntarse.

𝜔𝐴 = 6 𝑟𝑝𝑚 𝜔𝐵 = 9 𝑟𝑝𝑚

MOVIMIENTO ROTACIONAL UNIFORMEMENTE VARIADO

(MROTUV)

Cuando se enciende un ventilador, parte del reposo y va acelerando hasta llegar a la velocidad

establecida para el nivel seleccionado. De manera inversa sucede cuando se apaga.

Si la velocidad angular varía de manera constante en intervalos de tiempo iguales: MRotUV

Aceleración angular (α ) • Es un vector cuya línea de acción

coincide con ω aunque el sentido puede ser diferente.

• Cuando α es constante: MROTUV.

• 𝛼 =∆𝜔

∆𝑡

• 𝛼 =𝜔𝑓−𝜔𝑖

𝑡

Movimiento acelerado Movimiento desacelerado

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Ecuaciones de MROTUV

1. 𝜔𝑓 = 𝜔𝑖 + 𝛼 𝑡

2. 𝜔2𝑓 = 𝜔2

𝑖 + 2 α 𝜃

3. 𝜃 = 𝜔𝑖 𝑡 +1

2𝛼𝑡2

4. 𝜃 = 𝜔𝑖+𝜔𝑓

2. 𝑡

Tener en cuenta que la aceleración tiene signo.

PROBLEMAS

Una rueda cuadruplica su velocidad después de haber dado 250 rev/s en 10 s. ¿Cuántas revoluciones dará en los 4 s siguientes?

• Primero calculamos la velocidad angular:

𝜃 = 𝜔𝑖+𝜔𝑓

2. 𝑡 250 𝑟𝑒𝑣 =

𝜔+4𝜔

2. 10 𝜔 =

10 𝑟𝑒𝑣/𝑠 • Ahora la aceleración angular:

𝜔𝑓 = 𝜔𝑖 + 𝛼 𝑡 𝛼 = (𝜔𝑓 − 𝜔𝑖)/ 𝑡 𝛼 =40−10

10= 3 𝑟𝑒𝑣/𝑠2

• Finalmente los 4 s siguientes:

𝜃 = 𝜔𝑖 𝑡 +1

2𝛼𝑡2 𝜃 = 40.4 +

1

23. 42 = 184 𝑟𝑒𝑣

Ahora vamos a estudiar el movimiento circunferencial o circular:

• Movimiento circunferencial uniforme (MCU)

• Movimiento circunferencial uniformemente variado (MCUV)

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MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL (MCU)

Cuando una partícula describe una circunferencia, recorriendo arcos iguales en tiempos iguales.

Su radio vector rota en torno al centro de giro.

Velocidad tangencial

• O velocidad lineal. • Es la que lleva una partícula en

movimiento curvilíneo. – Dirección: tangente a la curva. – Módulo: rapidez con que recorre

el arco.

• 𝑉𝑡 =𝑠

𝑡= 𝜔. 𝑟 = 2𝜋𝑓𝑟 =

2𝜋𝑟

𝑇

• s, r (m); t (s); 𝜔 (rad/s)

Radio r

Aceleración centrípeta, normal o central

• Sabemos que para que exista aceleración es porque ha habido un cambio de velocidad.

• El módulo de Vt no cambia en MCU pero sí la dirección.

• 𝑎𝑐 =𝑉𝑡2

𝑟= 𝜔2. 𝑟

– Curva cerrada o brusca : 𝑎𝑐 >>>

– Curva abierta o suave : 𝑎𝑐 <<<

• 𝑎 𝑐 𝑉 𝑡

• 𝑎 𝑐 𝜔

• Dirección siempre radial.

s

t vt

EJEMPLO

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MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV)

La velocidad aumenta o disminuye lo mismo en intervalos de tiempo iguales.

Aceleración tangencial

• Aparece aceleración tangencial constante.

• Produce el cambio del módulo de Vt.

• El radio vector gira siguiendo a la partícula con MRotUV.

• 𝑎𝑡 =𝑉𝑡𝑓−𝑉𝑡𝑖

𝑡= 𝛼. 𝑟

V=0

V=10

V=20

V=30

Aceleración total

• Está compuesta por los dos tipos:

• 𝑎𝑇 = 𝑎𝑐+ 𝑎𝑡

• 𝑎𝑇 = 𝑎𝑐2 + 𝑎𝑡

2

ac

T

Casos especiales

• Movimiento acelerado: Si 𝑎 𝑡 𝑉 𝑡 y 𝛽<90°

• Movimiento uniforme: Si 𝑎 𝑡 = 0; 𝑎 𝑇 = 𝑎 𝑐 y 𝛽 =90°

• Movimiento desacelerado: Si 𝑎 𝑡 𝑉 𝑡 y 𝛽<90°

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Ecuaciones de MCUV

1. 𝑣𝑡𝑓 = 𝑣𝑡𝑖 + 𝑎𝑡 𝑡

2. 𝑣2𝑡𝑓 = 𝑣2𝑡𝑖 + 2𝑎𝑡𝑠

3. 𝑠 = 𝑣𝑡𝑖 𝑡 1

2𝑎𝑡𝑡

2

4. 𝑠 = 𝑣𝑡𝑖+𝑣𝑡𝑓

2. 𝑡

Tener en cuenta que la aceleración tiene signo.

TRANSMISIÓN DE MOVIMIENTO

TRANSMISIÓN DE MOVIMIENTO

Cuando arrancamos el motor de un auto, para que éste se mueva es necesario comunicar el movimiento del motor a las ruedas, y esto se logra con mecanismos de transmisión.

Los más importantes son por engranajes, por correa, y por cadena y catalina.

Transmisión de velocidad tangencial (Vt)

• Ruedas de fricción

• Ruedas dentadas o engranajes

Permiten transmitir giro modificando las características de velocidad angular: magnitud y sentido.

Consisten en 2 ó más ruedas cuyos ejes son paralelos. Contacto perimetral.

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Transmisión de velocidad tangencial (Vt)

• Por poleas y correas o fajas: Transmiten giro entre dos ejes distantes, permitiendo aumentar, disminuir o mantener la velocidad de giro, mientras mantiene o invierte el sentido.

Transmisión de velocidad giro

Transmisión mixta

Ejemplo

• En el sistema mostrado calcular la velocidad angular de la rueda E si se sabe que: WA=2rad/s; RB=300cm; RC=0.002km; RD=1000mm; RE=3m.

• Sabemos que las ruedas montadas sobre un mismo eje transmiten su velocidad angular y las que están unidas por una faja comparten su velocidad tangencial; además que V = w.r. El cuadro adjunto muestra la transmisión de velocidad. Los colores indican los parámetros que se están transmitiendo en algunas ruedas:

• La velocidad angular w solicitada es: 1 rad/s

Rueda w

(rad/s)

R

(m)

V

(m/s)

A 2

B 2 3 6

C 3 2 6

D 3 1 3

E 1 3 3